10.1.1 平方根（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

10.1.1 平方根 题型一：求一个数的平方根或算术平方根 1．（24-25七年级下·重庆南川·期中）49的算术平方根是（   ） A．7 B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（   ）． A． B． C． D．4 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： ； ； ． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）的平方根是 ；5的算术平方根是 ；的绝对值是 ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）的算术平方根是 ； （2）的算术平方根是 ． 6．（24-25七年级下·四川广安·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：利用平方根和算术平方根定义判断选项是否正确 1．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．的平方是，的平方根是 B．的平方是，是的一个平方根 C．任何数的平方都是正数，任何数的平方根都是正数 D．负数的平方是正数，负数的平方根都是正数 2．（24-25七年级下·天津东丽·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的算术平方根是6 D．25的平方根是 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．2的平方根是 B．没有平方根 C．的算术平方根是5 D．1的平方根和算术平方根都是1 4．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．16的平方根是 B．100的算术平方根是10 C．64的算术平方根的相反数是 D．的算术平方根是 5．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 6．（24-25七年级下·河南漯河·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．81的平方根是9 D．3是9的算术平方根 题型三：根据平方根的运算判断式子是否正确 1．（24-25七年级下·山西忻州·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·云南昭通·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四：已知一个数的（算术）平方根求相关数值 1．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）已知实数x的平方根是m和． (1)当时，求m的值； (2)若，求的值． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与，求和的值． 4．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是与，求的值和这个正数的值． 5．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）已知的平方根是，的平方根是． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 题型五：利用算术平方根的非负性简单求值 1．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 3．（24-25七年级下·天津河北·期中）已知非零实数，满足，则等于（   ） A．0 B．2 C．1 D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）已知实数满足，则 ． 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）若实数x，y满足，则 ． 6．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知， (1)求x，y的值 (2)求的平方根． 题型六：估算算术平方根的取值范围 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 2．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 4．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 5．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是 ． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ． 题型七：算术平方根的非负性和数轴综合化简 1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 4.（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 5．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空：_______0，_______0，_______0， (2)化简：． 题型八：利用平方根解方程 1．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)． 2．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 4．（24-25七年级下·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 6．（23-24七年级下·广东广州·期末）求下列各式的值． (1)； (2)． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 题型一：利用算术平方根的非负性求代数式的值 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，其中均为整数，则 ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知实数m满足，则 ． 3．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若， ，则 的值为 ． 4．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，则 ． 5．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）已知：，求代数式的平方根． 题型二：求算术平方根的整数部分和小数部分 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 2．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 3．（23-24八年级下·广西河池·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即，的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 4．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读材料，解答下面的问题： ∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为． (1)求的整数部分． (2)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 6．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，，，且b与c乘积小于0，请回答问题． (1)请直接写出a、b、c的值：________，________，________，________． (2)计算的值． (3)若x是c的算术平方根的小数部分，求的值． 题型三：平方根中新定义类问题 1．（23-24七年级下·山东临沂·期末）对实数定义一种新的运算，规定，例如：，若，，则 ． 2．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）对于任意的两个实数a，b，定义运算※如下：，若，则 ． 3．（24-25七年级下·安徽池州·期中）定义：若点满足，则称点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． （1）若点是“理想点”，则x的值为 ． （2）若点是“理想点”，且m为正整数，则的值为 ． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 5．（24-25七年级下·福建福州·期末）定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点． (1)若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案） (2)，为正整数，且点为方程的精优点，求，的值； (3)，，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值． 6．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为1，小数部分可用 表示；再如，的整数部分为，小数部分为． 由此我们得到：如果 其中x是整数， 且， 那么 (1)如果， 其中a是整数， 且， 那么 ， ； (2)如果 其中C是整数，且，那么 ， (3)已知 其中m是整数，且，求的平方根． 题型四：平方根中找规律类题型 1．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）观察下表，你能得到什么规律？ （2）已知，根据上述规律求，，的近似值． 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）推理能力 (1)求，，，，，的值，对于任意负数，等于多少？ (2)根据上面发现的规律，求的算术平方根． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期中）探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 5．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 6．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 1．（2025·山东淄博·二模）农历2025年是乙巳蛇年，数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知是二元一次方程组的解，则的平方根是（   ） A．36 B． C．6 D． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 8．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若，则的算术平方根为 ． 9．（24-25八年级上·贵州·期末）如果a，b分别是2025的两个平方根，那 ． 10．（24-25八年级上·山西晋城·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是 11．（24-25八年级上·江西九江·期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； 12．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）、互为相反数，、互为倒数，是平方根是本身的数．求的值． （2）已知当时，代数式值为，求代数式的值． 14．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么________，________． (2)是的小数部分，是的整数部分，那么________，________． (3)的平方根是________； (4)比较大小：________ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1.1 平方根 题型一：求一个数的平方根或算术平方根 1．（24-25七年级下·重庆南川·期中）49的算术平方根是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一个数的算术平方根，根据算术平方根是正的平方根，且，得49的算术平方根是7，即可作答． 【详解】解：∵， ∴49的算术平方根是7， 故选：A 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（   ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、平方根，先求得，再求4的平方根即可，注意（易错点）． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： ； ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查了算术平方根的知识，根据算术平方根定义化简即可． 【详解】解：；；． 故答案为：；；． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）的平方根是 ；5的算术平方根是 ；的绝对值是 ． 【答案】 / 【分析】此题考查求一个数的平方根，求算术平方根，求绝对值，根据定义依次解答即可． 【详解】解：的平方根是，5的算术平方根是；的绝对值是； 故答案为：；；． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）的算术平方根是 ； （2）的算术平方根是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求得答案． （2）根据算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：（1）的算术平方根是2； （2）的算术平方根是． 故答案为：2；． 6．（24-25七年级下·四川广安·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)15 【分析】本题考查了算术平方根以及二次根式的运算，解题的关键是理解平方根和算术平方根的定义，以及掌握二次根式的运算规则． （1）根据算术平方根的定义分别计算； （2）根据算术平方根的定义分别计算； （3）根据算术平方根的定义分别计算； （4）先计算根号内的数值，再求算术平方根． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二：利用平方根和算术平方根定义判断选项是否正确 1．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．的平方是，的平方根是 B．的平方是，是的一个平方根 C．任何数的平方都是正数，任何数的平方根都是正数 D．负数的平方是正数，负数的平方根都是正数 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、的平方是， 的平方根是，故选项错误； B、的平方是， 是的一个平方根，故选项正确； C、任何数的平方不一定正数，其中的平方就是，故选项错误； D、由于负数没有平方根，故选项错误； 故选：B． 2．（24-25七年级下·天津东丽·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的算术平方根是6 D．25的平方根是 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，平方根的性质，掌握()的平方根为，算术平方根为，“正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根”，能区分的平方根和的平方根是解题的关键．根据平方根和算术平方根定义进行求解即可． 【详解】解：A、 4的平方根是，结论错误，不符合题意； B、的平方根是，结论错误，不符合题意； C、没有算术平方根，结论错误，不符合题意； D、25的平方根是，结论正确，符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．2的平方根是 B．没有平方根 C．的算术平方根是5 D．1的平方根和算术平方根都是1 【答案】B 【分析】根据平方根与算术平方根的性质逐项判断即可得．本题考查了平方根与算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根与算术平方根的性质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根是这个数的算术平方根，0的算术平方根是0；负数没有平方根和算术平方根． 【详解】解：A. 2的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. 没有平方根，故该选项正确，符合题意； C. 的算术平方根是，故该选项不正确，不符合题意； D. 1的平方根是，算术平方根是，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．16的平方根是 B．100的算术平方根是10 C．64的算术平方根的相反数是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根、相反数，熟练掌握平方根与算术平方根的性质是解题关键．根据平方根与算术平方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以16的平方根是，则此项正确，不符合题意； B、因为，所以100的算术平方根是10，则此项正确，不符合题意； C、因为，所以64的算术平方根是8，所以64的算术平方根的相反数是，则此项正确，不符合题意； D、没有算术平方根，则此项错误，符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； 、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、负数没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、正数有个平方根，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 6．（24-25七年级下·河南漯河·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．81的平方根是9 D．3是9的算术平方根 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根的知识，熟练掌握相关定义是解题关键．根据平方根、算术平方根的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A.因为，4的平方根是，所以的平方根是，故本选项错误，不符合题意； B. 0的平方根为0，故本选项错误，不符合题意； C. 81的平方根是，故本选项错误，不符合题意； D. 3是9的算术平方根，本选项正确，符合题意． 故选：D． 题型三：根据平方根的运算判断式子是否正确 1．（24-25七年级下·山西忻州·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，求一个数的算术平方根，根据有理数的运算以及算术平方根进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平方根的含义，求解一个数的算术平方根，由非负数的一个平方根的平方可得原数可判断D，由求解一个非负数的算术平方根的方法可判断A，B，C，从而可得答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，故A不符合题意； B、，原式计算正确，故B符合题意； C、，原式计算错误，故C不符合题意； D、，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根，解决此题的关键在于掌握平方根和算术平方根的意义．根据平方根和算术平方根的定义计算即可判断． 【详解】解：A、，故A选项运算错误； B、，故B选项运算错误； C、，故C选项运算正确； D、，故D选项运算错误． 故选：C． 4．（24-25七年级下·云南昭通·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根的定义．根据平方根、算术平方根的定义逐一判断即可得． 【详解】解：A．，原式错误，故此选项不符合题意； B．，原式正确，故此选项符合题意； C．，原式错误，故此选项不符合题意； D．无意义，原式错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的计算，掌握算术平方根的计算是关键． 根据算术平方根的计算求解即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：B ． 6．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，根据平方根及算术平方根的定义依次计算各项后即可解答． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确； 故选：D． 题型四：已知一个数的（算术）平方根求相关数值 1．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据题意正确列式是解题的关键． （1）由题得，求出，继而得到，求出； （2）由得到，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：的平方根为， ， ； 的算术平方根为， ， ； （2）解：， ， 的平方根为 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）已知实数x的平方根是m和． (1)当时，求m的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)(2)9 【分析】本题主要考查了平方根，求代数式的值， 对于（1），根据平方根的定义得，再根据可得答案； 对于（2），由题意得，再根据求出m，即可求出a，然后分两种情况得出答案． 【详解】（1）解：x的平方根是m，， ∴， 即． ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得， ∴， 即， ， ∴， 当时，，， ∴； 当时，，， ∴． ∴的值为或9． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与，求和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平方根的定义和特点，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数列式求得a，进而求得m即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是与，求的值和这个正数的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平方根的定义和根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得关于a的方程，解方程求出a的值，进而根据平方根的定义求出x的值即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）已知的平方根是，的平方根是． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义即可求得答案； （2）将（1）中结果代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴ （2）解：， ， ， 的平方根为． 题型五：利用算术平方根的非负性简单求值 1．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先根据非负数的性质和相反数的定义求出，，得出，最后根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 故选：A 3．（24-25七年级下·天津河北·期中）已知非零实数，满足，则等于（   ） A．0 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得到是解题的关键．先由条件得出，然后即可将原式去掉一个绝对值，从而即可求出、的值，可得到答案． 【详解】解：由可知，， ∴， 即 ∴， ， ∴， ， ∴， 故选：B． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）已知实数满足，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知非负性的运用．根据绝对值与二次根式的非负性求出a，b的值，故可求解． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）若实数x，y满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，根据非负数的性质列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，然后根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知， (1)求x，y的值 (2)求的平方根． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二元一次方程组及平方根，灵活的根据二元一次方程组确定未知数的值是解题的关键； （1）根据绝对值及算术平方根的非负性可得关于x、y的二元一次方程组，求解即可； （2）将x、y的值代入求的平方根即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根是 题型六：估算算术平方根的取值范围 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 根据题意得到在之间，得到在之间，即可得到答案． 【详解】解：， 在之间， 在之间， 故选：C． 2．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的估算、不等式的基本性质，根据可知，根据不等式的基本性质一可得 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为，然后由可得的取值范围． 【详解】解：设正方形边长为， 由正方形的面积为8得：， 又， ， ， ， ， 即正方形的边长在2与3之间，故B正确． 故选：B． 4．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：C． 5．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向右移动两位，那么对应的算术平方根的小数点向右移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知识．由，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即，由此求解即可． 【详解】解：∵，a，b均为正整数， ∴ ∴当b取最大值时，即时，， ∴， 解得， 故答案为：4． 题型七：算术平方根的非负性和数轴综合化简 1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】由数轴可知，，于是可得，将原式化为，然后化简绝对值，去括号，合并同类项，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可知：，， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：，，从而得出，再由二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断代数式的大小，绝对值、算术平方根的意义以及整式的加减，熟练掌握绝对值、算术平方根的意义是解答本题的关键． 由数轴可得，，然后利用绝对值、算术平方根的意义以及整式的加减进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， 故答案为：． 4.（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)(2)4(3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知，则可得出，，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出，，或，．的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解： （2）解：因为，则，， 所以 （3）解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，，或，． ①当，时，， 所以无平方根． ③当，时，， 所以的平方根为． 综上，的平方根为． 5．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空：_______0，_______0，_______0， (2)化简：． 【答案】(1)<，<，>(2) 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减运算： （1）由数轴可得，由此可解； （2）根据（1）中结论去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得， 因此，，， 故答案为： ；；． （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 题型八：利用平方根解方程 1．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查利用开平方解方程，熟练掌握开平方的运算方法是解题的关键． （1）先变形为，再开平方即可； （2）先变形为，再开平方即可； （3）先开平方得，则，或，求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 开平方，得：； （2）解：， 系数化为，得：， 开平方，得：； （3）解：， 开平方，得：， 则，或， 解得：或． 2．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或(2)或(3)或 【分析】本题主要考查了平方根解方程，掌握平方根的计算是关键． （1）根据平方根的计算求方程的解即可； （2）根据平方根的计算求方程的解即可 （3）根据平方根的计算求方程的解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴或； （2）解： 系数化为1得，， ∵， ∴或； （3）解：， ∵， ∴或， 解得，或． 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)(2)或 【分析】本题考查利用平方根定义解方程，理解平方根的定义是解答的关键． （1）根据平方根的定义求解即可．； （2）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由得， ∵， ∴； （2）解：由得， ∵， ∴， 解得或． 4．（24-25七年级下·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，(2)原方程无解 【分析】本题考查了利用平方根解方程，能熟练利用平方根的定义解方程是解题的关键． （1）将方程化为，由平方根的定义，即可求解； （2）将方程化为，由平方根的性质，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， 负数没有平方根， 原方程无解． 6．（23-24七年级下·广东广州·期末）求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)(2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据，利用平方根的性质解方程即可得； （2）根据，利用平方根的性质解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， 或， 或． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)，(2)， 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 题型一：利用算术平方根的非负性求代数式的值 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，其中均为整数，则 ． 【答案】0或2或4 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，先推导与都是非负整数，继而分①当时，②当时，③当时，分钟情况讨论即可得解． 【详解】解：因为，其中均为整数，． 所以与都是非负整数， ①当时， ， 所以； ②当时， 或， 所以或； ③当时， 或， 所以或． 综上所述，的值为0或2或4． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知实数m满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，绝对值的意义，根据算术平方根的定义得到，则，进而化简得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：有意义， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得 ； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若， ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，代入求值，先根据算术平方根的非负性得到，然后计算出m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：由题可得，解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据题意得到，再由非负数的性质 ，据此化简绝对值推出，则，求出b、c的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）已知：，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，平方根，根据已知和算术平方根的非负性求出、的值，把、代入代数式进行进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则，， ∴，，则，， ∴， ∵1的平方根为， ∴代数式的平方根为． 题型二：求算术平方根的整数部分和小数部分 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 2．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 3．（23-24八年级下·广西河池·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即，的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)3； (2)的值是0或2 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小， （1）先估算出的大小，然后确定整数部分； （2）根据的整数部分可求出和的整数部分，进而表示出小数部分m、n，最后代入求x的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，即， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， 故答案为：3；． （2）∵ ∴， ∴的整数部分为11，的整数部分为4， ∴小数部分是，的小数部分， ∴ 即： ∴， 解得或． ∴满足条件的的值是0或2． 4．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【答案】（1）10；；（2）；2； 【分析】本题考查了作图，无理数等知识． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可； （2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解． 【详解】解：（1）面积为， 边长为：； 故答案为：10；； （2）正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 故答案为：；2； 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读材料，解答下面的问题： ∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为． (1)求的整数部分． (2)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)的整数部分为(2) 【分析】（1）先估算出的大小，然后确定整数部分； （2）首先确定出的小数部分，进而得出的值，再确定出的小数部分，进而得出的值，然后把和的值代入，计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为． （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为，的小数部分为， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为，的小数部分为， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，，，且b与c乘积小于0，请回答问题． (1)请直接写出a、b、c的值：________，________，________，________． (2)计算的值． (3)若x是c的算术平方根的小数部分，求的值． 【答案】(1)，，5，0(2)(3) 【分析】本题考查算术平方根，相反数，绝对值，代数式示值． （1）根据有理数的定义及运算法则，相反数及绝对值的定义即可求得答案； （2）将（1）中数值代入计算即可； （3）根据x是c的算术平方根的小数部分，，得，再代入计算即可． 【详解】（1）解：是最大的负整数，的相反数是它本身， ，， ，，且与乘积小于0，， ，， 故答案为：，，5，0； （2）解：由（1）得： ； （3）解：∵x是c的算术平方根的小数部分，，， ∴， ∴． 题型三：平方根中新定义类问题 1．（23-24七年级下·山东临沂·期末）对实数定义一种新的运算，规定，例如：，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 2．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）对于任意的两个实数a，b，定义运算※如下：，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可知，当时，则，当时，则，两种情况分别解方程即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 解得或； 当时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·安徽池州·期中）定义：若点满足，则称点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． （1）若点是“理想点”，则x的值为 ． （2）若点是“理想点”，且m为正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键． （1）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （2）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 解得； 故答案为：； （2）∵点是“理想点”， ∴，整理可得， ∴或， ∵m为正整数， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 【答案】(1)是 (2)①证明见解析最小算术平方根是4，最大算术平方根是20，②任意两个数的乘积都是完全平方数 (3)81 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． （1）根据“数”的定义，分别求解算术平方根进行判断即可； （2）根据“数”的定义分别求解算术平方根即可；根据新定义直接写出结论即可 （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，， ∵结果分别为8，10，20，都是整数， ∴4，16，25是“数”， 故答案为：是； （2），，，其结果分别为4，10，20，都是整数， 所以2，8，50三个数是“数”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20． ②任意两个数的乘积都是完全平方数； （3）解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得． 综上所述，的值为81． 5．（24-25七年级下·福建福州·期末）定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点． (1)若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案） (2)，为正整数，且点为方程的精优点，求，的值； (3)，，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值． 【答案】(1)；(2)或；(3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解三元一方程组，求二元一次方程组的整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，然后解方程即可； （）由题意得，整理得，根据，为正整数，即可求解； （）由题意得：，然后得到关于的方程，然后求解即可． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）由题意得：， ， ， ∵，为正整数， 或； （3）由题意得： ， 得：， 得：， ， ， ， 把代入得：， 解得， ∴的值为． 6．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为1，小数部分可用 表示；再如，的整数部分为，小数部分为． 由此我们得到：如果 其中x是整数， 且， 那么 (1)如果， 其中a是整数， 且， 那么 ， ； (2)如果 其中C是整数，且，那么 ， (3)已知 其中m是整数，且，求的平方根． 【答案】(1)2，(2)，(3) 【分析】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是确定无理数的整数部分． （1）估算出，即可确定，的值； （2）估算出，可得，即可确定，的值； （3）根据题意确定出、的值，代入求值并求出其平方根即可． 【详解】（1），其中是整数，且，， ，， 故答案为：2，； （2），其中是整数，且， 又， ，， 故答案为：，； （3），其中是整数，且， ，， ， 的平方根是． 题型四：平方根中找规律类题型 1．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）观察下表，你能得到什么规律？ （2）已知，根据上述规律求，，的近似值． 【答案】（1）被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位． （2），，． 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）根据表格数据总结规律即可； （2）根据规律即可求得答案． 【详解】（1）由时，； 时，； 时，； 时，； 可知被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位； （2）利用被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位， 可知， ， ． 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 【答案】(1)，，2，7(2)(3)， 【分析】本题考查了与算术平方根有关的知识点，熟练掌握算术平方根的定义以及求法是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义直接求解； （2）根据算术平方根的定义比较； （2）根据算术平方根的定义比较． 【详解】（1）解：，，，， 故答案为：，，2，7； （2）解：∵被开方数， ∴， 而 ∴， 故答案为：； （3）解：当时，， ∴， 即； 当时，， ∴， 即， 故答案为：，． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）推理能力 (1)求，，，，，的值，对于任意负数，等于多少？ (2)根据上面发现的规律，求的算术平方根． 【答案】(1)，，，，，，对于任意负数，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根的定义即可求解； （）根据（）中即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，熟记概念，性质并准确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，， 对于任意负数，； （2）解：由（）可知，的算术平方根为． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期中）探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)6； (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．． （1）先计算平方，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；； （2）解：不一定等于a， 规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 （3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知，，， ，， ． 5．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 【答案】(1)8，6 (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键． （1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可； （2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为8； 图3中被框起来的3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为6， 故答案为：8，6； （2）解：根据（1）中计算，可猜想， 理由如下： ． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【答案】(1)，，(2)(3)， 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）利用算术平方根定义计算，填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， ， ． （2）当（为整数）时，； （3）若，则①； ②． 6．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 【答案】(1)倍(2)；(3)； 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． （1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵（精确到）， ∴；； （3）解：∵ ∴；； 1．（2025·山东淄博·二模）农历2025年是乙巳蛇年，数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，倒数的定义，解题关键是熟练掌握倒数的定义． 【详解】解：． ∴的倒数是． 故选：D． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为3； 故选D． 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，分情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时，②当时，分别计算即可． 【详解】解：∵，这两个数乘积的算术平方根为10， ∴①若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， 此时，，， ∴，，是“完美组合数”； ②若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， ∵“完美组合数”是三个互不相等的负整数， ∴不合题意； 综上所述，， 故选：B． 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知是二元一次方程组的解，则的平方根是（   ） A．36 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组及平方根的定义，将代入，得到关于m，n的二元一次方程组，得：，再求平方根即可． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 得：， ∴的平方根为． 故选：D． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的知识，掌握平方根的表示方法是解题的关键． 正数的平方根用表示，一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，即可得到“的平方根是”用数学式子的表示形式． 【详解】解：， ， 故选：C． 6．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断代数式的大小，绝对值、算术平方根的意义以及整式的加减，熟练掌握绝对值、算术平方根的意义是解答本题的关键． 由数轴可得，，然后利用绝对值、算术平方根的意义以及整式的加减进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，算术平方根的定义，根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 9．（24-25八年级上·贵州·期末）如果a，b分别是2025的两个平方根，那 ． 【答案】2025 【分析】此题主要考查了平方根的性质和意义，解本题的关键是熟练掌握平方根的性质． 根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得到，再根据，代入即可得出结论． 【详解】解：∵分别是2025的两个平方根， ， ， ， 故答案为：2025． 10．（24-25八年级上·山西晋城·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ，介于整数和之间， ， 故答案为：3． 11．（24-25八年级上·江西九江·期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； 【答案】(1)2(2)49 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程即可得； （2）根据（1）的结果可求出这个正数的算术平方根，由此即可得． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得． （2）解：由（1）已得：， ∴， 即正数的算术平方根是7， ∴这个正数， 即的值为49． 12．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键．根据正方形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形面积为16，正方形面积为7， ，，， 阴影部分的面积正方形面积正方形面积△的面积△的面积． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）、互为相反数，、互为倒数，是平方根是本身的数．求的值． （2）已知当时，代数式值为，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，代数式求值，熟练掌握实数的运算法则以及代数式求值的方法是解题的关键． （1）根据相反数的性质、倒数的定义、平方根的定义分别求出，，，再代入计算即可； （2）根据题意先求出，再将要求的式子变形为，即可求出结果． 【详解】解：（1）、互为相反数， ， 、互为倒数， ， 是平方根是本身的数， ， ； （2）当时，代数式值为18， ， ， ． 14．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么________，________． (2)是的小数部分，是的整数部分，那么________，________． (3)的平方根是________； (4)比较大小：________ 【答案】(1)4，5(2)，3．(3)(4) 【分析】本题主要考查了平方和平方根估算无理数大小应用，正确的估计无理数的取值范围是解题的关键． （1）估算出的取值范围即可解答； （2）根据 (1)的结论，得到，即可解答； （3）将（2）的结论代入计算即可解答； （4）根据（2）可得，进而确定的范围即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4，5． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为，即， ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即． 故答案为：，3． （3）解：当，时，代入， ， ∴的平方根为：． （4）解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$