精品解析：广东省汕头市2025届高三三模数学试题

2025年高三第三次模拟考试 数学科试卷 本试卷共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上. 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上. 4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管. 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量若则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 函数的部分图象大致为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 B. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 C. 若用分层抽样的方法在该地农户家庭年收入在，，三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在的家庭应抽24个 D. 从抽样的12组中的每组中抽出一个数据，得到共12个家庭的具体收入数据，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数 10. 设是数列的前n项和，且，，则（ ） A. B. 数列是公差为的等差数列 C. 数列的前5项和最大 D. 11. 已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. D. 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 曲线在点处的切线方程是____________. 13. 如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，为的中点，求长度的最小值． 16. 2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响． （1）若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率； （2）记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望． 17. 如图，直三棱柱中，，，，M是的中点，N是BC的中点，过点N作与平面平行的直线PN，交于点P． （1）证明：平面AMN； （2）求与平面PMN所成角的正弦值； （3）求点P到平面AMN的距离． 18. 已知函数，为的导函数， （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点， （i）求的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 19. 已知椭圆的离心率. （1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程. （2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设. ①求； ②记，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三第三次模拟考试 数学科试卷 本试卷共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上. 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上. 4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管. 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合B，再进行集合的交集即可. 【详解】因为，， 所以,有3个元素. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法和减法法则计算出答案. 【详解】 故选：B. 3. 已知向量若则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据平面向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】向量 则 所以 解得. 故选：C. 4. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移变换的特征求出平移后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性即可得解. 【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位， 得， 因为函数为偶函数， 所以，则， 故选项中的一个可能取值为. 故选：B. 5. 已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】求出交点坐标，设直线，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，求出弦长和三角形面积，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，设直线， 联立得， ， 由韦达定理得， 故， 圆心O到直线的距离为， 所以，解得， 所以或 故选：C. 6. 函数的部分图象大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶函数的定义可排除BC，再由特值法可排除A. 【详解】的定义域为， 则， 所以为奇函数，故排除BC， 令，则或， 则或，解得：或， 所以当时，的最小为1， 则，故A错误，D正确. 故选：D. 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得，结合两角和的正弦公式可得结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故. 故选：C. 8. 已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若为中点，连接，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面面，结合已知条件有△为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，若为中点，连接，易知即为二面角的平面角，即可求其正切值. 【详解】若为中点，连接，由为等边三角形，则，又，且， ∴面，又面，即， 由题设，，，而， ∴，即，又，面， ∴面，而面，则面面， 由上可得：，则，故△为等腰直角三角形， ∴综上，四面体的球心为△的中心，即靠近的三等分点， 若为中点，连接，易知：即为二面角的平面角， 由上、且，面，可得面， 又面，则，即， ∴，而， ∴. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据线线垂直、勾股定理，结合线面、面面垂直的判定证面面且△为等腰直角三角形，即可确定四面体球心的位置，再由二面角的定义找到其平面角，最后由已知条件求其正切值即可. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 B. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 C. 若用分层抽样的方法在该地农户家庭年收入在，，三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在的家庭应抽24个 D. 从抽样的12组中的每组中抽出一个数据，得到共12个家庭的具体收入数据，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数 【答案】BD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图计算出平均数可判断A错误，再由图中数据计算可得B正确，利用分层抽样比计算可得年收入在的家庭应抽40个，即C错误，根据最小二乘原理可知数据a必为这12个数据的平均数，即D正确. 【详解】根据频率分布直方图可得其组距为1， 对于A，由平均数计算可得， 超过了6.5万元，即A错误； 对于B，由图可知家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的占比为，显然，即B正确； 对于C，家庭年收入在，，三组中的比例为， 因此抽取的48个家庭中年收入在的家庭应抽个，即C错误； 对于D，因为数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小， 根据最小二乘原理可知数据a必为这12个数据的平均数，即D正确. 故选：BD 10. 设是数列的前n项和，且，，则（ ） A. B. 数列是公差为的等差数列 C. 数列的前5项和最大 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令可得即可求判断A，利用的关系可得即可判断B,C，取求得即可判断D. 【详解】， ，或(舍)，故选项A正确； 又，，， 数列是公差为的等差数列，故选项B错误； 由得， ，数列的前5项和最大，故选项C正确； 当时，，这与矛盾， 故选项D错误， 故选:AC. 11. 已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用赋值法再结合偶函数即可求解；对B，先推出的周期，再结合中心对称的结论即可求解；对C，利用周期性即可求解；对D，利用函数的奇偶性，单调性，再结合函数的对称性即可求解. 【详解】对A，满足， 令， 则，即， 又为偶函数，，故A对； 对B，， ， 故的周期， 再根据，即， 的图象关于点成中心对称，故B对； 对C，由B知：的周期， 故， ， 令， 则， 又当时， ， 即， 即， ， 故，故C错误； 对D，满足， 关于中心对称， 又当时， 在上单调递增； 当时，， 当时，为偶函数， ， ， 当且仅当时，即时等号成立， ，故D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答此类有关函数性质的题目，关键点在于要结合函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 曲线在点处的切线方程是____________. 【答案】 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由题设，则切线斜率，又，得， 所以曲线在点处的切线方程是， 所以切线方程为. 故答案为： 13. 如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个小圆锥的体积，利用母线长可求得大圆锥的底面圆半径，进而求得圆锥的高，可求大圆锥的体积，同理求得小圆锥的体积，可求圆台的体积. 【详解】圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个小圆锥的体积， 扇形所围成的大圆锥的弧长为，所围成底面圆的半径为， 所以圆锥的高为， 故扇形所围成的大圆锥的体积为. 同理可得扇形所围成的小圆锥的体积为， 所以则该圆台的体积为. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】引入参数，结合双曲线定义、正弦定理表示出，，，，，在中由余弦定理可得，在中，运用余弦定理可得出，结合离心率公式即可得解. 【详解】 在中，设，由正弦定理得，则， 所以由双曲线的定义可知，， 故， 在中，，解得， 所以在中，，，， 又，解得， 所以离心率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于适当引入参数，结合已知得出参数与的关系，进而结合离心率公式即可得解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，为的中点，求长度的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求解即得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则 ，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 依题意，，由（1）知，得， 在中，由余弦定理得 ，当时取到等号， 所以的最小值为. 16. 2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响． （1）若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率； （2）记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 2 3 4 5 【解析】 【分析】（1）利用事件的相互独立，根据连续答对4道题的要求，分两类进行求解； （2）确定的可能取值为，分别求出，，，再列出分布列即可求解． 【小问1详解】 用表示张某第道题答对， 用表示张某第道题答错， 由题意得， 记张某得到直升卡为事件， 则 ． 即张某得到直升卡的概率为． 【小问2详解】 由题可得的可能取值为． ， ， ， ， 则的分布列如下， 2 3 4 5 所以． 17. 如图，直三棱柱中，，，，M是的中点，N是BC的中点，过点N作与平面平行的直线PN，交于点P． （1）证明：平面AMN； （2）求与平面PMN所成角的正弦值； （3）求点P到平面AMN的距离． 【答案】（1）在直三棱柱中，则两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， 所以， 由，则， 由，则， 由且都在平面内，则平面AMN； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，进而得到，利用向量数量积的坐标运算得到，，即得垂直关系，最后应用线面垂直的判定证明结论； （2）根据已知求得，再求平面的一个法向量，结合，向量法求线面角的正弦值； （3）应用向量法求点面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，，平面的一个法向量为， 由平面，则，可得，故， 设平面的一个法向量，，， 所以，取，则， 所以， 故与平面PMN所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知， 所以点P到平面AMN的距离. 18. 已知函数，为的导函数， （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点， （i）求的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】（1）在上单调递减，在单调递增； （2）（i）； （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增. 所以，故原不等式成立. 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性； （2）（i）先讨论单调性，根据有两个零点得出最小值，即可得的取值范围；（ii）结合（i）知，要证，即证，即，分和进行证明. 【小问1详解】 当时，，函数的定义域为， ， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 （i）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴当时，取得最小值，最小值为. 因为函数有两个零点，且时，，时，， 所以. 设，易知函数在单调递增. 因为，所以的解集为. 综上所述，实数的取值范围是. （ii）略 19. 已知椭圆的离心率. （1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程. （2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设. ①求； ②记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率得到之间的关系，再结合椭圆过点，求出的值，从而得到椭圆的方程. （2） ①利用根与系数的关系及中点坐标公式求得点的坐标，再根据三点共线得之间的关系；②求得，并利用等比数列的前项和公式求得. 【小问1详解】 因，可得： ①， 又椭圆过点，可得 ②， 联立①，②，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 直线与轴重合，不符合题意，故直线的斜率均存在且不为0. 设直线的方程为， 联立，消去，整理得：， 因直线交椭圆于两点，则，且，则， 因直线的方程为，同理可得：， 因三点共线，则，即， 易知，则， 因，则； ②结合①可知，则 ， 因，则数列是首项为9，公比为3的等比数列， 所以数列的前项和为. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆相交以及等比数列求和的问题，属于难题.解题的关键点是联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和三点共线，求出点的坐标，从而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $