专题06 一次函数的实际应用与综合探究（6个经典基础题型＋4个优选提升题型）（天津专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题06 一次函数的实际应用与综合探究 一次函数的实际应用（行程问题） 1. （23-24八年级下·天津和平·期末）已知学生宿舍、超市、篮球馆依次在同一条直线上，超市离宿舍，篮球馆离宿舍，小明从宿舍出发，先匀速步行到超市，在超市停留了，之后匀速骑行到达篮球馆，在篮球馆锻炼了后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．      请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 40 75 小明离宿舍的距离 0.8 (2)当时，请写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (3)当小明离开宿舍时，同宿舍的小杰从超市出发匀速步行直接前往篮球馆，如果小杰比小明晚到达篮球馆，那么他在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的关系和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据图象以及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； （2）利用待定系数法求解即可，然后写成分段函数的形式； （3）根据题意，利用待定系数法求出小杰离宿舍的距离与时间之间的关系式，根据二人离宿舍的距离相等列方程，求解再进行计算即可． 【详解】（1）解：小明从宿舍到超市过程中的速度为：， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：， 由图可知，当小明离开时，他离宿舍的距离为， 小明从自习室返回宿舍过程中的速度为， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：， 故答案为：；2；1． （2）解：当时，设小明离宿舍的距离关于时间的函数解析式为，为常数）， 将代入， 得， 解得， ， 当时，由图象可知，小明离宿舍的距离始终为0.8， ， 当时，设小明离宿舍的距离关于时间的函数解析式为： ，、均为常数）， 将和代入， ， 解得：， ， 综上所述，小明离宿舍的距离关于时间的函数解析式为． （3）解：设小杰离宿舍的距离关于时间的函数解析式为：，、均为常数）， 将和代入， 得， 解得：， ， 小杰在前往篮球馆的途中遇到了小明， ， 解得， 此时离宿舍的距离为， 答：小杰在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是． 2. （23-24八年级下·天津河西·期末）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地，下面图象反映了这个过程中小明离甲地的距离ym与离开甲地的时间之间的对应关系． (1)甲、乙两地的距离为________m， ______； (2)求小明从乙地返回甲地的过程中，y与x之间的函数关系式； (3)在小明从甲地出发的同时，小红以的速度从乙地匀速步行至甲地，并停在甲地，小明从甲地出发______与小红相距400m？（直接写出答案即可） 【答案】(1)2000，14 (2)； (3)5或7.5或22． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象有效的获取信息，是解题的关键． （1）由图象，直接获取信息即可； （2）设，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分两人相遇前，相遇后，以及小明返回甲地时三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知：甲、乙两地的距离为， ∵小明以相同的速度返回， ∴两次所用时间相同， ∴， ∴； 故答案为：2000，14； （2）解：设， 由图象可知，直线过两点， ∴，解得：， ∴； （3）解：由图象可知：小明的速度为：， 小红到达甲地所需时间为：； 当两人相遇前：，解得：； 当两人相遇后： ，解得：； 当小明从乙地返回时，，解得：； 综上：小明从甲地出发5或7.5或22时，与小红相距400m． 3. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小旭家，图书馆，超市依次在同一条直线上，图书馆离小旭家，超市离小旭家．周末小旭先从家出发匀速骑行到超市，停留了购买文具；然后匀速骑行到图书馆；在图书馆借书停留了后，匀速骑行了返回家中．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小旭离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小旭离开家的时间/ 5 10 15 22 53 小旭离家的距离/ 2.9 0 (2)填空： ①超市到图书馆的距离为______； ②当小旭离家的距离为1km时，他离开家的时间为______． (3)当时，请直接写出小旭离家的距离y关于时间x的函数解析式． 【答案】(1)1.45；2.9；1.5 (2)①1.4；②或 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是读懂题意，掌握从函数图象中获取信息的能力． （1）先算出小旭匀速骑行的速度，再根据“路程速度时间”即可求得离开家的时间为时离家的距离，根据图象即可得到离开家的时间为时离家的距离； （2）①根据图象即可得到答案；②分两种情况：从家出发离家的距离为和返回时离家的距离为，分别列式计算即可； （3）根据路程速度时间，分段列出函数关系式即可． 【详解】（1）根据图象可得，小旭匀速骑行的速度为， 则离开家的时间为时，离家的距离为， 到离开家的时间为时，离家的距离为， 到离开家的时间为时，离家的距离为； 故答案为：1.45；2.9；1.5； （2）①书店到超市的距离为； 故答案为：1.4； ②当小旭从家出发离家的距离为时，他离开家的时间为， 当小旭从家返回离家的距离为时， 小明从书店返回家的速度为 ∴他离开家的时间为； 故答案为：或； （3）当时，， 当时，， 当，， 综上，． 4. （23-24八年级下·天津南开·期末）已知甲、乙、丙三地依次在一条直线上，丙地距离甲地，乙地距离甲地．张师傅驾车从甲地出发匀速行驶了到达乙地，在乙地休整了，然后继续以原来的速度匀速行驶到达丙地．当张师傅从甲地出发时，王师傅驾车从丙地出发匀速行驶到达甲地后，立即以原速返回丙地，结果他比张师傅提前到达丙地．给出的图象反映了这个过程中两位师傅离甲地的距离（单位：）与他们行驶的时间（单位：）之间的对应关系．请结合相关信息，解答下列问题： (1)填表： 张师傅行驶的时间（单位：） 1 5 6 ______ 张师傅离甲地的距离（单位：） 300 300 480 (2)请直接写出王师傅离甲地的距离（单位：）与他行驶的时间（单位：）之间的函数解析式； (3)填空： ①在王师傅返回丙地的过程中，他与张师傅相遇时距离乙地______； ②两位师傅从出发到张师傅到达丙地的整个过程中，他们相距时，为______（）． 【答案】(1)， (2) (3)①②或或 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，一元一次方程的应用，分式方程的应用，待定系数法等 （1）由图象可得张师傅驾车的速度为()，即可求解； （2）设王师傅驾车的速度为，由等量关系式：张师傅所用的时间王师傅所用的时间，可求出王师傅的速度，分段：当时，当时，列出函数关系式，即可求解； （3）①由待定系数法可求王师傅回来时的直线关系式为，张师傅休整后行驶的图象直线的解析式为，联立即可求解；②分阶段讨论：当时，当时，当时，当时，即可求解； 理解、的实际意义，能按时间进行分段讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 张师傅驾车的速度为：()， 当时， ()， ()； 故答案：，； （2）解：设王师傅驾车的速度为，则有 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； ()， ()， 当时， ， 当时， ， ， ； （3）解：①设王师傅回来时的直线关系式为，经过，，则有 ， 解得：， ， 同理可求：张师傅休整后行驶的图象直线的解析式为， 联立得， 解得， ； 故答案：； ②， 解得：， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当时， 若， 则， 表明王师傅追上了张师傅，当时， ， 解得：； 此时不符合题意； 当时， ， 解得：， 而，矛盾， 此时也不符合题意； 综上所述：为或或； 故答案：或或． 5. （23-24八年级下·天津·期末）已知学生宿舍、便利店、篮球馆依次在同一条直线上，便利店离宿舍，篮球馆离宿舍．小明从宿舍出发，先匀速步行到达便利店买饮用水，在便利店停留，之后匀速步行到达篮球馆，在篮球馆锻炼了后，匀速骑行返回宿舍．如图所示图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 20 60 95 小明离宿舍的距离 ___________        ___________        ___________        ___________        （Ⅱ）填空：小明从篮球馆返回宿舍的骑行速度为 ___________； （Ⅲ）当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅳ）当小明离开便利店时，同宿舍的小杰从宿舍出发，匀速骑行直接前往篮球馆，如果小杰比小明提前到达篮球馆，那么他在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（Ⅰ），，2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）；（Ⅳ） 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （Ⅰ）根据图象及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； （Ⅱ）根据“篮球馆离宿舍的距离这个过程所用时间”计算即可； （Ⅲ）利用待定系数法求解，并写成分段函数的形式； （Ⅳ）根据题意，作出小杰离宿舍的距离y关于时间x的图象并利用待定系数法求其关系式，根据相遇时二人离宿舍的距离相等列方程，求出x值，代入函数求出对应y的值即可． 【详解】解：（Ⅰ）当时，小明骑行速度为， 当时，小明离宿舍的距离为； 当时，； 当时，； 当时，小明骑行速度为， 当时，小明离宿舍的距离为． 故答案为：，，2，1． （Ⅱ）（Ⅰ）中已求出，小明从篮球馆返回宿舍的骑行速度为． 故答案为：． （Ⅳ） 当时，设小明离宿舍的距离y于时间x关系式为为常数，且． 将坐标代入， 得， 解得， ； 当时，； 当时，设小明离宿舍的距离y于时间x关系式为（为常数，且）． 将坐标和代入， 得， 解得， ． 综上，小明离宿舍的距离y于时间x关系式为． （Ⅳ）如图，小杰离宿舍的距离y于时间x图象如所示．    由题意可知，点A坐标为，点B坐标为． 设的函数关系式为（k、b为常数，且） 将坐标和分别代入， 得， 解得， 的函数关系式为； 当二人相遇时，二人离宿舍的距离相等，得，解得， 二人离宿舍的距离为， 他在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是． 6. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境    已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小明同学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学生公寓的时间/min 5 8 20 87 112 离学生公寓的距离/km 0.5 1.6 (2)填空： ①阅览室到超市的距离为__________； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为_________； ③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为______． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)，，2 (2)①；②；③10或116 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】(1)根据题意和函数图象，可以将表格补充完整； (2)根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整； (3)根据(2)中的结果和函数图象中的数据，可以写出当时，y关于x的函数解析式． 【详解】（1）由图象可得，在前12分钟的速度为：， 故当时，离学生公寓的距离为； 在时，离学生公寓的距离不变，都是 故当时，距离不变，都是； 在时，离学生公寓的距离不变，都是， 所以，当时，离学生公寓的距离为 故填表为： 离开学生公寓的时间/ 5 8 20 87 112 离学生公寓的距离/                     2 （2）①阅览室到超市的距离为； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为： ； ③分两种情形： 当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为： ； 当小琪返回与学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为： ； 故答案为：①；②；③10或116 （3）当时，设直线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴； 当时，； 当时，设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴， 由上可得，当时，y关于x的函数解析式为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图像设计了一个问题情境．    已知小明家、食堂、图书馆依次在同一条直线上．食堂离小明家．图书馆离小明家．周末，小明从家出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆读报停留，然后匀速走了返回家．给出的图像反映了这个过程中小明离家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间/min 8 20 40 小明离家的距离/km (2)填空： ①食堂到图书馆的距离为______________km； ②小明从图书馆返回家中的速度为______________； ③当小明离家的距离为时，他离开家的时间为______________min． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)5；； (2)①；②；③ 或 (3) 【分析】（1）根据运动时间，结合运动过程，判定依次为正比例函数，停留食堂，停留图书馆，计算即可． （2）①食堂到图书馆的距离等于图书馆离家的距离与食堂与家的距离的差，计算即可； ②根据，计算即可； ③分去时，离家的距离为和返回时，离家的距离为计算即可． （3）分三种情形计算即可． 【详解】（1）根据题意，当时，运动图像是正比例函数，此时速度为，故， 当时，； 当时，停留在食堂， 故； 当时，停留在图书馆， 故； 故答案为：5；；． （2）①食堂到图书馆的距离等于， 故答案为：． ②根据题意，的， 故答案为：． ③当去时，离家的距离为时，根据题意，得， 解得； 当返回时，离家的距离为时，根据题意，得， 解得； 故离家时间为 故答案为：或． （3）根据题意，当时，运动图像是正比例函数，此时速度为， 故， 当时，运动图像是常数， 故； 当时，设直线解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为； 综上所述，函数关系式为：． 【点睛】本题考查了函数图像及其信息，一次函数解析式，正比例函数解析式，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，一次函数解析式，正比例函数解析式，分类思想是解题的关键． 8. （22-23八年级下·天津·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境. 已知小红家、公园、体育馆依次在同一条直线上，她从家骑车出发，匀速骑行后到达公园，参观一段时间后匀速骑行前往体育馆，用时，刚到体育馆，接到妈妈电话，快速返回家中，回家途中匀速骑行．给出的图象反映了这个过程中小红离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题：    (1)填表： 离开家的时间/h 0.1 0.2 0.5 1.2 离开家的距离/km 2 (2)填空： ①小红在公园游玩的时间为______h； ②从公园到体育馆的途中，骑行速度为______km/h； ③接到妈妈电话后，小红返回家的速度为______km/h； (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)1，2，6 (2)，10，15 (3) 【分析】（1）根据函数图象横、纵坐标表示的意义填空即可； （2）①根据函数图象中的数据，计算即可；②③根据速度=路程÷时间计算即可； （3）利用待定系数法解答即可． 【详解】（1）∵ ∴当时，； 从图象可知，在时，离开家的距离没有改变，是， 所以，当时，； 从图象可知，当时，， 故填表为； 离开家的时间/h 离开家的距离/km 1 2 2 6 （2）①小红在公园游玩的时间为：（h）， 故答案为：； ②从公园到体育馆的途中，骑行速度为， 故答案为：10； ③接到妈妈电话后，小红返回家的速度为：， 故答案为：15； （3）当时，设， 把代入得： ， 解得， 故； 当时，设y=， 把代入得： ， 解得， 故， ∴． 【点睛】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键． 9. （23-24八年级下·天津河东·期末）已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，街心公园与小明家相距，超市与小明家相距．小明和妈妈从家出发，匀速步行了到达街心公园：两人在公园停留后，妈妈按从家出发时相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行到达超市购买文具用品、停留后，骑自行车匀速返回家，如图反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间的对应关系，    请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间/ 10 20 35 55 离家的距离/ (2)小明从街心公园到超市的速度为______； (3)小明的妈妈比小明提前______到家； (4)当时，请直接写出小明离开家的距离关于与离开家的时间的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)10 (4) 【分析】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象可以算出小明从家到街心公园的速度，再结合图象即可求解； （2）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明从街心公园到超市的速度； （3）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明妈妈到家的时间，即可求解； （4）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明离开家的距离y(千米)与离开家的时间x(分钟)的函数解析式，并写出x的取值范围． 【详解】（1）解：由图可得，小明从家到街心公园的速度为：， 当离开家时，离家距离， 当离开家时，离家距离， 根据图象可得，需停留，故当离开家时，离家距离， 根据图象可得，当离开家时，离家距离， 故答案为：，，； （2）解：由图可得， 小明从街心公园到超市的速度为：， 故答案为：； （3）解：由图可得，小明到家需要的时间为：， 小明的妈妈从家到街心公园的速度为：， 小明妈妈到家需要的时间为：， 故小明的妈妈比小明提前到家． 故答案为：10． （4）解：根据（2）得小明从街心公园到超市的速度为：， 小明从超市到家的速度为：， 当时，； 当时，； 当时，； 故． 10. （21-22八年级下·天津·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小红的家、新华书店、商场依次在同一条直线上，新华书店离家4000m，商场离家6250m．周末小红骑车从家出发去商场买东西，当他匀速骑了15min到达离家6000m处时，想起要买一本书，于是原路返回，匀速骑了5min到刚经过的新华书店，买到书后加速，继续匀速走了5min到达商场．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离ym与离开家的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表 离开家的时间/min 5 10 15 25 35 离家的距离/m 2000 6000 (2)填空 ①新华书店到商场的距离为 m； ②小红在新华书店买书所用的时间是 min； ③小红从家出发到新华书店，骑行速度为 m/min； (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)4000，4000，6250 (2)①2250；②10；③400 (3) 【分析】(1)由图象分别计算10 min、25 min、35 min时离开家的距离即可； (2)①由图象直接可得答案； . ②用路程除以时间即可得速度； ③用路程除以时间即可； (3)根据图象用待定系数法分段列出函数关系式即可． 【详解】（1）由已知得： 小红离开家的时间是15 min时，离开家的距离为6000m， ∴小红的速度为：6000÷15 = 400 (m/ min)， ∴离开家的时间是10 min时，离开家的距离为400×10 = 4000 (m)， 离开家的时间是20 min时，小红到达书店，此时离开家的距离为4000m， 离开家的时间是35 min时，小红到达商场， ∵小红从书店到商场用了5 min， ∴a= 35-5= 30， ∴小红离开家的时间是25 min时，离开家的距离为4000m， 小红离开家的时间是35 min时，离开家的距离为6250m， 故答案为： 4000， 4000， 6250； （2）①新华书店到商场的距离为： 6250 - 4000 = 2250 (m)， 故答案为：2250； ②小红在新华书店买书所用的时间是 30- 20 = 10 (min)， 故答案为：10； ③小红从家出发到新华书店，骑行的速度为：400m/min 故答案为：400； （3）当0≤x≤15时，y= 400x； 当15< x≤20时，设y关于x的函数解析式为y= kx+ b(k≠0)， 则 ； 解得： ； ∴ y关于x的函数解析式为:y= -400x + 12000； 当20< x≤30时，y= 4000； 当30< x≤35时，设y关于x的函数解析式为y=xm+n(m≠0)， 则 ； 解得： ； y关于x的函数解析式为y = 450x – 9500； 综上所述：y关于x的函数解析式为： ． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握从函数图象中获取信息的能力． 一次函数的实际应用（分配方案问题） 1. （22-23八年级下·天津和平·期末）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资万元，到乙地耗资万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资万元，到乙地耗资万元，设从A调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元． (1)用含x的代数式填写下表： 运往甲地（单位：台） 运往乙地（单位：台） A省 B省 运往甲地耗资（单位：万元） 运往乙地耗资（单位：万元） A省 B省 (2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)若总耗资不超过万元，共有哪几种调运方案? 【答案】(1)，，，，， (2) (3)两种，分别是方案一：从A省往甲地调运26台，往乙地调运2台；从省往甲地调运1台，往乙地调运23台；方案二：从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从省往甲地调运0台，往乙地调运24台；调运方案二的总耗资最少． 【分析】（1）根据甲、乙两地需要大型挖掘机台数以及两省挖掘机台数用未知数列出相关代数式即可； （2）利用就可以表示出A省、省调甲，乙两地的台数，进而可以得到费用，即可得到函数解析式； （3）总耗资不超过万元，即可得到关于的不等式求解即可． 【详解】（1）解：从A调往甲地台挖掘机，甲地需要27台，则从省调台到甲地；因为省共28台挖掘机，已经调往甲地台挖掘机，则还剩台调往乙地，乙地需要25台，已经从省调台到乙地，省共24台挖掘机，从省调台到甲地后还剩台调往乙地；从A省向甲地需耗资万元，到乙地耗资万元；从B省向甲地需耗资万元，到乙地耗资万元， 则填表如下： 运往甲地（单位：台） 运往乙地（单位：台） A省 B省 运往甲地耗资（单位：万元） 运往乙地耗资（单位：万元） A省 B省 故答案为：，，，，， （2）解：由（1）可知，则 由题意得： 即：， 故与之间的函数关系式为：． （3）解：依题意得：解得： 又且为整数， 或27． 要使总耗资不超过万元，有如下两种调运方案： 方案一：从A省往甲地调运26台，往乙地调运2台；从省往甲地调运1台，往乙地调运23台， 方案二：从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从省往甲地调运0台，往乙地调运24台， ． 调运方案二的总耗资最少． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、列函数解析式、列代数式、一元一次不等式的应用等知识点，根据已知表示出从省调台到甲地后还剩台调往乙地是解题关键． 2. （22-23八年级下·天津北辰·期末）某年级430名师生秋游，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（座/辆） 60 45 租金（元/辆） 550 450 (1)设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式； (2)当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】(1)y＝100x+3600 (2)当甲种客车有5辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是4100元 【分析】（1）设租用甲种客车x辆，根据题意列出一次函数解析式即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求得的范围，进而根据一次函数的性质求得最值 【详解】（1）由题意，得： y＝550x+450（8﹣x）， 化简，得y＝100x+3600， 即y（元）与x（辆）之间的函数表达式是y＝100x+3600； （2）由题意，得： 60x+45（8﹣x）≥430， 解得，x且x为整数， ∵y＝100x+3600， ∵100＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴x＝5时，租车费用最少，最少为：y＝100×5+3600＝4100（元）， 即当甲种客车有5辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是4100元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出一元一次不等式以及一次函数解析式是解题的关键． 3. （20-21八年级下·天津和平·期末）在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到没有受洪水威胁的，两个仓库．已知甲库有粮食吨，乙库有粮食吨，而库的容量为吨，库的容量为吨． （1）填空： 若从甲库运往库粮食吨， ①从甲库运往库粮食________吨； ②从乙库运往库粮食________吨； ③从乙库运往库粮食________吨； （2）填空： 若从甲库运往库粮食吨， ①从甲库运往库粮食________吨； ②从乙库运往库粮食________吨； ③从乙库运往库粮食________吨； （3）从甲、乙两库到，两库的路程和运费如表：（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送千米所需人民币） 路程（千米） 运费（元/吨·千米） 甲库 乙库 甲库 乙库 库 库 写出将甲、乙两库粮食运往，两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式．并求出当从甲、乙两库各运往，两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？ 【答案】（1）①；②；③； （2）①；②；③； （3）；从甲库运往库吨粮食，从甲库运往库吨粮食，从乙库运往库吨粮食，从乙库运往库吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是元 【分析】（1）根据甲、乙和A、B的库容量计算即可求解； （2）根据甲、乙和A、B的库容量，将代入计算即可求解； （3）根据距离和运费依次相乘，最后相加即可得到总运费（元）与（吨）的函数关系式；然后根据每个库最大容量和最低库容，确定的取值范围，最终根据一次函数的性质即可判断． 【详解】（1）①；②；③； （2）①从甲库运往库粮食：吨； ②从乙库运往库粮食：吨； ③从乙库运往库粮食：吨， 故从乙库运往库粮食：吨； （3）从甲库运往库粮食吨时，总运费为： ． 从乙库运往库粮食吨， ． 此时． （）． ， 随的增大而减少． 当时，取得最小值，最小值是； 具体方案为：从甲库运往库吨粮食，从甲库运往库吨粮食，从乙库运往库吨粮食，从乙库运往库吨粮食时，此时最省的总运费是元． 答：从甲库运往库吨粮食，从甲库运往库吨粮食，从乙库运往库吨粮食，从乙库运往库吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是元． 【点睛】本题考出来一次函数的实际应用，重点是读懂题意，列出解析式，（3）问关键是确定的取值范围；近几年数学科目的题干逐渐边长，要求考生阅读理解能力应该同步提升． 4. （18-19八年级下·天津滨海新·期末）某单位要印刷“市民文明出行，遵守交通安全”的宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1.5元印刷费，另收120元的制版费：乙印刷厂提出：每份材料收3元印刷费，不收制版费 设在同一家印刷厂一次印制数量为x份（x为正整数） （1）根据题意，填写下表 一次印制数量（份） 5 10 20 … 甲印刷厂收费（元） 127.5 … 乙印刷厂收费（元） 30 … （2）设选择甲印刷厂的费用为y1元，选择乙印刷厂的费用为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式； （3）在印刷品数量大于500份的情况下选哪家印刷厂印制省钱？请说明理由． 【答案】（1）135，150，15，60；（2）y1=120+1.5x， y2=3x；（3）在印刷品数量大于500份的情况下选甲家印刷厂印制省钱． 【分析】(1)根据题意，可以将表格中的数据计算出来并将表格补充完整； (2)根据题意可以直接写出y1，y2关于x的函数关系式； (3)先判断，然后根据题意说明理由即可，理由说法不唯一，只要合理可以说明判断的结果即可． 【详解】(1)由题意可得， 当x=10时，甲印刷厂的费用为：120+1.5×10=135(元)， 当x=20时，甲印刷厂的费用为：120+1.5×20=150(元)， 当x=5时，乙印刷厂的费用为：3×5=15(元)， 当x=20时，乙印刷厂的费用为：3×20=60(元)， 故答案为135，150，15，60； (2)由题意可得， y1=120+1.5x， y2=3x； (3)在印刷品数量大于500份的情况下选甲家印刷厂印制省钱， 理由：当x=500时， y1=120+1.5×500=870， y2=3×500=1500， ∵870＜1500，甲每多印刷一份需要交付1.5元，乙每多印刷一份需要交付3元， ∴在印刷品数量大于500份的情况下选甲家印刷厂印制省钱． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 一次函数的实际应用（最大利润问题） 1. （23-24八年级下·天津·期末）某玩具商家安排采购员小雷从厂家购进A、B两款玩具，这两款玩具的进价和售价如表： 品名 A B 进价（元/个） 90 75 售价（元/个） 120 100 (1)第一次小雷用8400元购进了A、B两款玩具共100个，求A、B两款玩具各购进多少个？ (2)第二次小雷在进货时，厂家规定玩具A的进货数量不得超过玩具B进货数量的两倍，小雷计划购进两种玩具共150个，设小雷购进A款玩具m个（），售完两款玩具共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润． 【答案】(1)购进A款玩具60个、B款玩具40个 (2)购进A款玩具100个、B款玩具50个才能获得最大利润，最大利润是4250元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的实际应用： （1）设购进A款玩具x个，则购进B款玩具个．根据题意，列出方程，即可求解； （2）设小雷购进A款玩具m个，则小雷购进B款玩具个．根据题意，列出不等式，求出m的取值范围，再求出W关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设购进A款玩具x个，则购进B款玩具个．根据题意，得： ， 解得， （个）， ∴购进A款玩具60个、B款玩具40个． （2）解：设小雷购进A款玩具m个，则小雷购进B款玩具个．根据题意，得： ， 解得：． ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∵， ∴当时，W值最大，， （个）， ∴购进A款玩具100个、B款玩具50个才能获得最大利润，最大利润是4250元． 2. （22-23八年级下·天津武清·期末）近年来，我国着力促进教育公平，提升教育质量，教育数字化工作持续推进、成果丰硕．在教育数字化进程中，多媒体的作用不可小觑．某教育科技公司销售A，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 售价（万元/套） 该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共50套，设购进A种多媒体设备x套，利润为y万元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)购进A种多媒体设备10套时，能获得最大利润 【分析】（1）设购进A种多媒体设备2套，则购进B种多媒体设备套，根据利润（售价进价）销量，即可列出y与x之间的函数关系式； （2）先求出x的取值范围，再结合一次函数的性质，求出利润的最大值即可． 【详解】（1）解：设购进A种多媒体设备x套，则购进B种多媒体设备套， 由题意得：， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意可得：， 解得． 在中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值， 答：购进A种多媒体设备10套时，能获得最大利润． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用一次函数的性质求最值，明确题意，根据题中给出的等量关系写出相应的函数解析式是解答本题的关键． 3. （22-23八年级下·天津南开·期末）为全面推进乡村振兴，某地将农户种植的农产品包装成A，B两种大礼包．一超市预购进两种大礼包共400个，A种大礼包的进价为47元/个，预售价为65元/个；B种大礼包的进价为37元/个，预售价为50元/个．设购进A种大礼包x个，两种大礼包全部售完时获得的总利润为W元，其中x为正整数． (1)填表： 购进A种大礼包数量（个） 购进B种大礼包数量（个） 购进两种大礼包的总费用（元） 总利润W（元） 50 350 15300 5450 300 6700 (2)如果购进两种大礼包的总费用不超过18000元，那么商场购买两种大礼包分别为多少个时，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)商场购买A种大礼包320个、B种大礼包80个时，才能获得最大利润，最大利润是6800元 【分析】（1）根据题意结合利润=（售价-进价）×数量解答即可； （2）由（1）题的结果可得关于x的不等式，求出x的范围后再结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）若购进A种大礼包300个，则购进B种大礼包个，于是购进两种大礼包的总费用为元； 若购进B种大礼包个，则购进A种大礼包x个，于是购进两种大礼包的总费用为（元），总利润为（元）； 填表如下： 购进A种大礼包数量（个） 购进B种大礼包数量（个） 购进两种大礼包的总费用（元） 总利润W（元） 50 350 15300 5450 300 100 17800 6700 x （2）根据题意得：， 解得：， ∵，且W随x的增大而增大， ∴当时，W最大，此时元， ∴商场购买A种大礼包320个、B种大礼包80个时，才能获得最大利润，最大利润是6800元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式和一次函数的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 4. （21-22八年级下·天津和平·期末）某商场为庆祝开业，特在开业当天推出了两种购物方案： 方案一：非会员购物所有商品价格可享九折优惠； 方案二：若额外缴纳50元会费成为该商场的会员，则所有商品价格可享八折优惠． 设王女士在该商场开业当天的累计购物金额为元． (1)根据题意，填写表格： 累计购物金额（元） 350 450 550 650 …… 方案一的付款金额（元） 315 405 ______ ______ …… 方案二的付款金额（元） 330 410 ______ ______ …… (2)分别写出王女士按方案一、方案二的付款金额元、元与累计购物金额元（）之间的函数关系式； (3)当时，王女士选择哪种购物方案更合算？并说明理由． 【答案】(1)495、585、490、570 (2)， (3)当时，王女士选择方案一和方案二一样合算；当时，王女士选择方案一更合算；当时，王女士选择方案二更合算 【分析】（1）根据两种购物方案列式计算即可； （2）根据题意分别得出两种优惠方案的关系式即可； （3）设y=y1-y2，根据（2）得出y与x的关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）方案一：（元），（元）， 方案二：（元），（元）， 故答案为：495、585、490、570； （2）根据题意得：， ； （3）设， 令，解得， ∴当时，王女士选择方案一和方案二的付款金额一样． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，，王女士选择方案一更合算， 当时，，王女士选择方案二更合算． 综上所述，当时，王女士选择方案一和方案二一样合算； 当时，王女士选择方案一更合算； 当时，王女士选择方案二更合算． 【点睛】此题考查一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键． 一次函数实际应用（其他问题） 1. （22-23八年级下·天津红桥·期末）甲、乙两家商场以同样的价格出售相同的商品．“五一”节期间两家商场都举行让利酬宾活动．在甲商场按累计购物金额的收费；在乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设在同一商场累计购物金额为x元，其中． (1)根据题意，填写下表： 累计购物金额/元 100 400 在甲商场实际花费/元 80 在乙商场实际花费/元 100 340 (2)设在甲商场的实际花费为元，在乙商场的实际花费为元，分别写出关于x的函数解析式； (3)当时，顾客在哪家商场购物的实际花费少？ 【答案】(1)320； (2)，； (3)当时，顾客在甲商场购物的实际花费少；当时，顾客在两家商场购物的实际花费相同；当时，顾客在乙商场购物的实际花费少． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式，进行求解． （1）根据“甲商场按累计购物金额的收费“即可求解； （2）根据题意即可得出，关于x的函数解析式； （3）利用（2）所得代数式，列方程或不等式求解即可． 【详解】（1）在甲商场购买400元的金额时，实际花费是（元）； 故答案为：320； （2）根据题意得， 当时，； 当时，，即． （3）当时，有，． ∴． 记，由，有y随x的增大而增大． 又时，得， ∴当时，顾客在两家商场购物的实际花费相同； 当时，有，即， ∴顾客在乙商场购物的实际花费少； 当时，有，即． ∴顾客在甲商场购物的实际花费少． 综上所述，当时，顾客在甲商场购物的实际花费少；当时，顾客在两家商场购物的实际花费相同；当时，顾客在乙商场购物的实际花费少． 2. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）某公司有A，B两种客车，它们的载客量和租金如下表： A B 载客量（人/辆） 60 45 租金（元/辆） 300 250 某校计划同时租用A，B两种客车共6辆（不单独租用某一种客车），组织330名师生到综合素质教育实践基地参加活动，设学校租用A种客车x辆，租车总费用为y元． (1)学校至少租用多少辆A种客车？ (2)求出y与x之间的函数关系式； (3)求租车总费用的最小值． 【答案】(1)4辆 (2) (3)1700元 【分析】（1）租x辆A种客车，则租B种客车辆，根据两种客车的载客量之和大于或等于师生人数列不等式，即可求解； （2）根据单价、数量、总价的关系，用含x的代数式表示出租A，B两种客车所需费用，求和即可； （3）根据一次函数图象的增减性可知x取最小值时租车总费用最低，结合（1）中结论即可求解． 【详解】（1）解：设租x辆A种客车，则租B种客车辆， 则， 解得， 因此学校至少租用4辆A种客车； （2）解：由题意知， 即y与x之间的函数关系式为； （3）解：同时租用A，B两种客车共6辆（不单独租用某一种客车），由（1）得学校至少租用4辆A种客车， 或， ，， 当时，取最小值，最小值为：， 即租车总费用的最小值为1700元． 【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意正确列出不等式和一次函数． 3. （21-22八年级下·天津北辰·期末）甲、乙两个书店举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价7折出售；乙书店：所购图书标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元的部分打5折．设要购买图书的标价总额为x元，实际支付金额为y元． (1)根据题意，填写下表： 在乙书店购买图书标价总额/元 60 80 90 100 在乙书店购买图书实际支付金额/元 60         85       (2)如果在甲书店购书，请直接写出y与x的函数解析式； (3)如果在乙书店购书，请直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)80，90 (2) (3) 【分析】（1）根据乙书店所购图书标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元的部分打5折，可以得到答案； （2）根据甲书店：所有书籍按标价7折出售可得y与x的函数解析式； （3）分0≤x≤80和x＞80分别列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：在乙书店购买图书标价总额为80元，实际支付金额为80元， 在乙书店购买图书标价总额为100元，实际支付金额为80＋50%×（100−80）＝90（元）， 故答案为：80，90； （2）解：∵甲书店：所有书籍按标价7折出售， ∴； （3）解：当0≤x≤80时，y＝x， 当x＞80时，y＝80＋50%（x−80）＝x＋40， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式． 4. （22-23八年级下·天津河西·期末）中国和世界上大部分国家都采用摄氏温度（）为标准预报天气，也有一些国家采用华氏温度()标准．为了研究这两者之间的关系，某学习小组通过查阅资料得到下表中的数据，并发现这两种温度标准计量值之间是一次函数关系． 摄氏温度值x /°C 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y /°F 32 50 68 86 104 122 (1)如果以摄氏温度值为横坐标，以华氏温度值纵坐标，该学习小组的同学画出了如下图象： ①请你写出这个一次函数图象上任意的两个点的坐标______________； ②求该一次函数的表达式；当华氏温度值为0时，摄氏温度值是多少？ (2)华氏温度值是否可能与摄氏温度值相等呢？如果可能，求出此值；如果不可能，说明理由． 【答案】(1)①，； ②（） (2)可能， 【分析】（1）①根据表格中的数据可得结果；②利用待定系数法求解即可； （2）当时，代入解析式求出x的值就可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意可得： 任意的两个点的坐标可以为，； ②设该一次函数为，将和代入， ，解得， ∴ ． ∴ 当时，， ∴当华氏温度为0，时摄氏温度为（）． （2）令， 则，解得， ∴当摄氏温度为时，华氏温度为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 5. （22-23八年级下·天津·期末）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案设购票张数为张,购票款为元： 方案一：提供元赞助后，每张票的票价为元； 方案二：票价按图中的折线所表示的函数关系确定．    (1)若购买张票时，按方案一购票需___________ 元； (2)求方案二中与的函数关系式； (3)至少买多少张票时选择方案一比较合算？ 【答案】(1) (2) (3)至少买张票时选择方案一比较合算 【分析】（1）由题意得，方案一中的函数关系式为：，即可得； （2）当时，设，则，解得，则，当时，设，，解得，则，即可得； （3）由（1）得购买张票时，按方案一购票总价为元，由函数图像得按方案二购票的总价为元，则选择方案一比较合算时应超过张票，设购买x张票时选择方案一比较合算，，解得，，即可得． 【详解】（1）解：由题意得，方案一中的函数关系式为：， 则购买张票时，按方案一购票总价：， 故答案为：； （2）解：当时，设， 则， ， ∴， 当时，设， ， 解得， ∴， 综上，； （3）解：由（1）得购买张票时，按方案一购票总价为元， 由函数图像得按方案二购票的总价为元， 则选择方案一比较合算时应超过张票， 设购买x张票时选择方案一比较合算， ， 解得，， ∴至少买张票时选择方案一比较合算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 6. （21-22八年级下·天津·期末）“4.14”玉树大地震震惊中国，面对特大灾害，在党中央国务院的领导下，全国人民万众一心，众志成城，抗震救灾．现在A、B两市各有赈灾物资500吨和300吨，急需运往结古镇400吨，运往隆宝镇400吨，从A、B两市运往结古镇、隆宝镇的耗油量如表： 结古镇（升/吨） 隆宝镇（升/吨） A市 0.5 0.8 B市 1.0 0.4 (1)若从A市运往结古镇的赈灾物资为x吨，则从A市运往隆宝镇的赈灾物资为______吨，从B市运往结古镇的赈灾物资为______吨，从B市运往隆宝镇的赈灾物资为______吨，求完成以上运输所需总耗油量y（升）与x（吨）的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)请你求出至少需要多少升油？ 【答案】(1)500-x，400-x，x-100，y＝760﹣0.9x（100≤x≤400） (2)400 【分析】（1）根据总耗油量＝A市运往结古镇和隆宝镇的耗油量的和+B市运往结古镇和隆宝镇的耗油量的和可得关系式； （2）根据函数的性质来判断出耗油量最少的方案． 【详解】（1）解：由题意得：若从A市运往结古镇的赈灾物资为x吨，则从A市运往隆宝镇的赈灾物资为（500-x）吨，从B市运往结古镇的赈灾物资为（400-x）吨，从B市运往隆宝镇的赈灾物资为[300﹣（400﹣x）]=（x-100）吨； y＝0.5x+（500﹣x）×0.8+（400﹣x）×1.0+[300﹣（400﹣x）]×0.4， 整理得y＝760﹣0.9x（100≤x≤400）； （2）由（1）得y＝760﹣0.9x（100≤x≤400） ∵-0.9<0 ∴要使y最小，则要x取最大值， 即x＝400，代入得y＝760﹣0.9×400＝400（升） ∴至少需要400升油． 【点睛】本题主要考查了一次函数关系式的应用，根据题意列出关系式是解题关键，注意自变量的取值范围不能遗漏． 7. （21-22八年级下·天津津南·期末）甲、乙两家超市平时以同样价格出售相同的商品，“端午节”期间，两家超市都让利酬宾，其中甲超市对累计购物中超过200元后的价格打6折，乙超市所有商品按8折出售． (1)根据题意填写下表（单位：元）：          累计购物 实际花费 100 200 320 450 … 在甲超市 100 272 … 在乙超市 80 256 … (2)设小明在同一家超市累计购物元（其中）， 用、表示在甲、乙两家超市的实际花费，分别写出、关于的函数解析式； (3)当小明在同一家超市累计购物超过200元时，会选择哪家超市更省钱？ 【答案】(1)200；350；160；360； (2)y甲=（）；y乙=（x≥0） (3)见解析 【分析】（1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可． （2）甲超市按过200元后的价格打6折列式即可；乙商场按原价直接乘以0.8． （3）求出两家商场购物付款相同的x的值，然后作出判断即可． 【详解】（1）200+（450-200）×0.6=350，200×0.8=160，450×0.8=360． 故答案为：200；350；160；360； （2）甲商场：当x＞200时，y甲=200+0.6（x-200）=0.6x+80； 乙商场：y乙=0.8x（x≥0）； （3）∵x≥200， ∴由0.8x=0.6x+80，得：x=400， ∴小明在同一家超市累计购物等于400元时，两家超市一样省钱． 小明在同一家超市累计购物200＜x＜400时，乙超市省钱． 小明在同一家超市累计购物x＞400元时，甲超市省钱． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家超市的让利方法是解题的关键． 8. （21-22八年级下·天津滨海新·期末）某校举行运动会准备给运动员发放奖品．某种文具甲商场为40元/件；乙商场一次购买不超过10件，单价为50元/件，一次性购买超过10件时，其中有10件的价格仍为50元/件，超出10件部分的单价为30元/件．设准备买件文具（为非负整数）． (1)根据题意填表： 一次购买数量/件 6 10 30 … 甲商场费用/元 400 … 乙商场费用/元 500 … (2)设去甲商场购买费用为元，去乙商场购买费用为元，分别求，关于的函数解析式； (3)根据题意填空： ①若在甲商场和在乙商场购买的数量相同，且费用相同，则在同一个商场一次购买的数量为______件； ②若在同一个商场一次购买15件，则在甲、乙两个商场中的______商场购买花费少： ③若在同一个商场一次购买花费了1400元，则在甲、乙两个商场中的______商场购买的数量多． 【答案】(1)见解析 (2)（且为非负整数）；，且为非负整数； (3)①20；②甲；③乙 【分析】（1）根据题意填写表格即可； （2）根据甲乙商场的方案，分别列出函数关系式； （3）根据题意列一元一次方程即可求解． 【详解】（1）根据题意填表： 一次购买数量/件 6 10 30 … 甲商场费用/元 240 400 1200 … 乙商场费用/元 300 500 1100 … （2）某种文具甲商场为40元/件； （且为非负整数）； 乙商场一次购买不超过10件，单价为50元/件， ， 一次性购买超过10件时，其中有10件的价格仍为50元/件，超出10件部分的单价为30元/件， ， 即，且为非负整数； ，且为非负整数； （3）①由题意得，， 解得， 即在甲商场和在乙商场购买的数量相同，且费用相同，则在同一个商场一次购买的数量为20件； 故答案为：20； ②当时， ， ， 在甲商场购买花费少， 故答案为：甲； ③当时，， 解得， ， 解得， ， 在乙商场购买的数量多． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了表格与函数关系式表示函数关系，一元一次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 一次函数与几何综合 1. （23-24八年级上·天津河东·期末）如图在平面直角坐标系中，点、，点E在y轴正半轴上，连接，过点B作，且．连接交x轴于点，则点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数解析式的计算，三角形全等的判定和性质，坐标确定，过点F作于点Q，证明，得到，；设直线的解析式为，得到，设点，代入解析式，确定，计算，计算即可． 【详解】过点F作于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵点、， ∴, 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴， 设点，代入解析式， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是线段的中点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，先根据一次函数解析式求出，，根据勾股定理求出，根据直角三角形性质求出即可． 【详解】解：令则， ∴点A的坐标为， ∴， 令，则， 解得：， ∴， 由勾股定理， ， ∵点C是线段的中点， ∴． 故答案为：． 3. （22-23八年级下·天津·期末）如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过P作PD⊥OC于D，先求出A，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB≌△OPA，从而求出BD＝2，OD＝4−2，进而即可求解． 【详解】如图所示，过P作PD⊥OC于D， ∵一次函数与坐标轴分别交于A，两点， ∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB， ∴∠ABO=∠OAB=45°， ∴△BDP是等腰直角三角形， ∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°， ∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC， ∴∠PCB＝∠OPA， 又∵PC＝OP， ∴△PCB≌△OPA（AAS）， ∴AO＝BP＝4， ∴Rt△BDP中，BD＝PD＝BP÷＝2， ∴OD＝OB−BD＝4−2， ∴P（-2，4−2）． 故答案是：P（-2，4−2）． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键． 4. （23-24八年级下·天津·期末）已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线也经过点，位置如图所示，且与直线所夹锐角为，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．过点作，交于，过作轴于点，由可推出，结合，从而证明，得到，，然后利用直线与轴交于点，与轴交于点，求出、的坐标，得到、的长度，从而得到点坐标，最后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式． 【详解】解：如图，过点作，交于，过作轴于点 ， 是等腰直角三角形 ， 直线：与轴交于点，与轴交于点 ， ， 点的坐标为 设直线的解析式为 直线经过， 解得： 的解析式为． 故答案为：． 5. （23-24八年级下·天津西青·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？ （请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标． ． 【答案】 是 ， 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理； （Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； （Ⅱ）根据勾股定理得到，分两种情况：当点A落在y轴的正半轴上时，当点A落在y轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； 故答案为：是； （Ⅱ）∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴， ∴， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，过作于， 设点C的坐标为， ∵折叠后点A对应的点恰好落在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 同理，当点A落在y轴的负半轴上时，过作于， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：，． 6. （23-24八年级下·天津·期末）如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点，，平分交轴与点，，垂足为． （1）求点，的坐标； （2）求所在直线的解析式； （3）如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 【答案】（1）A（8，0）；B（0，）；（2）；（3）． 【分析】（1）直接令x=0和y=0，即可求出点A、B的坐标； （2）由角平分线的性质定理，设，由面积法求出m=3，然后得到点C的坐标，再根据，求出，即可求出CD所在直线的解析式； （3）由题意，作点E关于直线BC的对称点，则，点恰好落在直线AB上，则求出的最小值，即为求的最小值，当⊥AB时，为最小，再利用面积法，即可求出答案． 【详解】解：（1）在一次函数中， 令，则， 令，则， ∴点A为（8，0），点B为（0，）； （2）根据题意，如图，设CD=m， ∵平分，OC⊥OB，CD⊥BD， ∴， ∵OA=8，OB=6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为（3，0）； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴设直线CD的解析式为， 把点C（3，0）代入，则， ∴直线CD的解析式为； （3）根据题意，作点E关于直线BC的对称点，则，如图： ∵BC是角平分线， ∴点恰好落在直线AB上， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 当⊥时，为最小值； ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，轴对称的性质，角平分线的性质，最短路径问题，以及勾股定理求两点的距离等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用数形结合的思想进行分析，从而进行解题． 7. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，为对角线，其中．    (1)求点B，C的坐标； (2)求所在直线的解析式； (3)已知点，问：在直线上是否存在一点P，使得最小？若存在，求点P的坐标与的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)B点坐标为，C点坐标为 (2) (3)， 【分析】（1）由正方形的性质得，从而可求出点B，C的坐标； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）连接,设与交于点P，运用待定系数法求出的解析式，联立方程组可求出点P的坐标，再运用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】（1）∵四边形是正方形，， ∴                ∴B点坐标为，C点坐标为； （2）∵， ∴. 又. 设直线的解析式为：， 把A，C两点代入解析式得： 解得,， ∴直线的解析式为：. （3）连接，直线与直线的交点即为点P，    证明：∵四边形是正方形， ∴点B与O关于直线对称， ∴即为的最小值. ∴直线与直线的交点即为点P.     设直线的解析式为：，把点代入解析式得： ， 解得，， ∴直线的解析式为：.   联立方程组，   解得，， ∴点P的坐标 过点E作轴，垂足为F， ∴. 所以的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，运用待定系数法求一次函数解析式以及线段最值问题，正确运用待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键． 8. （23-24八年级下·天津西青·期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为，点B坐标为，点P是直线上的一个动点，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a． (1)如图，当点P位于第二象限，且时， ①求直线的解析式； ②当时，求a的值． (2)若以点O，A，Q，P为顶点的四边形是菱形，直接写出满足条件的a，m的值． 【答案】(1)①；② (2)，或， 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，菱形的判定与性质． （1）①设直线解析式为把A与B坐标代入求出k与b的值，即可求出解析式； ②表示出、的坐标，然后根据列方程求解即可； （2）先求出直线解析式，表示出、的坐标，再根据菱形的判定求解即可． 【详解】（1）解：①设直线解析式为 当时，， 把，代入可得， 解得， ∴直线解析式为； ②∵点P的横坐标为a ∴， ∵点P关于y轴的对称点为Q， ∴ ∵， ∴ 解得； （2）①设直线解析式为 把，代入可得， 解得， ∴直线解析式为； ∵点P的横坐标为a ∴， ∵点P关于y轴的对称点为Q， ∴，， ∴ ∴当时，以点O，A，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， 此时， 解得， 当时，点P位于点Q位右边，当时以点O，A，Q，P为顶点的四边形是菱形， ∴， ，解得或(舍去)， 同理，当时，点P位于点Q位左边，当时以点O，A，Q，P为顶点的四边形是菱形， ∴， ，解得或(舍去)， 综上所述，，或，． 一次函数与将军饮马最值问题 1. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，直线与直线相交于点M    (1)求直线的解析式及点M的坐标； (2)点P是直线上的一点． ①当时，求点P的坐标； ②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当取最小值时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)①点P的坐标为或点；②点Q的坐标为或． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，两点之间线段最短进是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立解方程组求交点坐标即可； （2）①先求出点A的坐标，然后设点，根据列方程解题即可； ②利用①的结论分两种情况讨论，利用两点之间线段最短进行解题即可． 【详解】（1）解：将点代入，得，解得， ， 解方程组，解得， 点的坐标为； （2）解：①令，则，解得， ∴直线与轴的交点， 设点， ， ∴，即或，解得或， 则点P的坐标为或； ②当点P的坐标为时，如图，作点M关于轴的对称点，连接交轴于点，    此时有最小值， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设的解析式为， 则，解得， ∴的解析式为， 令，则， 解得， ∴点Q的坐标； 当点P的坐标为时，如图，    当点Q与点重合时，此时有最小值， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 2. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的中点．    (1)在平面内是否存在点，使得的值最小？______（请填写“是”或“否”）； (2)如果存在满足（1）中条件的点Q，请直接写出m的值和的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)存在，，的最小值是 【分析】（1）令，则，则，过点B作直线，作点A关于的对称点D，连接，交于点Q，此时最小，即可解决问题． （2）先求出，再根据点A关于的对称点D，求得，利用中点坐标公式求得，即可求得，然后用待定系数法求得直线解析式为，把代入，求解即可得m的值． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， ∴， 过点B作直线，作点A关于的对称点D，连接，交于点Q．    ∴点Q纵坐标为2，此时最小， ∵点A关于的对称点D， ∴ ∴ ∴最小值为． ∴在平面内存在点，使得的值最小； （2）解：由（1）知，存在． 对于直线，令，则， ∴， ∵点A关于的对称点D， ∴， ∵，，点P是线段AB的中点， ∴， ∴ ∴最小值为， 设直线解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴ 把代入，得 ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象性质，用待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称求最短距离问题，两点间距离．利用轴对称找出点Q位置是解题的关键． 3. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A为，四边形是正方形．    (1)填空：______； (2)求点D的坐标； (3)若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)3 (2)点D的坐标为 (3) 【分析】（1）将点代入即可求解； （2）结合正方形的性质可证，推出，，即可求出点D的坐标； （3）作点C关于y轴的对称点，作点D关于x轴的对称点，由轴对称的性质可得，，进而可得四边形周长，最后由勾股定理求出和即可． 【详解】（1）解：点A在直线上， ， 解得， 故答案为：3； （2）解：由（1）知直线的解析式为， 当时，， 点B的坐标为， ． 如图，作轴于点E，   四边形是正方形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 点D的坐标为； （3）解：正方形中，，，， ，， ， 如图，作点C关于y轴的对称点，作点D关于x轴的对称点，    则，， M为x轴上的动点，N为y轴上的动点， 由轴对称的性质可知，， ， 四边形周长， 由勾股定理得，， ， 四边形周长的最小值为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用轴对称求线段的最值等，解题的关键是根据轴对称找出四边形周长取最小值时点M和点N的位置． 4. （21-22八年级下·天津·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，网格小正方形边长为1．已知下列各点：，，，． (1)四边形ABCD为____（平行四边形、矩形、菱形、正方形，选择一个填写）； (2)三角形ABD的面积是______； (3)求直线BC的解析式 (4)y轴上存在一点E使得最小，则点E的坐标是______． (5)在坐标轴上找一点P，使得三角形APD的面积与三角形ABD的面积相同，求P点坐标． 【答案】(1)平行四边形 (2)6 (3) (4)（） (5)（5,0）或（-7,0）或（）或（）． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB，CD，BC，AD的长，可求得四边形ABCD为平行四边形； （2）过点A作x轴的垂线，过点B作BM⊥MN，过点D作DN⊥MN，垂足分别为M，N．利用S△ABD＝S梯形BDNM−S△ABM−S△ADN求解即可； （3）设BC的解析式为，代入B点和C点的坐标，联立方程组求解即可； （4）作点B关于y轴的对称点B1（-1，3），连接AB1，交y轴于点E，点E可使得最小； （5）如图，设直线AD与x轴交于点M，与y轴交于点N，设直线AD的解析式为：，求出直线AD的解析式和点M、N的坐标，若点P在x轴上，则S△APD=S△PDN+S△PAN=S△ABD；若点P在y轴上，则S△APD=S△PDM+S△PAM=S△ABD，代入求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，，， ，， ∴AB=CD，BC=AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． （2）如图，过点A作x轴的垂线，过点B作BM⊥MN，过点D作DN⊥MN，垂足分别为M，N． ∴S△ABD＝S梯形BDNM−S△ABM−S△ADN ＝×(2＋4)×4−×2×2−×4×2 ＝12−2−4 ＝6． （3）设BC的解析式为，代入B点和C点的坐标，将点B（1，3），C（−3，1）代入得， 解得 ， ∴直线BC的解析式为． （4）如图，作点B关于y轴的对称点B1（-1，3），连接AB1，交y轴于点E， 由对称可得BE=B1E 当点A、点E和点B1在同一直线时，点E可使得最小， 设AB1的解析式为，代入A点和B1点的坐标，将点A（3，1），B1（−1，3）代入得， 解得 ， ∴直线AB1的解析式为， 令x=0，则． ∴点E的坐标为（）． （5）如图，设直线AD与x轴交于点M，与y轴交于点N， 设直线AD的解析式为：，代入点A和点D的坐标，可得， 直线AD的解析式为：， 令y=0，得x=1，∴点M（）， 令x=0，得y=，∴点N（）， 若点P在x轴上，则S△APD=S△PDN+S△PAN=S△ABD ， ，解得：或， 若点P在y轴上，则S△APD=S△PDM+S△PAM=S△ABD ， ，解得：或， 综上，点P的坐标为（5,0）或（-7,0）或（）或（）． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、平行四边形的判定、勾股定理、三角形面积的计算和待定系数法求一次函数解析式，能够根据图形得出正确信息是解题的关键． 一次函数与存在性问题 1. （21-22八年级下·天津西青·期末）如图，在平面坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，点． (1)求直线l的解析式； (2)若点C是y轴上一点，且的面积是，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，当点C在y轴负半轴时，在平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）设点的坐标为，则，根据的面积是建立方程，解绝对值方程即可得； （3）先求出点的坐标为，再分①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形和③四边形是平行四边形三种情况，分别根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为． （2）解：设点的坐标为，则， ， ， 的面积是， ， 解得或， 则点的坐标为或． （3）解：在（2）的条件下，点在轴负半轴上， ， 设点的坐标为， 由题意，分以下三种情况： 由①如图，当四边形是平行四边形时， 平行四边形的对角线互相平分， ，解得， 则此时点的坐标为； ②如图，当四边形是平行四边形时， ， ，点的横坐标与点的横坐标相同，即， 则此时点的坐标为； ③如图，当四边形是平行四边形时， ， ，点的横坐标与点的横坐标相同，即， 则此时点的坐标为； 综上，存在，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数、平行四边形的性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键． 2. （23-24八年级下·天津·期末）如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图，若，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）①或者，②或 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式； （2）先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论； （3）分点M在y轴左侧和右侧，设M点坐标为（x，0）,然后表示出点P的坐标，由对称得出∠BAC=∠ACB，∠BMP+∠BMC=90°，所以，当∠MBC=90°即可，利用勾股定理建立方程即可x2+9+45=（6-x）2； 【详解】解：（1）对于 由得：，∴ 由得：，解得﹐∴， ∵点C与点A关于y轴对称，∴ 设直线的函数解析式为，则 ，解得：， ∴直线的函数解析式为， （2）设，则、 如图，过点B作于点D， ， ， ，解得， ∴或者． （3）如图，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴， ∵， ∵，∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ， ， ∴，解得， ∴． 当点M在y轴的右侧时，如图， 同理可得． 综上，点P的坐标为或． 3. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），四边形ABCD是正方形．    （1）填空：b＝　 　； （2）求点D的坐标； （3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 【答案】（1）3；（2）（7，4）；（3）存在，（﹣2，）或（，） 【分析】（1）把（4,0）代入y＝﹣x+b即可求得b的值; （2）过点D作DE⊥x轴于点E，证明，即可求得AE和DE的长，则D的坐标即可求得; （3）分当OM=MB=BN=NO时；当OB=BN=NM=MO=3时两种情况进行讨论. 【详解】解：（1）把（4，0）代入y＝﹣x+b，得：﹣3+b＝0，解得：b＝3， 故答案是：3； （2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E，    ∵正方形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， 又∵Rt△OAB中，∠1+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 在△OAB和△EDA中， ∴△OAB≌△EDA， ∴AE＝OB＝3，DE＝OA＝4， ∴OE＝4+3＝7， ∴点D的坐标为（7，4）； （3）存在． ①如图2，当OM＝MB＝BN＝NM时，四边形OMBN为菱形． 则MN在OB的中垂线上，则M的纵坐标是， 把y＝代入y＝﹣x+3中，得x＝2，即M的坐标是（2，）， 则点N的坐标为（﹣2，）．    ②如图3，当OB＝BN＝NM＝MO＝3时，四边形BOMN为菱形． ∵ON⊥BM， ∴ON的解析式是y＝x． 根据题意得： 解得： 则点N的坐标为（， 综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，）或（． 【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理，主要掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用. 4. （22-23八年级下·天津红桥·期末）已知直线（，为常数，）分别与轴，轴交于点，点． (1)求该直线的解析式； (2)若点是轴上一点，且的面积． ①求点的坐标； ②当点在轴的负半轴上时，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该直线的解析式为 (2)①点的坐标为或；②存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形．点的坐标为或或 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）①设点的坐标为，则，根据的面积是建立方程，解绝对值方程即可得；②当点在轴的负半轴上时，点，再分①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形和③四边形是平行四边形三种情况，分别根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】（1）将点，代入，得 解得， ∴该直线的解析式为． （2）①设点的坐标为，则． ∵，∴．∴． ∵，∴．解得或． ∴点的坐标为或． ②当点在轴的负半轴上时，点．设点的坐标为． （ⅰ）如图，当四边形是平行四边形时，    有，． 由平移知，，． 此时点的坐标为． （ⅱ）如图，当四边形是平行四边形时，    有，． 由平移知，，． 此时点的坐标为． （ⅲ）如图，当四边形是平行四边形时，    有，． 由平移知，，． 此时点的坐标为． 综上，存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数、平行四边形的性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键． 5. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点A(4,1)与正比例函数()的图象相交于点B(,3)，与轴相交于点C. （1）求一次函数和正比例函数的表达式; （2）若点D是点C关于轴的对称点，且过点D的直线DE∥AC交BO于E，求点E的坐标； （3）在坐标轴上是否存在一点，使.若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由. 【答案】（1）一次函数表达式为：；正比例函数的表达式为：；（2）E（－2，－3）；（3）P点坐标为（，0）或（，0）或（0，2）或（0，－2）. 【分析】（1）将点A坐标代入可求出一次函数解析式，然后可求点B坐标，将点B坐标代入即可求出正比例函数的解析式； （2）首先求出点D坐标，根据DE∥AC设直线DE解析式为：，代入点D坐标即可求出直线DE解析式，联立直线DE解析式和正比例函数解析式即可求出点E的坐标； （3）首先求出△ABO的面积，然后分点P在x轴和点P在y轴两种情况讨论，设出点P坐标，根据列出方程求解即可. 【详解】解：（1）将点A(4，1)代入得， 解得：b=5， ∴一次函数解析式为：， 当y=3时，即， 解得：， ∴B(2，3)， 将B(2，3)代入得：， 解得：， ∴正比例函数的表达式为：； （2）∵一次函数解析式为：， ∴C（0，5）， ∴D（0，－5）， ∵DE∥AC， ∴设直线DE解析式为：， 将点D代入得：， ∴直线DE解析式为：， 联立，解得：， ∴E（－2，－3）； （3）设直线与x轴交于点F， 令y=0，解得：x=5， ∴F（5，0）， ∵A（4，1），B（2，3）， ∴， 当点P在x轴上时，设P点坐标为（m，0）， 由题意得：， 解得：， ∴P点坐标为（，0）或（，0）； 当点P在y轴上时，设P点坐标为（0，n）， 由题意得：， 解得：， ∴P点坐标为（0，2）或（0，－2）， 综上所示：P点坐标为（，0）或（，0）或（0，2）或（0，－2）. 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质以及一次函数图象交点的求法，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用平行直线的系数k相等求出直线DE解析式；（3）求出△ABO的面积，利用方程思想和分类讨论思想解答． 6. （22-23八年级下·天津·期末）已知，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、点，与直线 相交于点，过点作轴的平行线l，点是直线l上的一个动点． (1)求点，点的坐标． (2)若，求点的坐标． (3)若点是直线上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标．    【答案】(1)，； (2)或者； (3)点坐标为：或或或． 【分析】（1）由一次函数解析式可直接求解； （2）由两直线解析式求出交点C的坐标，再由面积相等求出线段的长度，继而得出点P的坐标； （3）设点、点，当时， 当点P在y轴右侧时， 当点P在点E的左侧时，如图1， 过作于，过作于，当点P在点E的右侧时，如下图， 当时，当点P在y轴左侧时，如图2， 如图3，再利用全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：由 当时，；当时，， ∴，； （2）联立   解得：， ∴为． ∴． ∴， 解得：． ∴或． （3）设点、点； 当时， 当点P在y轴右侧时， 当点P在点E的左侧时，如图1， 过作于，过作于，    ∵，， ∴， 而， ∴， 则，， 即， 解得：， ∴， 当点P在点E的右侧时，如下图，    同理可得：， 解得， 即， 当时，当点P在y轴左侧时，如图2，    同理可得： ， 解得：，即点； 如图3，    同理可得： ，解得：， 即 综上，点坐标为：或或或． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与坐标轴的交点问题，坐标与图形，等腰直角三角形的定义，全等三角形是判定与性质，二元一次方程组的应用，构建几何图形，利用数形结合的方法解题是关键． 7. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点A，点B，与直线：交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点D是线段上一点，且的面积是面积的，求直线的解析式； (3)点P是直线上一点，点Q是平面内任意一点，若以点O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数的图象及性质，菱形的性质等； （1）根据一次函数上点的坐标特点，分别求出A、B点坐标，再由方程，求出C点坐标； （2）可求，，根据题意得方程，求出t的值即可确定D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （3）设，，根据菱形对角线分三种情况讨论，分别建立方程组求Q点坐标即可． 熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，能根据菱形的顶点不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， 当时， 解得：， ； （2）解：设， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：设，， ①当为菱形的对角线时，， ∴， 解得， ； ②当为菱形的对角线时，， ， 解得（舍去）或， ； ③当为菱形的对角线时，， ， 解得或， 或； 综上所述：Q点坐标或或或． 8. （21-22八年级下·天津·期末）如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式； （2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE． （3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）C（﹣3，1），y＝x+2；（2）见解析；（3）存在，点N（﹣，0）或（，0） 【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于点H，根据直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，可得点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），再证得△CHB≌△BOA，可得BH＝OA＝2，CH＝OB，即可求解； （2）过点C作CH⊥x轴于点H，DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于点G，可先证明△BCH≌△BDF，得到BF=BH，再由B（-1，0），C（﹣3，1），可得到OF=OB=1，从而得到 DG=OB=1，进而证得△BOE≌△DGE，即可求证； （3）先求出直线BC的表达式为，可得k＝ ，再求出点M（﹣6，0），从而得到S△BMC，S△BPN，即可求解． 【详解】解：（1）过点C作CH⊥x轴于点H， 令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0）， ∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠BCH， ∵∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA， ∴△CHB≌△BOA（AAS）， ∴BH＝OA＝2，CH＝OB，则点C（﹣3，1）， 设直线AC的表达式为y＝mx+b ， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b得： ，解得：， 故直线AC的表达式为：y＝x+2； （2）如图，过点C作CH⊥x轴于点H，DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于点G， ∵AC=AD，AB⊥CB， ∴BC=BD， ∵∠CBH=∠FBD， ∴△BCH≌△BDF， ∴BF=BH， ∵C（﹣3，1）， ∴OH=3， ∵B（-1，0）， ∴OB=1， BF=BH=2， ∴OF=OB=1， ∴DG=OB=1， ∵∠OEB=∠DEG， ∴△BOE≌△DGE， ∴BE=DE； （3）设直线BC的解析式为 ， 把点C（﹣3，1），B（﹣1，0），代入，得： ，解得： ， ∴直线BC的表达式为：， 将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝ ， ∵直线AC的表达式为：y＝x+2， ∴点M（﹣6，0）， ∴S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝， ∴S△BPN＝S△BCM＝＝NB×＝NB， 解得：NB＝， 故点N（﹣，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，等腰三角形的性质，一次函数的性质和图象，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，一次函数的性质和图象是解题的关键． 一次函数与全等三角形综合 1. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且、满足．    (1)点的坐标为______ ；点的坐标为______ ； (2)求直线的解析式； (3)若点为直线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，求值； (4)若在第一象限有一个固定点，为坐标平面上一点，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，写出满足条件的点的坐标为______（直接写出） 【答案】(1)， (2) (3) (4),,, 【分析】根据非负性得出，的值，即可求得点、的坐标； 直线的解析式为 ，把点、的坐标代入利用待定系数法确定解析式即可； 过点分别向轴 轴作垂线，根据全等三角形的判定和性质解答即可； 根据平行四边形的性质分情况解答即可． 【详解】（1）解：根据题意：，， ，， 故答案为：，； （2）解：设直线的解析式为 ， 则有， 解得， 直线的解析式为； （3） 解：过点分别向轴 轴作垂线，垂足分别为，如图，    是以为底的等腰直角三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； （4） 解：当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，如图：    当， ，，，， ； 当时， ，，，， ； 当时， ，， ，， 【点睛】此题主要考查一次函数的综合题，关键是根据等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定等知识点进行推理和计算． 2. （22-23八年级下·天津·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标，点C在直线上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连接，以为直角边在右侧构造一个等腰，且． (1)求直线的解析式以及C点坐标； (2)设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标； (3)如图2，连接，请直接写出使得周长最小时，点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，等腰直角三角形的性质、点的对称性等． （1）把代入中，得，解得：，即可求解； （2）证明，则，，，则； （3）过点O作直线l的对称点，连接交直线l于点，则点为所求点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得：， ∴， 把代入，得， ∴； （2）解：作轴于点F，轴于点G， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，且， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：点， 设， 则， 故点E在直线上， 当时，，当时， ∴直线l交y轴于点，交轴于点， ∴， ∴ 过点O作直线l的对称点，连接，,则 ∴， 连接交直线l于点，连接，如图，则， 又是常数， 周长为最小， 设直线的解析式为 把，代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为：yx 联立， 解得：， 故：． 3. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，过点B的直线交轴正半轴于C，且△ABC的面积为56. 点D为线段AB的中点，点E为轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF． (1)求点C的坐标及直线BC的表达式； (2)在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标； (3)设点E的坐标为（0，）； ①用表示点F的坐标； ②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】(1)（8，0）；y=-x+8 (2)（0，5）或（0，-3） (3)①（m-4，m-3）；②3≤m≤ 【分析】（1）分别求出B、A的坐标，利用三角形面积可求C点坐标，再由待定系数法求直线BC的解析式即可； （2）由三角形面积求出DE的长，再由两点间距离公式求E点坐标即可； （3）①通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，求F点坐标即可； ②分别讨论F点在△ABC边界处时m的值，即可确定m的范围． 【详解】（1）令x=0，则y=8， ∴B（0，8）， 令y=0，则x=-6， ∴A（-6，0）， ∵点D为线段AB的中点， ∴D（-3，4）， ∵△ABC的面积为56， ∴×8×AC=56， ∴AC=14， ∴C（8，0）， 设直线BC的表达式为y=kx+b， ∴， ∴， ∴y=-x+8； （2）设E（0，y）， ∵线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF， ∴DE=EF，∠DEF=90°， ∵△DEF的面积为5， ∴DE2=5， ∴DE=， ∴， ∴y=3或y=5， ∴E（0，3）或E（0，5）； （3）①如图1，过点E作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H， ∵∠GED+∠HEF=90°，∠GED+∠GDE=90°， ∴∠GDE=∠HEF， ∵DE=EF， ∴△GDE≌△HEF（AAS）， ∴GE=HF，GD=EH， ∴HF=3，DG=m-4=EH， ∴F点纵坐标m-3，横纵标m-4，   ∴F（m-4，m-3）； ②如图2，当F点在x轴上时，DE⊥y轴， 此时m-3=0， ∴m=3； 当F在直线BC上时， 此时m-3=-（m-4）+8， ∴m=； ∴3≤m≤时，△DEF始终在△ABC的内部（包括边界）． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，数形结合解题是关键． 4. （24-25八年级上·天津和平·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，，且于点，．则点的坐标为________： （2）如图2，在平面直角坐标系中，于点，，点的坐标为，则点的坐标为________； （3）如图3，点A在轴上，点在轴上，且，点在轴的负半轴上，连接，作于点，并且，连接交轴于点，请猜想线段与线段的数量关系，并进行证明； （4）如图4，点的坐标为，轴于点，在直线上有一动点，连接，在轴上方作于点，并且，连接，线段平行于轴，连接，线段交坐标轴于点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、一次函数的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． （1）根据点A、B的坐标可得，然后证明可得，即，然后确定点C的坐标即可； （2）如图：过B作轴，过C作，垂足为D，则，然后证明可得，即点C的横坐标为5，进而确定点C的纵坐标为1，最后确定点C的坐标即可； （3）如图：过点C作轴于点F，证明可得，进而得到，再证明，得到即可解答； （4）当点M在x轴上方和下方两种情况，作图并运用全等三角形的判定与性质确定点N的坐标，再求出直线的解析式，最后确定与坐标轴的交点即可． 【详解】解：（1）如图1：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； （2）如图：过B作轴，过C作，垂足为D，则， ∵点的坐标为， ∴，点D的纵坐标为3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点C的横坐标为5， ∵点D的纵坐标为3，， ∴点C的纵坐标为1， ∴点C的坐标为； （3），理由如下： 如图：过点C作轴于点F， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （4）如图：当点M在x轴上方时，点M的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∵线段平行于轴， ∴，点N的纵坐标为3， ∵， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即点P的坐标为． 同理可得：如图：当点M在x轴下方时，点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或． 一次函数与特殊四边形综合 1. （20-21八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x－6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）． （1）写出点B的坐标是（　 　，　 　）； （2）当时，求点E的坐标； （3）在点E的整个运动过程中， ①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标； ②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为　 　．（请直接写出答案） 【答案】（1）（6，6）；（2）E（0，2）； （3）① E（0，）； ② 4 【分析】（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2x−6＝0，解得x＝3，故点D的坐标分别为（3，0）、则点A（6，0），即可求解； （2）对于y＝2x−6，令x＝0，求出G点的坐标，由对称性得出，所以，列出等式求解即可； （3）①根据菱形的性质得出EG//BF，BE＝GF＝BF＝EG，判断出BF在OA的延长线上，由BE2＝EG2列出等式，求解即可； ②当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时，BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角，过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T，由三角形形全等判定推出△BCE≌△BTF（AAS），推出点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE，即可表示出点F的坐标，由GE＝GF，列出等量关系求解即可． 【详解】解：（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2x−6＝0，解得x＝3， ∴D的坐标分别为（3，0）， ∵线段OA的中点D，正方形OABC的边OA， ∴A（6，0）， B（6，6）， 故答案为：6；6； （2）对于y＝2x−6，令x＝0，即y＝−6， ∴ G（0，﹣6）， ∵点E关于直线DG的对称点F， ∴， ∴ 设点E的坐标为（0，m）． ∴EG＝m+6， ∵， B（6，6）， ∴， ∴， 解得m＝2， ∴E（0，2）； （3）①若四边形BEGF为菱形，则EG//BF， ∴ BF⊥x轴，即BF在BA的延长线上， 根据菱形的性质知：BE＝GF＝BF＝EG， ∵点E的坐标为（0，m）， ∴BE2＝EG2，BE2＝BC2 +CE2 ∴， 解得：， ∴E（0，）； ②如下图，当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时， ∵BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角， 过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T， ∵∠CBE＋∠EBA＝90°，∠EBA＋∠FBA＝90°， ∴∠CBE＝∠FBA， ∵∠BCE＝∠BTF＝90°，BE＝BF， ∴△BCE≌△BTF（AAS）， ∴CE＝TF＝6−m，BT＝BC， 故点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE＝6−m， 故点F（12−m，0）， ∵GE＝GF， ∴GE2＝GF2，GE2＝（m＋6）2，GF2＝（12−m）2＋（−6）2 ∴（m＋6）2＝（12−m）2＋（−6）2， 解得：m＝4． 故答案为：4 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、三角形全等的性质和判定，勾股定理，熟练掌握所学性质定理是解题的关键． 2. （18-19八年级下·天津南开·期末）如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形 直接写出此时点的坐标：　　；直线的解析式为　　． 在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值； (2)如图，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【答案】(1)，；，； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法，全等三角形判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （）根据题意可求，用待定系数法可求直线解析式； 作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小，求出解析式，可求点坐标和周长的最小值； （）作于，可证，由题意可证，可求，，即可得点，点坐标，即可求直线解析式． 【详解】（1）①∵矩形，，， ∴，，， ，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式，过点，点， ∴， ∴， ∴直线解析式， 故答案为，； 作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小， ∵，， ∴设直线解析式， ∴，解得 ∴直线解析式， 当时，y， ∴， ∵， ∴周长的最小值为． （2）如图：作于， ∵， ∴且， ∴，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式， 则有， ∴， ∴直线解析式． 3. （23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①当时，重叠部分是菱形，此时； 当时，此时； ② 【分析】（1）①根据，，计算；结合平行四边形，得到，结合，得到点C与点D的纵坐标相同即，设直线的解析式为，代入解答即可；根据，得到点，代入解析式解答即可． ②过点H作于点Q，根据平行四边形，得到，根据矩形得到，得证四边形为平行四边形．根据坐标，得到，据勾股定理，得，结合，得到，得证四边形为菱形； （2）①设直线的解析式为，确定解析式，过点G作于点P， 则，当时，重叠部分是菱形，此时；过点H作于点N，当时，重叠部分是四边形，此时； ②过点N作，交于点Q，则四边形是平行四边形，，当E，N，Q三点共线时，取得最小值，解答即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵平行四边形，得到， ， ∴点C与点D的纵坐标相同即， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． ②过点H作于点Q， ∵平行四边形， ∴， ∵矩形 ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，据勾股定理，得， ∵， ∴, ∴四边形为菱形． （2）①∵，， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． 过点G作于点P， 则， 当时，重叠部分是菱形，此时； 过点H作于点N， ∵，， 当时，重叠部分是四边形，此时，， ；此时； ②根据题意，得的中点为，矩形对角线的交点为，则直线是矩形的对称轴， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴，， 过点N作，交于点Q， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当E，N，Q三点共线时，取得最小值， 设与的交点为R， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 过点H作于点P， 则四边形是矩形， ∴；， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此时的值为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形不等式的应用，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定，三角形中位线定理的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形不等式的应用，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定是解题的关键． 4. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? (3)如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 【答案】(1)， (2)①，，②， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式为：，同理可得直线的解析式为：，联立可得； （2）①结合运动的特点，设，，，问题即可作答；②先表示出，结合可得，则有；∴点恰好落在正方形的边上时，；当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形，将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， 即有直线的解析式为：，联立可得，问题得解； （3）设交于点S，利用中点坐标公式可得，，即有，过点Q作于点T，过点M作于点R，可得， ，进而可得，则直线的解析式为：，联立可得，问题随之得解． 【详解】（1）∵四边形是正方形．顶点， ∴，， ∵， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， 即：直线的解析式为：，； （2）①∵轴，直线与直线交于点、与直线交于点， ∴结合运动的特点，设，，， ∵点M在点N上方， ∴，且点M在点H的右侧， ∴， 即：，； ②如图， ∵点恰好落在正方形的边上， ∴， ∵， ∴， ∵结合图形可知：在等腰直角中，，， ∴， 解得：， ∴点恰好落在正方形的边上时，； ∵轴，， ∴轴，轴，轴， ∵在等腰直角中，，， ∴， 结合正方形的性质有：， 又∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图， ∵轴，轴，， ∴当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形， 即随之直线向边靠拢时，当等腰直角的斜边经过点A时，等腰直角与重叠部分开始为矩形， ∵，直线的解析式为：，，， ∴将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∴当时，等腰直角与重叠部分为矩形； （3）如图，设交于点S， ∵，，，、恰好是、中点， ∴，， ∴，即， 如下图，过点Q作于点T，过点M作于点R， 在等边中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴按照求解解析式的方法可得直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴等边与重叠部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题是一道一次函数的综合题，考查了正方形的性质，线段的平移，勾股定理，等边三角形的性质，矩形的性质，中点坐标公式以及待定系数法等知识，问题的难点在于弄清楚直线平移时的临界点． 一次函数与几何变换 1. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，点在线段上，将沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是．其中正确的结论是（  ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，翻折的性质，勾股定理，菱形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 根据一次函数的性质和翻折的性质以及勾股定理，菱形的性质对每个结论进行分析后再作出选择． 【详解】解：令，则， ， ， 令，得， ， 在中，，故①正确； ∵沿翻折，点落在边上的点处， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 设直线的解析式为：， 把点和分别代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为，故②正确； 如图1，过作于， 根据三角形面积可得：， 在中，， ∴， ∴点坐标为，故③不正确； 如图2， 当以点、、、为顶点的四边形为菱形时，轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等， 把代入直线中，得， ∴点，故④正确； 综上，正确的结论有①②④， 故选：D． 2. （23-24八年级下·天津·期末）如图，长方形，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点， (1)点的坐标； (2)求折痕所在直线的表达式； (3)求折痕上是否存在一点，使最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由． 【答案】(1)（8，0）； (2) (3)存在，最小值是 【分析】（1）在Rt△OC中，求出O即可得答案； （2）在Rt△中，求出AM可得M坐标，从而可以求CM所在直线的解析式； （3）连接OB，OB与CM交点即为所求点P，连接PB'，根据△CBM沿CM翻折后，点B落在B'点，知PO+，，用股股定理即可求出的最小值为． 【详解】（1）解：∵四边形OABC是长方形，OA＝10， ∴BC＝OA＝10， ∵△CBM沿CM翻折， ∴＝BC＝10， 在Rt△B′OC中，B′C＝10，OC＝6， ∴O＝， ∴（8，0）， 故答案为：（8，0）； （2）解：设AM＝x，则BM＝AB﹣AM＝6﹣x， ∵OA＝10，B′O＝8， ∴A＝2， ∵△CBM沿CM翻折， ∴M＝BM＝6﹣x， 在Rt△AM中，， ∴，解得x＝， ∴M（10，）， 设CM所在直线的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）、M（10，）代入得： ，解得k＝﹣，b＝6， ∴CM所在直线的解析式为y＝﹣x+6； （3）解：折痕CM上存在一点P，使PO+PB'最小，连接OB，OB与CM交点即为所求点P，连接PB'，如下图， ∵△CBM沿CM翻折后，点B落在B'点， ∴PB=PB'， ∴PO+， 当O、P、B共线时，PO+PB'最小， ∵， ∴PO+PB'的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、长方形中的折叠、最短距离等知识，掌握折叠的性质以及熟练运用勾股定理是解题的关键． 3. （22-23八年级下·天津和平·期末）以长方形的边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知，，将长方形沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处．    (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【分析】（）利用勾股定理求的长可得的坐标； （）先根据折叠设未知数，利用勾股定理列方程可求的长，得的坐标，利用待定系数法求直线的解析式； （）根据轴对称的最短路径，作关于点的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，利用待定系数法求直线的解析式，令代入可得的坐标． 【详解】（1）由折叠得：， ∵，， 由勾股定理得： ∴； （2）， 设，则，， 中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∵， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式，得： ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； （3） 存在，作关于点的对称点， 连接交轴于，此时的周长最小，    设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； 当时，， ∴． 【点睛】此题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、轴对称最短路线问题、利用待定系数法求直线的解析式，熟练掌握折叠的性质是关键． 4. （20-21八年级下·天津河西·期末）如图①，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，． （1）请直接写出点的坐标； （2）如图②，点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合，求线段的长度； （3）如图③，点为直线在第一象限内的图象上的个动点，点在线段上(不与点、重合)，是否存在直角顶点为的等腰直角，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标；（2）3；（3）存在，点坐标为． 【分析】（1）根据矩形的性质即可求解； （2）根据折叠的性的可得AC'=AC=6，C'F=CF，∠C=∠AC'F=60°，然后由勾股定理可求CF的长即可； （3）分当点在下方和下方两种情况，分别利用全等三角形的性质可求PF=BE，EP=DF，求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=OA=8，AC=OB=6，AC//OB，BC//OA， ∴点C的坐标为（8，6）； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=OA=8，∠AOB=∠C=90° ∴ 把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合， ，，， ， ， ； （3）设点，分两种情况：   ①当点在下方时，如图③，过点作，交轴于，交于， 是等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 点，点为在端点上，点不符合题意，舍去； ②当点在的上方时，如图④，过点作，交轴于，交的延长线于， 同理可证， ， ， ， 点， 点为，不在端点，符合题意． 综上所述，点坐标为． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、折叠的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质并掌握分类讨论思想成为解答本题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数的实际应用与综合探究 一次函数的实际应用（行程问题） 1. （23-24八年级下·天津和平·期末）已知学生宿舍、超市、篮球馆依次在同一条直线上，超市离宿舍，篮球馆离宿舍，小明从宿舍出发，先匀速步行到超市，在超市停留了，之后匀速骑行到达篮球馆，在篮球馆锻炼了后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．      请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 40 75 小明离宿舍的距离 0.8 (2)当时，请写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (3)当小明离开宿舍时，同宿舍的小杰从超市出发匀速步行直接前往篮球馆，如果小杰比小明晚到达篮球馆，那么他在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 2. （23-24八年级下·天津河西·期末）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地，下面图象反映了这个过程中小明离甲地的距离ym与离开甲地的时间之间的对应关系． (1)甲、乙两地的距离为________m， ______； (2)求小明从乙地返回甲地的过程中，y与x之间的函数关系式； (3)在小明从甲地出发的同时，小红以的速度从乙地匀速步行至甲地，并停在甲地，小明从甲地出发______与小红相距400m？（直接写出答案即可） 3. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小旭家，图书馆，超市依次在同一条直线上，图书馆离小旭家，超市离小旭家．周末小旭先从家出发匀速骑行到超市，停留了购买文具；然后匀速骑行到图书馆；在图书馆借书停留了后，匀速骑行了返回家中．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小旭离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小旭离开家的时间/ 5 10 15 22 53 小旭离家的距离/ 2.9 0 (2)填空： ①超市到图书馆的距离为______； ②当小旭离家的距离为1km时，他离开家的时间为______． (3)当时，请直接写出小旭离家的距离y关于时间x的函数解析式． 4. （23-24八年级下·天津南开·期末）已知甲、乙、丙三地依次在一条直线上，丙地距离甲地，乙地距离甲地．张师傅驾车从甲地出发匀速行驶了到达乙地，在乙地休整了，然后继续以原来的速度匀速行驶到达丙地．当张师傅从甲地出发时，王师傅驾车从丙地出发匀速行驶到达甲地后，立即以原速返回丙地，结果他比张师傅提前到达丙地．给出的图象反映了这个过程中两位师傅离甲地的距离（单位：）与他们行驶的时间（单位：）之间的对应关系．请结合相关信息，解答下列问题： (1)填表： 张师傅行驶的时间（单位：） 1 5 6 ______ 张师傅离甲地的距离（单位：） 300 300 480 (2)请直接写出王师傅离甲地的距离（单位：）与他行驶的时间（单位：）之间的函数解析式； (3)填空： ①在王师傅返回丙地的过程中，他与张师傅相遇时距离乙地______； ②两位师傅从出发到张师傅到达丙地的整个过程中，他们相距时，为______（）． 5. （23-24八年级下·天津·期末）已知学生宿舍、便利店、篮球馆依次在同一条直线上，便利店离宿舍，篮球馆离宿舍．小明从宿舍出发，先匀速步行到达便利店买饮用水，在便利店停留，之后匀速步行到达篮球馆，在篮球馆锻炼了后，匀速骑行返回宿舍．如图所示图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 20 60 95 小明离宿舍的距离 ___________        ___________        ___________        ___________        （Ⅱ）填空：小明从篮球馆返回宿舍的骑行速度为 ___________； （Ⅲ）当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅳ）当小明离开便利店时，同宿舍的小杰从宿舍出发，匀速骑行直接前往篮球馆，如果小杰比小明提前到达篮球馆，那么他在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 6. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境    已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小明同学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学生公寓的时间/min 5 8 20 87 112 离学生公寓的距离/km 0.5 1.6 (2)填空： ①阅览室到超市的距离为__________； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为_________； ③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为______． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 7. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图像设计了一个问题情境．    已知小明家、食堂、图书馆依次在同一条直线上．食堂离小明家．图书馆离小明家．周末，小明从家出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆读报停留，然后匀速走了返回家．给出的图像反映了这个过程中小明离家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间/min 8 20 40 小明离家的距离/km (2)填空： ①食堂到图书馆的距离为______________km； ②小明从图书馆返回家中的速度为______________； ③当小明离家的距离为时，他离开家的时间为______________min． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 8. （22-23八年级下·天津·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境. 已知小红家、公园、体育馆依次在同一条直线上，她从家骑车出发，匀速骑行后到达公园，参观一段时间后匀速骑行前往体育馆，用时，刚到体育馆，接到妈妈电话，快速返回家中，回家途中匀速骑行．给出的图象反映了这个过程中小红离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题：    (1)填表： 离开家的时间/h 0.1 0.2 0.5 1.2 离开家的距离/km 2 (2)填空： ①小红在公园游玩的时间为______h； ②从公园到体育馆的途中，骑行速度为______km/h； ③接到妈妈电话后，小红返回家的速度为______km/h； (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 9. （23-24八年级下·天津河东·期末）已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，街心公园与小明家相距，超市与小明家相距．小明和妈妈从家出发，匀速步行了到达街心公园：两人在公园停留后，妈妈按从家出发时相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行到达超市购买文具用品、停留后，骑自行车匀速返回家，如图反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间的对应关系，    请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间/ 10 20 35 55 离家的距离/ (2)小明从街心公园到超市的速度为______； (3)小明的妈妈比小明提前______到家； (4)当时，请直接写出小明离开家的距离关于与离开家的时间的函数解析式，并写出的取值范围． 10. （21-22八年级下·天津·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小红的家、新华书店、商场依次在同一条直线上，新华书店离家4000m，商场离家6250m．周末小红骑车从家出发去商场买东西，当他匀速骑了15min到达离家6000m处时，想起要买一本书，于是原路返回，匀速骑了5min到刚经过的新华书店，买到书后加速，继续匀速走了5min到达商场．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离ym与离开家的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表 离开家的时间/min 5 10 15 25 35 离家的距离/m 2000 6000 (2)填空 ①新华书店到商场的距离为 m； ②小红在新华书店买书所用的时间是 min； ③小红从家出发到新华书店，骑行速度为 m/min； (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 一次函数的实际应用（分配方案问题） 1. （22-23八年级下·天津和平·期末）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资万元，到乙地耗资万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资万元，到乙地耗资万元，设从A调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元． (1)用含x的代数式填写下表： 运往甲地（单位：台） 运往乙地（单位：台） A省 B省 运往甲地耗资（单位：万元） 运往乙地耗资（单位：万元） A省 B省 (2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)若总耗资不超过万元，共有哪几种调运方案? 2. （22-23八年级下·天津北辰·期末）某年级430名师生秋游，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（座/辆） 60 45 租金（元/辆） 550 450 (1)设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式； (2)当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元？ 3. （20-21八年级下·天津和平·期末）在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到没有受洪水威胁的，两个仓库．已知甲库有粮食吨，乙库有粮食吨，而库的容量为吨，库的容量为吨． （1）填空： 若从甲库运往库粮食吨， ①从甲库运往库粮食________吨； ②从乙库运往库粮食________吨； ③从乙库运往库粮食________吨； （2）填空： 若从甲库运往库粮食吨， ①从甲库运往库粮食________吨； ②从乙库运往库粮食________吨； ③从乙库运往库粮食________吨； （3）从甲、乙两库到，两库的路程和运费如表：（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送千米所需人民币） 路程（千米） 运费（元/吨·千米） 甲库 乙库 甲库 乙库 库 库 写出将甲、乙两库粮食运往，两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式．并求出当从甲、乙两库各运往，两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？ 4. （18-19八年级下·天津滨海新·期末）某单位要印刷“市民文明出行，遵守交通安全”的宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1.5元印刷费，另收120元的制版费：乙印刷厂提出：每份材料收3元印刷费，不收制版费 设在同一家印刷厂一次印制数量为x份（x为正整数） （1）根据题意，填写下表 一次印制数量（份） 5 10 20 … 甲印刷厂收费（元） 127.5 … 乙印刷厂收费（元） 30 … （2）设选择甲印刷厂的费用为y1元，选择乙印刷厂的费用为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式； （3）在印刷品数量大于500份的情况下选哪家印刷厂印制省钱？请说明理由． 一次函数的实际应用（最大利润问题） 1. （23-24八年级下·天津·期末）某玩具商家安排采购员小雷从厂家购进A、B两款玩具，这两款玩具的进价和售价如表： 品名 A B 进价（元/个） 90 75 售价（元/个） 120 100 (1)第一次小雷用8400元购进了A、B两款玩具共100个，求A、B两款玩具各购进多少个？ (2)第二次小雷在进货时，厂家规定玩具A的进货数量不得超过玩具B进货数量的两倍，小雷计划购进两种玩具共150个，设小雷购进A款玩具m个（），售完两款玩具共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润． 2. （22-23八年级下·天津武清·期末）近年来，我国着力促进教育公平，提升教育质量，教育数字化工作持续推进、成果丰硕．在教育数字化进程中，多媒体的作用不可小觑．某教育科技公司销售A，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 售价（万元/套） 该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共50套，设购进A种多媒体设备x套，利润为y万元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，最大利润是多少万元？ 3. （22-23八年级下·天津南开·期末）为全面推进乡村振兴，某地将农户种植的农产品包装成A，B两种大礼包．一超市预购进两种大礼包共400个，A种大礼包的进价为47元/个，预售价为65元/个；B种大礼包的进价为37元/个，预售价为50元/个．设购进A种大礼包x个，两种大礼包全部售完时获得的总利润为W元，其中x为正整数． (1)填表： 购进A种大礼包数量（个） 购进B种大礼包数量（个） 购进两种大礼包的总费用（元） 总利润W（元） 50 350 15300 5450 300 6700 (2) 如果购进两种大礼包的总费用不超过18000元，那么商场购买两种大礼包分别为多少个时，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 4. （21-22八年级下·天津和平·期末）某商场为庆祝开业，特在开业当天推出了两种购物方案： 方案一：非会员购物所有商品价格可享九折优惠； 方案二：若额外缴纳50元会费成为该商场的会员，则所有商品价格可享八折优惠． 设王女士在该商场开业当天的累计购物金额为元． (1)根据题意，填写表格： 累计购物金额（元） 350 450 550 650 …… 方案一的付款金额（元） 315 405 ______ ______ …… 方案二的付款金额（元） 330 410 ______ ______ …… (2)分别写出王女士按方案一、方案二的付款金额元、元与累计购物金额元（）之间的函数关系式； (3)当时，王女士选择哪种购物方案更合算？并说明理由． 一次函数实际应用（其他问题） 1. （22-23八年级下·天津红桥·期末）甲、乙两家商场以同样的价格出售相同的商品．“五一”节期间两家商场都举行让利酬宾活动．在甲商场按累计购物金额的收费；在乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设在同一商场累计购物金额为x元，其中． (1)根据题意，填写下表： 累计购物金额/元 100 400 在甲商场实际花费/元 80 在乙商场实际花费/元 100 340 (2)设在甲商场的实际花费为元，在乙商场的实际花费为元，分别写出关于x的函数解析式； (3)当时，顾客在哪家商场购物的实际花费少？ 2. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）某公司有A，B两种客车，它们的载客量和租金如下表： A B 载客量（人/辆） 60 45 租金（元/辆） 300 250 某校计划同时租用A，B两种客车共6辆（不单独租用某一种客车），组织330名师生到综合素质教育实践基地参加活动，设学校租用A种客车x辆，租车总费用为y元． (1)学校至少租用多少辆A种客车？ (2)求出y与x之间的函数关系式； (3)求租车总费用的最小值． 3. （21-22八年级下·天津北辰·期末）甲、乙两个书店举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价7折出售；乙书店：所购图书标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元的部分打5折．设要购买图书的标价总额为x元，实际支付金额为y元． (1)根据题意，填写下表： 在乙书店购买图书标价总额/元 60 80 90 100 在乙书店购买图书实际支付金额/元 60         85       (2)如果在甲书店购书，请直接写出y与x的函数解析式； (3)如果在乙书店购书，请直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 4. （22-23八年级下·天津河西·期末）中国和世界上大部分国家都采用摄氏温度（）为标准预报天气，也有一些国家采用华氏温度()标准．为了研究这两者之间的关系，某学习小组通过查阅资料得到下表中的数据，并发现这两种温度标准计量值之间是一次函数关系． 摄氏温度值x /°C 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y /°F 32 50 68 86 104 122 (1)如果以摄氏温度值为横坐标，以华氏温度值纵坐标，该学习小组的同学画出了如下图象： ①请你写出这个一次函数图象上任意的两个点的坐标______________； ②求该一次函数的表达式；当华氏温度值为0时，摄氏温度值是多少？ (2)华氏温度值是否可能与摄氏温度值相等呢？如果可能，求出此值；如果不可能，说明理由． 5. （22-23八年级下·天津·期末）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案设购票张数为张,购票款为元： 方案一：提供元赞助后，每张票的票价为元； 方案二：票价按图中的折线所表示的函数关系确定．    (1)若购买张票时，按方案一购票需___________ 元； (2)求方案二中与的函数关系式； (3)至少买多少张票时选择方案一比较合算？ 6. （21-22八年级下·天津·期末）“4.14”玉树大地震震惊中国，面对特大灾害，在党中央国务院的领导下，全国人民万众一心，众志成城，抗震救灾．现在A、B两市各有赈灾物资500吨和300吨，急需运往结古镇400吨，运往隆宝镇400吨，从A、B两市运往结古镇、隆宝镇的耗油量如表： 结古镇（升/吨） 隆宝镇（升/吨） A市 0.5 0.8 B市 1.0 0.4 (1)若从A市运往结古镇的赈灾物资为x吨，则从A市运往隆宝镇的赈灾物资为______吨，从B市运往结古镇的赈灾物资为______吨，从B市运往隆宝镇的赈灾物资为______吨，求完成以上运输所需总耗油量y（升）与x（吨）的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)请你求出至少需要多少升油？ 7. （21-22八年级下·天津津南·期末）甲、乙两家超市平时以同样价格出售相同的商品，“端午节”期间，两家超市都让利酬宾，其中甲超市对累计购物中超过200元后的价格打6折，乙超市所有商品按8折出售． (1)根据题意填写下表（单位：元）：          累计购物 实际花费 100 200 320 450 … 在甲超市 100 272 … 在乙超市 80 256 … (2)设小明在同一家超市累计购物元（其中）， 用、表示在甲、乙两家超市的实际花费，分别写出、关于的函数解析式； (3)当小明在同一家超市累计购物超过200元时，会选择哪家超市更省钱？ 8. （21-22八年级下·天津滨海新·期末）某校举行运动会准备给运动员发放奖品．某种文具甲商场为40元/件；乙商场一次购买不超过10件，单价为50元/件，一次性购买超过10件时，其中有10件的价格仍为50元/件，超出10件部分的单价为30元/件．设准备买件文具（为非负整数）． (1)根据题意填表： 一次购买数量/件 6 10 30 … 甲商场费用/元 400 … 乙商场费用/元 500 … (2)设去甲商场购买费用为元，去乙商场购买费用为元，分别求，关于的函数解析式； (3)根据题意填空： ①若在甲商场和在乙商场购买的数量相同，且费用相同，则在同一个商场一次购买的数量为______件； ②若在同一个商场一次购买15件，则在甲、乙两个商场中的______商场购买花费少： ③若在同一个商场一次购买花费了1400元，则在甲、乙两个商场中的______商场购买的数量多． 一次函数与几何综合 1. （23-24八年级上·天津河东·期末）如图在平面直角坐标系中，点、，点E在y轴正半轴上，连接，过点B作，且．连接交x轴于点，则点E的坐标是 ． 2. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是线段的中点，则的长是 ． 3. （22-23八年级下·天津·期末）如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的坐标为 ． 4. （23-24八年级下·天津·期末）已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线也经过点，位置如图所示，且与直线所夹锐角为，则直线的函数表达式为 ． 5. （23-24八年级下·天津西青·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？ （请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标． ． 6. （23-24八年级下·天津·期末）如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点，，平分交轴与点，，垂足为． （1）求点，的坐标； （2）求所在直线的解析式； （3）如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 7. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，为对角线，其中．    (1)求点B，C的坐标； (2)求所在直线的解析式； (3)已知点，问：在直线上是否存在一点P，使得最小？若存在，求点P的坐标与的最小值；若不存在，请说明理由． 8. （23-24八年级下·天津西青·期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为，点B坐标为，点P是直线上的一个动点，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a． (1)如图，当点P位于第二象限，且时， ①求直线的解析式； ②当时，求a的值． (2)若以点O，A，Q，P为顶点的四边形是菱形，直接写出满足条件的a，m的值． 一次函数与将军饮马最值问题 1. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，直线与直线相交于点M    (1)求直线的解析式及点M的坐标； (2)点P是直线上的一点． ①当时，求点P的坐标； ②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当取最小值时，直接写出点Q的坐标． 2. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的中点．    (1)在平面内是否存在点，使得的值最小？______（请填写“是”或“否”）； (2)如果存在满足（1）中条件的点Q，请直接写出m的值和的最小值；如果不存在，请说明理由． 3. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A为，四边形是正方形．    (1)填空：______； (2)求点D的坐标； (3)若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，求四边形周长的最小值． 4. （21-22八年级下·天津·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，网格小正方形边长为1．已知下列各点：，，，． (1)四边形ABCD为____（平行四边形、矩形、菱形、正方形，选择一个填写）； (2)三角形ABD的面积是______； (3)求直线BC的解析式 (4)y轴上存在一点E使得最小，则点E的坐标是______． (5)在坐标轴上找一点P，使得三角形APD的面积与三角形ABD的面积相同，求P点坐标． 一次函数与存在性问题 1. （21-22八年级下·天津西青·期末）如图，在平面坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，点． (1)求直线l的解析式； (2)若点C是y轴上一点，且的面积是，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，当点C在y轴负半轴时，在平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2. （23-24八年级下·天津·期末）如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图，若，直接写出点P的坐标． 3. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），四边形ABCD是正方形．    （1）填空：b＝　 　； （2）求点D的坐标； （3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 4. （22-23八年级下·天津红桥·期末）已知直线（，为常数，）分别与轴，轴交于点，点． (1)求该直线的解析式； (2)若点是轴上一点，且的面积． ①求点的坐标； ②当点在轴的负半轴上时，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点A(4,1)与正比例函数()的图象相交于点B(,3)，与轴相交于点C. （1）求一次函数和正比例函数的表达式; （2）若点D是点C关于轴的对称点，且过点D的直线DE∥AC交BO于E，求点E的坐标； （3）在坐标轴上是否存在一点，使.若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由. 6. （22-23八年级下·天津·期末）已知，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、点，与直线 相交于点，过点作轴的平行线l，点是直线l上的一个动点． (1)求点，点的坐标． (2)若，求点的坐标． (3)若点是直线上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标．    7. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点A，点B，与直线：交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点D是线段上一点，且的面积是面积的，求直线的解析式； (3)点P是直线上一点，点Q是平面内任意一点，若以点O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 8. （21-22八年级下·天津·期末）如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式； （2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE． （3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数与全等三角形综合 1. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且、满足．    (1)点的坐标为______ ；点的坐标为______ ； (2)求直线的解析式； (3)若点为直线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，求值； (4)若在第一象限有一个固定点，为坐标平面上一点，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，写出满足条件的点的坐标为______（直接写出） 2. （22-23八年级下·天津·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标，点C在直线上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连接，以为直角边在右侧构造一个等腰，且． (1)求直线的解析式以及C点坐标； (2)设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标； (3)如图2，连接，请直接写出使得周长最小时，点E的坐标． 3. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，过点B的直线交轴正半轴于C，且△ABC的面积为56. 点D为线段AB的中点，点E为轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF． (1)求点C的坐标及直线BC的表达式； (2)在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标； (3)设点E的坐标为（0，）； ①用表示点F的坐标； ②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围． 4. （24-25八年级上·天津和平·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，，且于点，．则点的坐标为________： （2）如图2，在平面直角坐标系中，于点，，点的坐标为，则点的坐标为________； （3）如图3，点A在轴上，点在轴上，且，点在轴的负半轴上，连接，作于点，并且，连接交轴于点，请猜想线段与线段的数量关系，并进行证明； （4）如图4，点的坐标为，轴于点，在直线上有一动点，连接，在轴上方作于点，并且，连接，线段平行于轴，连接，线段交坐标轴于点，当时，直接写出点的坐标． 一次函数与特殊四边形综合 1. （20-21八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x－6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）． （1）写出点B的坐标是（　 　，　 　）； （2）当时，求点E的坐标； （3）在点E的整个运动过程中， ①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标； ②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为　 　．（请直接写出答案） 2. （18-19八年级下·天津南开·期末）如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形 直接写出此时点的坐标：　　；直线的解析式为　　． 在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值； (2)如图，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 3. （23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 4. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? (3)如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 一次函数与几何变换 1. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，点在线段上，将沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是．其中正确的结论是（  ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 2. （23-24八年级下·天津·期末）如图，长方形，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点， (1)点的坐标； (2)求折痕所在直线的表达式； (3)求折痕上是否存在一点，使最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由． 3. （22-23八年级下·天津和平·期末）以长方形的边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知，，将长方形沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处．    (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4. （20-21八年级下·天津河西·期末）如图①，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，． （1）请直接写出点的坐标； （2）如图②，点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合，求线段的长度； （3）如图③，点为直线在第一象限内的图象上的个动点，点在线段上(不与点、重合)，是否存在直角顶点为的等腰直角，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$