2026届高三数学一轮复习课时作业18：函数的零点与方程的解

2.12　函数的零点与方程的解 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数y=(x-2)(2x+1)的零点是(　　) A.2 B.(2，0) C.-2 D.2或-1 2.若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.用二分法求方程2x+x-8=0在[1，5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为(　　) A.[1，2]或[2，3]都可以 B.[2，3] C.[1，2] D.不能确定 4.(2025·承德模拟)对于函数f(x)，g(x)，设x1∈{x|f(x)=0}，x2∈{x|g(x)=0}，若存在x1，x2，使得|x1-x2|≤1，则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f(x)=log2x-a与g(x)=x2-3x互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　) A.[0，2] B.(-∞，2] C.[1，2] D.(-∞，0]∪[1，2] 5.(2025·汉中模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+e)=f(x-e)，当x∈(0，e)时，f(x)=ln x，则f(x)在区间(-e，2e)内的所有零点之和为(　　) A.3e-1 B.2e C.2e-1 D.0 6.(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)=x+log2x-4的零点为x1，g(x)=x+loga(x-1)-5(a>1)的零点为x2，若x2-x1>1，则实数a的取值范围是(　　) A.(1) B.(2) C.(1，2) D.(2，+∞) 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)=x2+2x-8的零点是(-4，0)，(2，0) B.方程ex=3+x在区间(-3，0)，(0，10)上有解 C.函数y=3x，y=log3x的图象关于y=x对称 D.用二分法求方程3x+3x-8=0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)上 8.(2025·大连模拟)已知x1，x2分别是函数f(x)=2x-和g(x)=log2x-的零点，则(　　) A.-x2=0 B.log2x1+log2x2=0 C.x2>2 D.·log2x2=1 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)=则函数y=f(x)的零点是　　　　　　.  10.已知函数f(x)=函数g(x)=m-f(3-x)，其中m∈R，若函数y=g(x)恰有3个零点，则m的取值范围是　　　　　　　　. 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，且有一个零点为c. (1)证明：f(x+2)是偶函数；(6分) (2)若函数g(x)=f(x)-mx+1在(1，3)上有两个零点，求m的取值范围.(7分) 12.(14分)(2024·天水模拟)已知函数f(x)=log2(2+x)-log2(2-x). (1)判断f(x)的奇偶性；(5分) (2)若关于x的方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.(9分) 【提升练】 13.(2024·揭阳模拟)函数f(x)=ln +x-1的所有零点之和为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 14.(多选)已知函数f(x)=|2x-a|-kx-3，给出下列四个结论，其中正确的有(　　) A.若a=1，则函数f(x)至少有一个零点 B.存在实数a，k，使得函数f(x)无零点 C.若a>0，则不存在实数k，使得函数f(x)有三个零点 D.对任意实数a，总存在实数k，使得函数f(x)有两个零点 15.(多选)(2025·中山模拟)已知定义在R上的连续函数φ(x)，若存在常数m(m∈R)使得mφ(x)+φ(x+m)=0对任意实数x都成立，我们称φ(x)是R上的“m相伴函数”，下列关于“m相伴函数”的结论正确的是(　　) A.常数函数均是“-1相伴函数” B.存在常数m，使φ(x)=x2是“m相伴函数” C.“2 024相伴函数”至少有一个零点 D.“-2 024相伴函数”至少有一个零点 16.设x1满足ex+x-3=0，x2满足e1-x-x-2=0，则=　　　　　　.  答案精析 1.A　2.A 3.B　[设f(x)=2x+x-8， 则f(1)=2+1-8=-5<0， f(5)=25+5-8=29>0， 第一次取x1==3， 有f(3)=23+3-8=3>0， 故第二次取x2==2，有f(2)=22+2-8=-2<0， 故此时可确定近似解所在区间为[2，3].] 4.D　[f(x)的零点为2a，g(x)的零点为0，3. 因为f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”， 所以|2a-0|≤1或|2a-3|≤1， 则0<2a≤1或2≤2a≤4， 解得a≤0或1≤a≤2.] 5.A　[因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0， 因为f(x+e)=f(x-e)， 所以f(x)的周期T=2e且f(e)=f(-e)=-f(e)⇒f(e)=0， 因为当x∈(0，e)时，f(x)=ln x，所以f(1)=0，所以f(-1)=-f(1)=0， 所以f(-1+2e)=f(-1)=0， 故f(x)在区间(-e，2e)内的零点为-1，0，1，e，-1+2e，其零点之和为3e-1.] 6.D　[因为f(2)=2+1-4=-1<0，f(3)=3+log23-4=log23-1>0， 由函数零点存在定理，所以x1∈(2，3)， 由题意可知，x1+log2x1-4=x2+loga(x2-1)-5=0， 即x1+log2x1-4 =x2-1+loga(x2-1)-4， 即x1+log2x1=x2-1+loga(x2-1)， 因为x2-x1>1，所以x1<x2-1， 则log2x1>loga(x2-1)，又a>1， 2<x1<x2-1，所以a>2.] 7.BC　[对于A，令f(x)=x2+2x-8=0，解得x1=-4，x2=2，即函数f(x)=x2+2x-8的零点是-4和2，故A错误； 对于B，令f(x)=ex-x-3，则f(-3)=e-3>0，f(0)=-2<0，f(10)=e10-13>210-13=1 024-13=1 011>0，所以由函数零点存在定理可知f(x)=ex-x-3在区间(-3，0)，(0，10)内有零点，即方程ex=3+x在区间(-3，0)，(0，10)内有解，故B正确； 对于C，函数y=3x，y=log3x互为反函数，所以函数y=3x，y=log3x的图象关于y=x对称，故C正确； 对于D，用二分法求方程3x+3x-8=0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1.25，1.5)上，故D错误.] 8.ABD　[由题设知，f(x)的零点为函数y=2x与函数y=图象交点的横坐标；g(x)的零点为函数y=log2x与函数y=图象交点的横坐标，由y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称，y=的图象关于直线y=x对称， 所以x1，x2关于直线y=x对称， y=2x，y=log2x，y=的图象如图所示， 所以点(x1)与点(x2，log2x2)关于直线y=x对称， 即 故-x2=0·log2x2=1， log2x1+log2x2=log2(x1x2)=0，A，B，D对； 若x2>2，即x2=>2⇒x1>1，此时x1x2>2，与x1x2=1矛盾，C错.] 9.-1和4 10.(0，2) 解析　令g(x)=m-f(3-x)=0，得f(3-x)=m， 若3-x≤3， 即x≥0，f(3-x)=2-|3-x|； 若3-x>3，即x<0，f(3-x)=(3-x-3)2=x2. 所以y=f(3-x) = = = 画出其图象如图所示，当x=3时，y=2. 由图可知，要使函数y=g(x)恰有3个零点，即y=m与y=f(3-x)的图象有3个交点， 则m的取值范围是(0，2). 11.(1)证明　由二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)， 可得=2，解得b=4. 又因为f(x)有一个零点为c， 则f(c)=c2-4c+c=0， 解得c=3或c=0(舍去)， 所以f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1， 因为f(-x+2)=x2-1=f(x+2)，所以f(x+2)是偶函数. (2)解　由(1)可知g(x)=x2-4x+3-mx+1=x2-(4+m)x+4， 因为g(x)在(1，3)上有两个零点， 则满足 解得0<m< 所以实数m的取值范围为. 12.解　(1)f(x)为奇函数，理由如下： 由题意得解得-2<x<2，即函数f(x)的定义域为(-2，2)，故定义域关于原点对称. 又f(-x)=log2(2-x)-log2(2+x)=-f(x)， 故f(x)为奇函数. (2)由f(x)=log2(a+x)，得log2(2+x)-log2(2-x)=log2(a+x)， 所以=a+x， 所以a=-x=-x =+(2-x)-3， 故方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根可转化为方程a=+(2-x)-3在区间(-2，2)上有两个不同的实数根，即函数y=a与y=+(2-x)-3在区间(-2，2)上的图象有两个交点. 设t=2-x，x∈(-2，2)，则y=+t-3，t∈(0，4). 作出函数y=+t-3，t∈(0，4)的图象，如图所示. 当1<a<2时，函数y=a与y=+t-3，t∈(0，4)的图象有两个交点，即关于x的方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根， 故实数a的取值范围是(1，2). 13.D　[由f(x)=0得，ln =1-x， 令g(x)=ln 因为g(x)+g(2-x)=ln +ln =ln 1=0，所以函数g(x)=ln 的图象关于点(1，0)对称， 又因为y=1-x的图象关于点(1，0)对称， 如图所示，两个函数图象有两个公共点，横坐标依次为x1，x2，这两个交点关于点(1，0)对称，所以x1+x2=2.] 14.ABD　[A中，当a=1时，函数f(x)=|2x-1|-kx-3， 令f(x)=0，可得|2x-1|=kx+3， 在同一坐标系中作出y=|2x-1|，y=kx+3的图象，如图所示，由图象及直线y=kx+3过定点(0，3)，可得函数f(x)至少有一个零点，所以A正确； B中，当a=-4，k=0时，作出函数y=|2x+4|，y=3的图象，由图象知，函数f(x)没有零点，所以B正确； C中，当a=6，k=-时，在同一坐标系中，作出函数y=|2x-6|，y=-x+3的图象，如图所示，由图象可得，此时函数f(x)有3个零点，所以C错误； D中，分别作出当a=0，a<0，a>0时，函数y=|2x-a|，y=kx+3的图象， 由图象知，对于任意实数a，总存在实数k使得函数f(x)有两个零点，所以D正确.] 15. AC [对于A，设φ(x)=a，a∈R，则φ(x+m)=a， 当m=-1时，满足ma+a=0，则φ(x)=a，a∈R是“-1相伴函数”，故A正确； 对于B，当φ(x)=x2时，mx2+(x+m)2=0对任意x∈R都成立，化为(m+1)x2+2mx+m2=0， 则有无解，则φ(x)=x2不是“m相伴函数”，故B错误； 对于C，若2 024φ(x)+φ(x+2 024)=0， 令x=0，则φ(2 024)=-2 024φ(0)， 当φ(0)=0时，φ(x)=0有实根0， 当φ(0)≠0时，φ(0)·φ(2 024)=-2 024[φ(0)]2<0， 根据函数零点存在定理知，φ(x)=0在区间(0，2 024)上必有实根，所以“2 024相伴函数”至少有一个零点，故C正确； 对于D，-2 024φ(x)+φ(x-2 024)=0， 当x=b∈R时，φ(b-2 024)=2 024φ(b)， 若φ(b)≠0，则φ(b)·φ(b-2 024)=2 024[φ(b)]2>0，不能判定方程在[b-2 024，b)内有根， 根据实数b的任意性，不能确定φ(x)在R上有无零点，故D错误.] 16. e 解析　令函数f(x)=ex+x-3， 则f(x)是增函数，由x2满足e1-x-x-2=0，得-x2-2=0， 即+(1-x2)-3=0，于是f(1-x2)=0， 由x1满足ex+x-3=0，得f(x1)=0， 因此f(x1)=f(1-x2)=0，而函数f(x)在R上单调递增， 于是x1=1-x2，即x1+x2=1， 所以=e. 学科网（北京）股份有限公司 $$