三角形综合必考考点压轴练-2025年中考数学三轮复习备考

三角形综合必考考点压轴练-2025年中考数学三轮复习备考 1．（1）问题发现：如图1，，将边绕点顺时针旋转得到线段，在射线上取点，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化？如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为，点是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 2．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 3．综合与实践 问题情境：数学课上，老师让同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开探究活动，已知在中，，，，将绕点A旋转一定角度得到，延长交于点F． 初步探究：（1）如图1，勤思小组发现，当时，四边形是正方形，请你证明这一结论． 深入思考：（2）如图2，笃学小组发现，当点D正好落在斜边上时，可以求出四边形的面积，你能解决这一问题吗？ 拓展延伸：（3）善思小组继续探究，当和在同一条直线上时，连接．请你在图3中画出图形，并直接写出的长． 4．问题发现： 如图1，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： （1）①的度数是______；②线段，，之间的数量关系是 ； 拓展探究： （2）如图2，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请写出的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （3）如图3，在中，，，，若点A满足，，求线段的长度． 5．（1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，当点，，在同一直线上时，连接，易证，则______°． （2）拓展研究： 如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度． （3）探究发现： 如图3，为等边内一点，且，，，，，求的长． 6．综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，． 操作发现 （1）若，则的长为________，的长为________． 拓展探索 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，． ①请判断和的数量关系，并说明理由． ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段． 7．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，，，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中点E与点A重合，边与边重合．       初步思考：（1）小丽在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿着射线的方向平移，边与边交于点H，边与直线交于点G．如图2，当点H为边的中点时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； 问题探究：（2）请在图2的基础上进行如下操作：连接，．求证：垂直平分； 拓展延伸：（3）小颖在图1的基础上进行如下操作：，保持不动，将沿着射线的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F平移到的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离． 8．综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 9．综合与探究 【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．如图（a），在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“亮点”． 【概念理解】 （1）如图（b），在中，，，，分别是的高线，角平分线，中线．请判断，，三点中哪些是中边上的“亮点”，并说明理由． 【性质应用】 （2）如图（c），在中，，，．若是边上的“亮点”，求的长． 【拓展提升】 （3）如图（d），内接于⊙，是中边上的“亮点”且．若，求的值． 10．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 11．综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． (1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 12．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________． (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________． (4)实践应用：正方形中，若平面内存在点满足，则的面积为___________． 13．综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动． 如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O，将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F． 如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】 （1）如图1，是__________三角形，__________°；如图2，是__________三角形． 【深入探究】 （2）如图2．试探究线段和线段之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，请直接写出，，三条线段之间的关系式． 14．同学们发现两个全等的特殊三角形即拼成一个特殊四边形．特殊三角形与特殊四边形之间有很多联系．因此在探究特殊四边形中一些线段之间关系时往往和特殊三角形结合起来．下面是数学翱翔社的同学在课后探究特殊三角形与特殊四边形一些重要线段之间关系的过程：探究发现 （1）等腰直角三角形与正方形中特殊线段之间的关系． 如图1，在中，，，点D在边的延长线上，以为边作正方形（与在边同侧），连接，点G为的中点，连接，．发现，． 证明思路如下：延长交于点H，连接，．证明，点G为的中点，即可证明结论．依据提供思路写出规范的推理过程． 类比猜想：（2）等边三角形与有一个角为的菱形中的特殊线段之间的关系． 如图2，在等边中，点D在边的延长线上，以为边作菱形，（与在边同侧），连接，点G为的中点，连接，．猜想，的数量关系以及位置关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）一般等腰三角形与有一个角和等腰三角形顶角度数相等的菱形中特殊线段之间的关系．如图3，当为等腰三角形，，四边形为菱形，且时，其他条件不变，请直接写出，的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作 ，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：依题意得：， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）发生变化，． 证明：由（1）得，，， ∴， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵线段逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键． 2．（1）；（2）②④；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， ∴正确选项的序号是：②④； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4），， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（1）见解析；（2）；（3）见解析，或 【分析】（1）由旋转得，．根据，得出，证出四边形是矩形．结合，即可证明矩形是正方形． （2）在 中，，根据勾股定理求出，得出，由旋转得，，得，在 中，，求出，求出，，再根据即可求解． （3）如图，情况一：如图，点A在中间时，过点D作，根据，求出，根据，求出，根据图象求出，再根据勾股定理即可求解；情况二：如图，点C在中间时，同理得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）由旋转得，． ， ， ， ∴四边形是矩形． 又， ∴矩形是正方形． （2）在 中，， ， ∴， 由旋转得，， ， 在 中，， ， ， ， ． （3）如图，情况一：如图，点A在中间时， 过点D作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 情况二：如图，点C在中间时， 同理， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（1），；（2）；，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质； （1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图，延长至E，使，连接，证明，得到，，然后求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①在中，，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ②∴， ∴； 故答案为：，； （2），， 理由如下： 同（1）得，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 又， ∴； （3）如图，延长至E，使，连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 5．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）证明．得到．利用为等边三角形，得到，再利用点A，D，E在同一直线上，可得，即可得； （2）证明，可得，，再证明，利用勾股定理求解即可； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，可得，证明是等边三角形，证明，再证明、、在同一条直线上，求出，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴； （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点，，在同一直线上， ∴． ∴． ∴． ∴； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示：，， 则， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 即D、P、E在同一条直线上， ∴， 在中，， 即的长为． 【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中． 6．（1）；；（2）①，理由见解析；②、 【分析】（1）由矩形的性质可得，结合题意得出垂直平分，由垂直平分线的性质可得，证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得解； （2）①连接，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，从而得出，推出，，证明，即可得解； ②由（1）可得：，解直角三角形得出，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，证明，得出，由①可得：，即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故答案为，； （2）①，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 连接，如图： ， 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； ②由（1）可得：， ∵四边形为矩形， ∴，， 连接，如图： ， ∵，， ∴， ∴， 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①可得：， ∴图3中所有与图1中相等的线段为、． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 7．（1），理由见解析（2）详见解析（3）或 【分析】（1）利用中点的含义与含的直角三角形的性质可得结论； （2）如图，连接，证明，再利用线段的垂直平分线的判定即可得到答案； （3）①当点F落在边所在直线上时，如图，②当点F落在边所在直线上时，如图，再进一步利用全等三角形的性质，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）．理由：在中，，，， 点H为边的中点， ， ． （2）证明：如图，连接， 由平移可知：， ， ， ， 在与中： ， ， ， 点G在的垂直平分线上， ， 点D在的垂直平分线上， 垂直平分． （3）或．理由如下： ①当点F落在边所在直线上时，如图， 由平移可知：， ，， ∴，而，， ， ， 在中，，，， ∴， ， ， 在中，，， ， ； ②当点F落在边所在直线上时，如图， 过点E向边所在直线作垂线，交边所在直线于点H， 由平移可知：， ， ， ， 在中，，， 同理：， ． 综上，平移距离为或． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 8．（1）见解析；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； （3）延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，； 和是等腰三角形，，，， ∴， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ． 9．（1），是中边上的“亮点”，理由见解析；（2）或9；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质等等，正确理解“亮点”的定义是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，则，据此可得答案； （2）分当和当两种情况，作于点，解直角三角形求出的长，设出的长，表示出的长，根据，，建立方程讨论求解即可； （3）延长交于点，连接、，证明，推出，即可得到，解直角三角形得到；设，则，，进而得．求出．则，据此可得答案． 【详解】解：（1），是中边上的“亮点”，理由如下： 是的高线， ， ， ∵， ∴， ， ， 点是中边上的亮点 在中，是中线， ， 点是中边上的亮点． （2）①当时，如图，作于点， 在中，， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，， 在中，， ∴ 设，则， ∵是边上的“亮点”， ∴， ∵， ∴ 解得，（舍） ∴； ②当时，由①可知，， 设，则， ∵是边上的“亮点”， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍） 即． 综上所述，的长为4或9． （3）延长交于点，连接、， ，， ， ， ． 点是中边上的亮点， ， ． ∵， ∴ ， 设，则，． ． 在中，． 又， ．解得． ． 10．（1）见解析；（2）四边形为平行四边形，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 11．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，正方形性质，矩形判定及性质，共线问题最值和勾股定理等． （1）根据题意证明，即可得到本题答案； （2）过点B分别作于点 F，于点 G，再证明出和，再证明出四边形为矩形，后得到为正方形，继而利用正方形性质即可得到结论； （3）连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接，当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （2）证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． ∴． ∴． ∵四边形为正方形，      ， ； （3）解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接． ， ∴． ∴． 连接交于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度． 由（2）易得：． ∴，． ∵． ∴． ∴． 过N作于H． ∵， ∴． ∴， ， ． 12．(1)； (2)； (3) (4)5或 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论； （4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点N，，再利用第 3 小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出． 【详解】（1）， 理由如下：如图所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴； （2）如图所示： 证明：∵， ， 即， 又 ∵和都是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （3）如图： ∵和都是等腰三角形， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ， ，且， ， 故答案为：； （4）如图所示： 连接，以为直径作圆， 由题意，取满足条件的点，则 连接，作于点，在上截取， ， ， ， ， 由（3）可得：， ， ， 同理可得：， 故答案为：5或． 13．（1）直角，30；等腰；（2）且，理由见解析；（3）． 【分析】（1）在如图1中，先根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质，可得，，进而由所对的直角边为斜边的一半得出；在如图2中，由正方形和折叠的性质可得，，，进而得，，再根据三角形内角和可得，，，由等边对等角可得，即△是等腰三角形． （2）由（1）得，，，根据平行线的性质，即可得出且． （3）过点作的垂线，垂足为，设交于点，由矩形的判定和性质可得，，再根据折叠的性质可得，，进而得出，再由可证，，进而证明，由，，可得，证明，，故，即可证明． 【详解】解：（1）在图1中，四边形是矩形， ，， 由折叠可得， ， ， ， ， 矩形纸片折叠，使点的对应点恰好落在点处，折痕是对称轴， ，即是直角三角形， 在图2中，四边形是正方形， ， ，分别平分和，， ，， 由折叠可得， ， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， 是等腰三角形． 故答案为：直角，30；等腰； （2）且；理由如下： 由（1）得，，， ，，即， 且． （3）．理由如下： 过点作的垂线，垂足为，设交于点，如图3， ， 四边形为矩形， ， 正方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为对称轴， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，所对的直角边为斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．（1）见解析 （2）（3） 【分析】（1）连接，，利用证明，得到，根据正方形转化为，再证明，得到，利用等腰直角三角形的性质解答即可． （2）仿照问题（1）的解题思路，解答即可． （3）仿照（2）的证明，解答即可． 【详解】（1）连接，， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故，． （2）延长交于点N，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故，． （3）延长交于点M，连接，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∵点G为的中点，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正切函数的应用，熟练掌握性质，三角函数的应用是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$