精品解析：江苏高邮市南海中学2024-2025学年七年级下学期数学第二次月考试卷

南海中学24～25学年度第二学期第二次学情调研测试 七年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题(本题8个小题，每题3分，共24分，请把选择题答案填写在答题纸表格中） 1. 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 是不等式的解集 B. 是不等式的一个解 C. 是不等式的解集 D. 不等式的解集是 3. 下列命题正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列命题中，真命题的个数有( ) ①同旁内角互补； ②三角形的一个外角等于其两个内角的和； ③平行于同一条直线的两直线平行； ④外角和与内角和相等的多边形一定是四边形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，，在中，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本题10个小题，每题3分，共30分。将答案填在答题纸相应的横线上） 9. 不等式的最大整数解是_____． 10. 如果关于的不等式的解集是，那么的取值范围是______． 11. 命题“若，则”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 12. 能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是__________． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 14. 如图所示，已知，正五边形的顶点A、B在射线上，顶点E在射线上，则______度． 15. 规定表示m，n中较大的数，若，则x的取值范围是_____． 16. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的所有非负整数之和为_____． 17. 如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________． 18. 已知的解集为，则的解集为_____． 三、解答题（本题共10个小题，共计96分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 20. 解不等式组，并求其整数解． 21. 命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角 （1）写出这个命题的逆命题； （2）判断这个逆命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． 22. 如图，已知，，分别是，的平分线． （1）求证：． 证明：因为（已知）， 所以（________）． 因为平分（已知）， 所以________（________）． 同理________． 所以， 所以（________）． （2）请说出（1）中用到了哪两个互逆的真命题． 23. 如图，∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠C，∠3＝∠A，请从中选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： 条件： 结论： 证明： 24. 已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若，求的值； （2）若x，y均为非负数，求的取值范围； 25. 为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． （1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ （2）现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案，写出具体方案． 26. 已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 27. 使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． （1）已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； （2）若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； （3）若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 28. 数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”进行了系列探究，过程如下： 【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为． 【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点D．设，则___________（用含的代数式表示）；的度数为___________． 【拓展】如图3，在中，，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点，．绕点A以每秒的速度逆时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点P以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．设运动时间为t秒（）．在旋转过程中，当t的值为多少时，与的一边垂直？请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海中学24～25学年度第二学期第二次学情调研测试 七年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题(本题8个小题，每题3分，共24分，请把选择题答案填写在答题纸表格中） 1. 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意； 、不等式不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、不等式未知数最高次数是2，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、是多项式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 是不等式的解集 B. 是不等式的一个解 C. 是不等式的解集 D. 不等式的解集是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的解集.根据不等式的解集的定义依次分析各项即可． 【详解】解：解不等式得，故A选项错误； 解不等式得，即是不等式的一个解，故B选项正确； 解不等式得，故C选项错误； 解不等式得，故D选项错误； 故选：B． 3. 下列命题正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质（同时乘上或除以一个正数，不等式符号不变；同时加上或减去一个数，不等式符号不变；同时除以或乘上一个负数，不等式符号改变），熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴当时，不一定成立， 故B不符合题意； ∵， ∴， 故C符合题意； ∵， ∴当时不成立，， 故D不符合题意； 故选C． 4. 下列命题中，真命题的个数有( ) ①同旁内角互补； ②三角形的一个外角等于其两个内角的和； ③平行于同一条直线的两直线平行； ④外角和与内角和相等的多边形一定是四边形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，平行线的性质，三角形外角的性质，平行的传递性，多边形的内角和与外角和等知识，根据相关基础知识判断即可． 【详解】解：①缺少条件“两直线平行”，应改为“两直线平行，同旁内角互补”故①为假命题； ②三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和，缺少条件“与其不相邻的”，故②为假命题； ③平行于同一条直线的两直线平行，正确，平行的传递性，故③为真命题； ④多边形外角和等于，内角和是的多边形是四边形，故外角和与内角和相等的多边形一定是四边形，故④为真命题 故真命题有③④，共2个． 故选：B． 5. 如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出，平行求出，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选D． 6. 如图，，在中，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由对顶角相等得出，再由三角形外角的定义及性质得出，最后由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图所示， ， 则， ， ， ， 故选：B． 7. 将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正多边形的内角和定理．过点C作与直尺平行，可得，再由正六边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作与直尺平行， ∴， ∵多边形为正六边形， ∴， ∴． 故选：C 8. 关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组有解且每一个的值均不在的范围中， ∴或， 解得：或， 不等式组有解集， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性质，逆向应用是本题的特点． 二、填空题(本题10个小题，每题3分，共30分。将答案填在答题纸相应的横线上） 9. 不等式的最大整数解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，先求出不等式的解集，然后得出最大整数解即可． 【详解】解：， ， 解得：， ∴不等式的最大整数解是． 故答案为：． 10. 如果关于的不等式的解集是，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质．运用不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集是，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 命题“若，则”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查的是真假命题的判断，写命题的逆命题，先写出逆命题为：若，则；再举反例说明逆命题是假命题即可． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是：若，则； 当时，，而， ∴这个逆命题是假命题； 故答案为：假． 12. 能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题写成“如果．．．，那么．．．”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 选取的的值不满足“若，则”即可． 【详解】解：当时，满足，但不满足， ∴可以作为说明命题“若，则”是假命题的一个反例， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 14. 如图所示，已知，正五边形的顶点A、B在射线上，顶点E在射线上，则______度． 【答案】24 【解析】 【分析】先求出正五边形的每一个内角的度数，利用外角的性质，求出的度数，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：正五边形的每一个内角的度数为：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：24． 【点睛】本题考查多边形的内角和，三角形外角的性质．熟练掌握多边形的内角和为，是解题的关键． 15. 规定表示m，n中较大的数，若，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．根据新定义列不等式求解即可． 【详解】解：由题意，得， 去分母得：， 去括号得：， 移项得： 解得：． 故答案为：． 16. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的所有非负整数之和为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于的不等式．两式相加可得，代入已知不等式求出的范围，再确定的所有非负整数解即可求出结果． 【详解】解： ，得 的非负整数为3，2，1，0， 的所有非负整数之和为 故答案为：6． 17. 如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据四边形内角和为360度和平角的定义，则由角平分线的定义可得从而求出的度数，运用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，分别平分和且相交于点P， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 18. 已知的解集为，则的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整体代入法解不等式，将当做整体得到，求解即可即可. 【详解】解：∵ ∴ ∵的解集为， ∴ 解得 故答案为： 三、解答题（本题共10个小题，共计96分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1）， 在数轴上表示为： （2）， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式的一般步骤解不等式，再在数轴上表示解集即可； （2）按照解一元一次不等式的一般步骤解不等式，再在数轴上表示解集即可； 【小问1详解】 解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 【小问2详解】 解：去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得： 20. 解不等式组，并求其整数解． 【答案】不等式组的解集为；整数解 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先分别求出不等式①，②的解集，即可求出不等式组的解集，再求其整数解，熟练掌握求不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为． 21. 命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角 （1）写出这个命题的逆命题； （2）判断这个逆命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． 【答案】（1）逆命题是：“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角” （2）假命题，反例：两个角都是直角 【解析】 【分析】（1）根据逆命题的定义，把原命题的条件与结论互换即可． （2）举出反例，即可证明命题为假命题． 【小问1详解】 原命题中，条件为“一个锐角和一个钝角”，结论为“这两个角一定互为补角”，将条件与结论互换，得到逆命题，即“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”． 【小问2详解】 ∵互补的两个角可以都为直角， ∴“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”是假命题． 反例是“两个角都是直角”． 【点睛】本题考查了逆命题，以及真假命题，熟练掌握相关定义即可得到结论． 22. 如图，已知，，分别是，的平分线． （1）求证：． 证明：因为（已知）， 所以（________）． 因为平分（已知）， 所以________（________）． 同理________． 所以， 所以（________）． （2）请说出（1）中用到了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行 （2）“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行” 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据，可得，由角平分线的定义可得，，推出，即可证明； （2）根据（1）的证明即可求解． 【小问1详解】 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， 同理， ， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行． 【小问2详解】 （1）中用到的互逆真命题为“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行” ． 23. 如图，∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠C，∠3＝∠A，请从中选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： 条件： 结论： 证明： 【答案】 条件：∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠C； 结论：∠3＝∠A； 证明：∵∠B＝∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D， ∵∠1＋∠2＝180°， ∴AD∥EF， ∴∠D=∠3， ∴∠3＝∠A． 【解析】 【分析】根据命题的概念，写出条件、结论，根据平行线的判定和性质定理证明． 【详解】略 【点睛】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若，求的值； （2）若x，y均为非负数，求的取值范围； 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，熟练掌握相关法则是解题的关键． （1）利用整体的思想可得：，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得：，然后根据已知易得：，，从而可得，最后解不等式组即可解答． 【小问1详解】 解：， ①+②得：， ∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， 解得：， ∵，均为非负数， ∴，， 即， 解得：． 25. 为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． （1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ （2）现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案，写出具体方案． 【答案】（1）甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价30元 （2）一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价y元，根据3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，购买1套甲模型和2套乙模型共需80元列出方程组求解即可； （2）设购买甲种模型m套，则购买乙种模型套，根据总费用不超过1220元且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价30元； 【小问2详解】 解：设购买甲种模型m套，则购买乙种模型套， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为28或29或30， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套． 26. 已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】（1） 证明：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）证明：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 【解析】 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． （1）已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； （2）若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； （3）若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 【答案】（1）③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断； （2）先根据“调和解”的意义得出，，再求出，代入不等式组中求得，再将代入后，求出其范围即可； （3）先求出不等式组解，再求出方程的解，然后将代入，求得，再根据关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，可得，解得：，然后得出． 【小问1详解】 解：，解得：， ，故①不成立； ，故②不成立； ，故③成立， 故答案为：③； 【小问2详解】 ∵是方程与不等式组的“调和解”， ∴，， 解得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 不等式组，解得：， 将代入，得，解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数， ∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知方程组的解求参数的范围等知识点，解题关键是正确求解方程组与不等式组． 28. 数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”进行了系列探究，过程如下： 【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为． 【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点D．设，则___________（用含的代数式表示）；的度数为___________． 【拓展】如图3，在中，，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点，．绕点A以每秒的速度逆时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点P以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．设运动时间为t秒（）．在旋转过程中，当t的值为多少时，与的一边垂直？请直接写出t的值． 【答案】 [论证]证明：延长至点，过点作， ∴，， ∵， ∴； [应用] ①；②； [拓展] 的值为或或 【解析】 【分析】[论证]利用平行线的性质以及平角的性质即可证明； [应用]①由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再由平行线的性质并结合三角形外角的定义及性质得出，推出，即可得解；②由平行线的性质结合角平分线的定义得出，求出即可得出答案； [拓展]总时间（秒），再分三种情况：当第一次与重合前，时，延长交于；当第一次与重合前，时，垂足为点I，记与交于点H；当第一次与重合后，时，记垂足为，分别利用平行线的性质和三角形内角和定理建立一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】[论证]略 [应用] 解：①如图， ∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； [拓展] 解：∵绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止． ∴总时间（秒）， ∴的运动角度为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当第一次与重合前，时，延长交于， 由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当第一次与重合前，时，垂足为点I，记与交于点H， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当第一次与重合后，时，记垂足为， 此时，， ∵， ∴， ∴， 解得： 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、外角性质，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $