暑假预习专题02 集合的表示方法（3知识+4题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题02 集合的表示方法 将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法 能用列举法表示的集合一般是有限集，但对于一些有规律的无限集,在不会引起歧义的前提下,也可用列举法表示.例如，全体正偶数组成的集合可以表示为｛2,4,6,…,2n，…｝ 大括号“｛｝”表示“所有”“整体”的含义示例:实数集R可以写成｛实数｝,但如果写成{实数集}、｛全体实数｝、{R}都是不正确的. 用列举法表示下列集合： （1）能整除10的所有正整数组成的集合； （2）绝对值小于4的所有整数组成的集合． （1）利用列举法求解．（2）利用列举法求解． （1）能整除10的所有正整数组成的集合为：{10，20，30，40，50，60，…}． （2）绝对值小于4的所有整数组成的集合为：{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}． （1）{10，20，30，40，50，60，…}．（2）{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线,并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征,即： 描述法表示集合时的注意事项 （1）所有描述的内容都要写在大括号内，如＂｛x｜x＝2k}, ＂不符合要求，应写为 ． （2）精确地写出集合中代表元素的符号，如 不能写成 ． （3）不能出现未被说明的字母，如 中不明确，故集合中的元素不确定． （4）多层描述时，应准确使用＂且＂＂或＂等表示元素之间关系的词语，如或． （5）元素的取值范围，如果从上下文的关系看是明确的，那么可以省略不写。如在实数集中取值，＂＂常省略不写， 常写为． 用描述法表示下列集合： （1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． （1）（2）根据已知条件，结合描述法，即可求解． （1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合为{x|x＝3k+2，k∈N，且x＜1000}； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合{（x，y）|x＜0且y＞0}． （1）{x|x＝3k+2，k∈N，且x＜1000}；（2）{（x，y）|x＜0且y＞0}． 1.区间的概念及几何表示 2.含“∞”的区间的几何表示 理解区间概念时的注意事项 (1) 区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开, (2)区间实质上是一类特殊数集(部分实数组成的集合)的符号表示， (3)区间表示实数集的三个原则: ①是连续的数集; ②左端点必须小于右端点; ③开或闭不能混淆。 (4)“∞”是一个趋向符号,表示无限接近,却永远不能到达，不是一个数。因此以“-∞”和“十∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号. 题型一 列举法表示集合 例1．（2024•普陀区校级期中）已知，用列举法表示A＝ 　 　． 1-1（2024•宝山区校级月考）用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合：　 　． 1-2（2024•金山区校级期中）已知集合M＝{x|0＜x≤3，x∈N}，用列举法表示集合M＝ 　 　． 1-3（2024•浦东新区期中）用列举法表示方程组的解集为 　 　． 1-4（2024•浦东新区校级月考）已知，求方程组的解集 　 　． 1-5（2024•闵行区校级月考）集合 P＝{（x，y）|}可以用列举法表示为 　 　． 题型二 描述法表示集合 例2．（2024•闵行区校级期中）第一象限的点组成的集合可以表示为（　　） A．{（x，y）|xy＞0} B．{（x，y）|xy≥0} C．{（x，y）|x＞0且y＞0} D．{（x，y）|x＞0或y＞0} 2-1．（2024•浦东新区校级月考）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（　　） A．{x|x＝8k，k∈N} B．{x|x＝8k+8，k∈N} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8} 2-2（2024•黄浦区校级期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 　 　 ． 2-3（2024•浦东新区校级月考）被3除余1的所有整数组成的集合用描述法表示为 　 　 ． 2-4（2023•嘉定区校级期中）用描述法表示直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合 　 　 ． 题型三 区间 例3．（2024•浦东新区期中）把不等式|x﹣1|＜2的解集用区间表示：　　 ． 3-1（2024•静安区校级月考）设全集U＝R，集合A＝{x|x≤0，或x＞2}，则用区间表示结果是 　 　 ． 3-2（2024•杨浦区校级开学）用区间法表示实数集R＝　 　 ． 3-3（2023•长宁区校级期中）若（m，4m﹣3）为一确定区间，则m的取值范围为 　 　 ． 3-4 集合{x|﹣1＜x≤5}用区间可表示为（　　） A．（﹣1，5） B．[﹣1，5] C．（﹣1，5] D．[﹣1，5） 题型四 新定义 例4．（2024秋•浦东新区校级期中）已知A＝{1，3}，B＝{1，2}，定义集合A，B之间的运算“*”，A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A*B＝ 　 　 4-1设集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a、b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a、b∈A}． （1）若A＝{﹣1，1}，写出集合A+、A﹣； （2）若A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A+＝A，求证：x1+x4＝x2+x3； （3）若A⊆{x|0≤x≤2021，x∈N}且A+∩A﹣＝∅，求集合A元素个数的最大值． 4-2（2023•浦东新区校级月考）已知集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}． （1）若集合A＝{1，3}，直接写出集合S、T（无需写计算过程）； （2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，求证：x1+x4＝x2+x3； （3）若集合A⊆{x|0≤x≤2023，x∈N}，S∩T＝φ，记|A|为集合A中的元素个数，求|A|的最大值． 4-3 （2024•浦东新区校级期中）已知集合A＝{a1，a2，⋯，ak}（k≥2），其中ai∈Z（i＝1，2，⋯，k）．定义：若对任意的x∈A，必有﹣x∉A，则称集合A其有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：P＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，Q＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，其中P有m个元素，Q中有n个元素． （1）已知集合K＝{﹣1，2，3}，判断K是否具有性质G；由题意可知K对应的集合P为{（﹣1，3），（3，﹣1）}，写出K对应的集合Q； （2）若集合A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，求对应集合Q的元素个数，若集合A有k个元素，猜测对应的集合Q的元素最大个数，并说明理由； （3）若集合B具有性质G，证明：m＝n． 1．（2024•青浦区校级月考）用列举法写出所有小于10的素数组成的集合 　 　 ． 2．区间[﹣3，5）用集合表示为 　 　 ． 3．下列叙述正确的是（　　） A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，+∞） B．{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2） C．（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x＜3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4} 4．已知区间[2a﹣1，11]，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，6） B．（6，+∞） C．（1，6） D．（﹣1，6） 1．（2024•浦东新区校级月考）已知集合P为非空数集，定义+P＝{a+b|a，b∈P}，﹣P＝{|a﹣b||a，b∈P}． （1）若集合P＝{2，2024}，请直接写出集合+P和﹣P； （2）若1≤n≤2023且n∈N*，集合P＝{x|n≤x≤2023，x∈N*}满足+P∩﹣P＝∅，求n的最小值； （3）若集合P＝{x1，x2，x3，x4，x5}，x1＜x2＜x3＜x4＜x5，且﹣P＝P，求证：x1+x5＝x2+x4． 2．（2024•松江区校级月考）已知集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}． （1）若集合A＝{﹣1，0，1}，直接写出集合S、T； （2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，求证：x1+x4＝x2+x3； （3）若集合A⊆{x|0≤x≤2023，x∈N}，S∩T＝∅，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题02 集合的表示方法 将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法 能用列举法表示的集合一般是有限集，但对于一些有规律的无限集,在不会引起歧义的前提下,也可用列举法表示.例如，全体正偶数组成的集合可以表示为｛2,4,6,…,2n，…｝ 大括号“｛｝”表示“所有”“整体”的含义示例:实数集R可以写成｛实数｝,但如果写成{实数集}、｛全体实数｝、{R}都是不正确的. 用列举法表示下列集合： （1）能整除10的所有正整数组成的集合； （2）绝对值小于4的所有整数组成的集合． （1）利用列举法求解．（2）利用列举法求解． （1）能整除10的所有正整数组成的集合为：{10，20，30，40，50，60，…}． （2）绝对值小于4的所有整数组成的集合为：{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}． （1）{10，20，30，40，50，60，…}．（2）{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线,并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征,即： 描述法表示集合时的注意事项 （1）所有描述的内容都要写在大括号内，如＂｛x｜x＝2k}, ＂不符合要求，应写为 ． （2）精确地写出集合中代表元素的符号，如 不能写成 ． （3）不能出现未被说明的字母，如 中不明确，故集合中的元素不确定． （4）多层描述时，应准确使用＂且＂＂或＂等表示元素之间关系的词语，如或． （5）元素的取值范围，如果从上下文的关系看是明确的，那么可以省略不写。如在实数集中取值，＂＂常省略不写， 常写为． 用描述法表示下列集合： （1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． （1）（2）根据已知条件，结合描述法，即可求解． （1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合为{x|x＝3k+2，k∈N，且x＜1000}； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合{（x，y）|x＜0且y＞0}． （1）{x|x＝3k+2，k∈N，且x＜1000}；（2）{（x，y）|x＜0且y＞0}． 1.区间的概念及几何表示 2.含“∞”的区间的几何表示 理解区间概念时的注意事项 (1) 区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开, (2)区间实质上是一类特殊数集(部分实数组成的集合)的符号表示， (3)区间表示实数集的三个原则: ①是连续的数集; ②左端点必须小于右端点; ③开或闭不能混淆。 (4)“∞”是一个趋向符号,表示无限接近,却永远不能到达，不是一个数。因此以“-∞”和“十∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号. 题型一 列举法表示集合 例1．（2024•普陀区校级期中）已知，用列举法表示A＝ 　 　． 【答案】{1，2，3，6}． 【分析】利用列举法来求得正确答案． 【解答】解：依题意，{1，2，3，6}． 故答案为：{1，2，3，6}． 【点评】本题主要考查了集合的表示，属于基础题． 1-1（2024•宝山区校级月考）用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合：　 　． 【答案】{1，3，9}． 【分析】利用列举法的定义求解． 【解答】解：用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合为{1，3，9}． 故答案为：{1，3，9}． 【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题． 1-2（2024•金山区校级期中）已知集合M＝{x|0＜x≤3，x∈N}，用列举法表示集合M＝ 　 　． 【答案】{1，2，3}． 【分析】根据集合满足的条件，用列举法表示集合即可． 【解答】解：因为M＝{x|0＜x≤3，x∈N}， 所以用列举法表示集合M＝{1，2，3}． 故答案为：{1，2，3}． 【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题． 1-3（2024•浦东新区期中）用列举法表示方程组的解集为 　 　． 【答案】{（2，1）}． 【分析】解方程组即可求得． 【解答】解：由，可得， 故方程组解集为{（2，1）}． 故答案为：{（2，1）}． 【点评】本题考查集合的表示法，属基础题． 1-4（2024•浦东新区校级月考）已知，求方程组的解集 　 　． 【答案】{（1，0），（﹣2，3）}． 【分析】根据条件，通过消y得到x2+x﹣2＝0，即可求出结果； 【解答】解：由，得到x2﹣1＝﹣x+1，得到x＝﹣2或x＝1， 当x＝﹣2时，y＝3，当x＝1时，y＝0， 所以，方程组的解集为{（1，0），（﹣2，3）}． 故答案为：{（1，0），（﹣2，3）}． 【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题． 1-5（2024•闵行区校级月考）集合 P＝{（x，y）|}可以用列举法表示为 　 　． 【答案】{（2，﹣1）}． 【分析】求出方程组的解即可得到． 【解答】解：由，解得x＝2，y＝﹣1，则P＝{（2，﹣1）}． 故答案为：{（2，﹣1）}． 【点评】本题考查了集合的表示方法，属于基础题． 题型二 描述法表示集合 例2．（2024•闵行区校级期中）第一象限的点组成的集合可以表示为（　　） A．{（x，y）|xy＞0} B．{（x，y）|xy≥0} C．{（x，y）|x＞0且y＞0} D．{（x，y）|x＞0或y＞0} 【答案】C 【分析】根据点集的表示方法，即可求解． 【解答】解：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，即x＞0且y＞0， 所以第一象限的点组成的集合可以表示为{（x，y）|x＞0且y＞0}． 故选：C． 【点评】本题考查了集合的描述法的定义，是基础题． 2-1．（2024•浦东新区校级月考）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（　　） A．{x|x＝8k，k∈N} B．{x|x＝8k+8，k∈N} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8} 【答案】B 【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可． 【解答】解：能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，所以C，D错误； 选项A，当k＝0时，x＝0，即集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A错误，因此B正确． 故选：B． 【点评】本题考查集合的表示方法，属于基础题． 2-2（2024•黄浦区校级期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 　 　 ． 【答案】{（x，y）|﹣2≤x≤3，﹣1≤y≤2，且xy≥0}． 【分析】根据描述法的定义求解． 【解答】解：用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：{（x，y）|﹣2≤x≤3，﹣1≤y≤2，且xy≥0}． 故答案为：{（x，y）|﹣2≤x≤3，﹣1≤y≤2，且xy≥0}． 【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题． 2-3（2024•浦东新区校级月考）被3除余1的所有整数组成的集合用描述法表示为 　 　 ． 【答案】{x|x＝3n+1，n∈Z}． 【分析】被3除余1的所有整数组成的集合用描述法表示为{x|x＝3n+1，n∈Z}． 【解答】解：被3除余1的所有整数组成的集合用描述法表示为 {x|x＝3n+1，n∈Z}， 故答案为：{x|x＝3n+1，n∈Z}． 【点评】本题考查了集合的表示方法，属于基础题． 2-4（2023•嘉定区校级期中）用描述法表示直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合 　 　 ． 【答案】{（x，y）|x＜0且y＞0}． 【分析】根据描述法的定义求解． 【解答】解：描述法表示直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合为{（x，y）|x＜0且y＞0}． 故答案为：{（x，y）|x＜0且y＞0}． 【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题． 题型三 区间 例3．（2024•浦东新区期中）把不等式|x﹣1|＜2的解集用区间表示：　　 ． 【答案】（﹣1，3）． 【分析】结合绝对值不等式的解法，以及区间的定义，即可求解． 【解答】解：|x﹣1|＜2，即﹣2＜x﹣1＜2，解得﹣1＜x＜3， 故所求解集为（﹣1，3）． 故答案为：（﹣1，3）． 【点评】本题主要考查区间的定义，属于基础题． 3-1（2024•静安区校级月考）设全集U＝R，集合A＝{x|x≤0，或x＞2}，则用区间表示结果是 　 　 ． 【答案】（0，2]． 【分析】由已知结合补集定义即可求解． 【解答】解：因为全集U＝R，集合A＝{x|x≤0，或x＞2}， 则（0，2]． 故答案为：（0，2]． 【点评】本题主要考查了集合补集运算，属于基础题． 3-2（2024•杨浦区校级开学）用区间法表示实数集R＝　 　 ． 【答案】（﹣∞，+∞）． 【分析】直接求解即可． 【解答】解：实数集R＝（﹣∞，+∞）． 故答案为：（﹣∞，+∞）． 【点评】本题主要考查区间的表示，属于基础题． 3-3（2023•长宁区校级期中）若（m，4m﹣3）为一确定区间，则m的取值范围为 　 　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案． 【解答】解：由题意，m＜4m﹣3，解得m＞1． 故答案为：（1，+∞）． 【点评】本题主要考查区间的概念，属于基础题． 3-4 集合{x|﹣1＜x≤5}用区间可表示为（　　） A．（﹣1，5） B．[﹣1，5] C．（﹣1，5] D．[﹣1，5） 【答案】C 【分析】根据区间表示集合的形式，即可求解． 【解答】解：用区间表示集合{x|﹣1＜x≤5}＝（﹣1，5]． 故选：C． 【点评】本题考查了用区间表示集合的应用问题，是基础题． 题型四 新定义 例4．（2024秋•浦东新区校级期中）已知A＝{1，3}，B＝{1，2}，定义集合A，B之间的运算“*”，A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A*B＝ 　 　 【答案】{2，3，4，5}． 【分析】A*B中的元素是所有A中的元素与B中元素的和构成，求出两个集合中元素的和，写出集合A*B，注意元素的互异性． 【解答】解：由题意可知，A*B中的元素有1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，2+3＝5， 即A*B＝{2，3，4，5}． 故答案为：{2，3，4，5}． 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题． 4-1设集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a、b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a、b∈A}． （1）若A＝{﹣1，1}，写出集合A+、A﹣； （2）若A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A+＝A，求证：x1+x4＝x2+x3； （3）若A⊆{x|0≤x≤2021，x∈N}且A+∩A﹣＝∅，求集合A元素个数的最大值． 【答案】（1）A+＝{﹣2，0，2}，A＝{0，2}， （2）证明过程见解答， （3）A中元素的个数为1347个． 【分析】（1）根据定义A+＝{x|x＝a+b，a、b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a、b∈A}，直接求解即可， （2）由题意利用集合A中的元素间的关系及可证明， （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求k的范围，即可求出最大值． 【解答】解：（1）由题意，得A+＝{﹣2，0，2}，A＝{0，2}， （2）证明：因为A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A+≠A﹣， 所以集合A﹣也有四个元素，且都为非负数，因为|x1﹣x2|＝0∈A﹣， 又因为A+＝A，所以0∈A且x1＝0， 所以集合A﹣中其他元素为x2﹣0＝x2，x3﹣0＝x3，x4﹣0＝x4， 即A﹣＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1}，剩下的x3﹣x2＝x4﹣x3＝x2﹣x1， 因为x1＝0＜x3﹣x2＜x4﹣x2＜x4，所以x3﹣x2＝x2，x4﹣x2＝x3 即x4﹣x2＝x3﹣x1，即x1+x4＝x2+x3，所以x1+x4＝x2+x3 （3）设A＝{a1，a2，a3，⋯，ak}，满足题意，其中a1＜a2＜a3＜⋯＜ak， 因为2a1＜a1+a2＜a1+a3＜⋯＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜⋯＜ak﹣1+ak＜2ak， 所以|A+|≥2k﹣1， 因为a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜⋯＜ak﹣a1，所以|A﹣|≥k， 因为A+∩A﹣＝∅，所以|A+∪A﹣|＝|A+|+|A﹣|≥3k﹣1， A+∪A﹣中最小的元素为0，最大的元素为2ak， 所以， 实际当A＝{674，675，676，⋯，2020}时满足题意，证明如下： 设A＝{m，m+1，m+2，⋯，2021}，m∈N， 则A+＝{2m，2m+1，2m+2，⋯，4040}，A﹣＝{0，1，…，2020﹣m}， 由题意得2020﹣m＜2m， 即，故m的最小值为674． 即A＝{674，675，676，⋯，2020}时，满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数为2020﹣674+1＝1347（个）． 【点评】本题考查子集间的转化与运算性质，考查了分类讨论思想和转化思想，属于难题． 4-2（2023•浦东新区校级月考）已知集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}． （1）若集合A＝{1，3}，直接写出集合S、T（无需写计算过程）； （2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，求证：x1+x4＝x2+x3； （3）若集合A⊆{x|0≤x≤2023，x∈N}，S∩T＝φ，记|A|为集合A中的元素个数，求|A|的最大值． 【答案】（1）S＝{2，4，6}，T＝{0，2}；（2）证明见解析； （3）1349． 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可； （2）根据集合相等的概念，能证明x1+x4＝x2+x3； （3）通过假设集合A＝{m，m+1，m+2，…，2023}（m≤2021，m∈N），求出对应的集合S，T，通过S∩T＝∅，建立不等式关系，求出对应的值即可． 【解答】解：（1）∵集合A＝{1，3}，S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}， ∴集合S＝{2，4，6}，集合T＝{0，2}． （2）证明：∵集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A， ∴T中也只包含4个元素，即T＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1}， 剩下的元素满足x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3， ∴x1+x4＝x2+x3； （3）集合A⊆{x|0≤x≤2023，x∈N}，S∩T＝∅，记|A|为集合A中元素的个数， 设集合A＝{ a1，a2，…，ak}满足题意，其中a1＜a2＜…＜ak， 则2a1＜a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜…＜ak﹣1+ak＜2ak， ∴|S|≥2k﹣1，a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜…＜ak﹣a1，∴|T|≥k， ∵S∩T＝∅，由容斥原理，|S∪T|＝|S|+|T|≥3k﹣1， S∪T最小的元素为0，最大的元素为2ak， ∴|S∪T|≤2ak+1， ∴3k﹣1≤2ak+1≤4047（k∈N*），解得k≤1349， 实际上当A＝{675，676，…，2023}时满足题意． 证明如下： 设A＝{m，m+1，m+2，m+3，…，2023}，（m∈N）， 则S＝{2m，2m+1，2m+2，…，4046}，T＝{0，1，2，…，2023﹣m}， 依题意，有2023﹣m＜2m，即m＞674， ∴m的最小值为675， ∴当m＝675时，集合A中元素最多，即A＝{675，676，…，2023}时满足题意， 综上，|A|的最大值为1349． 【点评】本题考查集合的运算、容斥原理、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 4-3 （2024•浦东新区校级期中）已知集合A＝{a1，a2，⋯，ak}（k≥2），其中ai∈Z（i＝1，2，⋯，k）．定义：若对任意的x∈A，必有﹣x∉A，则称集合A其有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：P＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，Q＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，其中P有m个元素，Q中有n个元素． （1）已知集合K＝{﹣1，2，3}，判断K是否具有性质G；由题意可知K对应的集合P为{（﹣1，3），（3，﹣1）}，写出K对应的集合Q； （2）若集合A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，求对应集合Q的元素个数，若集合A有k个元素，猜测对应的集合Q的元素最大个数，并说明理由； （3）若集合B具有性质G，证明：m＝n． 【答案】（1）K具有性质G，对应集合Q＝{（2，﹣1），（2，3）}； （2）45，猜测个数为，利用见解析； （3）证明见解析． 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合Q； （2）直接根据定义写出Q中的元素，得出元素个数，再根据定义，探讨出k与n的关系式； （3）分（a，b）∈P和（a，b）∈Q两种情况，若（a，b）∈P，推出P的元素个数不多于Q的元素个数，即m≤n，若（a，b）∈Q，推出Q的元素个数不多于P的元素个数，即n≤m，从而得到答案． 【解答】（1）解：因为K＝{﹣1，2，3}，1，﹣2，﹣3都不属于集合K， 所以集合K具有性质G，对应集合Q＝{（2，﹣1），（2，3）}； （2）解：A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则对应集合Q中的元素为： （10，1）， （9，1），（10，2）， ⋯ （4，1），（5，2），⋯，（9，6），（10，7）， （3，1），（4，2），⋯，（9，7），（10，8）， （2，1），（3，2），⋯，（9，8），（10，9）， 共有9+8+7+⋯+2+1＝45个元素，即对应集合Q的元素个数45； 集合A有k个元素，猜测对应的集合Q的最大个数为． 理由如下： 由题意可知集合A的元素构成有序数对（ai，aj）（i，j∈N*，i≤k，j≤k），共有k2个， 因为0∉A，所以（ai，ai）∉Q， 又因为a∈A时，﹣a∉A，所以（ai，aj）∈Q时，（aj，ai）∉Q， 所以集合Q的元素个数为个． （3）证明：当集合B具有性质G时， ①对于（a，b）∈Q，根据定义可知：a∈A，b∈A，a﹣b∈A， 又因为集合B具有性质G，则（a﹣b，b）∈P， 如果（a，b），（c，d）是Q中的不同元素，那么a＝c，b＝d中至少有一个不成立， 于是b＝d，a﹣b＝c﹣d中至少有一个不成立， 故（a﹣b，b）和（c﹣d，d）也是P中不同的元素， 可见Q的元素个数不多于P的元素个数，即n≤m； ②对于（a，b）∈P，根据定义可知：a∈B，b∈B，a+b∈B， 又因为集合B具有性质G，则（a+b，a）∈Q， 如果（a，b），（c，d）是P中的不同元素，那么a＝c，b＝d中至少有一个不成立， 于是b＝d，a+b＝c+d中至少有一个不成立， 故（a+b，b）和（c+d，d）也是Q中不同的元素， 可见P的元素个数不多于Q的元素个数，即m≤n； 由①②可知m＝n． 【点评】本题考查了新定义的集合问题的解法与应用，也考查了理解与运算和转化能力，是难题． 1．（2024•青浦区校级月考）用列举法写出所有小于10的素数组成的集合 　 　 ． 【答案】{2，3，5，7}． 【分析】找出小于10的所有素数，然后列举法表示即可． 【解答】解：小于10的素数组成的集合为：{2，3，5，7}． 故答案为：{2，3，5，7}． 【点评】本题考查了素数的定义，集合的列举法的定义，是基础题． 2．区间[﹣3，5）用集合表示为 　 　 ． 【答案】{x|﹣3≤x＜5}． 【分析】借助区间与集合的关系，用描述法表示即可得． 【解答】解：由区间的定义可知，区间[﹣3，5）用集合表示为{x|﹣3≤x＜5}． 故答案为：{x|﹣3≤x＜5}． 【点评】本题主要考查了区间的定义，属于基础题． 3．下列叙述正确的是（　　） A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，+∞） B．{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2） C．（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x＜3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4} 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【解答】解：对于选项A，{x|x＞1}用区间可表示为（1，+∞），故A错误； 对于选项B，{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2]，故B错误； 对于选项C，（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x≤3}，故C错误； 对于选项D，[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了区间的定义，属于基础题． 4．已知区间[2a﹣1，11]，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，6） B．（6，+∞） C．（1，6） D．（﹣1，6） 【答案】A 【分析】由区间的定义列式即可求得结果． 【解答】解：由题意可知，2a﹣1＜11，解得a＜6． 故选：A． 【点评】本题主要考查区间的概念，属于基础题． 1．（2024•浦东新区校级月考）已知集合P为非空数集，定义+P＝{a+b|a，b∈P}，﹣P＝{|a﹣b||a，b∈P}． （1）若集合P＝{2，2024}，请直接写出集合+P和﹣P； （2）若1≤n≤2023且n∈N*，集合P＝{x|n≤x≤2023，x∈N*}满足+P∩﹣P＝∅，求n的最小值； （3）若集合P＝{x1，x2，x3，x4，x5}，x1＜x2＜x3＜x4＜x5，且﹣P＝P，求证：x1+x5＝x2+x4． 【答案】（1）+P＝{4，2026，4048}，﹣P＝{0，2022}； （2）675； （3）证明见解答． 【分析】（1）直接根据+P和﹣P的定义即可得到结果； （2）先说明当1≤n≤674时条件不满足，再说明当n＝675时条件满足，即可得到n的最小值是675． （3）先由﹣P的性质确定x1＝0，然后反复讨论x2﹣x1，x3﹣x2，x4﹣x2，x5﹣x2的取值，即可得到所要证明的结论． 【解答】解：（1）由+P和﹣P的定义，得+P＝{a+b|a，b∈{2，2024}}＝{4，2026，4048}， ﹣P＝{|a﹣b||a，b∈{2，2024}}＝{0，2022}． （2）当1≤n≤674时，因为n≤3n≤3×674＝2022≤2023，所以n，3n∈P． 所以由题中新定义知，2n＝n+n∈+P，2n＝|3n﹣n|∈﹣P，这与+P∩﹣P＝∅矛盾； 当n＝675时，对任意a，b∈P，此时n≤a，b≤2023，所以a+b≥2n＝2×675＝1350，|a﹣b|≤2023﹣n≤2023﹣675＝1348． 所以+P⊆[1350，+∞），﹣P⊆（﹣∞，1348]，满足+P∩﹣P＝∅． 综上可得，满足题意的n的最小值是675． （3）证明：因为P＝{x1，x2，x3，x4，x5}，x1＜x2＜x3＜x4＜x5． 所以，且x3﹣x2＜x4﹣x2＜x5﹣x2． 显然﹣P中不包含负数，且一定包含0， 因为﹣P＝P，所以x1＝0． 再由﹣P＝P，x1＝0＜x3﹣x2＜x3，知x3﹣x2＝x2，即x3＝2x2． 由x2＝x3﹣x2＜x4﹣x2＜x4，知x4﹣x2＝x3，即x4＝x2+x3＝x2+2x2＝3x2． 由x3＝x4﹣x2＜x5﹣x2＜x5，知x5﹣x2＝x4，即x5＝x2+x4＝x2+3x2＝4x2． 所以x1+x5＝0+4x2＝x2+3x2＝x2+x4， 综上，原命题得证． 【点评】本题考查集合的新定义，关键在于理解+P和﹣P的定义，属于中档题． 2．（2024•松江区校级月考）已知集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}． （1）若集合A＝{﹣1，0，1}，直接写出集合S、T； （2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，求证：x1+x4＝x2+x3； （3）若集合A⊆{x|0≤x≤2023，x∈N}，S∩T＝∅，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值． 【答案】（1）S＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，T＝{0，1，2}； （2）证明见解析； （3）1349． 【分析】（1）结合所给定义，计算出集合S、T中所有元素即可得； （2）结合所给定义，根据集合相等的概念计算可以证明； （3）结合所给定义，计算可得|S|≥2k﹣1，|T|≥k，再借助S∩T＝∅可得|S∪T|＝|S|+|T|≥3k﹣1，又|S∪T|≤2ak+1，计算可得k≤1349，再构造集合A＝{m，m+1，m+2，m+3，⋯，2023}，m∈N，通过计算可得m的最小值为675，即可得|A|的最大值． 【解答】解：（1）因为A＝{﹣1，0，1}， 故a+b可能为﹣2，﹣1，0，1，2， 即S＝{﹣2，﹣1，0，1，2}； |a﹣b|可能为0，1，2， 即T＝{0，1，2}； （2）证明：因为T＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1，x2﹣x1，x3﹣x2，x4﹣x3，x4﹣x2，x3﹣x1}， 又因为T＝A，A中只有4个元素， 所以T中也只包含4个元素， 又有0＜x2﹣x1＜x3﹣x1＜x4﹣x1， 故T＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1}， 则剩下的元素满足x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3，x4﹣x2＝x3﹣x1， 所以x1+x4＝x2+x3； （3）设集合A＝{a1，a2，⋯ak}满足题意，且a1＜a2＜⋯＜ak， 则2a1＜a1+a2＜a1+a3＜a1+ak＜⋯＜a2+ak＜a3+ak＜⋯＜ak﹣1+ak＜2ak， 所以|S|≥2k﹣1， 又a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜⋯＜ak﹣a1，故|T|≥k， 因为S∩T＝∅， 由容斥原理，|S∪T|＝|S|+|T|≥3k﹣1， 所以S∪T最小的元素为0，最大的元素为2ak， 所以|S∪T|≤2ak+1， 即3k﹣1≤2ak+1≤4047（k∈N）， 解得k≤1349， 实际上，当A＝{675，676，⋯2023}时满足题意； 证明如下：设A＝{m，m+1，m+2，m+3，⋯，2023}，m∈N， 则S＝{2m，2m+1，2m+2，⋯，4046}， 则T＝{0，1，2，⋯，2023﹣m}， 依题意可知，2023﹣m＜2m，即，所以m的最小值为675， 所以当m＝675时，集合A中元素最多， 即A＝{675，676，⋯，2023}时满足题意， 综上，|A|的最大值为1349． 【点评】本题属于新概念试题，考查了集合间的基本运算，逻辑推理能力，属于中档题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$