专题04 特殊平行四边形（9个经典基础题型＋6个优选提升题型）（天津专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题04 特殊平行四边形 矩形的性质简单应用 1. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 2. （19-20八年级下·天津和平·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 3. （23-24八年级下·天津河西·期末）如图，四边形是矩形，A，B两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4. （22-23八年级下·天津·期末）如图，矩形中，对角线，交于点，若，，则长为（    ）    A． B．2 C．3 D．5 5. （22-23八年级下·天津河西·期末）矩形的两边长分别为10和20，则矩形的两条对角线长度分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6. （20-21八年级下·天津河西·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 7. （21-22八年级下·天津·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若，，则对角线AC的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 直角三角形斜边中线的性质 1. （21-22八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，两条直角边长分别为5，12，则斜边上的中线长为（  ） A．13 B．12 C．6.5 D．6 2. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3. （21-22八年级下·天津西青·期末）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E为的中点．若，则的周长为（    ） A．10 B． C． D．14 4. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，若，，则的长为 ．    5. （22-23八年级下·天津和平·期末）已知：如图，四边形中，，，，，．    (1)若为中点，求的长度； (2)连接，求线段的长度． 菱形的性质应用 1. （23-24八年级下·天津·期末）菱形中，，对角线，则菱形周长为（　　）    A．24 B．32 C． D．16 2. （20-21八年级下·天津红桥·期末）已知菱形的两条对角线的长分别为和，则这个菱形的周长和面积分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3. （23-24八年级下·天津河西·期末）已知菱形中，对角线与交于点O，，则该菱形的面积是（    ） A． B．24 C． D．18 4. （23-24八年级下·天津·期末）如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为，深色阴影部分的周长为，若要求出的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 5. （23-24八年级下·天津·期末）已知四边形是菱形，相交于点O，下列结论正确的是（    ） A． B．菱形的面积等于 C．平分 D．若，则四边形是正方形 6. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）菱形中，分别在和上，且是等边三角形，．则等于（    ）      A． B． C． D． 7. （23-24八年级下·天津西青·期末）如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接，若菱形的面积等于，对角线，则的长是（    ） A． B． C． D． 8. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，菱形的对角线交于点于点，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 9. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，若菱形的周长，则菱形的一边的中点E到对角线交点O的距离为（    ）    A． B． C． D． 10. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，在菱形中，，对角线，过点作，垂足为点，则的长度是 ． 16．（22-23八年级下·天津和平·期末）在菱形中，对角线、相交于点，，，则 ， ． 11. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在菱形中，点P在对角线上，，垂足为E，，则点P到的距离是 ． 12. （22-23八年级下·天津东丽·期末）菱形的对角线长分别为，，则菱形的面积为 ． 13. （20-21八年级下·天津东丽·期末）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于 ．    正方形的性质 1. （21-22八年级下·天津津南·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 2. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）在边长为的正方形中，E为边上一点，，，垂足分别为F，G，则的长是（    ） A．5 B． C．10 D． 3. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，正方形边长为2，点E是边的中点，的平分线交于点F，交延长线于点G，则的长是（    ） A．2 B． C． D． 4. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上的一个动点，则的最小值为（    ）    A．6 B．8 C．10 D． 5. （23-24八年级下·天津河东·期末）在正方形中，点为边上一点（不与点、重合），于点，于点，若，，线段的长是 ． 6. （22-23八年级下·天津北辰·期末）如图，正方形和正方形中，点N在上，，，D是的中点，那么的长是 ． 7. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ． 特殊平行四边形的判定 1. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）要使成为矩形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 2. （22-23八年级下·天津·期末）下列判定矩形中，错误的是（  ） A．三个角是直角是四边形是矩形 B．一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线平分且相等的四边形是矩形 3. （21-22八年级下·天津津南·期末）如图，AC、BD是□ABCD的对角线，要使□ABCD成为矩形，需添加一个条件： ． 4. （23-24八年级下·天津和平·期末）顺次连接梯形四边中点得到一个菱形，则该梯形的两条对角线（    ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．互相垂直且平分 5. （20-21八年级下·天津河西·期末）已知，，若以所在直线为对称轴，作出点的对称点；再以所在直线为对称轴，作出点的对称点，连接，，，则四边形是（  ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．任意四边形 6. （21-22八年级下·天津·期末）下列命题中正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形． B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 7. （22-23八年级下·天津和平·期末）下列判断错误的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．邻边相等的平行四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 8. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）下面是小明设计的作正方形ABCD的尺规作图过程． 已知：中，．． 求作：正方形． 作法：如图， 1、以点A为图心．长为半径作弧； 2、以点C为圆心，长为半径作弧； 3、两弧交于点D，点B和点D在异侧； 4、连接，，所以四边形是正方形． (1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵______________，______________， ∴四边形是平行四边形．（______________）（填推理的依据） ∵， ∴四边形是矩形．（______________）（填推理的依据） 又∵， ∴四边形是正方形．（______________）（填推理的依据） 9. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）下面是小明设计的作正方形ABCD的尺规作图过程． 已知：中，．． 求作：正方形． 作法：如图， 1、以点A为图心．长为半径作弧； 2、以点C为圆心，长为半径作弧； 3、两弧交于点D，点B和点D在异侧； 4、连接，，所以四边形是正方形． (1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵______________，______________， ∴四边形是平行四边形．（______________）（填推理的依据） ∵， ∴四边形是矩形．（______________）（填推理的依据） 又∵， ∴四边形是正方形．（______________）（填推理的依据） 矩形的判定 1. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接．求证：四边形是矩形． 2. （21-22八年级下·天津·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，点F在边CD上，，连接DE、BF． (1)求证： (2)若，求证：四边形BFDE是矩形． 3. （21-22八年级下·天津河西·期末）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE  ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 4. （21-22八年级下·天津津南·期末）已知ABCD，对角线AC，BD相交于点O（AC＞BD），点E，F分别是OA，OC上的动点． (1)如图①，若AE=CF，求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)如图②，若OE=OB，OF=OD，求证：四边形EBFD是矩形． 矩形、菱形判定及性质（基础解答题） 1. （19-20八年级下·天津滨海新·期末）已知，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O． （1）如图①，若AB＝6，BC＝8，则BD＝　　，OD＝　　； （2）如图②，DE∥AC，CE∥BD，求证：四边形OCED是菱形． 2. （21-22八年级下·天津滨海新·期末）如图，在菱形中，点在边上，与相交于点，连接．求证：． 3. （22-23八年级下·天津北辰·期末）如图，菱形的对角线，交于点O，，．求证：四边形是矩形． 4. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 5. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平行四边形中，对角线上有两点，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且边长为8，，求． 6. （23-24八年级下·天津西青·期末）在中，对角线相交于点O，，，且． (1)如图①，求证：四边形是矩形； (2)如图②，连接，若，，求的长． 7. （19-20八年级下·天津和平·期末）已知，四边形是菱形． (1)若，则菱形的周长______； (2)如图①，、是对角线，则与的位置关系是_______． (3)如图②，点、分别在、上，且，，，点、分别在、上，与相交于点．求证：四边形是菱形． 8. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，分别在菱形的对角线上．    (1)求证：； (2)若为的中点，菱形的周长是28，求的长． 9. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，矩形，，，过对角线中点O的直线分别交、边于点E，F．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，求菱形的边长． 10. （22-23八年级下·天津·期末）如图，矩形中，点E、F分别在边、上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形是菱形，，，求菱形的周长． 11. （21-22八年级下·天津西青·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求和的长． 12. （21-22八年级下·天津·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M为AD的中点，过点M作交CD延长线于点N． (1)求证：四边形MNDO是平行四边形； (2)当AB，BD满足 条件，四边形MNDO是菱形；当AB，BD满足 条件，四边形MNDO是矩形． 13. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，已知四边形的对角线、交于点O，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)E为上一点，连接BE，若，，，求的长． 14. （22-23八年级下·天津·期末）如图，同一平面内三条不同的直线，，，，直线与另外两条直线分别交于点，，点，分别为，上两点，且满足平分，平分． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若四边形为菱形，求出的大小． 15. （22-23八年级下·天津·期末）如图所示，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为8，，求的长． 16. （21-22八年级下·天津南开·期末）如图，点是菱形对角线的交点，，连接． (1)求证：； (2)如果，，求四边形的周长． 特殊平行四边形与平面直角坐标系 1. （21-22八年级下·天津·期末）我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2. （23-24八年级下·天津和平·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点D在x轴的正半轴上，则顶点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，四边形是菱形，顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4. （20-21八年级下·天津津南·期末）在平面直角坐标系中，菱形OABC位置如图所示，B（16，8），则点C的坐标是（    ） A．（6，8） B．（8，6） C．（10，8） D．（8，10） 5. （22-23八年级下·天津河西·期末）如图，四边形为菱形，，，点C，D在坐标轴上．    (1)点C的坐标为________；点D的坐标为________；_______． (2)求，的长． 6. （22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴的负半轴和y轴正半轴上，已知，，分别过的中点E，F作的平行线，相交于点D． (1)求证：四边形为菱形． (2)求四边形的面积． 7. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，过点作y轴的垂线交于点E，点B恰在这条直线上． (1)求的长； (2)求的长． 正方形性质及判定解答题（基础） 1. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，正方形中，点为的中点，点为上一点，且，设的长为． (1)用含有的式子表示和； (2)求的大小． 2. （21-22八年级下·天津河西·期末）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A恰好落在AE上的G处，得到折痕BF，与AD交于点F． (1)当E是CD的中点时，求AF的长； (2)若，求GE的长． 3. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，连接，过点A作交的延长线于点G．    (1)求证； (2)若，试判断四边形的形状并说明理由； (3)当与满足_________时，四边形是正方形． 4. （21-22八年级下·天津河北·期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 5. （22-23八年级下·天津·期末）如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE． （1）求证：AE＝CE； （2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数； （3）在（2）的条件下，若OE＝，求CE的长． 正方形多结论判断 1. （20-21八年级下·天津·期末）如图，点P是正方形的对角线上一点，于点于点F，连接，给出下列四个结论： ①；②；③；④，其中正确的是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. （23-24八年级下·天津·期末）如图，正方形中，点，分别在，上，是等边三角形，连接交于点，下列结论：①，②，③，④，⑤． 其中结论正确的个数为（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. （22-23八年级下·天津·期末）在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB＝AB；③CF⊥DP；④FC＝EF，其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 4. （21-22八年级下·天津北辰·期末）如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②DEBC；③S△CFD＝S△BEF，正确的结论有 ．（填序号） 矩形与折叠问题 1. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为（    ）    A． B．1 C． D．2 2. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，点E，F分别在矩形纸片的边上，沿折叠矩形，点A，B的对应点分别为M，N，交于点H，若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 3. （23-24八年级下·天津西青·期末）如图，在正方形的边上取一点E，连接，将沿折叠，使点B恰好与对角线上的点F重合，连接，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 4. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处，有以下结论：①；②；③；④；其中，正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为．的长为 ．    6. （20-21八年级下·天津红桥·期末）如图，为矩形纸片的边上一点，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且．若，，则的长为 ． 7. （22-23八年级下·天津河西·期末）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处．    (1)求证：； (2)求的长． 8. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点．点，在边AB上任取一点D，将沿OD翻折，使点A落在边上，记为点E．    (1)的长=______，的长=________，的长=________，的长=________； (2)设点P在x轴上，且，求点P的坐标． 9. （21-22八年级下·天津东丽·期末）如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠后，点落在点 处，且与交于F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求的面积． 10. （23-24八年级下·天津·期末）如图1，在矩形中，，E为边上的动点，将矩形沿直线折叠，点A，B的对应点分别为点． (1)当时，则 ； (2)连接，当为直角三角形时，求的长； (3)设与的交点为点F，连接，如图2，当四边形为矩形时，求矩形的面积． 特殊平行四边形的复杂计算题 1. （21-22八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，平分，分别过点B、C作于点E，于点F，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，点是正方形对角线上一点，过点作交于点，连接，若，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 3. （22-23八年级下·天津河西·期末）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，，为的中点，连接，则的长为 ．      4. （23-24八年级下·天津·期末）如图，矩形ABCD中，交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，，若，则CD的值为 ． 5. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，在菱形中，点E是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的长等于 ．    6. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且，，连接OF，则（1） ；（2） ； 7. （22-23八年级下·天津蓟州·期末）如图，在菱形ABCD中，，点P为边AB上一点（点P不与端点重合），连接CP，点E、F分别为AP、CP的中点，连接EF，若，则菱形ABCD的面积为（    ） A．8 B． C．9 D． 8. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，正方形的边长为4，点在边上，点在边的延长线上，且．点，分别在边，上，与交于点，且，则的长为 ．    9. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 10. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在正方形中，是的中点，将沿折叠，得到点的对应点，延长交线段于，若，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 11. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是上一点，，，点M，N分别是和的中点，连接． （Ⅰ）线段的长为 ． （Ⅱ）线段的长为 ．    12. （22-23八年级下·天津河西·期末）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，，为的中点，连接，则的长为 ．      13. （23-24八年级下·天津·期末）如图，为正方形的边上一点，为边延长线上一点，且，点为边上一点，且，的周长为8，，与交于点，连接，则的长为 ． 特殊平行四边形与网格作图 1. （22-23八年级下·天津·期末）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，． （1）线段BC的长等于 ； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画点E，使简要说明画图方法（不要求证明） ． 2. （23-24八年级下·天津·期末）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上． （1）计算AC2+BC2的值等于 ； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明） ． 3. （21-22八年级下·天津和平·期末）如图，在小正方形的边长为1的正方形网格中，点A，B在格点上． (1)线段的长是______； (2)在网格中用无刻度的直尺，以为边画矩形，使这个矩形的面积是（要求：保留画图痕迹）． 4. （21-22八年级下·天津津南·期末）在如图所示的6×4网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均落在格点上． （1）AB的长等于 ； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为边的菱形ABCD，并简要说明画图的方法（不要求证明） ． 5. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上． （Ⅰ）线段的长为 ． （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，E，使四边形为平行四边形，点D在线段上，且，简要说明点D，E的位置是如何找到的（不要求证明） ．    6. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，，． ①当时，则 ； ②在图中的网格区域内找一点，使，且四边形被过点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，则点坐标为 （要求：写出点坐标，画出过点的分割线并指出分割线，不必说明理由，不写画法） 7. （22-23八年级下·天津南开·期末）在边长为1的网格图形中，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，在图1所示的格点图形中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的面积为52．写出正方形EFGH的面积的所有可能值是 （不包括52）． 8. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点A，B，C，D和边上的点E均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）在线段上找一点M，连接，使得．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的．（不要求证明） ． 9. （21-22八年级下·天津·期末）在每个小正方形的边长为1的网格中，用无刻度的直尺，按下列要求画图． (1)如图①，点A，M在格点上，则AM的长度为______； (2)在图①中画出以AM为一边的正方形MABC； (3)如图②，N，F分别为小正方形边的中点，在图②中画出以NF为一边的菱形FNPQ（FNPQ不是正方形）． 10. （23-24八年级下·天津·期末）在每个小正方形的边长为1的网格中，点，在格点上，请用无刻度的直尺，按下列要求画图． (1)在图①画出一个以为一边的正方形； (2)在图②画出一个以为一边的菱形（不是正方形）； (3)如图③，点，在格点上，与交于点，在图③中画出一个以为一边的矩形． 特殊平行四边形解答题（提高题） 1. （23-24八年级下·天津南开·期末）菱形的对角线，相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接，． (1)如图1，求证：四边形为矩形； (2)如图2，若，，连接．求：的面积和菱形的面积． 2. （23-24八年级下·天津·期末）在中，M，N分别是的中点，连接． (1)如图①，求证：四边形是平行四边形； (2)如图②，连接，若，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，过点C作于点E，交于点P，，且，求的长． 92．（23-24八年级下·天津·期末）如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． (1)如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． (2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 3. （22-23八年级下·天津·期末）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)求的值； (3)若恰为的中点，连接，求点到的距离． 4. （23-24八年级下·天津和平·期末）如图，在正方形中，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，与对角线相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，点，，分别是三条边，，上的动点，若，，求的最小值（直接写出结果即可）． 特殊平行四边形综合探究问题 1. （21-22八年级下·天津·期末）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 2. （23-24八年级下·天津·期末）（1）如图1，在中，，点是中点，连接，则与的数量关系是___________． （2）如图2，在中，，平分，，垂足为，交于，连接．求证：四边形是菱形． （3）如图3，的中线、相交于点，、分别是、的中点，连接、、、．若的面积为6，则四边形的面积为___________． 3. （22-23八年级下·天津西青·期末）将一个矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限；设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，，分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； 4. （20-21八年级下·天津南开·期末）如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点． （1）当时，则点坐标为______； （2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长； （3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 特殊平行四边形 矩形的性质简单应用 1. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可． 2. （19-20八年级下·天津和平·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质：①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等，根据以上三个性质，即可判断选项内容是否正确． 【详解】解：A选项：∵矩形的四个角都是直角，∴∠ABC=90°，故A选项正确； B选项：∵矩形的两条对角线互相平分且相等，∴AC=BD，故B选项正确； C选项：∵矩形的两条对角线互相平分且相等，∴OA=OB=，故C选项正确； D选项：矩形的两条对角线互相平分且相等，OA=OB=OD，但是无法推出AB=AD，故D选项错误， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质：①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等，熟练掌握以上三个性质就能解决类似的问题． 3. （23-24八年级下·天津河西·期末）如图，四边形是矩形，A，B两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，点坐标．熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 由四边形是矩形，A，B，可得，进而可求点C的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，A，B， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：C． 4. （22-23八年级下·天津·期末）如图，矩形中，对角线，交于点，若，，则长为（    ）    A． B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， 矩形对角线，交于点， ，，即， ， 是等边三角形， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键. 5. （22-23八年级下·天津河西·期末）矩形的两边长分别为10和20，则矩形的两条对角线长度分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，即可得解． 【详解】解：如图所示： 四边形是矩形， ， ，， ， 即两条对角线长度分别为和， 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，关键是根据矩形的每个角都是解答． 6. （20-21八年级下·天津河西·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中画出三个已知点的位置，然后根据矩形性质求得、的长，最后即可求解面积． 【详解】在平面直角坐标系中作出三个点，如下图所示， ， 根据矩形的性质得到点的位置， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，和平面直角坐标系，关键是在平面直角坐标系中画出已知点的位置． 7. （21-22八年级下·天津·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若，，则对角线AC的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】由矩形的性质得出OA＝OC，∠ADC＝90°，证出OE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出CD＝2OE＝6，再由勾股定理求出AC即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，∠ADC＝90°， ∵E是AD中点， ∴OE是△ACD的中位线， ∴CD＝2OE＝6， ∴AC＝＝＝10； 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形中位线定理求出CD是解决问题的关键． 直角三角形斜边中线的性质 1. （21-22八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，两条直角边长分别为5，12，则斜边上的中线长为（  ） A．13 B．12 C．6.5 D．6 【答案】C 【分析】先根据题意求出直角三角形的斜边长，然后根据斜边上的中线性质即可求出答案． 【详解】解：由勾股定理可知斜边长为：， ∴斜边上的中线长为6.5， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 2. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可知，，根据三角形中位线的性质可知，利用勾股定理可求，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求的长度． 【详解】解：在矩形中，， ，， 又点是矩形的对角线的中点，是边的中点，， ， ， 点为的中点，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、三角形的性质，解决本题的关键是根据图形的性质求出相关线段之间的关系． 3. （21-22八年级下·天津西青·期末）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E为的中点．若，则的周长为（    ） A．10 B． C． D．14 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质可得，，再根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据三角形中位线定理可得，利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式即可得． 【详解】解：在矩形中，， ，， ， ，， 点是矩形的对角线的中点， ， 点为的中点， ，， ， 则的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理是解题关键． 4. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，若，，则的长为 ．    【答案】3 【分析】利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：∵点D、E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． ∵，D是的中点，， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 5. （22-23八年级下·天津和平·期末）已知：如图，四边形中，，，，，．    (1)若为中点，求的长度； (2)连接，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，则，由，，可得，，则，由勾股定理得，，即，解得或（舍去），由点为边上的中点，可得，计算求解即可； （2）由题意知，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得，，即，解得或（舍去）， ∵点为边上的中点， ∴， ∴的长为； （2）解：∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，平行线的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 菱形的性质应用 1. （23-24八年级下·天津·期末）菱形中，，对角线，则菱形周长为（　　）    A．24 B．32 C． D．16 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，熟记菱形的各种性质是解题关键．由四边形是菱形，可得，又由，则可证得是等边三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， 即， 菱形的周长为：． 故选：B． 2. （20-21八年级下·天津红桥·期末）已知菱形的两条对角线的长分别为和，则这个菱形的周长和面积分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据菱形的面积公式即可求出菱形的面积，由菱形的性质可得，，，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图：菱形中， ，，， 由勾股定理得： 菱形的周长为 故选B． 【点睛】此题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键． 3. （23-24八年级下·天津河西·期末）已知菱形中，对角线与交于点O，，则该菱形的面积是（    ） A． B．24 C． D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，先由菱形的性质得到，进而证明是等边三角形，得到，再由菱形的对角线互相垂直平分得到，利用勾股定理得到，则，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵对角线与交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. （23-24八年级下·天津·期末）如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为，深色阴影部分的周长为，若要求出的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】设标记为①，②，③，④的小正三角形的边长分别为，菱形的边长为，分别求得,即可求解． 【详解】解：设标记为①，②，③，④的小正三角形的边长分别为，菱形的边长为， ∴， 依题意，， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角的性质，整式的加减，熟练掌握菱形的性质与等边三角的性质是解题的关键． 5. （23-24八年级下·天津·期末）已知四边形是菱形，相交于点O，下列结论正确的是（    ） A． B．菱形的面积等于 C．平分 D．若，则四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：如图所示： ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴ 不一定成立，故A错误； 菱形的面积， 故B错误； ∵菱形的对角线平分一组对角， ∴平分，故C正确； ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴显然成立， 故D错误； 故选：C． 6. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）菱形中，分别在和上，且是等边三角形，．则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质推出，，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质得出，，根据等边对等角得出，设，根据三角形的内角和定理得出方程，求出方程的解即可求出答案． 【详解】    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴ 由三角形的内角和定理得：， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键是熟练运用这些性质和定理． 7. （23-24八年级下·天津西青·期末）如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接，若菱形的面积等于，对角线，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：四边形是菱形， ，为的中点， ，， ， ，， 故选：B 8. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，菱形的对角线交于点于点，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理，先根据菱形的求得边长，由勾股定理求，则，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求的长．熟练掌握菱形的性质是关键：①菱形的四边相等；②菱形的对角线互相垂直且平分． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，若菱形的周长，则菱形的一边的中点E到对角线交点O的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得，判定为的中位线，由中位线的性质可求解． 【详解】解：菱形的周长为， ， 为菱形对角线的交点， ， 为的中点， 为的中位线， ， 即菱形的一边中点到对角线交点的距离为， 故选B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，三角形的中位线定理，证明为的中位线是解题的关键． 10. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，在菱形中，，对角线，过点作，垂足为点，则的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算方法，连接交于，由菱形的性质得，，，再由勾股定理和面积公式即可求解，熟练掌握菱形的性质，由菱形面积的两种计算方法得出结果是解题的关键． 【详解】如图，连接交于， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 16．（22-23八年级下·天津和平·期末）在菱形中，对角线、相交于点，，，则 ， ． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ，， ， ， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 11. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在菱形中，点P在对角线上，，垂足为E，，则点P到的距离是 ． 【答案】5 【分析】作，根据菱形的性质得到平分，再根据角平分线的性质即可得到，问题得解． 【详解】解：如图，作，垂足为F， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∵，， ∴， 即点P到的距离是5． 故答案为：5 【点睛】本题考查了菱形的性质，角平分线的性质，点到直线的距离的定义，熟知菱形的性质定理和角平分线的性质，根据题意合理添加辅助线是解题关键． 12. （22-23八年级下·天津东丽·期末）菱形的对角线长分别为，，则菱形的面积为 ． 【答案】15 【分析】根据菱形的面积公式等于对角线乘积的一半，即菱形面积，代值求解即可得到答案． 【详解】解：菱形的对角线长分别为，， 菱形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形面积公式，熟记菱形的面积公式等于对角线乘积的一半是解决问题的一半． 13. （20-21八年级下·天津东丽·期末）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于 ．    【答案】7.8 【分析】证四边形ABCD是菱形，得CD=AD=5，连接PD，由三角形面积关系求出PM+PN=4.8，得当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，则当BP⊥AC时，PB最短，即可得出答案． 【详解】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3， ∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD于点O， ∴平行四边形ABCD是菱形，AD＝＝＝5， ∴CD＝AD＝5， 连接PD，如图所示：    ∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC， ∴AD•PM+DC•PN＝AC•OD， 即×5×PM+×5×PN＝×8×3， ∴5×（PM+PN）＝8×3， ∴PM+PN＝4.8， ∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值， 由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短， ∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8， 故答案为：7.8． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 正方形的性质 1. （21-22八年级下·天津津南·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的邻边相等，等边三角形的各边相等，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 本题考查的是正方形，等边三角形，等腰三角形的性质来解决． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 2. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）在边长为的正方形中，E为边上一点，，，垂足分别为F，G，则的长是（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质，矩形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．由正方形，以及对角线的长，得到对角线互相垂直，等于的一半，根据三个角为直角的四边形为矩形得到四边形为矩形，进而得到矩形的对边相等，同时得到三角形为等腰直角三角形，由等量代换得到，求出即可． 【详解】解：正方形，， ，，，   ， ，， ， 四边形为矩形，为等腰直角三角形， ，， ． 故选：A． 3. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，正方形边长为2，点E是边的中点，的平分线交于点F，交延长线于点G，则的长是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．由条件先求出，再求出的长． 【详解】解：正方形中，点E是边的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：B． 4. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上的一个动点，则的最小值为（    ）    A．6 B．8 C．10 D． 【答案】C 【分析】要使最小，首先应分析点N的位置，根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分，知点D的对称点是点B，连接交于点N，最小值即为的长． 【详解】解：根据题意，连接，    正方形的对角线互相垂直平分， 点D与点B关于对称， ， 三点共线时，取得最小值， 则就是的最小值， 正方形的边长为8，， ，， 根据勾股定理得：， 即的最小值是10， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形性质的应用，解题的关键是根据轴对称的性质判断出三点共线时取最小值． 5. （23-24八年级下·天津河东·期末）在正方形中，点为边上一点（不与点、重合），于点，于点，若，，线段的长是 ． 【答案】 【分析】过点分别作，的垂线，分别交，于点，，求得的长度，根据求得的长度，根据勾股定理，进而求得的长度，进而可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作，的垂线，分别交，于点，． ∵在正方形中，， ∴四边形是矩形．    ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴线段的长是． 故答案为：． 6. （22-23八年级下·天津北辰·期末）如图，正方形和正方形中，点N在上，，，D是的中点，那么的长是 ． 【答案】 【分析】连接、，根据正方形的性质可证是直角三角形，利用勾股定理求得，，,再根据直角三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：连接、， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：, ∵D是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理及直角三角形的性质，构造直角三角形，熟练掌握勾股定理和直角三角形的性质求得的值是解题的关键． 7. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ． 【答案】 【分析】先证明，再利用全等角之间关系得出，再由H为BF的中点，又为直角三角形，得出，为直角三角形再利用勾股定理得出BF即可求解． 【详解】解：， ． ∴∠BEA=∠AFD， 又∵∠AFD＋∠EAG=90°， ∴∠BEA＋∠EAG=90°， ∴∠BGF=90°． H为BF的中点，又为直角三角形， ． ∵DF=2， ∴CF=5-2=3． ∵为直角三角形． ∴BF===． ． 【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半知识点，解题的关键是熟悉掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半． 特殊平行四边形的判定 1. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）要使成为矩形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：如图： A、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，本选项符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； 故选：A． 2. （22-23八年级下·天津·期末）下列判定矩形中，错误的是（  ） A．三个角是直角是四边形是矩形 B．一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线平分且相等的四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据矩形的判定方法依次判断各项后即可解答. 【详解】选项A，由三个角是直角是四边形是矩形    可得选项A正确； 选项B，由一个角是直角的平行四边形是矩形可得选项B正确； 选项C，由对角线相等的平行四边形是矩形可得选项C错误； 选项D，由对角线平分且相等的四边形是矩形可得选项D正确. 故选C. 【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟知矩形的判定方法是解决问题的关键. 3. （21-22八年级下·天津津南·期末）如图，AC、BD是□ABCD的对角线，要使□ABCD成为矩形，需添加一个条件： ． 【答案】或 （答案不唯一） 【分析】根据矩形的判断来解答即可． 【详解】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形或对角线相等的平行四边形是矩形， 所以添加的条件可以是：或 故答案为：或 （答案不唯一）． 【点睛】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 4. （23-24八年级下·天津和平·期末）顺次连接梯形四边中点得到一个菱形，则该梯形的两条对角线（    ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．互相垂直且平分 【答案】A 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及三角形的中位线定理，根据已知得出进而得出是解题关键． 顺次连接梯形四边中点得到的四边形是菱形，则根据菱形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解． 【详解】解：如图点，，，分别是梯形各边的中点，且四边形是菱形，   点，，，分别是梯形各边的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ，即该梯形的两条对角线相等． 故选：A． 5. （20-21八年级下·天津河西·期末）已知，，若以所在直线为对称轴，作出点的对称点；再以所在直线为对称轴，作出点的对称点，连接，，，则四边形是（  ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．任意四边形 【答案】C 【分析】由题意和菱形的判定定理即可得出． 【详解】如图，由题意可得，， 所以四边形ABCD是平行四边形， ∵， ∴四边形ABCD是菱形． 故选C． 【点睛】此题考查了菱形的判定定理，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理． 6. （21-22八年级下·天津·期末）下列命题中正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形． B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】分别根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 对角线相等的平行四边形四边形是矩形，故原选项错误，不合题意； B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原选项正确，符合题意； C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不合题意； D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不合题意． 故选：B 【点睛】本题考查矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定定理，熟知相关图形的判定定理是解题关键． 7. （22-23八年级下·天津和平·期末）下列判断错误的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．邻边相等的平行四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意； B、四个内角都相等的四边形是矩形，故不符合题意； C、邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意； D、两条对角线相等、垂直且平分的四边形是正方形，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 8. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）下面是小明设计的作正方形ABCD的尺规作图过程． 已知：中，．． 求作：正方形． 作法：如图， 1、以点A为图心．长为半径作弧； 2、以点C为圆心，长为半径作弧； 3、两弧交于点D，点B和点D在异侧； 4、连接，，所以四边形是正方形． (1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵______________，______________， ∴四边形是平行四边形．（______________）（填推理的依据） ∵， ∴四边形是矩形．（______________）（填推理的依据） 又∵， ∴四边形是正方形．（______________）（填推理的依据） 【答案】(1)见解析 (2)，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】（1）根据尺规作图的要求，规范作图即可． （2）根据平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定推理论证即可． 【详解】（1）根据题意，画图如下：    则正方形即为所求． （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵， ∴四边形是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 又∵， ∴四边形是正方形．（有一组邻边相等的矩形是正方形） 故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 9. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）下面是小明设计的作正方形ABCD的尺规作图过程． 已知：中，．． 求作：正方形． 作法：如图， 1、以点A为图心．长为半径作弧； 2、以点C为圆心，长为半径作弧； 3、两弧交于点D，点B和点D在异侧； 4、连接，，所以四边形是正方形． (1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵______________，______________， ∴四边形是平行四边形．（______________）（填推理的依据） ∵， ∴四边形是矩形．（______________）（填推理的依据） 又∵， ∴四边形是正方形．（______________）（填推理的依据） 【答案】(1)见解析 (2)，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】（1）根据尺规作图的要求，规范作图即可． （2）根据平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定推理论证即可． 【详解】（1）根据题意，画图如下：    则正方形即为所求． （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵， ∴四边形是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 又∵， ∴四边形是正方形．（有一组邻边相等的矩形是正方形） 故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 矩形的判定 1. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．由平行四边形的性质得，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形． 2. （21-22八年级下·天津·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，点F在边CD上，，连接DE、BF． (1)求证： (2)若，求证：四边形BFDE是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明四边形BFDE是平行四边形即可； （2）根据矩形的判定推出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴； （2）证明：∵四边形BFDE是平行四边形，DE⊥AB，即∠DEB＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 3. （21-22八年级下·天津河西·期末）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE  ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）时,四边形EGCF是矩形，理由见解析. 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE=OB，DF=OD， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， （2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG=AE，OA=OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 4. （21-22八年级下·天津津南·期末）已知ABCD，对角线AC，BD相交于点O（AC＞BD），点E，F分别是OA，OC上的动点． (1)如图①，若AE=CF，求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)如图②，若OE=OB，OF=OD，求证：四边形EBFD是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可知OA=OC，OB=OD，进而得出OE=OF，最后证明结论； （2）根据SAS易证△DOE≌△BOF，得出DE=BF，∠EDO=∠FBO，进而得出DE∥BF，得出四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，最后证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． ∵AE=CF， ∴， 即OE=OF． ∴四边形EBFD是平行四边形． （2）证明：∵OE=OB，OD=OF，∠DOE=∠BOF， ∴△DOE≌△BOF（SAS）． ∴DE=BF，∠EDO=∠FBO． ∴DE∥BF． ∴四边形EBFD是平行四边形． ∵OE=OB，OD=OF， ∴BD=EF． ∴平行四边形EBFD是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质以及矩形的判定，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键． 矩形、菱形判定及性质（基础解答题） 1. （19-20八年级下·天津滨海新·期末）已知，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O． （1）如图①，若AB＝6，BC＝8，则BD＝　　，OD＝　　； （2）如图②，DE∥AC，CE∥BD，求证：四边形OCED是菱形． 【答案】（1）10，5；（2）见解析 【分析】（1）利用矩形的对角线相等的性质，由勾股定理得BD、OD的长；（2）先证四边形OCED是平行四边形，再运用矩形的性质说明OC＝OD即可. 【详解】（1）解：∵矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O， ∵AB＝6，BC＝8， 由勾股定理得：AC＝BD＝10， ∴OD＝BD＝5； 故答案为：10，5； （2）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OC＝OD， ∴四边形OCED是菱形. 【点睛】本题主要考查特殊平行四边形矩形、菱形的判定与性质，属于一般题型. 2. （21-22八年级下·天津滨海新·期末）如图，在菱形中，点在边上，与相交于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质，证明，可得，由平行线的性质可得，等量代换可得． 【详解】证明：四边形是菱形， ， 在与中 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 3. （22-23八年级下·天津北辰·期末）如图，菱形的对角线，交于点O，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形和菱形．熟练掌握菱形的性质，矩形的判定，是解题关键． 先根据，证四边形是平行四边形，结合即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵四边形为菱形， ∴，即． ∴． ∴四边形是矩形． 4. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）根据菱形的性质得到，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）由平行四边形的性质得到，再由菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∴． 5. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平行四边形中，对角线上有两点，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且边长为8，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）根据是等边三角形，且边长为8，证平行四边形是菱形，得，则平行四边形是菱形，得，则，然后由勾股定理得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵是等边三角形，且边长为8， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6. （23-24八年级下·天津西青·期末）在中，对角线相交于点O，，，且． (1)如图①，求证：四边形是矩形； (2)如图②，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，可判定四边形是平行四边形．再由则可证明四边形是矩形． （2）易得四边形是菱形，由进而可得是等边三角形，则可求得，再由菱形性质及矩形性质可得长度，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． ∴，． 是等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，． 在中，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，含30度直角三角形性质，勾股定理等知识，题目不难，但涉及的知识点较多，要能够灵活运用． 7. （19-20八年级下·天津和平·期末）已知，四边形是菱形． (1)若，则菱形的周长______； (2)如图①，、是对角线，则与的位置关系是_______． (3)如图②，点、分别在、上，且，，，点、分别在、上，与相交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)20 (2)垂直 (3)见解析 【分析】此题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定等知识，证得四边形是平行四边形与是解题的关键． （1）根据菱形的性质即可得，即可得到结论； （2）根据菱形的性质即可得到结论； （3）由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是菱形，，可得，即可证得四边形是菱形． 【详解】（1）解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长． 故答案为：20； （2）∵四边形是菱形，、是对角线， ∴， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直； （3）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 8. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，分别在菱形的对角线上．    (1)求证：； (2)若为的中点，菱形的周长是28，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)． 【分析】（1）通过矩形和菱形的性质，根据证明和全等，再根据全等的性质即可证明结论； （2）连接，可证四边形是平行四边形，与相等，而根据矩形对角线相等可得与相等，从而将求的长转化为求菱形的边长． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中 ≌， ． （2）如图，连接．    为的中点， ． 由（1）知， ． 四边形是菱形， ． ，． 四边形是平行四边形 ． 菱形的周长是28， ． ． 四边形是矩形， ． 【点睛】本题考查矩形和菱形的知识．数量掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．其中辅助线的添加是解决本题的重点，也是难点． 9. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，矩形，，，过对角线中点O的直线分别交、边于点E，F．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，求菱形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，判定，得出四边形的对角线互相平分，进而得出结论； （2）当四边形是菱形时，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，O是的中点， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）当四边形是菱形时，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴即菱形的边长为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握菱形的四条边相等，是解题的关键． 10. （22-23八年级下·天津·期末）如图，矩形中，点E、F分别在边、上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形是菱形，，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的周长为20 【分析】（1）求证与平行且相等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证； （2）根据矩形性质得出，，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程得出x的值，即可求出菱形的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： 则 解得：， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和菱形性质是解题的关键． 11. （21-22八年级下·天津西青·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析； (2)5，1． 【分析】（1）先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再证明，从而证得结论； （2）根据菱形的性质先求出，利用中位线定理求出，根据矩形的性质得出，再利用勾股定理求出即可求出． 【详解】（1）证明：∵点 O 为菱形对角线的交点， ∴， ∵点 E 为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形，点E为中点， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 12. （21-22八年级下·天津·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M为AD的中点，过点M作交CD延长线于点N． (1)求证：四边形MNDO是平行四边形； (2)当AB，BD满足 条件，四边形MNDO是菱形；当AB，BD满足 条件，四边形MNDO是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）证明OM是△ACD的中位线，可得OM//DN，又MN∥BD，即可得四边形MNDO是平行四边形； （2）四边形MNDO是菱形，只需OM=OD，可知AB=BD；四边形MNDO是矩形，只需∠MOD=90°，可知AB⊥BD． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，又点为的中点， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知四边形MNDO是平行四边形，若四边形MNDO是菱形，只需OM=OD， 而OM=CD=AB，OD=BD， ∴AB=BD时，四边形MNDO是菱形； 若四边形MNDO是矩形，只需∠MOD=90°， 而∠MOD=∠ABD， ∴∠ABD=90°时，四边形MNDO是矩形， ∴AB⊥BD，四边形MNDO是矩形． 故答案为: AB=BD, AB⊥BD． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定及菱形、矩形的判定，解题的关键是掌握并能熟练应用平行四边形、菱形、矩形的判定定理． 13. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，已知四边形的对角线、交于点O，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)E为上一点，连接BE，若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． （1）根据，得四边形是平行四边形，根据角之间的关系可得，即可得； （2）根据菱形的性质得，设，则，在中，根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得，进行就是即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， ， 在中，根据勾股定理得， 解得，， ∴， 即． 14. （22-23八年级下·天津·期末）如图，同一平面内三条不同的直线，，，，直线与另外两条直线分别交于点，，点，分别为，上两点，且满足平分，平分． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若四边形为菱形，求出的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）由角平线的性质及平行线的性质证出，由平行四边形的判定可得出结论； （2）由菱形的性质证明为等边三角形，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）知， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 15. （22-23八年级下·天津·期末）如图所示，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为8，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理． （1）先证四边形是平行四边形，再证四边形是矩形即可； （2）由菱形的边长为8，可得是等边三角形，再求得的长，可得的长，最后用勾股定理求即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形 ， 即 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ； （2）菱形的边长为8， 是等边三角形 由（1）知，四边形是矩形 ． 16. （21-22八年级下·天津南开·期末）如图，点是菱形对角线的交点，，连接． (1)求证：； (2)如果，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)34 【分析】（1）先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，然后根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后根据矩形的性质即可得证； （2）先根据菱形的性质可得，，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用矩形的周长公式即可得． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ∴∠COB=90° 平行四边形是矩形， ． （2）解：四边形是菱形，， ，， ， ， ， 由（1）已证：四边形是矩形， 则四边形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键． 特殊平行四边形与平面直角坐标系 1. （21-22八年级下·天津·期末）我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：由已知得， ∵AB的中点是坐标原点O， ∴， ∴， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 2. （23-24八年级下·天津和平·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点D在x轴的正半轴上，则顶点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，菱形的四条边相等，对边互相平行． 先根据勾股定理求出，根据菱形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 根据勾股定理可得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点C的坐标为， 故选：A． 3. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，四边形是菱形，顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC、BD，AC、BD相交于点N，根据A、C的坐标可知AC⊥y轴，在根据菱形的性质可证BD⊥x轴，则B点坐标可求． 【详解】连接AC、BD，AC、BD相交于点N，如图， ∵A(0,2)、C(8,2)， ∴A、C两点在y=2的直线上，且AC=8，OA=2， ∴AC⊥y轴， ∵在菱形ABCD中，有AC⊥BD，且AC、BD互相平分， ∴轴，BN=ND=，AN=NC==4， ∴轴， ∵轴，AC⊥y轴， ∴∠AOD=∠AND=∠NAO=∠ODN=90°， ∴四边形ANDO是矩形， ∴OA=DN=2，OD=AN=4， ∴BD=2DN=4， ∴B点坐标为(4,4)， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角坐标系中的坐标与图形等知识， 4. （20-21八年级下·天津津南·期末）在平面直角坐标系中，菱形OABC位置如图所示，B（16，8），则点C的坐标是（    ） A．（6，8） B．（8，6） C．（10，8） D．（8，10） 【答案】A 【分析】过点作轴于点，根据菱形的性质设，则，，在中，根据勾股定理可得，解方程求得，得出，即可求解． 【详解】如图，过点作轴于点， ， ， 即，， 菱形，设，则，， 在中，， ， 解得， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 5. （22-23八年级下·天津河西·期末）如图，四边形为菱形，，，点C，D在坐标轴上．    (1)点C的坐标为________；点D的坐标为________；_______． (2)求，的长． 【答案】(1)；；60 (2)， 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，根据已知点的坐标得出相应线段的长度，从而得到点C和点D的坐标，再判定是等边三角形，从而得到； （2）由（1）可得，再根据可得的长． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：；；60； （2）由（1）得：， ∵， ∴． 【点睛】此题考查菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理以及等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 6. （22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴的负半轴和y轴正半轴上，已知，，分别过的中点E，F作的平行线，相交于点D． (1)求证：四边形为菱形． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)27 【分析】（1）根据，可得为平行四边形，再证明可得，即可证明； （2）连接，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E，F分别为 的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵， ， ∴四边形为平行四边形 ∴平行四边形为菱形； （2）解：连接，如图所示，    ∵，，E，F为的中点， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ∴. 【点睛】本题考查几何证明，涉及到平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，掌握四边形的判定定理和面积分割法是关键． 7. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，过点作y轴的垂线交于点E，点B恰在这条直线上． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理可得，从而得到，可证明，从而得到，可得设，则，在中，根据勾股定理，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， 即． 正方形性质及判定解答题（基础） 1. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，正方形中，点为的中点，点为上一点，且，设的长为． (1)用含有的式子表示和； (2)求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理； （1）由正方形的性质得，，由勾股定理得，，即可求解； （2），连接，由勾股定理得 ，可得，即可求解； 掌握正方形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， ， ，； （2）解：如图，连接 四边形是正方形， ， 由（1）得， ， ， 由（1）得：，， ， 是直角三角形， ． 2. （21-22八年级下·天津河西·期末）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A恰好落在AE上的G处，得到折痕BF，与AD交于点F． (1)当E是CD的中点时，求AF的长； (2)若，求GE的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）证明即可求出; （2）由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是CD的中点，∴，∴． （2）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°， 由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG， ∴BF⊥AE，AH=GH， ∴∠BAH+∠ABH=90°， 又∵∠FAH+∠BAH=90°， ∴∠ABH=∠FAH， ∴△ABF≌△DAE（ASA）， ∴AF=DE=5， 在Rt△ABF中， BF=， S△ABF=AB•AF=BF•AH， ∴12×5=13AH， ∴AH=， ∴AG=2AH=， ∵AE=BF=13， ∴GE=AE-AG=13-=． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 3. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，连接，过点A作交的延长线于点G．    (1)求证； (2)若，试判断四边形的形状并说明理由； (3)当与满足_________时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)相等且垂直 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，，又由、分别为边、的中点，易得，，即可判定四边形为平行四边形，则可证得； （2）由，，易证得为直角三角形，又由为边的中点，即可得，则可证得：四边形是菱形； （3）根据正方形的判定定理得到，当与满足垂直且相等时，四边形是正方形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 、分别为、的中点， ，， ，， 四边形为平行四边形， ； （2）证明：， ， 为直角三角形， 又为边的中点． ， 又四边形为平行四边形， 四边形是菱形； （3）解：当与满足相等且垂直时，四边形是正方形． 由（1）得：四边形是平行四边形， ，为边的中点， ， ， ， ， 四边形是正方形， 故答案为：相等且垂直． 【点睛】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 4. （21-22八年级下·天津河北·期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是定值，和为8 【分析】（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，即可得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE=EF即可； （2）同（1）的方法证出△ADE≌△CDG得到CG=AE，得出CE+CG=CE+AE=AC=8即可． 【详解】（1）解：如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， ∵正方形ABCD， ∴∠BCD=90°，∠ECN=45°， ∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM=EN， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF， 又∠DNE=∠FME=90°， 在△DEN和△FEM中，， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED=EF， ∴矩形DEFG为正方形， （2）CE+CG的值为定值，理由如下： ∵矩形DEFG为正方形， ∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠ADE=∠CDG， 在△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE=CG， ∴AC=AE+CE=， ∴CE+CG=8是定值． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理的综合运用，二次根式的乘法运算，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 5. （22-23八年级下·天津·期末）如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE． （1）求证：AE＝CE； （2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数； （3）在（2）的条件下，若OE＝，求CE的长． 【答案】（1）详见解析；（2）30°；（3）2 【分析】（1）利用正方形的性质，得到AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，进而判断△ADE≌△CDE得到结论； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到OB＝OE，∠OBE＝∠OEB＝15°，再利用外角和定理求得； （3）连接OC，与（2）同理得到∠POC＝60°，则△EOC为直接三角形，再应用勾股定理求得． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴AE＝CE； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC＝45°， ∵∠PBC＝30°， ∴∠PBE＝15°， ∵PE⊥BD，O为BP的中点， ∴EO＝BO＝PO， ∴∠OBE＝∠OEB＝15°， ∴∠EOP＝∠OBE＋∠OEB＝30°； （3）如图，连接OC， ∵点O是BP的中点，∠BCP＝90°， ∴CO＝BO， ∴EO＝CO＝，∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴∠POC＝60°， ∴∠EOC＝∠EOP＋∠POC＝90°， ∵EC2＝EO2＋CO2＝4， ∴EC＝2． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、外角和定理、勾股定理，综合性较强，要注意数形结合． 正方形多结论判断 1. （20-21八年级下·天津·期末）如图，点P是正方形的对角线上一点，于点于点F，连接，给出下列四个结论： ①；②；③；④，其中正确的是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质等知识，过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明在此基础上，通过等量代换可证明③，在中，，求得结论④正确，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过作于点，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∴，故③符合题意； 如上图，延长交于点， ∴， ∵， ∴，即，故②符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， 故④符合题意； 故选：D． 2. （23-24八年级下·天津·期末）如图，正方形中，点，分别在，上，是等边三角形，连接交于点，下列结论：①，②，③，④，⑤． 其中结论正确的个数为（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等边三角形的性质，三角形的面积公式．通过条件可以得出，从而得出，，得到；由正方形的性质就可以得出；设，由勾股定理得到，表示出，利用三角形的面积公式分别表示出和，再通过比较大小就可以得出结论． 【详解】解：四边形是正方形， ，． 等边三角形， ，． ． 在和中， ， ∴， ， ，故①正确； ， ， 即， ，故②正确； 设，由勾股定理，得 ，，， ， ，③错误； ，， ， ， ， ，故④错误； ， ， ，故⑤正确． 综上所述，正确的有3个， 故选：C． 3. （22-23八年级下·天津·期末）在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB＝AB；③CF⊥DP；④FC＝EF，其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据已知和正方形的性质推出∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，AB＝AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM＝MF＝EM＝DF，证∠AMB＝∠FMB，BM＝BM，AM＝MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC＝∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可． 【详解】解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA， ∴AB＝AD＝CD＝BC，∠BAD＝∠EAF＝90°＝∠BEF， ∵∠APD＝∠EPB， ∴∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP， ∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADF，∴①正确； ∴AE＝AF，BE＝DF， ∴∠AEF＝∠AFE＝45°， 取EF的中点M，连接AM， ∴AM⊥EF，AM＝EM＝FM， ∴BE∥AM， ∵AP＝BP， ∴AM＝BE＝DF， ∴∠EMB＝∠EBM＝45°， ∴∠AMB＝90°+45°＝135°＝∠FMB， ∵BM＝BM，AM＝MF， ∴△ABM≌△FBM， ∴AB＝BF，∴②正确； ∴∠BAM＝∠BFM， ∵∠BEF＝90°，AM⊥EF， ∴∠BAM+∠APM＝90°，∠EBF+∠EFB＝90°， ∴∠APF＝∠EBF， ∵AB∥CD， ∴∠APD＝∠FDC， ∴∠EBF＝∠FDC， ∵BE＝DF，BF＝CD， ∴△BEF≌△DFC， ∴CF＝EF，∠DFC＝∠FEB＝90°， ∴③正确；④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 4. （21-22八年级下·天津北辰·期末）如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②DEBC；③S△CFD＝S△BEF，正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】先证明△ABF≌△ECF，得AB=EC，再得四边形ABEC为平行四边形，进而由∠BAC=90°，得四边形ABCD是正方形，便可判断①；根据BC=AB，DE=2AB进行推理说明便可判断②；根据正方形的性质可得AF=EF，BF=CF，然后利用等底等高的三角形面积相等即可判断③． 【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，AF⊥BC， ∴BF=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABDE， ∴∠BAF=∠CEF， ∵∠AFB=∠CFE， ∴△ABF≌△ECF（AAS）， ∴AB=CE， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴四边形ABEC是正方形，故①正确； ∵AB=CD=EC， ∴DE=2AB， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴AB=BC， ∴DE=2×BC=BC，故②正确； ∵AF=EF，BF=CF， ∴S△CFD=S△BEF.故③正确， ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 矩形与折叠问题 1. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的折叠．熟练掌握矩形的性质及折叠的性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 根据矩形的性质及折叠的性质推出，得到，再根据勾股定理列得，求出的长． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 解得，． 故选：C． 2. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，点E，F分别在矩形纸片的边上，沿折叠矩形，点A，B的对应点分别为M，N，交于点H，若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据矩形的性质和折叠的性质证明得到，过点E作于G，则四边形是矩形，可得，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. （23-24八年级下·天津西青·期末）如图，在正方形的边上取一点E，连接，将沿折叠，使点B恰好与对角线上的点F重合，连接，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等，先根据折叠性质得到边长及角度，求得对角线的长度，最后根据三角形的面积公式可求得结果，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于点O，如图所示： ， ∵为正方形， ∴，， ∵沿折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故选：C． 4. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处，有以下结论：①；②；③；④；其中，正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了折叠和矩形的性质．勾股定理，先由折叠性质得，，，，，进行角的等量代换即可判定①，结合勾股定理列式计算分别得出，即可判定③，结合三角形面积公式列式分析，即可判断②，在中，，解得，分别得出，的值，再代入化简，即可作答． 【详解】解：沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上， 将沿折叠，点恰落在线段上的点处， ，，，，， ， ∴①正确； 在中，， ， 设，则，，， 在中， ， ， 解得， ， ， 则 ∴③不正确； ，， ． ∴②正确． 设，在中，， 解得， ，， ， 故④正确， 故选：B 5. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为．的长为 ．    【答案】 【分析】根据折叠性质，，由矩形性质及，，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由折叠性质得到， 在矩形纸片中，，，设，则在中，，即，化简得，解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及矩形性质、折叠性质、勾股定理及解方程，熟练掌握折叠性质是解决问题的关键． 6. （20-21八年级下·天津红桥·期末）如图，为矩形纸片的边上一点，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且．若，，则的长为 ． 【答案】/3.4 【分析】根据折叠的性质与矩形的性质得到，，，再由三角形全等的判定与性质得到，从而有，设，可得用表示的的长，再由勾股定理求得的值，进而可得的长． 【详解】解：由矩形的性质得到：， 由折叠的性质得到：，，， 在和中， ， ， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的判定与性质，勾股定理等性质，解题的关键在于能得出的结论． 7. （22-23八年级下·天津河西·期末）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可得，，，可证，可得； （2）设，在中，利用勾股定理列出方程，解之可得结果． 【详解】（1）解：证明：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，，， ， ； （2）设， ， 在中，， 即， 解得， ∴， 的长度为3． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理求解所需线段是本题的关键． 8. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点．点，在边AB上任取一点D，将沿OD翻折，使点A落在边上，记为点E．    (1)的长=______，的长=________，的长=________，的长=________； (2)设点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)15  15  12  5 (2) 【分析】（1）由点A、点C的坐标可求得、的长，由翻折的对称性知，；由勾股定理，在中可求得的长；于是可求得的长，设，则在中利用勾股定理可求得的长． （2）自点E作，垂足为H．利用矩形的性质可求得的长，设，则在中利用勾股定理可求得的长，于是点P的坐标可知． 【详解】（1）如图．    由点可知，． 由沿翻折变成知，， ∴． 由点知，． ∴． ∴． 由得，， 设，则． 在中， 即：． 解得：． ∴的长． （2）自点E作，垂足为点H．则四边形是矩形． ∴． 设，则． 在中， ∴ 解得：． ∴点P的坐标为 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、矩形的折叠等知识点，解题的关键是将条件集中在一个直角三角形内，利用勾股定理求解． 9. （21-22八年级下·天津东丽·期末）如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠后，点落在点 处，且与交于F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求的面积． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由折叠的性质得到，再由得，从而得到，进而证得结论 （2）设，则，由勾股定理建立关于x的方程解出x，进而可求得面积 【详解】（1）解：矩形沿折叠， 是等腰三角形． （2）解：由折叠的性质知，， ， 由（1）知：， 设， 则， 在 中，由勾股定理得， 即 ， 解得：， 【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是用勾股定理建立等量关系求出AF． 10. （23-24八年级下·天津·期末）如图1，在矩形中，，E为边上的动点，将矩形沿直线折叠，点A，B的对应点分别为点． (1)当时，则 ； (2)连接，当为直角三角形时，求的长； (3)设与的交点为点F，连接，如图2，当四边形为矩形时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2)的长为8或 (3)四边形为矩形时，它的面积为32或24 【分析】该题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是分类讨论和数形结合思想． （1）由折叠知，对顶角相等得出，根据，即可求出，； （2）当为直角三角形时，分为当时和当时，根据折叠的性质和勾股定理即可求解； （3）当四边形为矩形时，则．有两种情况：分别画图，根据全等三角形以及折叠性质计算即可； 【详解】（1）解：∵是矩形，， ∴， 由折叠知， ， ， ； （2）当时(如图1)． ， 当时，则、、三点共线(如图2)． ， ， 根据折叠性质设，则． 在中，由勾股定理得． 解得，即． 综上，当是直角三角形时，的长为8或． （3）当四边形为矩形时，则．有下列两种情况： 如图3，，矩形的面积． 图4，， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 综合知，四边形为矩形时，它的面积为32或24． 特殊平行四边形的复杂计算题 1. （21-22八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，平分，分别过点B、C作于点E，于点F，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设AE=x，则AB=x，由矩形的性质得出∠BAD=∠D=90°，CD=AB，证明△ADG是等腰直角三角形，得出AG=AD=，同理得出CD=AB=x，CG=CD-DG=x-1，CG=GF，得出GF，即可得出结果． 【详解】解：设AE=x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠D=90°，CD=AB， ∵AG平分∠BAD， ∴∠DAG=45°， ∴△ADG是等腰直角三角形， ∴DG=AD=1， ∴AG=AD=， 同理：BE=AE=x，CD=AB=x， ∴CG=CD-DG=x-1， 同理：CG=FG， ∴FG=CG=x-， ∴AE-GF=x-（x-）=， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 2. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，点是正方形对角线上一点，过点作交于点，连接，若，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作与，根据正方形性质得到，，根据角平分线性质得到，利用等腰三角形的性质推出，得到，利用勾股定理求得的长进而得到正方形的边长，利用勾股定理即可得到正方形的对角线． 【详解】解：如下图，过点作与，   四边形是正方形，是正方形的对角线， ，， ， ，， ， ， ， ， 同理， ， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， 在中，． 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 3. （22-23八年级下·天津河西·期末）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，，为的中点，连接，则的长为 ．      【答案】/ 【分析】分别取，的中点M，Q，连接、并延长交于点N，利用三角形中位线性质得到，，，，，再证明四边形矩形得到，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：分别取，的中点M，Q，连接、并延长交于点N，    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∵为的中点，Q为的中点， ∴为的中位线，又，， ∴，，， ∴， ∴四边形矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的中位线性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，取边的中点构造三角形的中位线是解答的关键． 4. （23-24八年级下·天津·期末）如图，矩形ABCD中，交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，，若，则CD的值为 ． 【答案】 【分析】连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质可得∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，用x表示出CD和AD，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M， ∵GF=AF， ∴∠FAG=∠FGA， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC=4，OB=OD， ∵CG=GF， ∴OG为△CAF的中位线， ∴AF=2OG，OG∥AD， ∴∠FDM=∠MOG， ∵AE⊥BD， ∴∠FGA+∠GMO=90°，∠MDF+∠FAG=90°， .∴∠GMO=∠MDF， ∴∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD， ∴OG=GM，FM=FD， 设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x， ∴FD=FM=FG-MG=2x-x=x， ∴CF=4x，AD=3x， 在Rt△DCF中，由勾股定理得， , 在Rt△ADC中，由勾股定理得， DC2+AD2=AC2， 即15x2+9x2=48， 解得x=， ∴， 故答案为: ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质得到相关的角相等． 5. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，在菱形中，点E是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的长等于 ．    【答案】/ 【分析】连接、,延长交延长线于点F．先证明为等边三角形，得到，，从而求出．再证明，得到，，根据勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接、,延长交延长线于点F． ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∵点E是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴．    故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性强．熟知相关知识，根据已知条件添加适当辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 6. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且，，连接OF，则（1） ；（2） ； 【答案】 45° 【分析】如图，在BE上截取线段BG，使得BG=CF，可求得，根据勾股定理求解相应线段的长度即可． 【详解】解：如图，在BE上截取线段BG，使得BG=CF， 在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=6，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 在中，由勾股定理可得：， 则， 在中，由勾股定理可得： ∴， 在中，由勾股定理可得：，即 解得， 故答案为：45°， 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是作出合适的辅助线，找到全等三角形． 7. （22-23八年级下·天津蓟州·期末）如图，在菱形ABCD中，，点P为边AB上一点（点P不与端点重合），连接CP，点E、F分别为AP、CP的中点，连接EF，若，则菱形ABCD的面积为（    ） A．8 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】连接AC，连接BD，AC与BD相交于点O，利用中位线定理求出AC的长，再证明△ACD是等边三角形，得到菱形的边长，在Rt△AOD中，由勾股定理得OD的长，求出△ACD的面积，再证明△ACD≌△ACB（SSS），进而求得菱形ABCD的面积． 【详解】解：连接AC，连接BD，AC与BD相交于点O， ∵点E、F分别为AP、CP的中点， ∴EF是△APC的中位线， ∴AC＝2EF＝4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝BO＝AC＝2，ABCD，AD＝CD＝BC＝AB， ∴∠ADC＝180°－∠BAD＝60°，∠AOD＝90°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AD＝CD＝BC＝AB＝4， 在Rt△AOD中，由勾股定理得 ， ∴OD＝， ∴， ∵AD＝CD＝BC＝AB，AC＝AC， ∴△ACD≌△ACB（SSS）， ∴菱形ABCD的面积＝． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握图形的性质是基础，灵活应用是关键． 8. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，正方形的边长为4，点在边上，点在边的延长线上，且．点，分别在边，上，与交于点，且，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理及其逆定理等；连接、，由勾股定理得 ，，，由勾股定理逆定理得，是等腰直角三角形，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可求解；掌握相关性质及判定方法，根据题意构建出等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，   四边形是正方形， ∴，，， ， ， ， 同理可求：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故答案：． 9. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 10. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在正方形中，是的中点，将沿折叠，得到点的对应点，延长交线段于，若，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，可得，设，则，，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示，   四边形为正方形， ，， 点是的中点， ， 由翻折可知：，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得，则的长度为， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 11. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是上一点，，，点M，N分别是和的中点，连接． （Ⅰ）线段的长为 ． （Ⅱ）线段的长为 ．    【答案】 / 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质． （Ⅰ）直接利用斜边中线的性质即可得解； （Ⅱ）延长交于点，连接，利用勾股定理求得正方形的边长，再证明，求得，，证明，求得，然后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）∵正方形， ∴， ∵点M是的中点，， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）延长交于点，连接，    ∵正方形，，， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，，且， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵N是的中点， ∴， 故答案为：． 12. （22-23八年级下·天津河西·期末）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，，为的中点，连接，则的长为 ．      【答案】/ 【分析】分别取，的中点M，Q，连接、并延长交于点N，利用三角形中位线性质得到，，，，，再证明四边形矩形得到，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：分别取，的中点M，Q，连接、并延长交于点N，    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∵为的中点，Q为的中点， ∴为的中位线，又，， ∴，，， ∴， ∴四边形矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的中位线性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，取边的中点构造三角形的中位线是解答的关键． 13. （23-24八年级下·天津·期末）如图，为正方形的边上一点，为边延长线上一点，且，点为边上一点，且，的周长为8，，与交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】先通过证明△ADE≌△CDF，得DE＝DF，再根据∠BGE＝2∠BFE得出GE＝GF，然后证明△DEG≌△DFG，得出H是EF的中点；取BF的中点M，连接HM，得出HM＝BE，根据△BEG的周长为8，求出HM和CH，由勾股定理求出CH． 【详解】解：连接DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠DAE＝∠DCF＝90°， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF， ∵∠BGE＝2∠BFE，∠BGE＝∠BFE＋∠GEF， ∴∠GEF＝∠GFE， ∴GE＝GF， 在△DEG和△DFG中， ， ∴△DEG≌△DFG（SSS）， ∴DE=DF，即DG垂直平分EF， ∴EH＝HF， ∴H为EF的中点， 又∵△BEG的周长为8，   ∴BE＋GB＋GE＝8， ∴BE＋GB＋GF＝8， ∴BE＋BC＋CF＝8， ∵CF＝AE， ∴BA＋CB＝8， ∴BC＝BA＝4， 取BF的中点M，连接HM， ∵H为EF的中点， ∴HM为△BEF中位线， ∴HM＝BE，HM∥AB， ∴∠HMC=∠B=90°， ∵AB＝4，AE＝1， ∴BE＝3， ∴HM＝3×=， ∵BF＝BC＋CF＝5， ∴MF＝BF＝， ∴CM＝MF−CF＝-1=， ∴CH＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． 特殊平行四边形与网格作图 1. （22-23八年级下·天津·期末）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，． （1）线段BC的长等于 ； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画点E，使简要说明画图方法（不要求证明） ． 【答案】 5 取D点，连接CD、BD，取格点M、N，连接MN交BD于点T，连接CT交AB于点E，则 【分析】（1）利用勾股定理求解即可得； （2）取D点，连接CD、BD，取格点M、N，连接MN交BD于点T，连接CT交AB于点E，利用勾股定理得出CD=，BD=，再由等腰三角形的判定及性质，矩形的性质得出CT为∠BCD的角平分线，即可证明． 【详解】解：（1）BC=， 故答案为：5； （2）取D点，连接CD、BD，取格点M、N，连接MN交BD于点T，连接CT交AB于点E，则∠BCE=45°， 理由如下：CD=，BD=， ∴BC=CD，， ∴∆BCD为等腰直角三角形， ∵MN、BD为矩形BMDN的对角线，交于点T， ∴点T为BD的中点， ∴CT为∠BCD的角平分线， ∴∠BCE=45°． 【点睛】题目主要考查直角坐标系与网格，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质等，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 2. （23-24八年级下·天津·期末）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上． （1）计算AC2+BC2的值等于 ； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明） ． 【答案】 11 见解析 【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可； （2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案． 【详解】解：（1）AC2+BC2＝（）2+32＝11； 故答案为：11； （2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF； 延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求，如图， 【点睛】本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，平行四边形与矩形的性质，掌握勾股定理以及特殊四边形的性质是解题的关键． 3. （21-22八年级下·天津和平·期末）如图，在小正方形的边长为1的正方形网格中，点A，B在格点上． (1)线段的长是______； (2)在网格中用无刻度的直尺，以为边画矩形，使这个矩形的面积是（要求：保留画图痕迹）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可； （2）由（1）可知，以AB为边长的正方形面积为13，画矩形，使这个矩形的面积是，即将正方形一分为二即可． 【详解】（1）解：由图可知， 利用勾股定理可得AB=． 故答案为：． （2）解：如图，根据网格先画出以为边的正方形，再画出格对角线，交和于点C和D，所以四边形是以为边的矩形，这个矩形的面积是． 所以矩形即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理求边长，正方形的性质以及垂直平分线的性质，解决第二问的关键是找到矩形面积和正方形面积的关系． 4. （21-22八年级下·天津津南·期末）在如图所示的6×4网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均落在格点上． （1）AB的长等于 ； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为边的菱形ABCD，并简要说明画图的方法（不要求证明） ． 【答案】 取格点C，D，连接BC，CD，AD 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）根据菱形的判定作出图形即可． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）如图，取格点C，D，连接BC，CD，AD，四边形ABCD即为所求 故答案为：取格点C，D，连接BC，CD，AD． 【点睛】本题考查作图一复杂作图，勾股定理，菱形的判定等知识，解题的关键是正确地作出图形． 5. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上． （Ⅰ）线段的长为 ． （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，E，使四边形为平行四边形，点D在线段上，且，简要说明点D，E的位置是如何找到的（不要求证明） ．    【答案】 见解析 【分析】本题考查了格点作图，勾股定理，正方形的性质，平移的性质． （Ⅰ）根据勾股定理可求线段的长； （Ⅱ）平移线段得到，取线段上找到格点，以为边作正方形，连接并延长交于点，则，再平移线段得到，延长交于点，则四边形为平行四边形且． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）如图所示，四边形即为所求， 作法：平移线段得到，取线段上找到格点，以为边作正方形，连接并延长交于点，则，再平移线段得到，延长交于点，则四边形为平行四边形且；   ． 6. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，，． ①当时，则 ； ②在图中的网格区域内找一点，使，且四边形被过点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，则点坐标为 （要求：写出点坐标，画出过点的分割线并指出分割线，不必说明理由，不写画法） 【答案】 ，见解析 【分析】①先利用勾股定理分别计算三边长，再利用勾股定理的逆定理可得∠FGE＝90°； ②利用网格、勾股定理及其逆定理先找出符合∠FPE＝90°的点P，然后作直线PM，证明△PFB≌△PME（SSS），可得直线PM将四边形分割成两部分后，可以拼成一个正方形，进而得出答案． 【详解】解：①如图1，连接EF， 由勾股定理得：，，， ∴， ∴∠FGE＝90°， 故答案为：90°； ②点P位置如图2，根据勾股定理得：，， ∴， ∴∠FPE＝90°， 过点P作PM⊥OE于M，PB⊥y轴于点B， 由网格可得PB＝PM＝7，BF＝ME＝1，PF＝EF＝， ∴△PFB≌△PME（SSS）， ∵PB＝BO＝OM＝MP＝7，∠BOM＝90°， ∴四边形PBOM是正方形， ∴直线PM将四边形分割成两部分后，可以拼成一个正方形，P 点坐标为（7，7），PM是分割线； 故答案为：（7，7）． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定、勾股定理及其逆定理、正方形的判定，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． 7. （22-23八年级下·天津南开·期末）在边长为1的网格图形中，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，在图1所示的格点图形中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的面积为52．写出正方形EFGH的面积的所有可能值是 （不包括52）． 【答案】36或50 【分析】设图中四个全等的直角三角形的直角边的长分别为a，b，正方形EFGH的面积＝FE2＝（a+b）2，只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上即可，线段的端点在格点上时，还有两种可能，画出图形即可． 【详解】解：设图中四个全等的直角三角形的直角边的长分别为a，b， 则在Rt△AED中，不妨使ED＝b，AE＝a，AE2+ED2＝AD2＝（）2＝26， ∴a2+b2＝26， ∵FE＝FA+AE＝a+b， ∴正方形EFGH的面积＝FE2＝（a+b）2， ∴只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上即可， ∴线段的端点在格点上时，还有两种可能， ①a＝5，b＝1时，如图2， 此时正方形E'F'G'H'的面积为36， ②当a＝2，b＝3时，如图3，    此时正方形E'F'G'H'的面积为50， 故答案为：36或50． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是清楚只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上． 8. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点A，B，C，D和边上的点E均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）在线段上找一点M，连接，使得．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的．（不要求证明） ． 【答案】 如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求；作辅助线如图，可得四边形是菱形，推出垂直平分，得出，进而可得结论 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求；      理由如下：取格点F，连接，如图， 则， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求．      【点睛】本题是格点作图题，主要考查了勾股定理、菱形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质、正确得出点M的位置是关键． 9. （21-22八年级下·天津·期末）在每个小正方形的边长为1的网格中，用无刻度的直尺，按下列要求画图． (1)如图①，点A，M在格点上，则AM的长度为______； (2)在图①中画出以AM为一边的正方形MABC； (3)如图②，N，F分别为小正方形边的中点，在图②中画出以NF为一边的菱形FNPQ（FNPQ不是正方形）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出AM的长即可； （2）根据正方形四条边都相等，四个角都为直角画出图形即可； （3）根据菱形的四条边都相等，取正方形的中点P，Q，连接PN、PQ、FQ，画出图形即可． 【详解】（1）． 故答案为：． （2）解：根据题意得：AM是长为3，宽为2的长方形的对角线，然后把AM绕点M逆时针旋转90°到CM的位置，绕点A顺时针旋转90°到AB的位置，连接BC，则正方形MABC为所作，如图①； （3）解：取正方形的中点P，Q，连接PN、PQ、FQ，则菱形FNPQ为所作．如图②， 理由如下： 过点EQ⊥DF交DF延长线于点E，过点F作FG⊥NQ于点G，则FG=3， ∵N，F分别为小正方形边的中点， ∴NG=2， ∴， 同理， ∴FN=NP=PQ=FQ， ∴四边形FNPQ是菱形． 【点睛】本题考查作图—复杂作图和勾股定理．掌握正方形的判定和性质，菱形的判定和性质是解题的关键． 10. （23-24八年级下·天津·期末）在每个小正方形的边长为1的网格中，点，在格点上，请用无刻度的直尺，按下列要求画图． (1)在图①画出一个以为一边的正方形； (2)在图②画出一个以为一边的菱形（不是正方形）； (3)如图③，点，在格点上，与交于点，在图③中画出一个以为一边的矩形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题； （1）根据正方形的定义画出图形即可． （2）根据菱形的定义画出图形即可． （3）取格点，，，，连接，交于点，连接，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，正方形即为所求． （2）解：如图②中，菱形即为所求． （3）解：如图③中，矩形即为所求． 特殊平行四边形解答题（提高题） 1. （23-24八年级下·天津南开·期末）菱形的对角线，相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接，． (1)如图1，求证：四边形为矩形； (2)如图2，若，，连接．求：的面积和菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为，菱形的面积为 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，含度角的直角三角形的性质； （1）根据菱形的性质可得，证明得出，即可得出，，即可证明四边形是平行四边形，进而根据，即可得证； （2）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据三角形的面积公式求得的面积，根据（1）的结论可得矩形的面积等于的面积，进而可得菱形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵是的中点，则 又∵，， ∴ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形为矩形； （2）解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形的面积， ∴的面积为，菱形的面积为． 2. （23-24八年级下·天津·期末）在中，M，N分别是的中点，连接． (1)如图①，求证：四边形是平行四边形； (2)如图②，连接，若，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，过点C作于点E，交于点P，，且，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合M，N分别是的中点，即可证明； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合M，N分别是的中点即可证明； （3）先判定四边形是平行四边形，再判断其为菱形，利用菱形的性质，判断为等边三角形，从而求得，在中，利用特殊角，求出，进而求出线段的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别是的中点， ∴， 四边形是平行四边形； （2）证明：∵，M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴四边形是平行四边形， 由（2）知 ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∵， ， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定与性质、直角三角形的斜边中线与斜边的关系、等边三角形的性质和判定，利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半是求解的关键． 3. （23-24八年级下·天津·期末）如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． (1)如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． (2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)证明见解析 【分析】（1）①由已知并结合正方形的性质得，证明，即可得证； ②设交于点，推出，得到，则，继而得到，由，得，则，证明四边形是正方形，即可求得线段的长； （2）作交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，则，再证明，得，因为，得，则，再证明，即可得证． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：如图1，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴线段的长是， 故答案为：； （2）证明：如图2，作交的延长线于点， ∵，，三点在同一条直线上，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 作于点， ∵，； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4. （22-23八年级下·天津·期末）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)求的值； (3)若恰为的中点，连接，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图，作于，于N．证≌即可求解； （2）证≌，可得即可求解； （3）求出的长，可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，作于，于． 四边形是正方形， ， 于，于， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中， ≌， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）解：四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ≌， ， 由勾股定理得，， ． （3）解：连接， 四边形是正方形， ，， 是中点， ， ， 点到的距离． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 5. （23-24八年级下·天津和平·期末）如图，在正方形中，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，与对角线相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，点，，分别是三条边，，上的动点，若，，求的最小值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）过点作，与相交于点，由正方形性质得，，再证明，由全等三角形的性质即可求证； （）取的中点，连接，由中位线性质得，，通过勾股定理即可求证； （）连接，根据四边形是正方形得，由勾股定理求出， 又得，当，时，最小，最后根据等面积法即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）如图，过点作，与相交于点，    ∵是正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图，取的中点，连接，    由（）得， ∴为中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，      由（）得为中点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 则当，时，最小， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 特殊平行四边形综合探究问题 1. （21-22八年级下·天津·期末）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【答案】(1)见详解 (2)四边形是菱形 (3)当时，四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形的性质，熟练则知识点是解题的关键． （1）先利用平行四边形的判定证得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证结论． （2）求出四边形为平行四边形，再根据对角线即可求解． （3）由（2）中的性质，求出，根据正方形的判定即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由是：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 2. （23-24八年级下·天津·期末）（1）如图1，在中，，点是中点，连接，则与的数量关系是___________． （2）如图2，在中，，平分，，垂足为，交于，连接．求证：四边形是菱形． （3）如图3，的中线、相交于点，、分别是、的中点，连接、、、．若的面积为6，则四边形的面积为___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）8 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论； （2）先证明出，得到，再结合平行线的性质证明四边形为平行四边形，再等量代换得出，再利用菱形的判定定理判断即可； （3）证明四边形是平行四边形，得出，则四边形的面积，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：在中，，点是中点， ， 与的数量关系是， 故答案为：； （2）证明：在中，，平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形是菱形 （3）解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ，， 的中线、相交于点， 即点、分别是、的中点， 是的中位线， ，， ，， 四边形是平行四边形， 是的边上的中线，的面积为6， 和等底等高，即， 四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ， 、、等底等高， ， ， ， 四边形的面积为：， 故答案为：8． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质、勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形中线的性质．掌握三角形中位线的判定和性质是解题的关键． 3. （22-23八年级下·天津西青·期末）将一个矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限；设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，，分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）可由折叠性质求得，，再利用平角定义可，过作轴于H，则，进而求得，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解； （2）先由折叠性质得到，，再根据坐标与图形性质和含角的直角三角形的性质求得，进而可表示出，根据图形可得到t的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 由折叠性质得，， ∴； 在图①中，过作轴于H，则， ∴， ∴， 则，， ∴点的坐标为； （2）解：如图②，由折叠性质得，， ∵， ∴，则， 在中，， ∴， ， ∵折叠后重合部分为四边形， ∴且，解， 故满足条件的t的取值范围为． 【点睛】本题考查了折叠性质、坐标与图形、勾股定理、含角的直角三角形的性质、解一元一次不等式组，熟练掌握折叠性质和含角的直角三角形的性质是解答的关键． 4. （20-21八年级下·天津南开·期末）如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点． （1）当时，则点坐标为______； （2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长； （3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）不变，8；（3） 【分析】（1）如图，过点作轴于．证明，推出，，可得结论． （2）结论：的周长不变．想办法证明即可． （3）由（1）可知，，推出，推出点的运动轨迹是射线，过点作于，当点与点重合时，的值最小． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于． 四边形是正方形，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． （2）结论：的周长不变． 理由：将绕点B逆时针旋转得到． ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 的周长． （3）由（1）可知，， ， 点的运动轨迹是射线， 过点作于，当点与点重合时，的值最小， 最小值， 的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$