1.1认识三角形（第1课时）（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

1.1. 认识三角形（第1课时） 题型一：三角形的识别与相关概念 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点D在△ABC中，写出图中所有三角形： ； （2）如图，线段BC是 和 的边； （3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ； （4）如图，是 的外角． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角与外角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据三角形的定义，三角形的边与内角和外角，进行作答即可 【详解】解：（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形：； 故答案为：； （2）如图，线段BC是和的边； 故答案为：；； （3）如图，的3个内角是，三条边是； 故答案为：；； （4）如图，是的外角． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ． 【答案】 4 B，G，E 【分析】该题主要考查了三角形的概念和三角形的角和边，解题的关键是掌握三角形中的相关定义． （1）根据三角形的定义解答即可； （2）根据三角形的顶点、边、角解答即可． 【详解】解：（1）根据图形可得，如图所示的图形中共有4个三角形，它们分别是； （2）根据图形可得，的三个顶点分别是B，G，E，三条边分别是，三个角分别是． 故答案为：；B，G，E；；． 题型二：三角形的个数问题 1．（2025·陕西延安·三模）如图，在△ABC中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴△ABC是直角三角形，， ∵于点， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∴、是直角三角形， 综上，直角三角形有△ABC、、、、，一共5个， 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个． 【答案】4 【分析】本题考查三角形，解答本题的关键要明确：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，， ∴以点A为顶点的三角形有4个， 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键．根据题意找出三角形的个数，即可求解． 【详解】解：图中有共10个三角形， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图在△ABC的边上取三个点，，，连接，，，则边上有 条线段，以 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．      【答案】 【分析】本题主要考查线段数量、角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段都与点A组成角，即以 为顶点的角有10个；以 为顶点的角即组成对应的三角形． 【详解】解：根据题意得，线段有共10条线段； 以 为顶点的角 三角形有 上述线段都与点A组成交，即以 为顶点的角有10个； 以 为顶点的角即组成对应的三角形． 故答案为：10，10，10． 5．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（   ）个三角形． 【答案】44 【分析】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可． 【详解】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个； 由二个小三角形组成的三角形数量为16个； 由四个小三角形组成的三角形数量为8个； 由八个小三角形组成的三角形数量为4个； 则共有个， 故答案为：44． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 题型三：对三角形进行分类 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为180度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为， ∴这个三角形最大的内角度数为， ∴这个三角形是锐角三角形， 故选：A． 2.（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求得、、的度数，由此可以推知△ABC是直角三角形．本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和等于是解答本题的关键． 【详解】解：∵在△ABC中，，， 则，， 解得， ∴△ABC是直角三角形． ∵， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故选：A． 3.（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形露出的部分为钝角，即可求解． 【详解】解：依题意，三角形露出的部分为钝角， ∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形 故选：A． 4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（   ） A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形 C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系和角的大小分类是解题的关键．根据三角形的分类进行分析即可． 【详解】将三角形按边的相等关系， 可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形， 将三角形按角的大小可以分为， 锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形， 故选：C． 5．（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知△ABC，则下列条件能判定△ABC是锐角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．根据各角度数之间的关系，结合三角形内角和定理，求出△ABC的最大内角的度数，再将其与比较后，即可得出结论． 【详解】解：A．， ， 又， ， △ABC是直角三角形，选项A不符合题意； B．， ，， 又， ， ， ， △ABC是锐角三角形，选项B符合题意； C．， ，， 又， ， ， ， △ABC是钝角三角形，选项C不符合题意； D．，， ， ， △ABC是钝角三角形，选项D不符合题意． 故选：B． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解答本题的关键． 根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部进行求解即可． 【详解】解：若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 题型四：判断是否能构成三角形 1．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，3，5 C．15，7，7 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系 ；根据三角形的两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边判断即可． 【详解】解：A．，故1，2，3不能构成三角形，不符合题意； B．，故1，3，5不能构成三角形，不符合题意； C．，故15，7，7不能构成三角形，不符合题意； D．，故6，8，10能构成三角形，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐一判断即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，知： A、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故选项此不符合题意； C、，能组成三角形，故此选项符合题意； D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·山东滨州·期中）下列长度的四根木棒中，能与长、的两根木棒首尾相接，钉成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三边关系可得第三边，再进一步的判断即可. 【详解】解：∵三角形的两边分别为长5cm、11cm， ∴第三边， ∴第三边为符合题意； 故选：C 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵米，米， ∴， 即， ∴， ∴、间的距离可能是米， 故选：． 6．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）已知a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)试问：以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能构成三角形，周长为： 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形三边关系，无理数的估算，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． （1）根据非负数的性质可求出a、b、c的值； （2）先估算出，根据三角形三边关系，再把三角形三边相加即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 解得：，，． （2）解：， ， 、、能构成三角形， 此时三角形的周长为． 题型五：确定第三边的取值范围 1．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知三条线段的长分别是3，6，，若它们能构成三角形，则奇数的最大值是(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系得出，再从中找出最大的奇数即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可知：， 即， 为奇数， 奇数的最大值是， 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是 ． 【答案】7或9/9或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系和三角形的周长，根据三角形的三边关系得到，由第三边长是偶数得到或4，即可求出这个三角形的周长． 【详解】解：设第三边长为， 则，即． 又为偶数，因此或4， 故这个三角形的周长是：或． 故答案为：7或9． 3．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知△ABC的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求△ABC的周长． 【答案】(1)、、、、 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系； （1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解； （2）将的值表示出来，分情况计算周长即可求解； 【详解】（1）△ABC的三边长为，，， ，， ， 即，且，，均为整数， 故的取值范围为：、、、、； 故答案为：、、、、 （2）解：为偶数，， 故可取，； 当时，△ABC的周长为； 当时，△ABC的周长为 4．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，这个三角形的最长边为． (1)求的取值范围： (2)若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长． 【答案】(1) (2)22或24 【分析】本题考查了非负数的性质，以及三角形三边的关系，利用非负数的性质，求得a、b的值是解题关键． （1）由非负数的性质，可得、的值，根据三角形两边之和大于第三边，三角形的最长边为，可得答案； （2）由此三角形的周长为偶数，可知为奇数，则或11，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵三角形的最长边为， ∴，即：； （2）由（1）可知，，，， 则此三角形的周长为， ∵此三角形的周长为偶数， ∴为奇数，则或11， ∴或24， ∴此三角形的周长为22或24． 5．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在△ABC中，点为边上一点，交于点． (1)若的长为奇数，求的长度； (2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，平行线的性质，三角形外角的性质，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据构成三角形的条件求出，再由的长为奇数，可得； （2）先由三角形外角的性质得到，再由两直线平行，同位角相等可得． 【详解】（1）解：∵在中， ， ∴，即， ∵的长为奇数， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型六：利用三角形的三边关系化简 1．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断△ABC的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用； （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵三边长， ∴ ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且 ∴且，即 ∴△ABC等边三角形． 2．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为1，4，a． 所以． 解得． ∴，，， ∴ ． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断△ABC的形状． 【答案】(1) (2)△ABC是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴△ABC是等腰三角形． 4．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求△ABC的周长． (2)化简：． 【答案】(1)12(2) 【分析】（1）根据三角形存在的条件，解答即可． （2）根据三角形三边关系，化简解答即可． 本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵第三边长c为奇数，， ∴． 的周长为． （2）解：∵，，是三角形的三边长， 故， ∴，， ∴ ． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）△ABC的三边长分别为a，b，c． (1)化简； (2)若为整数，c为整数，且满足，求△ABC的周长． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查三角形三边关系应用，化简绝对值，整式的加减运算，方程组的解法，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形三边关系可判断出，，，再化简绝对值即可； （2）根据为整数，为整数，a，b，c为的三边长，得出， 即，根据，或或，得出或或，然后分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵为整数，为整数，a，b，c为的三边长， ∴， ∴， ∵，或或， ∴或或， 当时，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 当时，不符合题意，舍去， ∴， 即， ∴的周长为． 题型七：与平行线有关的内角和问题 1．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ， 故选： B． 3．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在△ABC中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 4．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线,三角形的内角和定理等知识点，由垂直的定义得，可得，由平行线的性质推出，熟练掌握平行线的性质，垂线,三角形的内角和的综合应用是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 6．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 题型八：与角平分线有关的内角和问题 1．（2025·河南信阳·三模）如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的计算，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵在△ABC中，，， ， ∵平分， ， ， 故选：C． 2．（2025·四川南充·三模）如图，△ABC中，平分，．，．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与角平分线的三角形内角和性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平分，得，根据，则，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在△ABC中，， ∴， 即， 解得， 故选：D 3．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，在中，，，是△ABC的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是△ABC的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 5．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于若，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，求出，继而求出，得到，求出． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，与的平分线相交于点O，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是与角平分线相关的内角和定理的应用，先求解，再结合角平分线可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点O， ∴， ∴， 故答案为： 7．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）在△ABC中，于是的平分线，，，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟知高，角平分线，内角和是解题关键．由，利用内角和定理先求，利用角平分线求，利用直角三角形两锐角互余求，再利用角的差求得答案． 【详解】解：，， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在△ABC中，与的平分线交于点P，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由题意得到，再结合角平分线的定义，得出，最后利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：，， ， 与的平分线交于点P， ，， ， 故答案为：． 题型九：与三角板有关的内角和问题 1．（2025·安徽滁州·三模）将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角板中角度的求解，根据题意得：，，，根据平行线的性质和邻补角可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意得：，，， ， ， 故选：B． 2．（2025·安徽安庆·二模）一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解；如图所示，设交于H， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·山西大同·期中）将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，点在边上，，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， 故选：A． 4．（2025·安徽铜陵·三模）一等腰三角板和一直尺如图放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角度，涉及三角形内角和定理、等腰直角三角形性质、平行线性质及邻补角定义等知识，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 结合等腰直角三角形性质，先由三角形内角和定理求出，再由平行线性质及邻补角定义，数形结合即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由三角形内角和定理可知， 由平行线性质可知， ， 故选：A． 5．（2025·江苏盐城·二模）如图，小亮同学将直尺放置在等腰直角三角板上，并量出了，则为 度． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，三角形的内角和定理的应用，如图，标注角与顶点，平行线，证明，，结合，从而可得结论． 【详解】解：如图，标注角与顶点，平行线， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，将一副三角板的一边叠合，图中的大小为 ． 【答案】75 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，由，，再结合三角形的内角和定理解答即可. 【详解】解：如图， 由题意可得：，， ∴， 故答案为： 7．（2025·安徽合肥·一模）如图，两个三角板如图放置，其中，，，若，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，设与交于点F，由平行线的性质求出，然后利用三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，设与交于点F ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 题型十：三角形内角和中相关求解 1．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）已知△ABC中，，如果按角分类，那么△ABC是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键． 先设，则，根据三角形内角和定理得到求得，进而求得的度数，进而判断三角形的形状． 【详解】解：， 设，则， 解得 是直角三角形． 故答案为：直角． 2．（24-25七年级下·上海·期中）在△ABC中，，，则△ABC是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】钝角 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及三角形的分类，熟记钝角三角形的概念是解题的关键． 利用三角形的内角和定理求得的度数即可判断． 【详解】∵在△ABC中，，， ∴， ∴△ABC是钝角三角形． 故答案为：钝角． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）△ABC中，如果是的两倍，且比大，那么△ABC是 三角形．（按角分类） 【答案】直角 【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设，得到，，根据三角形内角和定理，列式计算求得各内角的度数，根据角度来判定三角形的类别． 【详解】 解：设， ∵是的两倍， ∴， ∵比大， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角． 4．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）在△ABC中，若，则△ABC的最大角与最小角的度数差为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、解一元一次方程等知识，先由题意，设，则，，由三角形内角和定理列方程求解即可得到答案．熟记三角形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：在△ABC中，若， 设，则，， 由三角形内角和定理可知，则， 解得， △ABC的最大角是，最小角是， △ABC的最大角与最小角的度数差为， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）在△ABC中，若，则△ABC一定是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和定理和已知条件求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴△ABC一定是直角三角形， 故答案为：直角． 6．（24-25七年级下·福建三明·期中）在△ABC中，，，点是上一个动点，当取最小值时， ． 【答案】 【分析】此题考查了垂线段最短，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据垂线段最短得到当时，取最小值，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】如图所示，    ∵点是上一个动点 ∴当时，取最小值 ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数． 【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为，   根据直角三角形两锐角之和为，得：   ， 解得：， 所以较小锐角的度数为． 故答案为：． 题型十一：三角形折叠中角度问题 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将△ABC三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，△ABC中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处2，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：在△ABC中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了三角形与折叠问题、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，，进而可得， 再利用三角形内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质及三角形内角和为是解题的关键． 【详解】解：是由沿折叠得到， ，， ，， ， ，即：， ， 故选C． 4．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将△ABC沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025·山东青岛·二模）如图，在中，∠B=90°，，，分别在，上，将沿折叠得到△FDE，且，则的度数为 ． 【答案】/74度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，由折叠性质得出，，再根据平行线性质得到，然后通过平角定义可得，最后由平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵∠B=90°，， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图1，点分别在长方形纸片的边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图2，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 过点 作 ，则，，由折叠得，，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，过点 作， ∴，由折叠得 ， 由折叠可得， ， ∴ ， 故答案为：． 7．（2025·广东东莞·三模）如图，在△ABC中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质．由三角形的内角和定理可求解，折叠可知： ，进而得出，再根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：在△ABC中，，， ∴， 由折叠可知：， 当时，则 ∴ 故答案为：． 题型十二：三角形内角和定理的实际应用 1．（2025·江苏淮安·二模）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先由平角的定义得到的度数，再由平行线的性质得到的度数，据此根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，的一边为平面镜，在上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，反射光线恰好与平行，且与相等，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得，结合得，由三角形内角和定理求出，再由邻补角互补求出． 本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 故选：A． 3．（24-25九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，平面镜与水平面的夹角，一束光线照射到平面镜后反射，人射光线与平面镜的夹角，则反射光线与水平面的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理．根据题意求得，再根据三角形内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：C． 4．（2025·重庆·二模）立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出，再根据三角形内角和定理求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如今，智能健身市场的新产品不断涌现．动感单车、划船机等智能化健身设备让人们既可以简单方便的随时练；也可以跟着智能教练精准练、科学练，让人人都能很方便地构建属于自己的一站式健康管理平台．如图是动感单车抽象出的平面图形，若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．先利用平行线的性质得到，再根据三角形的内角和定理求得，然后再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（2025七年级下·河南·专题练习）跨学科试题·物理  如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 利用平行线的性质及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．（2025·河南安阳·模拟预测）某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意可知：，，，由平行线的性质得出，进而可求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 题型十三：直角三角形两锐角互余 1．（2025·湖北荆州·三模）在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质（两锐角互余）以及角平分线的定义，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 平分， ． 故选：B． 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线，，若，则 【答案】55 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，属于中考常考题．掌握平行线性质是解题关键． 根据垂直的定义和余角的定义计算得到，再根据两直线平行，内错角相等可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：55 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在△ABC中，，，平分，是边上高，则的度数是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了三角形的高线，角的平分线，三角形内角和定理，直角三角形的性质，正确理解概念是解题的关键．根据，，结合三角形内角和定理得结合角的平分线解答即可．根据高线的定义，得到，，结合解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． 4．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的大小为 ． 【答案】58 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由得到，根据角平分线的定义得到，设，表示出和，再利用三角形内角和定理列出方程，解出的值，即可求出的大小． 【详解】解：， ， ， 是的角平分线， ， 设，则，， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：58． 5．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，△ABC中，，于，，，则 °． 【答案】16 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质．先根据得出，再由可得出，由可得出的的度数，进而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 6．（23-24七年级下·云南文山·期末）在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为 度． 【答案】/15度 【分析】设较小的锐角是x度，则另一角是度．再根据直角三角形的两个角互余列方程求解即可． 【详解】解：设较小的锐角是x度，则另一角是度． 则，解得：． 故答案为：． 题型一：因式分解与三角形三边关系的应用 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）（1）阅读材料：若，求，的值． 解：∵， ∴， ∴． 则______，______． （2）根据你的观察，探究下面的问题：已知△ABC的三边长，，都是正整数，且满足，求△ABC的周长． 【答案】（），；（）△ABC的周长为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键． （）根据非负数的性质即可得出和的值； （）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值，通过三角形三边关系得出的取值范围，根据为整数即可得出的值，从而求得三角形的周长． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵是正整数， ∴， ∴△ABC的周长为． 2．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读材料：若，求、的值． 解：∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、分别为的三边长，且满足，若是△ABC的最大边长，且为奇数，求△ABC的周长． 【答案】(1)9(2)14或16 【分析】此题主要考查了因式分解方法的应用和三角形的三条边之间的关系，解答此题的关键是掌握材料中因式分解的方法，明确三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． （1）根据材料，将因式分解得：，可求出的值，继而可求出结果； （2）将因式分解得：，可求出的值，然后根据三角形的三边关系和是△ABC的最大边长，且为奇数，求得的值，即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 即的值是 9 ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， 又 ∵为奇数， 或， ∴三角形的周长为或． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读材料：若，求与的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求与的值． (2)已知△ABC的三边长，，都是正整数，且满足，求△ABC的周长． 【答案】(1)，；(2)△ABC的周长为． 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值；； （）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值，从而得出的取值范围，根据为整数即可得出的值，从而求得三角形的周长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴△ABC的周长为． 4．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题： 例题：若，求m和n的值 解：∵，     ∴，     ∴，     ∴，，     ∴，． 问题： (1)若，求的值． (2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）仿照题意得到，由此求出x、y的值即可得到答案； （2）仿照题意得到，由此求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边， ∴，即， ∴． 当时，也为最长边， 综上，． 5．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)分解因式； (2)若，，分别为△ABC三边的长． ①若满足若，请判断△ABC的形状，并说明理由． ②若满足，求的范围． 【答案】(1) (2)①△ABC为等腰三角形，理由见详解；② 【分析】本题主要了利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，理解并掌握分组分解法分解因式是解题关键． （1）将原式分组整理为，再运用完全平方公式可得，然后进一步分解因式即可； （2）①按照分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，结合三角形三边关系可知，进而可得，即可证明结论；②按照移项、分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，根据非负数的性质解得的值，然后结合三角形三边关系，即可获得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：①△ABC为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，，分别为△ABC三边的长， ∴， ∴， ∴， ∴， 即△ABC为等腰三角形； ②∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∵，，分别为三边的长， ∴，即， ∴， 即c的范围为． 6．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形： ， ， ， 即的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是________； （1）；（2）；（3）． (2)试证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值； (3)已知是△ABC的三边长（三边不相等），，且c是△ABC中最长边的长，则c的取值范围为____________． 【答案】(1)（1） (2)证明见解析，最小值为6； (3) 【分析】本题考查了新定义“和美多项式”，配方法，三角形的三边关系，理解“和美多项式”， 能利用配方法将多项式变形进行求解是解题的关键． （1）根据和美多项式的定义逐一化简判断即可求解； （2）将多项式化为，再根据和美多项式的定义进行判断即可求解； （3）将原式化为，求得，，再三角形三边的关系，即可求解； 【详解】（1）解：， ， （1）是和美多项式； ， ， （2）不是和美多项式； ， （3）不是和美多项式； 故答案为：（1）； （2）解： ， ，， 原式， 即原式为“和美多项式”， 当，时有最小值为6； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵c是中最长边的长， ∴，即． 故答案为：． 题型二：三边关系中相关证明 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，两点之间直线最短．连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小，在四边形内任找一点（如点，且与点不重合），比较它与点到四个顶点的距离之和即可得到结论． 【详解】解：连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小． 理由如下： ∵，且， ∴， ∴，即四边形对角线的交点到四边形四个顶点的距离之和最小，即我们所找的点． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知D、E是△ABC内的两点，问成立吗？请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】考查三角形的边的不等关系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明． 【详解】解：，理由如下： 延长交于点F、延长交于G， 在中：①， 在中：②， 在中：③， ∵， ∴①②③得： ， 即：， ， ∴． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，在△ABC中，是上一点，则成立吗？说明理由． 【答案】成立，理由见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，同时考查了不等式的性质．先根据三角形三边关系定理可得，，再将两式相加得，即． 【详解】 解：成立，理由如下： 在中，， 在中，， 两式相加得：， 即． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在△ABC中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 5．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，已知△ABC中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，连接，根据大边对大角可得到，，进而可推出，从而可得到，同理可得，从而求证，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，P为△ABC中任意一点．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理的应用，掌握三角形的两边之和大于第三边成为解题的关键． 如图：延长交于D，在中，，在中，，求出，同理，最后相加化简即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长交于D， ∵在中，，在中，， ∴， ∴， 同理：， ∴，即 题型三：三角形内角和综合应用（解答题） 1．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在△ABC中，过点作交其延长线于点，作的平分线交于点，过点作交于点、交于点． (1)求证：． (2)连接，若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平分，则有，通过垂直定义和三角形内角和定理可得，所以，再由平行线的性质可得，然后代入即可求证； （）由（）得：，求出，从而得到，通过角平分线定义可得，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（）得：， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图在△ABC中，，，平分，于点E，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 又∵平分， ∴． ∴， 又∵ ∴· ∴． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，于点，点是上一点，于点；点是上一点，连接，且． (1)求证：； (2)若，是的角平分线，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据题意得到，等量代换得到，根据内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由（1）知，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：于点于点， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的角平分线， ， ， 由（1）知， ． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，，，是的平分线，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由角平分线定义可得，又，则有然后通过平行线的判定即可求证； （）先根据三角形内角和定理得，由平行线的性质得出， 则有，所以． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在△ABC中，平分，交于点，为边上的高． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数； (3)若，直接写出、、的关系． 【答案】(1)(2)； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义． （1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数； （2）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得到结论； （3）猜想，重复（1）（2）的过程找出和的度数，二者做差即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，， ； 又是的平分线， ； （2）解：是边上的高， ， 在中，，， ， 由（1）知，， ，即； （3）解：，理由如下： 且是的平分线， ， ， ． 6．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在△ABC中，，于，平分 (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1)(2)4.8 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算. （1）根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分 ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四：三角形内角和中用参数表示角度 1．（2025·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，是高，是角平分线，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，先根据三角形内角和定理，求出的度数，然后根据角平分线的定义，求出的度数，再次利用三角形内角和定理，求出的度数，最后根据求出答案即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，直线，线段和线段垂直于点Q，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据线段和线段垂直于点Q得出，再由可得出的度数，由即可得出结论． 【详解】解：∵线段和线段垂直于点Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，，，平分，平分交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键． 连接，根据平行线的性质及角平分线的定义得出，，再根据三角形的内角和得出，再次利用三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：连接， ，， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即， ， 故选D． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点为和的角平分线的交点，连接，作△AOB的一条角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得，，从而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是和平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴, 故选：A． 5．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，已知，P为直线，外一点，平分，平分，的反向延长线交于点E，若，用表示的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质得出，，平行线的性质得出，，进而根据三角形内角和得出、，再得到和的关系，然后即可用表示． 【详解】解：延长交于点G，延长交于点H，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴． 故选：D． 6．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，根据三角形的角平分线的性质求出与的关系，并能找出与的关系规律成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得到再根据三角形的内角和定理可得：的度数，再根据与的角平分线交于点，可得，进而求出，，以此类推可得到： ，然后整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴ ∴ ∴， 同理：， 依此类推， ． 故选C． 7．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，平分交于点D，交边上的高于点F，若，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据较平县的定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，由对顶角的定义即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型五：三角形内角和中需分情况讨论题型 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，，D是线段上的一个动点，连接，把三角形沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于三角形的边时，的大小为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和三角形内角和定理．根据题意分两种情况讨论，当时，根据平行线的性质求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数，从而求出的度数，再根据折叠的性质求出的度数，最后在中根据三角形内角和定理即可求解；当时，根据平行线的性质求出的度数由折叠的性质可得，从而即可求解． 【详解】解：当时，如图， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 综上所述，的度数是或， 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）在三角形中，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理求出再分类讨论的直角，最后根据三角形的内角和定理得结论，掌握“三角形的内角和是”，“直角三角形的两个锐角互余”是解决本题的关键. 【详解】解：在中， ∵, , ∴， ∵为直角三角形， （1）当时,如图： ， （2）当时,如图： , ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）△ABC中，，高和高所在直线交于O，则的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高线，分①△ABC是锐角三角形时，根据四边形的内角和等于360度求出，再根据对顶角相等解答即可；②△ABC是钝角三角形时，根据三角形内角和定理可得． 【详解】解：分两种情况： △ABC是锐角三角形时，如图： 和是高， ， ． ； △ABC是钝角三角形时，如图： 在和中，，， ． 故选A． 4．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查三角形内角和定理．掌握三角形的内角和为，是解决问题的关键． 根据三角形内角和等于，如果一个“倍角三角形”有一个角为，可得另两个角的和为，根据由三角形中一个内角是另一个内角的2倍分类讨论，可以分别求得三角形的内角，由此比较得出答案即可． 【详解】解：当的角是另一个内角的2倍时， 三个角分别为：，，；　 当一个内角是的角的2倍时，三个角分别为：，，； 当另外两个角是两倍关系时， 设这两个角分别是，， 则， 解得， ∴， ∴三个角分别为：，， ； 因此，这个三角形中最大的内角度数为或或． 故答案为：或或． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在△ABC中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理，分和两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 当时，如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 6．（24-25七年级下·上海崇明·期中）当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形内角和，理解“友好三角形”的意义是解题的关键；分三种情况：当为的时；当为时；当角外的另两个内角有倍数关系时，分别计算即可． 【详解】解：当为的时，即； 当一个角为的时，即； 当角外的另两个内角满足一个角是另外一个内角的时，， ； 综上，“友好角”的度数为或或． 故答案为：或或 题型六：三角形内角和综合之多结论问题 1．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，，在上，过作，平分∠FEC，平分．若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ）个 A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】此题考查了三角形角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和，熟记三角形角平分线的定义、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理是解题的关键． 根据角平分线的性质、三角形外角性质及三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵平分 ， 设， ， ， ， ，， ∴， ，, ，即， ， ，故①正确； ∵平分， ∴，故②正确； ∵， ∴，即故③正确； ，， ∴，即， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论是①②③④． 故选A． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知一块三角板，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，以下结论中 ①当且时，； ②当时，； ③当时，．正确的有（   ） A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形内角和定理是解题的关键． 根据，可得，再由以及平分，可得，然后根据，可得，从而得到，可判断①；根据，可得，从而得到，再由以及平分，可得，然后根据三角形内角和定理可得，可判断②；根据，可得，再由以及平分，可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到，无法得到与平行，可判断③． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴无法得到与平行， ∵，即， ∴无法得到，故③错误． 故选：B 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度，从而可得答案． 【详解】解： 是△ABC的中线， ， 的面积等于的面积， 故正确； ，是△ABC的高， ∴ ，， 是△ABC的角平分线， ∴ ， ， 又 ， ， 故正确；   ， ， ， 故正确； ∵， ， 故错误； 故选：C 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义．先根据平行线的性质可得，进而由角平分线的定义得到，再由垂线的定义得到，则由三角形内角和定理得到，由此即可判断①②；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和④． 【详解】解：延长，交于I．   ， ， ， ， 平分，， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴①正确；②错误， ∵平分， ， ， ， ，故③正确 根据现有条件无法证明平分，故④错误， 故选：B． 5．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，．则下列结论：①；：平分；．其中结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，垂直定义等，根据平行线的判定即可判断结论①；利用直角三角形的性质和判定可判断结论④；再由直角三角形性质可得：，，可判断结论②；再根据，，可判断结论③． 【详解】解：∵， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故结论④正确； ∵，， ∴，， 故结论②错误； ∵，， ∴与不一定相等， 故结论③错误． 故选：B． 6．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，△ABC的角平分线，相交于F，，，且于G，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键． 根据平行线，角平分线，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ， 又 ∵是的角平分线， ∴，故①正确； 无法证明平分，故②错误； ， ， 平分， ， ， ， ∴，即， ∴，故③正确； ， ， ， ，故④正确． 故①③④正确，共3个， 故选：C． 7．（24-25七年级上·四川资阳·期末）已知：三角形的三个角的和为．如图，三点在同一条直线上，四点在同一条直线上，， 平分，平分,,．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据平行线的性质得到，求出，得到，得到，，根据三角形内角和定理求出，；求出，，，得出，即可得到答案. 【详解】解：，， ， 平分， ， ∵， 平分， ， ， ， ， 故结论②正确； ， ，， 故结论④正确； ， 故结论③错误； ， ， 故结论①正确， 综上正确的结论是①②④， 故选：B. 题型七：三角形内角和中与角平分线相关问题 1．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）【概念认识】 如图①，射线BP在的内部，若，则射线叫做的邻“分线”． 【问题解决】 (1)如图②，在△ABC中，点是的邻“2分线”与的邻“2分线”的交点，若，则___________； (2)如图③，在△ABC中，点是的邻“4分线”与的邻“4分线”的交点，且，求的度数； (3)如图④，在△ABC中，点在边的延长线上，连接，且，的邻“3分线”与交于点，若，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）设，，根据邻“2分线”和邻“2分线”的定义和三角形内角和定理进行计算即可； （2）设，，根据邻“4分线”与邻“4分线”的定义和三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可； （3）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可． 【详解】（1）解：设，， ∵点是的邻“2分线”与的邻“2分线”的交点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，故答案为：； （2）解：设，， ∵点是的邻“4分线”与的邻“4分线”的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴设，， ∵的邻“3分线”与交于点， ∴设，则， 在△ABC中，由三角形内角和定理得， ∴， 在中，由三角形内角和定理得． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25(2)不会发生变化，理由见解析(3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在△ABC中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把△ABC变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）（2），证明见解析（3） 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解即可； （2）根据三等分角，求出，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． （3）根据三等分角，得到，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵、把三等分，把三等分， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵把三等分，把三等分， ∴， ∴； ∴． 3．（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）已知，． (1)如图1，若垂足为点F，，则______． (2)如图2，的角平分线交于点H，若，则_____． (3)如图2，的角平分线交于点H，若，，则_____．（用，的代数式表示）． (4)如图3，在图2的基础上，、分别平分和，若，则_____．（用含有的代数式表示） 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查“猪蹄模型”，平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行的性质得到，即可求出答案； （2）过点作，过点作，证明，得到，即可得到答案． （3）由（2）得到，即可得到答案； （4）由（2）知，，证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， 是与的平分线， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， 是与的平分线， ， ， ， ， ， ； （4）解：由（2）知， ， 、分别平分和， ， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）小明在学习了三角形内角和定理时，对三角形进一步开展探究活动： (1)【问题情境】 如图①，已知是的三个内角． 求证：．小明过点A作，请完善小明的证明过程； (2)【尝试运用】 如图②，在（1）的条件下，分别作和的角平分线和，若，求的度数； (3)【拓展探索】 如图③，在图①的基础上，分别作和的四等分线和，即，若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，交平分线的定义，平行线的性质． （1）由平行线的性质得到，再根据平角的定义即可解答； （2）根据交平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理结合，即可解答； （3）同理（2）可得，求出，由即可解答． 【详解】（1）证明：∵． ． ， ； （2）解：由（1）知， ∵平分，平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得：， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的倍（为大于1的正整数），则称△ABC为“倍角三角形”．例如，在△ABC中，若，，则 ，因为最大，最小，且，所以△ABC为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则 为“________倍角三角形”． (2)如图，在△ABC中，，的角平分线相交于点，若为“6倍角三角形”，请求出的度数． 【答案】(1)2(2)或 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）三角形的内角和定理求出，再根据新定义进行判断即可； （2）根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义，求出的度数，再分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴最大，最小，且， ∴为2倍角三角形； 故答案为：2； （2）∵， ∴， ∵的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴在中，最大， ∵为“6倍角三角形” ∴当时：； 当时，，则：； 故或． 1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．分别延长，交，于点，，过点作，则，利用三角形的内角和运算出和的度数后，通过平行线的性质即可得出结果． 【详解】分别延长，交，于点，，过点作，则，如图所示：    ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设△ABC的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故选：B． 3．（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，在△ABC中，是△ABC的角平分线，F是上一动点，于点D，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形角平分线、三角形内角和定理等知识，理解并掌握三角形内角和定理是解题关键．首先根据三角形角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理确定，然后在中，由求解即可． 【详解】解：∵，是△ABC的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分△ABC的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴ ， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 6．（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形三边关系，绝对值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系判断出，及的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：、、是的三边的长， ，，， 原式． 故选：A． 7．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据△ABC是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 8．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在△ABC内，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点求得是解题的关键．延长，交于点，连接，利用三角形外角的定义可知，，从而得到，再根据三角形内角和求得，即可求得答案． 【详解】解：延长，交于点，连接，如图， 则， ，， ， 中，，， ， ， ， ． 故选：C． 9．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知，，为三角形的三边，化简的结果是 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，，进而去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：、、 是三角形的三边长， ，， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在△ABC中，，，点在边上，将沿着翻折，点落在点处，若恰好与△ABC的一条边平行，若，则的度数为 °．（结果用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．分两种情况：当时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质和折叠的性质，求出结果即可． 【详解】解：当时，如图所示： 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示： 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 11．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）在三角形中，，，点在边上，平分，在上取一点，若三角形为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】40°或20° 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，运用分类讨论思想是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再求出，根据直角的不同位置讨论，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴， 若为直角三角形， 当时，如图， ∴， ∵， ∴， 当时，如图， ∴， 故答案为：或． 12．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理； （1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 【详解】（1）∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 13．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）四边形是任意四边形，与交点O．    求证：． 证明：在中有 在中有________， 在中有________． 在________中有________， ∴ 即：________， 即： 【答案】；；OBC；； 【分析】本题主要考查三角形三边的数量关系，根据三角形两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：在中有， 在中有， 在中有， 在中有， ∴， 即， ∴． 14．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）已知直线，E是直线上一点，点O，F是平面内两点，且满足． (1)如图①，点F在直线上，点O在直线的上方，延长与交于点G，若，求的度数； (2)如图②，点O在直线上，且位于点E右侧，点F位于直线与之间，过点F作交直线于点G．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，（1）根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据平行线的性质可得，，再根据，利用等量代换即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图②，作， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 15．（23-24七年级下·山西晋城·期中）综合与实践 学习完三角形后，同学们在刘老师的带领下对三角形进一步探讨研究． 问题：已知如图1，△ABC． (1)问题解决：若，则 ； (2)拓展延伸：刘老师继续添加条件，如图2，E是上一点，过E作交于点F，作的平分线，交于点D，若，求的度数； (3)深入探讨：在（2）的条件下，刘老师继续添加条件，如图3，连接，且，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）设，则，，根据三角形内角和定理列方程求解即可； （2）由平行线的性质和角平分线的定义可得，，从而可得，利用三角形内角和定理求解即可； （3）由（2）可得，，，由三角形内角和定理可得，由，可得，，利用三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”． 例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”． (1)已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______； (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点． ①若，且和互为“幸福角”，则________； ②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数． 【答案】(1) (2)① ；②或 【分析】（1）根据题意得①，②，加减消元法求解即可； （2）①设，求得，根据三角形内角和定理求得，根据和互为“幸福角”，再列式计算即可求解； ②设，利用平行线的性质和三角形的外角性质分别求得，，，再根据与互为“幸福角”，分两种情况列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵和互为“幸福角”，且， ∴①， ∵和互补， ∴②， 得，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵和互为“幸福角”，且， ∴，即， ∴， 解得； ②设，同理，， 则， ∵，， ∴， ， ∵与互为“幸福角”， 分两种情况， 当， ∴， 解得， ∴； 当， ∴， 解得， ∴； 综上，的度数为或． 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1. 认识三角形（第1课时） 题型一：三角形的识别与相关概念 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B．C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点D在△ABC中，写出图中所有三角形： ； （2）如图，线段BC是 和 的边； （3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ； （4）如图，是 的外角． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ． 题型二：三角形的个数问题 1．（2025·陕西延安·三模）如图，在△ABC中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个． 3．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形． 4．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图在△ABC的边上取三个点，，，连接，，，则边上有 条线段，以 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．      5．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（   ）个三角形． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 题型三：对三角形进行分类 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2.（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3.（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（   ） A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形 C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形 5．（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知△ABC，则下列条件能判定△ABC是锐角三角形的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 题型四：判断是否能构成三角形 1．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，3，5 C．15，7，7 D．6，8，10 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 4．（24-25八年级上·山东滨州·期中）下列长度的四根木棒中，能与长、的两根木棒首尾相接，钉成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）已知a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)试问：以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 题型五：确定第三边的取值范围 1．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知三条线段的长分别是3，6，，若它们能构成三角形，则奇数的最大值是(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是 ． 3．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知△ABC的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求△ABC的周长． 4．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，这个三角形的最长边为． (1)求的取值范围： (2)若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长． 5．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在△ABC中，点为边上一点，交于点． (1)若的长为奇数，求的长度； (2)若，求的度数． 题型六：利用三角形的三边关系化简 1．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断△ABC的形状． 2．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断△ABC的形状． 4．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求△ABC的周长． (2)化简：． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）△ABC的三边长分别为a，b，c． (1)化简； (2)若为整数，c为整数，且满足，求△ABC的周长． 题型七：与平行线有关的内角和问题 1．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在△ABC中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 6．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为 ． 题型八：与角平分线有关的内角和问题 1．（2025·河南信阳·三模）如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川南充·三模）如图，△ABC中，平分，．，．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，在中，，，是△ABC的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图，，，，则 ． 5．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于若，，则的度数为 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，与的平分线相交于点O，则 ． 7．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）在△ABC中，于是的平分线，，，则的度数 ． 8．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在△ABC中，与的平分线交于点P，若，则 ． 题型九：与三角板有关的内角和问题 1．（2025·安徽滁州·三模）将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽安庆·二模）一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山西大同·期中）将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，点在边上，，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽铜陵·三模）一等腰三角板和一直尺如图放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏盐城·二模）如图，小亮同学将直尺放置在等腰直角三角板上，并量出了，则为 度． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，将一副三角板的一边叠合，图中的大小为 ． 7．（2025·安徽合肥·一模）如图，两个三角板如图放置，其中，，，若，则的度数为 ． 题型十：三角形内角和中相关求解 1．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）已知△ABC中，，如果按角分类，那么△ABC是 三角形． 2．（24-25七年级下·上海·期中）在△ABC中，，，则△ABC是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）△ABC中，如果是的两倍，且比大，那么△ABC是 三角形．（按角分类） 4．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）在△ABC中，若，则△ABC的最大角与最小角的度数差为 ． 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）在△ABC中，若，则△ABC一定是 三角形． 6．（24-25七年级下·福建三明·期中）在△ABC中，，，点是上一个动点，当取最小值时， ． 7．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 题型十一：三角形折叠中角度问题 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将△ABC三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，△ABC中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处2，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D．以上都不对 4．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将△ABC沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东青岛·二模）如图，在中，∠B=90°，，，分别在，上，将沿折叠得到△FDE，且，则的度数为 ． 6．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图1，点分别在长方形纸片的边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图2，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为 ． 7．（2025·广东东莞·三模）如图，在△ABC中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 题型十二：三角形内角和定理的实际应用 1．（2025·江苏淮安·二模）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，的一边为平面镜，在上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，反射光线恰好与平行，且与相等，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，平面镜与水平面的夹角，一束光线照射到平面镜后反射，人射光线与平面镜的夹角，则反射光线与水平面的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·二模）立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如今，智能健身市场的新产品不断涌现．动感单车、划船机等智能化健身设备让人们既可以简单方便的随时练；也可以跟着智能教练精准练、科学练，让人人都能很方便地构建属于自己的一站式健康管理平台．如图是动感单车抽象出的平面图形，若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025七年级下·河南·专题练习）跨学科试题·物理  如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南安阳·模拟预测）某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十三：直角三角形两锐角互余 1．（2025·湖北荆州·三模）在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线，，若，则 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在△ABC中，，，平分，是边上高，则的度数是 ． 4．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的大小为 ． 5．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，△ABC中，，于，，，则 °． 6．（23-24七年级下·云南文山·期末）在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为 度． 题型一：因式分解与三角形三边关系的应用 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）（1）阅读材料：若，求，的值． 解：∵， ∴， ∴． 则______，______． （2）根据你的观察，探究下面的问题：已知△ABC的三边长，，都是正整数，且满足，求△ABC的周长． 2．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读材料：若，求、的值． 解：∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、分别为的三边长，且满足，若是△ABC的最大边长，且为奇数，求△ABC的周长． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读材料：若，求与的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求与的值． (2)已知△ABC的三边长，，都是正整数，且满足，求△ABC的周长． 4．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题： 例题：若，求m和n的值 解：∵，     ∴，     ∴，     ∴，，     ∴，． 问题： (1)若，求的值． (2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围． 5．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)分解因式； (2)若，，分别为△ABC三边的长． ①若满足若，请判断△ABC的形状，并说明理由． ②若满足，求的范围． 6．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形： ， ， ， 即的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是________； （1）；（2）；（3）． (2)试证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值； (3)已知是△ABC的三边长（三边不相等），，且c是△ABC中最长边的长，则c的取值范围为____________． 题型二：三边关系中相关证明 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知D、E是△ABC内的两点，问成立吗？请说明理由． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，在△ABC中，是上一点，则成立吗？说明理由． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 5．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，已知△ABC中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：． 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，P为△ABC中任意一点．证明：． 题型三：三角形内角和综合应用（解答题） 1．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在△ABC中，过点作交其延长线于点，作的平分线交于点，过点作交于点、交于点． (1)求证：． (2)连接，若平分，，求的度数． 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图在△ABC中，，，平分，于点E，求的度数． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，于点，点是上一点，于点；点是上一点，连接，且． (1)求证：； (2)若，是的角平分线，求的度数． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，，，是的平分线，且． (1)求证：； (2)求的度数． 5．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在△ABC中，平分，交于点，为边上的高． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数； (3)若，直接写出、、的关系． 6．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在△ABC中，，于，平分 (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 题型四：三角形内角和中用参数表示角度 1．（2025·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，是高，是角平分线，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，直线，线段和线段垂直于点Q，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，，，平分，平分交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点为和的角平分线的交点，连接，作△AOB的一条角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，已知，P为直线，外一点，平分，平分，的反向延长线交于点E，若，用表示的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，平分交于点D，交边上的高于点F，若，则（   ）      A． B． C． D． 题型五：三角形内角和中需分情况讨论题型 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，，D是线段上的一个动点，连接，把三角形沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于三角形的边时，的大小为（    ） A．或 B． C． D．或 2．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）在三角形中，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（  ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）△ABC中，，高和高所在直线交于O，则的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在△ABC中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则的度数为 ． 6．（24-25七年级下·上海崇明·期中）当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 ． 题型六：三角形内角和综合之多结论问题 1．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，，在上，过作，平分∠FEC，平分．若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ）个 A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知一块三角板，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，以下结论中 ①当且时，； ②当时，； ③当时，．正确的有（   ） A．② B．①② C．①③ D．①②③ 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，．则下列结论：①；：平分；．其中结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，△ABC的角平分线，相交于F，，，且于G，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25七年级上·四川资阳·期末）已知：三角形的三个角的和为．如图，三点在同一条直线上，四点在同一条直线上，， 平分，平分,,．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型七：三角形内角和中与角平分线相关问题 1．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）【概念认识】 如图①，射线BP在的内部，若，则射线叫做的邻“分线”． 【问题解决】 (1)如图②，在△ABC中，点是的邻“2分线”与的邻“2分线”的交点，若，则___________； (2)如图③，在△ABC中，点是的邻“4分线”与的邻“4分线”的交点，且，求的度数； (3)如图④，在△ABC中，点在边的延长线上，连接，且，的邻“3分线”与交于点，若，直接写出的大小（用含的式子表示）． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在△ABC中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把△ABC变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． 3．（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）已知，． (1)如图1，若垂足为点F，，则______． (2)如图2，的角平分线交于点H，若，则_____． (3)如图2，的角平分线交于点H，若，，则_____．（用，的代数式表示）． (4)如图3，在图2的基础上，、分别平分和，若，则_____．（用含有的代数式表示） 4．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）小明在学习了三角形内角和定理时，对三角形进一步开展探究活动： (1)【问题情境】 如图①，已知是的三个内角． 求证：．小明过点A作，请完善小明的证明过程； (2)【尝试运用】 如图②，在（1）的条件下，分别作和的角平分线和，若，求的度数； (3)【拓展探索】 如图③，在图①的基础上，分别作和的四等分线和，即，若，求的度数． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的倍（为大于1的正整数），则称△ABC为“倍角三角形”．例如，在△ABC中，若，，则 ，因为最大，最小，且，所以△ABC为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则 为“________倍角三角形”． (2)如图，在△ABC中，，的角平分线相交于点，若为“6倍角三角形”，请求出的度数． 1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设△ABC的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，在△ABC中，是△ABC的角平分线，F是上一动点，于点D，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分△ABC的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 8．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在△ABC内，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知，，为三角形的三边，化简的结果是 10．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在△ABC中，，，点在边上，将沿着翻折，点落在点处，若恰好与△ABC的一条边平行，若，则的度数为 °．（结果用含的代数式表示） 11．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）在三角形中，，，点在边上，平分，在上取一点，若三角形为直角三角形，则的度数为 ． 12．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 13．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）四边形是任意四边形，与交点O．    求证：． 证明：在中有 在中有________， 在中有________． 在________中有________， ∴ 即：________， 即： 14．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）已知直线，E是直线上一点，点O，F是平面内两点，且满足． (1)如图①，点F在直线上，点O在直线的上方，延长与交于点G，若，求的度数； (2)如图②，点O在直线上，且位于点E右侧，点F位于直线与之间，过点F作交直线于点G．求证：． 15．（23-24七年级下·山西晋城·期中）综合与实践 学习完三角形后，同学们在刘老师的带领下对三角形进一步探讨研究． 问题：已知如图1，△ABC． (1)问题解决：若，则 ； (2)拓展延伸：刘老师继续添加条件，如图2，E是上一点，过E作交于点F，作的平分线，交于点D，若，求的度数； (3)深入探讨：在（2）的条件下，刘老师继续添加条件，如图3，连接，且，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 16.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”． 例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”． (1)已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______； (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点． ①若，且和互为“幸福角”，则________； ②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数． 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $$