精品解析：2025年山东省青岛市青岛大学附属中学九年级数学中考模拟试题

青大附中九年级数学中考模拟试题 满分120分 考试时间120分钟 一、选择题 1. 截至2025年5月5日《哪吒2》总票房（包含港澳台和海外票房）已突破158亿元，排名全球影史票房第五，这个五一假期继续增长，有望超越《泰坦尼克号》，将数据158亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将先绕点顺时针旋转，得到，再作关于轴的对称图形，则顶点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，，分别切于点B、C，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与相交于点，若，，则的长度是( ） A. 1 B. 2 C. D. 3 8. 如图是呼和浩特市某地区5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（ ） A. 这五天中，温差最大的是5月1号 B. 这五天中，每日最低气温的众数是 C. 这五天中，每日最高气温的中位数是 D. 这五天中，每日最高气温的平均数为 9. 已知点，是反比例函数的图象上的两点，且当时，，则函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 10. 计算：____． 11. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 12. 若二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是_____． 13. 如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，若半径为1，，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为______． 15. 如图，，，点在边上（与、不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，给出以下结论：①；②：：；③；④，其中正确的有______． 三、尺规作图 16. 已知：如图，M，N分别是∠BAC两边AB，AC上的点，连接MN．求作：⊙O，使⊙O满足以线段MN为弦，且圆心O到∠BAC两边的距离相等． 四、解答题 17. （1）解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出它的解集． （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 18. 北京时间2024年12月4日，在巴拉圭亚松森举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某社区在2025年春节期间举行了“非遗迎新春”活动，活动当天安排了两类非遗项目供居民体验，传统戏剧类有两项：“茂腔”、“柳腔”；曲艺类有一项：“胶东大鼓”，活动要求每位参与者不能重复体验同一个项目． （1）从这三个项目中随机选1个，选中传统戏剧类项目的概率是______； （2）从这三个项目中随机选2个，用画树状图或列表的方法求选到不同类非遗项目的概率． 19. 每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 治理杨絮一一您选哪一项？（单选） A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植 D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他 根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次接受调查的市民共有 　人； （2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是　 　； （3）请补全条形统计图； （4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数． 20. 春节是我国的传统节日，人们素有吃水饺的习俗．某商场在年前准备购进A、B两种品牌的水饺进行销售，据了解，用3000元购买A品牌水饺的数量（袋）比用2880元购买B品牌水饺的数量（袋）多40袋，且B品牌水饺的单价（元/袋）是A品牌水饺单价（元/袋）的1.2倍． （1）求A、B两种品牌水饺的单价各是多少？ （2）若计划购进这两种品牌的水饺共220袋销售，且购买A品牌水饺的费用不多于购买B品牌水饺的费用，写出总费用w（元）与购买A品牌水饺数量m（袋）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少？ 21. 某校数学活动小组的同学要借助无人机测量某山坡上信号塔顶端到地面的距离． 活动内容 测量信号塔顶端到地面的距离 活动目的 运用锐角三角函数知识解决实际问题 测量工具 无人机、测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：如图为信号塔和建筑物的侧面示意图，点在同一平面内，点在同一水平线上，建筑物为矩形. 测量数据 ①从点处观测点的俯角 ②从点处观测点的俯角 ③从点处观测点的俯角 ④建筑物的宽度 ⑤建筑物的高度 参考数据 ，， ， 计算信号塔顶端到地面的距离 要求：①结果保留到； ②先选择合适的测量数据，再进行计算. 22. 在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． （1）如图①，当时，______；如图②，当时，______； （2）如图③，当边经过点B时，______； （3）如图④，当点F落在的延长线上时，______． 23. 如图，以的三边为边在的同侧分别作三个等边三角形：，，．连接，． （1）求证：； （2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答（若多选，则按第一个解答计分） ①当满足什么条件时，四边形是矩形？请加以证明； ②当满足什么条件时，四边形是菱形？请加以证明． 24. 某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件，经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为x（元），销售利润为（元），解答下列问题： （1）求销售利润与销售单价x的关系式； （2）为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致，经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价x（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？ 25. 如图，在四边形中，，G是上一点，且，过点D作，交延长线于点E，连接．动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动；同时动点Q从点B出发以的速度沿线段向终点C匀速运动，过点Q作，交于点H，交于点F，当点P到达点B时，点Q也停止运动．设运动时间为t（s），．解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形是平行四边形； （2）设的面积为S（），求S与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使平分四边形的面积？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青大附中九年级数学中考模拟试题 满分120分 考试时间120分钟 一、选择题 1. 截至2025年5月5日《哪吒2》总票房（包含港澳台和海外票房）已突破158亿元，排名全球影史票房第五，这个五一假期继续增长，有望超越《泰坦尼克号》，将数据158亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据158亿用科学记数法表示应为． 故选：A． 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形． 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 4. 如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，将先绕点顺时针旋转，得到，再作关于轴的对称图形，则顶点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换和轴对称，解题的关键：利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到，然后根据对称的性质画出点、关于轴对称的点、，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，和即为所作， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 6. 如图，是的直径，，分别切于点B、C，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．连接，由圆周角定理的推论得，再由切线长定理得，从而得，进而即可求解． 【详解】解：连接， ∵，分别切于点B、C， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与相交于点，若，，则的长度是( ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】在矩形ABCD中，在矩形ABCD中，∠B=90°，，得到=30°，求得BC=，根据折叠的性质得到A=AB=3，∠AC=∠BAC，推出AF=CF，设DF=m，则AF=CF=3−m，，根据勾股定理结论得到结论． 【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=90°， ∵AB=3，， ∴=30°， ∴BC=AB=， ∵△ABC沿对角线对折，得到△AC， ∴A=AB=3，∠AC=∠BAC， ∵AB//DC， ∴∠BAC=∠DCA， ∴∠AC=∠DCA， ∴AF=CF， 设DF=m，则AF=CF=3−m， ∵AD2+DF2=AF2， ∴()2+m2=(3−m)2， ∴m=1， 故选A． 【点睛】此题主要考查了翻折变换，矩形的性质和应用，以及解直角三角形的方法，要熟练掌握． 8. 如图是呼和浩特市某地区5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（ ） A. 这五天中，温差最大的是5月1号 B. 这五天中，每日最低气温的众数是 C. 这五天中，每日最高气温的中位数是 D. 这五天中，每日最高气温的平均数为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，平均数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题从截图中获取信息，根据中位数，众数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、观察可知，这五天中，5月1日的最高气温最高，最低气温最低，故温差最大的是5月1号；该选项正确，不符合题意； B、这五天中，每日最低气温出现次数最多的是，故众数为；该选项正确，不符合题意； C、将每日最高气温排序后，第3个数据为，故中位数为；该选项错误，符合题意； D、这五天中，每日最高气温的平均数为；该选项正确，不符合题意； 故选：C； 9. 已知点，是反比例函数的图象上的两点，且当时，，则函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向上，与轴交点在原点下方，都不符； 当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向下，与轴交点在原点上方，A符合． 由已知，k＞0：它们在同一直角坐标系中的图象大致是A． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象以及图象的特点． 二、填空题 10. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据运算法则先对二次根式进行化简，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 12. 若二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是_____． 【答案】m＞9 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣m）＜0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图像与x轴没有交点， ∴△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣m）＜0， 解得m＞9． 故答案为m＞9． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数． 13. 如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，若半径为1，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，首先求出，勾股定理求出，然后证明出，得到，，然后利用图中阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵点是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线 ∴ ∵半径为1， ∴ ∵是的切线，切点为， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，求阴影部分面积，解直角三角形的相关计算，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14. 如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为______． 【答案】##74度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，由折叠性质得出，，再根据平行线性质得到，然后通过平角定义可得，最后由平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，，，点在边上（与、不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，给出以下结论：①；②：：；③；④，其中正确的有______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，，证出，由证明，得出，正确；证明四边形是矩形，得出，错误；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，正确；证出∽，得出对应边成比例，得出，正确． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 正确； ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 错误； ，， ， 正确； ，， ∽， ：：， ， 正确； 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键． 三、尺规作图 16. 已知：如图，M，N分别是∠BAC两边AB，AC上的点，连接MN．求作：⊙O，使⊙O满足以线段MN为弦，且圆心O到∠BAC两边的距离相等． 【答案】 如图，⊙O即为所求． 【解析】 【分析】作线段MN的垂直平分线DE，作∠BAC的角平分线AP，AP交DE于点O，以O为圆心OM为半径作⊙O即可． 【详解】略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 四、解答题 17. （1）解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出它的解集． （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】 （1）不等式组的解集为， 在数轴上表示出不等式组的解集： （2），当时，原式，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和掌握分式的混合运算顺序与运算法则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】（1）， 由①得； 由②得； ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示出不等式组的解集略； （2） ， 由题意，得且， 当时，原式， 当时，原式． 18. 北京时间2024年12月4日，在巴拉圭亚松森举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某社区在2025年春节期间举行了“非遗迎新春”活动，活动当天安排了两类非遗项目供居民体验，传统戏剧类有两项：“茂腔”、“柳腔”；曲艺类有一项：“胶东大鼓”，活动要求每位参与者不能重复体验同一个项目． （1）从这三个项目中随机选1个，选中传统戏剧类项目的概率是______； （2）从这三个项目中随机选2个，用画树状图或列表的方法求选到不同类非遗项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表的方法求某事件的概率，理解题意，得到所有的结果总数是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能的结果总数，再找出符合题意的结果数，进而利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从这三个项目中随机选1个，共有三种可能，属于传统戏剧类项目有两种可能， 所以选中传统戏剧类项目的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 “茂腔”、“柳腔”、“胶东大鼓”分别记为A，B，C 第二个 第一个 A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中不同类的有4种 ∴P（选到不同类非遗项目） 答：选到不同类非遗项目的概率为． 19. 每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 治理杨絮一一您选哪一项？（单选） A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植 D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他 根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次接受调查的市民共有 　人； （2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是　 　； （3）请补全条形统计图； （4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数． 【答案】（1）2000； （2）28.8°； （3）补全条形图如下： （4）36万人. 【解析】 【分析】（1）将A选项人数除以总人数即可得； （2）用360°乘以E选项人数所占比例可得； （3）用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得； （4）用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得． 【详解】解：（1）本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人， （2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°， （3）D选项的人数为2000×25%=500； （4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为90×40%=36（万人）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 春节是我国的传统节日，人们素有吃水饺的习俗．某商场在年前准备购进A、B两种品牌的水饺进行销售，据了解，用3000元购买A品牌水饺的数量（袋）比用2880元购买B品牌水饺的数量（袋）多40袋，且B品牌水饺的单价（元/袋）是A品牌水饺单价（元/袋）的1.2倍． （1）求A、B两种品牌水饺的单价各是多少？ （2）若计划购进这两种品牌的水饺共220袋销售，且购买A品牌水饺的费用不多于购买B品牌水饺的费用，写出总费用w（元）与购买A品牌水饺数量m（袋）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少？ 【答案】（1）A品牌水饺单价为15元/袋，B品牌水饺单价为18元/袋；（2）；A品牌水饺购买120袋，B品牌水饺购买100袋时，总费用最低，最低是3600元 【解析】 【分析】（1）设A品牌水饺单价为x元/袋，则B品牌水饺单价为1.2x元/袋，根据数量=总价÷单价结合购买A品牌水饺数量是购买B品牌水饺数量多40袋，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进A品牌水饺m袋，则购进B品牌水饺（220﹣m）袋，购买A品牌水饺的费用不多于购买B品牌水饺的费用，从而可以求得m的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可解答本题． 【详解】解：（1）设A品牌水饺单价为元/袋，则B品牌水饺单价为元/袋， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A品牌水饺单价为15元/袋，B品牌水饺单价为18元/袋； （2）设购进A品牌水饺m袋，则购进B品牌水饺（）袋， 依题意，得：， 解得：， 由题意得：， ∵， ∴随的增大而减少， 当时，=3600， ， 答：A品牌水饺购买120袋，B品牌水饺购买100袋时，总费用最少，是3600元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 21. 某校数学活动小组的同学要借助无人机测量某山坡上信号塔顶端到地面的距离． 活动内容 测量信号塔顶端到地面的距离 活动目的 运用锐角三角函数知识解决实际问题 测量工具 无人机、测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：如图为信号塔和建筑物的侧面示意图，点在同一平面内，点在同一水平线上，建筑物为矩形. 测量数据 ①从点处观测点的俯角 ②从点处观测点的俯角 ③从点处观测点的俯角 ④建筑物的宽度 ⑤建筑物的高度 参考数据 ，， ， 计算信号塔顶端到地面的距离 要求：①结果保留到； ②先选择合适的测量数据，再进行计算. 【答案】选择数据①③⑤，信号塔顶端到地面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的俯角应用，根据选择数据①③⑤，则结合矩形性质得，，．因为，所以，运用解直角三角形的性质列式计算，则，解出，即可作答． 【详解】解：选择数据①③⑤（选择方法不唯一）， 如解图，延长交于点，则．垂足为， 四边形是矩形． ，，， ，，． ， ． 在中，，， ， ． ，， ， ， 解得， ． 答：信号塔顶端到地面的距离约为． 22. 在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． （1）如图①，当时，______；如图②，当时，______； （2）如图③，当边经过点B时，______； （3）如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，当时，可证得是等边三角形，可得，即可得；当时，由旋转的性质可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在 中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，垂直平分，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ， 当时，， 是等边三角形， ∴； 如图2，当时， 由旋转的性质可得：， 在 中，根据勾股定理可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图3，由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ， 在中，根据勾股定理可得：， ， 在中，根据勾股定理可得：， ∴的长为； 【小问3详解】 解：如图4，连接， 由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ∵点落在的延长线上， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，线段的和与差，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 23. 如图，以的三边为边在的同侧分别作三个等边三角形：，，．连接，． （1）求证：； （2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答（若多选，则按第一个解答计分） ①当满足什么条件时，四边形是矩形？请加以证明； ②当满足什么条件时，四边形是菱形？请加以证明． 【答案】（1） 证明：∵都是等边三角形． ，， ， ， 在和中 ， ． （2）①当时，四边形是矩形； 证明：∵． ， 又 ∵是等边三角形， ， ， 同理可证：， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ②当，且时，四边形是菱形 理由如下：∵，且是等边三角形， ， ∴是菱形． 当时，重合，此时不存在． 【解析】 【分析】（1）由“”可证； （2）①根据全等三角形的性质可得，可得，同理可证，即可证四边形是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故添加即可证明； ②根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故添加，且，由等边三角形的性质可得，由菱形的判定可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明是本题的关键． 24. 某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件，经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为x（元），销售利润为（元），解答下列问题： （1）求销售利润与销售单价x的关系式； （2）为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致，经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价x（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当售价为40元时，线上和线下销售的利润之和最大，最大利润是8200元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解题的关键． （1）根据利润等于数量乘以每件的利润建立与销售单价x的关系式即可； （2）先用待定系数法求出的解析式，再建立与销售单价x的函数解析式，由函数的性质和的最大值确定取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意得： ； 【小问2详解】 解：把代入得： ， 解得：， 设利润之和为w元， ∴抛物线开口向下 对称轴为 ∴当时，w随x增大而增大 时，， 答：当售价为40元时，线上和线下销售的利润之和最大，最大利润是8200元． 25. 如图，在四边形中，，G是上一点，且，过点D作，交延长线于点E，连接．动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动；同时动点Q从点B出发以的速度沿线段向终点C匀速运动，过点Q作，交于点H，交于点F，当点P到达点B时，点Q也停止运动．设运动时间为t（s），．解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形是平行四边形； （2）设的面积为S（），求S与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使平分四边形的面积？ 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）列出、、关于t的代数式，通过，得到，即可求解， （2）由，得到，求出，关于t的代数式，代入，即可求解， （3）根据，代入，即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作于点M，如图， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ，动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动，动时间为t（s）， ， ， 动点Q从点B出发以的速度沿线段BC向终点C匀速运动， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，即，解得， 故当，四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：过点P作，交的延长线于点K，延长交于点N，如图， ， ， ∴四边形为矩形， ． ， ， ，即：， ， ， ， ， 故， 【小问3详解】 解：存在某一时刻时，平分四边形的面积，理由： 平分四边形的面积， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 故存在时，平分四边形的面积． 【点睛】本题考查了梯形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行四边形性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：用含t的代数式，表示出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $