精品解析：2025年河北省邯郸市武安市贺进镇翟家庄中学、沙名中学联考中考二模数学试题

2025年河北省初中学业水平考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定作答． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列选项中，可以用代数式“”表示的是（ ） A. 与的和 B. 与的差 C. 与的积 D. 与的商 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代数式意义，理解代数式定义与写法是解决问题的关键．根据代数式的意义即可得到答案． 【详解】解：代数式“”表示的是与的积． 故选：C． 2. 如图，线段垂直于直线于点，线段垂直于射线于点，直线交射线于点．则点到直线的距离为（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点到直线的距离的定义．点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离．根据点到直线的距离的定义结合图形选择即可． 【详解】解：由图可知点到直线的距离是线段的长． 故选：A． 3. 如图，甲、乙两个几何体都是由边长相等的小正方体组成的，下列说法不正确的是（ ） A. 甲、乙主视图相同 B. 甲、乙左视图相同 C. 甲、乙俯视图相同 D. 甲的主视图与乙的左视图相同 【答案】C 【解析】 【分析】分别做出甲、乙、丙的三视图，对比分析即可． 本题考查了几何组合体的三视图；解题的关键是正确识别几何组合体的三视图． 【详解】解：分别做出甲、乙的三视图如下， C、甲、乙俯视图不同，选项错误，符合题意； A、B、D选项正确， 不符合题意； 故选：C． 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法运算与积的乘方，解决本题的关键是牢记相关运算法则． 直接利用合并同类项法则、同底数幂乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方运算法则依次判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项错误，不符合题意； D．，选项正确，符合题意； 故选D． 5. 大清铜币，又称清代机制铜圆（如图），有“一文、二文、五文、十文、二十文”等，是我国特定时期的历史产物．淇淇手里有6枚十文的“大清铜币”，它们的直径分别为：，，，，，，则这6个数据的中位数和众数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，解题关键是熟记众数和中位数的相关知识． 将6个数据按大小顺序排列，求中间两个数得到平均数即为中位数，这组数据中出现次数最多的数即为众数． 【详解】解：这6个数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，， ∵中间两个数的平均数为，出现次数最多的为， ∴这6个数据的中位数和众数分别为，，   故选：B． 6. 已知矩形的两条邻边分别为，如果为整数，则关于矩形的面积，下列说法正确的是（ ） A. S可能是24 B. 可能是15 C. 可能是12 D. 可能是6 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查单项式乘以多项式，用字母表示数，理解题意是解题关键． 根据题意得出，然后分析奇偶性即可得出结果． 【详解】解：由题意得， 为整数， 中一定有一个数为偶数， 是8的倍数， 可能是24． 故选：A 7. 如图，一艘渔船由南向北航行，上午8时，发现灯塔在渔船的北偏西方向，上午10时，却发现灯塔在渔船的南偏西方向．已知渔船的速度是28海里/小时，渔船上午8时和10时的位置分别用点表示，则的距离为（ ） A. 28海里 B. 42海里 C. 56海里 D. 70海里 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角、三角形内角和定理、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由题意可得：，运用三角形内角和定理可得，即，再根据等角对等边以及行程问题即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ， ， （海里）． 故选C． 8. 淇淇和同学一起制作了一个用于浇花的滴管装置，该装置可以通过调节滴水的速度，改变滴灌的时间．已知该装置的滴水速度为滴/小时，淇淇在使用时，将装置装满水后，把滴水速度调整为滴/小时，2个小时后，该装置的水用了．要将装置装满水，下列说法正确的是（ ） A. 滴水时间最长为个小时 B. 滴水时间最少为个小时 C. 当滴水速度为滴/小时时，个小时用去总水量的 D. 当滴水速度为滴/小时时，个小时用去总水量的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，能够根据题意列出反比例函数解析式是解题的关键．由题干中的描述，可得该装置总的储水量为（滴），设滴水的速度为滴/小时，滴水的时间为小时，因为滴水的时间与滴水速度成反比例函数关系，得，根据反比例函数解析式，逐个选项判断即可求解． 【详解】设滴水的速度为滴/小时，滴水的时间为小时，该装置总的储水量为（滴）， 滴水的时间与滴水速度成反比例函数关系， ， 当时，，选项A错误； 当时，，选项B错误； 当滴水速度时，，即滴水总时间为小时，小时用去总水量的，选项C错误； 当滴水速度时，，即滴水总时间为小时，小时用去总水量的，选项D正确； 故选：D． 9. 定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得，即，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：B． 10. 如图是综合实践活动小组同学们为学校配电房绘制的一张“有电危险”标志牌．给该标志牌的端点标上字母、若点在一条直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和为，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和为，可得的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，即可解答． 【详解】解： ， ． 故选：C． 11. 如图，在三角形纸片中，，将折叠，使得边落在射线上，折痕为，将纸片展开．再将折叠，使得边落在射线上，折痕为，点的对应点为．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，逐项分析，即可解答． 【详解】如解图，连接，由题意，分别为，的平分线， ， ， ， ， ， 选项A正确，不符合题意； ， ， ， ， ∴， ， ， ， 选项B正确，不符合题意， ， ， ， ∴点与点重合，即， D选项正确，不符合题意． 无法判断与长度关系，故C选项错误． 12. 图①是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由正方形和等边组成，正方形的两条对角线交于点O，校办在的中点P处放置了一台摄像机全程摄像．九年级学生需绕场地某条线路匀速行进，设行进的时间为x，与摄像机的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则九年级学生的行进路线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，明确题中各个选项中路线对应的函数图象，利用数形结合的思想逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得， 当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大且图象对称，从，y随x的增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A不符合要求； 当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项B不符合要求； 当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于刚开始的值，从时，y随x的增大先减小后增大，且和前图象对称，故选项C符合要求； 当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项D不符号要求； 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：，则表示的数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，掌握其运算法则是关键，先化简二次根式，再运用即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 15. 如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式与几何图形表示，数形结合得到，求解即可得到，代入代数式求解即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题图-1可知， ， 题图-1中大正方形的边长减少1个单位， 题图-2中，边长分别为的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则， ， ， ， 综上所述，， 解得， ， 故答案为：． 16. 如图，在正六边形中，，将一个含的直角三角板的直角放入正六边形内，保证点同时在三角板的边上，转动三角板．连接，则线段的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最值问题，正多边形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题关键是能准确分析出点H的运动轨迹．连接，过点作，垂足为，易得点在以为直径的圆弧上，当点共线时，取最小值，解直角三角形求出，，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为， ， 点在以为直径的圆弧上， 当点共线时，取最小值， 在正六边形中，， ， ， ，在中，， ， ， 即线段的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，为数轴上原点两侧的两点，，点距原点4个单位，点为中点． （1）求点表示的数； （2）将数轴绕原点逆时针旋转，单位长度变为原来的，分别过点向新的数轴作垂线，垂足分别为，求的中点表示的数． 【答案】（1）点表示的数为2 （2）的中点表示的数为2 【解析】 【分析】本题主要考查两点之间距离的计算，特殊角的三角函数值的计算，理解中点坐标计算方法，旋转的性质，特殊角的三角函数值的计算是关键． （1）根据题意得到点表示的数为，点表示的数为8，根据中点坐标计算方法即可求解； （2）根据旋转，特殊角的三角函数的计算得到，几何数轴旋转时，单位长度变为原来的得到点表示的数为，点表示的数为8，根据中点坐标计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：点距原点4个单位，点在原点左侧， 点表示的数为， 在原点两侧， 点表示的数为8， 的中点表示的数为； 【小问2详解】 解：将数轴绕原点逆时针旋转， ， ，，， ，同理， 单位长度变为原来的， 点表示的数为，点表示的数为8， 的中点表示的数为． 18. 这是淇淇解答试题的具体过程： 化简： 解： ① ② ③ ④ （1）淇淇的解答过程是从第几步开始出现错误的，错误的原因是什么？ （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）淇淇的解答过程是从第①步开始出现错误的；错误的原因是运算顺序错了，应该先计算小括号里的，再计算括号外的乘除； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，分式的约分，利用平方差进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）根据应该先计算小括号里的，再计算括号外的乘除，可判定出第①步开始出现错误，即可解答． （2）先将小括号里的分式通分计算，再计算括号外的乘除，最后约分，即可解得． 【小问1详解】 解：淇淇解答过程是从第①步开始出现错误的；错误的原因是运算顺序错了，应该先计算小括号里的，再计算括号外的乘除； 【小问2详解】 ． 19. 星期天，淇淇所在的社会实践小组到某级旅游景区对游客登山的方式进行了抽样调查．调查发现游客上山的方式共有种：．西上全程索道；．北上全程索道；．西上步行；．北上步行；．西上索道+步行；．北上索道+步行．淇淇和小组成员共调查了名游客，并把相关的数据绘制成如下不完整的统计图（图-1和图-2）． （1）根据统计图信息，求的值，并补全条形统计图； （2）5月1日，该景区共接待游客约万人，其中，，，登山方式的索道费用（含下山）分别为：元/人，元/人，元/人，元/人（不考虑其他因素）．估计这一天该景区的索道收入（用科学记数法表示）； （3）淇淇和嘉嘉都想走西上的路线（登山方式包括，，三种），请用列表法或画树状图法求两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的概率． 【答案】（1），见解析 （2）索道收入元 （3）见解析，两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，科学记数法，用列表法或树状图求概率，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由扇形统计图得选择方式登山的游客有人，所占百分比为，根据求得样本容量，即的值，利用总人数减去、、、、登山方式的人数即可求解方式的人数； （2）先求抽查的人里，，，，方式的索道费用，再利用样本估计总体即可求解； （3）用列表法列出两个人走西上路线的全部情况，其中两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的有种，利用随机事件的概率计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题图可知，选择方式登山的游客有人，所占百分比为， ， 选择方式登山的游客人数为， 补全条形统计图如图所示： 小问2详解】 解：索道收入为 元． 【小问3详解】 解：两个人走“西上全程索道”的全部情况如下表： 淇淇 嘉嘉 A C E A C E 由列表可知，共有种等可能情况，其中两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的有种， 则（两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式）． 20. 综合与实践 发现生活中的锐角三角函数 背景信息 2025年1月10日，哈尔滨冰雪大世界一举夺得最佳旅游项目奖、最佳景区奖等5个金奖、其中新建的室外滑雪场更是吸引了万千游客，这引发了全国滑雪场项目的一波潮流，各地都在争相模仿打造滑雪小世界 生活素材 素材1 如图-1是某滑雪场儿童滑雪项目示意图，从处乘坐电梯到达处，然后沿滑雪道滑下，再从处乘坐摆渡车返回处，其中滑雪道长为200米，，电梯的坡度为 素材2 如图-2是成人滑雪项目的示意图，电梯顶端的高度同儿童滑雪项目一样，滑雪道有两段，前半段的坡角为，后半段的坡角为 解决问题 任务一 求儿童滑雪场中电梯的长度和游客乘坐摆渡车路线的长度 结果精确到，参考数据：， 任务二 求成人滑雪场中滑雪道的总长度 【答案】（1）的长度为125米，的长度约为米；（2）滑雪道的总长度约为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务一：过点作于点，解直角三角形可求出的长，再根据电梯的坡度为求出的长，进而求出，的长即可得到答案； 任务二：过点作于点，过点作于点于点，解直角三角形得到，，由得到，则，据此求解即可． 【详解】解：任务一：如解图①，过点作于点， 由素材1知，米， ∴米，米， 电梯的坡度为，即， 米， （米）， 在中，由勾股定理可得（米）． 儿童滑雪场中电梯的长度为125米，游客乘坐摆渡车路线的长度约为米； 任务二：如解图②，过点作于点，过点作于点于点， 由题知成人滑雪项目与儿童滑雪项目电梯顶端的高度一样， 米， ， ∴ ， ， 又 ， （米）， 米， （米）， 成人滑雪场中滑雪道的总长度约为米． 21. 如图．已知点，为平面直角坐标系内两点，点为轴上一点，连接． （1）求直线的函数解析式； （2）当的周长最小时，求点的坐标； （3）点、为坐标内两点，在（）的条件下，若线段始终在内部（含边界），求的取值范围． 【答案】（1）直线的函数解析式为； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，轴对称性质，解不等式组等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设直线的函数解析式为，将点，代入即可求解； （）当的周长最小时，又为定值，则最小即可，作点关于轴的对称点，则点坐标为，此时的最小值，即为的长，求出直线的函数解析式为，令，则，从而求解； （）根据图象，结合已知条件，分别令线段的两端点过边，求出对应纵坐标的值，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当的周长最小时，又为定值， ∴最小即可， 如解图，作点关于轴对称点，则点坐标为，此时的最小值，即为的长， 设直线的函数解析式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 令，则， ∴； 【小问3详解】 解：∵线段始终在内部（含边界），且点在点上方， ∴如解图，点在线段上方，点在线段下方，（包含线段上） 结合图象可知，当时， ∴， ∴的取值范围是． 22. 如图-1是清末时期的文房用具纹铜吸墨碾，做工精细，体现了我国文化的博大精深．用途是书画创作时，通过转动吸墨碾（碾上附着吸墨纸），吸收多余墨汁．吸墨碾侧面示意图如图-2，已知，圆弧最低点到的距离为． （1）在不添加点的情况下，利用无刻度直尺和圆规作出劣弧的圆心；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求劣弧的半径； （3）当使用吸墨碾从点沿转动到点时，求圆心移动的距离．（取，结果精确到．参考数据：，） 【答案】（1）见解析 （2） （3）圆心移动的距离约为 【解析】 【分析】本题考查尺规作图利用垂直平分线作圆心，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，弧长公式，掌握知识点是解题的关键． （1）利用尺规作图分别作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心； （2）连接，设交于点，设的半径为，根据垂径定理，求出，再在中，利用勾股定理，即可解答． （3）连接，易知圆心移动的距离等于的长度，根据，求出，，再利用弧长公式求出的长度，即可解答． 【小问1详解】 解：连接，作线段和的垂直平分线， 作图如解图①（答案不唯一），点即为所求： 【小问2详解】 如解图②，连接， 设交于点，设的半径为， 由题意可知，，， ， 在中，， 即， ， ， 劣弧的半径为； 【小问3详解】 如解图②，连接， ， 易知圆心移动的距离等于的长度， 在中，， ， 的长度为， 圆心移动的距离约为． 23. 如图，在中，，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．连接交于点（或射线，交于点）． （1）直接写出点到的距离； （2）若，求的长； （3）若，求的长； （4）直接写出的最小值． 【答案】（1）点到的距离为1 （2） （3）的长为或 （4）的最小值为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，结合等腰三角形性质得到，再结合直角三角形性质求解，即可解题； （2）结合平行线性质得到，过点作于点，利用解直角三角形求出，进而求出，再证明，利用相似三角形性质求解，即可解题； （3）根据，分两种情况①当点在线段上时，过点作于点，②当点在线段延长线上时，结合相似三角形性质和判定，等腰三角形性质求解，即可解题； （4）过点作于点，结合等腰三角形性质，直角三角形性质得到，由（1）可知，的最小值为，进而得到的最小值，结合图形可知点重合时，，此时最小，即可解题． 【小问1详解】 解：点到的距离为1， 如图，过点作于点， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， 如图．过点作于点， 由（1）可知到的距离为1，易得， ， ， ， ， ， ， ， 即， ； 【小问3详解】 解：有两种情况， ①当点在线段上时，过点作于点，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ； ②当点在线段延长线上时，如图， ， ， ， ， ． 过点作于点， ， ． ， ， 综上所述，的长为或； 【小问4详解】 解：的最小值为. 当点在线段上时，如图，过点作于点， 在中，， ，由（1）可知，的最小值为， 的最小值为； 当点不重合时，， 当点重合时，，此时最小，． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，解直角三角形，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并利用分类讨论的思想解决问题． 24. 如图已知抛物线交轴于点（点在左侧），顶点为，交轴于点，且线交轴于点，线段在第一象限，其中点． （1）求的值，并写出点的坐标； （2）本小题需任选一题进行解答． ①若直线平分的面积，求的值； ②连接，过点作轴于点，求的值； （3）若直线与抛物线交于两点，点为线段上方抛物线上任一点（不与两点重合），求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （4）在（3）的条件下，将抛物线沿直线方向向上平移个单位，使抛物线刚好经过线段的中点，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）①；② （3）面积最大值为，此时点 （4）或． 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数综合问题，包括面积问题，平移，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，构造相似三角形是解题关键． （1）根据待定系数法代入确定函数解析式，然后求与坐标轴的交点即可； （2）①连接，根据题意得出，设直线交轴于点，设，代入，得出，再由题意得出方程求解即可；②将解析式化为顶点式得出，确定，再由勾股定理及余弦函数求解即可； （3）利用待定系数法确定直线的解析式为，联立两个函数确定点，点，过点作轴交于点，根据三角形面积，设，得出相应函数关系式即可求解； （4）设平移后点对应的点为，连接，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点，利用相似三角形的判定和性质及平移的性质求解即可 【小问1详解】 解：抛物线交轴于点， ， 令， ， ； 【小问2详解】 ①如解图①，连接， ，， ， 如解图①，设直线交轴于点， 设，代入得， ， ， 直线平分的面积， ， ， （舍去）， ； ②如解图②， 由（1）可知，抛物线的解析式为， ， ， ， 在Rt中，， ； 【小问3详解】 直线与抛物线交于两点， 将点代入直线中， 得， 直线的解析式为， 联立 解得或 点，点， 如解图③．过点作轴交于点， ， 设， ， ， 当时，最大，最大值为， 面积的最大值为，此时； 【小问4详解】 或. 如解图④，设平移后点对应的点为，连接，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点， 由题意得 ， ， 设，则， ， 平移后的抛物线解析式为， 线段的中点坐标为， 当经过点时， 解得， ，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河北省初中学业水平考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定作答． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列选项中，可以用代数式“”表示的是（ ） A. 与的和 B. 与的差 C. 与的积 D. 与的商 2. 如图，线段垂直于直线于点，线段垂直于射线于点，直线交射线于点．则点到直线的距离为（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 3. 如图，甲、乙两个几何体都是由边长相等的小正方体组成的，下列说法不正确的是（ ） A. 甲、乙主视图相同 B. 甲、乙左视图相同 C. 甲、乙俯视图相同 D. 甲的主视图与乙的左视图相同 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 大清铜币，又称清代机制铜圆（如图），有“一文、二文、五文、十文、二十文”等，是我国特定时期的历史产物．淇淇手里有6枚十文的“大清铜币”，它们的直径分别为：，，，，，，则这6个数据的中位数和众数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知矩形的两条邻边分别为，如果为整数，则关于矩形的面积，下列说法正确的是（ ） A. S可能是24 B. 可能是15 C. 可能是12 D. 可能是6 7. 如图，一艘渔船由南向北航行，上午8时，发现灯塔在渔船北偏西方向，上午10时，却发现灯塔在渔船的南偏西方向．已知渔船的速度是28海里/小时，渔船上午8时和10时的位置分别用点表示，则的距离为（ ） A. 28海里 B. 42海里 C. 56海里 D. 70海里 8. 淇淇和同学一起制作了一个用于浇花的滴管装置，该装置可以通过调节滴水的速度，改变滴灌的时间．已知该装置的滴水速度为滴/小时，淇淇在使用时，将装置装满水后，把滴水速度调整为滴/小时，2个小时后，该装置的水用了．要将装置装满水，下列说法正确的是（ ） A. 滴水时间最长个小时 B. 滴水时间最少为个小时 C. 当滴水速度为滴/小时时，个小时用去总水量的 D. 当滴水速度为滴/小时时，个小时用去总水量的 9. 定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图是综合实践活动小组同学们为学校配电房绘制的一张“有电危险”标志牌．给该标志牌的端点标上字母、若点在一条直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在三角形纸片中，，将折叠，使得边落在射线上，折痕为，将纸片展开．再将折叠，使得边落在射线上，折痕为，点的对应点为．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 图①是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由正方形和等边组成，正方形的两条对角线交于点O，校办在的中点P处放置了一台摄像机全程摄像．九年级学生需绕场地某条线路匀速行进，设行进的时间为x，与摄像机的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则九年级学生的行进路线可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：，则表示的数为___________． 14. 淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 15. 如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则___________． 16. 如图，在正六边形中，，将一个含的直角三角板的直角放入正六边形内，保证点同时在三角板的边上，转动三角板．连接，则线段的最小值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，为数轴上原点两侧的两点，，点距原点4个单位，点为中点． （1）求点表示的数； （2）将数轴绕原点逆时针旋转，单位长度变为原来，分别过点向新的数轴作垂线，垂足分别为，求的中点表示的数． 18. 这是淇淇解答试题的具体过程： 化简： 解： ① ② ③ ④ （1）淇淇的解答过程是从第几步开始出现错误的，错误的原因是什么？ （2）请你写出正确的解答过程． 19. 星期天，淇淇所在的社会实践小组到某级旅游景区对游客登山的方式进行了抽样调查．调查发现游客上山的方式共有种：．西上全程索道；．北上全程索道；．西上步行；．北上步行；．西上索道+步行；．北上索道+步行．淇淇和小组成员共调查了名游客，并把相关的数据绘制成如下不完整的统计图（图-1和图-2）． （1）根据统计图信息，求的值，并补全条形统计图； （2）5月1日，该景区共接待游客约万人，其中，，，登山方式的索道费用（含下山）分别为：元/人，元/人，元/人，元/人（不考虑其他因素）．估计这一天该景区的索道收入（用科学记数法表示）； （3）淇淇和嘉嘉都想走西上的路线（登山方式包括，，三种），请用列表法或画树状图法求两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的概率． 20. 综合与实践 发现生活中的锐角三角函数 背景信息 2025年1月10日，哈尔滨冰雪大世界一举夺得最佳旅游项目奖、最佳景区奖等5个金奖、其中新建室外滑雪场更是吸引了万千游客，这引发了全国滑雪场项目的一波潮流，各地都在争相模仿打造滑雪小世界 生活素材 素材1 如图-1是某滑雪场儿童滑雪项目示意图，从处乘坐电梯到达处，然后沿滑雪道滑下，再从处乘坐摆渡车返回处，其中滑雪道长为200米，，电梯的坡度为 素材2 如图-2是成人滑雪项目的示意图，电梯顶端的高度同儿童滑雪项目一样，滑雪道有两段，前半段的坡角为，后半段的坡角为 解决问题 任务一 求儿童滑雪场中电梯的长度和游客乘坐摆渡车路线的长度 结果精确到，参考数据：， 任务二 求成人滑雪场中滑雪道的总长度 21. 如图．已知点，为平面直角坐标系内两点，点为轴上一点，连接． （1）求直线的函数解析式； （2）当周长最小时，求点的坐标； （3）点、为坐标内两点，在（）的条件下，若线段始终在内部（含边界），求的取值范围． 22. 如图-1是清末时期的文房用具纹铜吸墨碾，做工精细，体现了我国文化的博大精深．用途是书画创作时，通过转动吸墨碾（碾上附着吸墨纸），吸收多余墨汁．吸墨碾侧面示意图如图-2，已知，圆弧最低点到的距离为． （1）在不添加点的情况下，利用无刻度直尺和圆规作出劣弧的圆心；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求劣弧的半径； （3）当使用吸墨碾从点沿转动到点时，求圆心移动的距离．（取，结果精确到．参考数据：，） 23. 如图，在中，，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．连接交于点（或射线，交于点）． （1）直接写出点到的距离； （2）若，求的长； （3）若，求的长； （4）直接写出的最小值． 24. 如图已知抛物线交轴于点（点在左侧），顶点为，交轴于点，且线交轴于点，线段在第一象限，其中点． （1）求的值，并写出点的坐标； （2）本小题需任选一题进行解答． ①若直线平分的面积，求的值； ②连接，过点作轴于点，求的值； （3）若直线与抛物线交于两点，点为线段上方抛物线上任一点（不与两点重合），求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （4）在（3）的条件下，将抛物线沿直线方向向上平移个单位，使抛物线刚好经过线段的中点，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$