2026届高三数学一轮复习课时作业15：对数函数

2.9　对数函数 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数y=的定义域为(　　) A.(0，1] B.(0，1) C.(1，+∞) D.(0，1)∪(1，+∞) 2.设a=log0.20.3，b=log23，c=log34，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a 3.已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A.a>0，b<-1 B.a>0，-1<b<0 C.0<a<1，b<-1 D.0<a<1，-1<b<0 4.若函数f(x)=log3ax(a>0，且a≠1)在[-1，2]上的值域为[m，2]，则m的值为(　　) A.-4或-1 B.0或-2 C.-2或-1 D.-4或-2 5.(2024·新乡模拟)已知函数f(x)=loga(3-x)+loga(x+1)(0<a<1)，若f(x)的最小值为-2，则a等于(　　) A. B. C. D. 6.若不等式(x-1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1，2]内恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，2] B.(1，2) C.(1] D.(2) 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知函数y=logax与y=logb(-x)的图象关于坐标原点对称，则函数y=ax与y=logbx的大致图象可能是(　　) A　　　　　　　 B C　　　　　　　 D 8.已知函数f(x)=lg(x2-5x+4)，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的定义域是R B.函数f(x)的值域是R C.函数f(x)的单调递增区间是(4，+∞) D.不等式f(x)<1的解集是(-1，6) 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·榆林模拟)函数f(x)=loga(2x-1)(a>0，且a≠1)恒过的定点是　　　　　　.  10.已知函数y=f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(-x)=-f(x)，则称函数y=f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)=log3(x+m)是[-2，2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是　　　　　　　　.  四、解答题(共26分) 11.(13分)已知函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)，且函数的图象过点(4，2). (1)求函数f(x)的解析式；(6分) (2)若f(m2+m)<1成立，求实数m的取值范围.(7分) 12.(13分)已知函数f(x)=log2(ax2+2x-1)，a∈R. (1)若f(x)过定点(1，2)，求f(x)的单调递减区间；(6分) (2)若f(x)值域为R，求a的取值范围.(7分) 【提升练】 13.函数f(x)=x1-ln x，x∈(1，e)的最大值为(　　) A.e2 B.e C. D. 14.若函数f(x)=ax与其反函数的图象有交点，则实数a的值可以是(　　) A.1 B. C.2 D.e 15.(多选)已知函数f(x)=ln(x2-2x+e2+1)，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的最小值为2 B.∃x∈R，f(e)+f(x)=4 C.f(lg 2)>f D.f(-1)<f(-1) 16.(多选)(2025·亳州模拟)将正数x用科学记数法表示为x=a×10m，a∈[1，10)，m∈Z，则lg x=m+lg a，我们把m，lg a分别叫做lg x的首数和尾数，若将lg x的首数记为S(x)，尾数记为W(x)，则下列说法正确的是(　　) A.W(x)∈[0，1) B.W(x)(x>0)是周期函数 C.若x，y>0，则S(xy)≥S(x)+S(y) D.若x>y>0，则W=W(x)-W(y) 答案精析 1.B　2.D　3.D 4.A　[因为函数y=log3x在(0，+∞)上单调递增， 所以函数y=ax在[-1，2]上的值域为[3m，9]， 当0<a<1时，y=ax在[-1，2]上单调递减， 则a-1=9，解得a=， 则3m=a2=，得m=-4； 当a>1时，y=ax在[-1，2]上单调递增， 则a2=9，解得a=3或a=-3(舍去)， 则3m=a-1=，得m=-1， 综上，m=-4或m=-1.] 5.C　[由得-1<x<3， 所以函数f(x)=loga(3-x)+loga(x+1)(0<a<1)的定义域为(-1，3)， 因为y=loga(3-x)+loga(x+1)=loga[(3-x)(x+1)]由外层函数y=logat(0<a<1)和内层函数t=(3-x)(x+1)复合而成， 当-1<x<1时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以f(x)单调递减； 当1<x<3时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以f(x)单调递增， 所以f(x)min=f(1)=loga4=-2， 又因为0<a<1，所以a=.] 6.B　[若0<a<1，此时x∈(1，2]，logax<0， 而(x-1)2>0， 故(x-1)2<logax无解； 若a>1，此时x∈(1，2]，logax>0， 而(x-1)2>0， 令f(x)=logax，g(x)=(x-1)2， 画出函数f(x)与g(x)的图象， 如图， 若不等式(x-1)2<logax在x∈(1，2]内恒成立， 则loga2>1，解得a∈(1，2).] 7.AC　[在函数y=logax的图象上任取点(x，y)，则点(-x，-y)在y=logb(-x)的图象上， 即于是logbx=-logax=lox对任意x>0成立，则b=， 当0<a<1时，函数y=ax是R上的减函数，b>1，则y=logbx是(0，+∞)上的增函数，C符合，D不符合； 当a>1时，函数y=ax是R上的增函数，0<b<1，则y=logbx是(0，+∞)上的减函数，A符合，B不符合.] 8.BC　[选项A，令x2-5x+4>0，解得x>4或x<1，所以函数f(x)的定义域为(-∞，1)∪(4，+∞)，故A错误； 选项B，因为真数x2-5x+4能取遍所有的正实数，所以函数f(x)的值域是R，故B正确； 选项C，由A项可知，函数u=x2-5x+4在(4，+∞)上单调递增，在(-∞，1)上单调递减，y=lg u在定义域内为增函数，所以函数f(x)的单调递增区间是(4，+∞)，单调递减区间是(-∞，1)，故C正确； 选项D，由f(x)=lg(x2-5x+4)<1=lg 10，且y=lg u在定义域内为增函数，所以0<x2-5x+4<10，解得-1<x<1或4<x<6，所以不等式f(x)<1的解集是(-1，1)∪(4，6)，故D错误.] 9.(1，0) 10.(2，] 解析　因为f(x)=log3(x+m)是[-2，2]上的局部奇函数， 所以x+m>0在[-2，2]上恒成立， 所以m-2>0，即m>2， 由局部奇函数的定义，存在x∈[-2，2]， 使得log3(-x+m)=-log3(x+m)， 即log3(-x+m)+log3(x+m)=log3(m2-x2)=0， 所以存在x∈[-2，2]， 使得m2-x2=1，即m2=x2+1， 又因为x∈[-2，2]， 所以x2+1∈[1，5]， 所以m2∈[1，5]， 即m∈[-，-1]∪[1，]， 综上，m的取值范围是(2，]. 11.解　(1)∵函数f(x)=logax的图象过点(4，2)， ∴loga4=2，∴a2=4， ∵a>0且a≠1， ∴a=2，∴f(x)=log2x. (2)由(1)知f(x)=log2x， f(m2+m)<1⇔f(m2+m)<f(2)， ∵f(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴0<m2+m<2， ∴-2<m<-1或0<m<1. ∴实数m的取值范围为{m|-2<m<-1或0<m<1}. 12.解　(1)由函数f(x)=log2(ax2+2x-1)过定点(1，2)， 可得log2(a+1)=2，可得a+1=4，解得a=3， 所以f(x)=log2(3x2+2x-1)， 令3x2+2x-1>0，解得x<-1或x>，即函数的定义域为(-∞，-1)∪， 设g(x)=3x2+2x-1，则函数g(x)在(-∞，-1)上单调递减， 又由函数y=log2x在定义域上为增函数， 结合复合函数的单调性可得函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减， 所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞，-1). (2)由函数f(x)=log2(ax2+2x-1)的值域为R， 即(0，+∞)为函数h(x)=ax2+2x-1值域的子集， 当a=0时，可得h(x)=2x-1，此时函数h(x)的值域为R，符合题意； 当a>0时，则满足Δ=22+4a≥0，解得a≥-1，所以a>0； 当a<0时，此时函数h(x)=ax2+2x-1的图象开口向下，显然不满足题意， 综上可得，实数a的取值范围为[0，+∞). 13.D　[设y=f(x)=x1-ln x，x∈(1，e)， 故ln y=(1-ln x)ln x，x∈(1，e)， 令t=ln x，x∈(1，e)，∴t∈(0，1)， 则ln y=-t2+t=-+，t∈(0，1)， 当t=时，ln y=-+取到最大值， 故y的最大值为， 即函数f(x)=x1-ln x，x∈(1，e)的最大值为.] 14. B [当a=1时，f(x)=1无反函数，故不符合题意； 由选项可知只需考虑a>1即可.此时f(x)=ax为指数函数，我们知道函数f(x)=ax的反函数为y=logax(x>0)， 当f(x)=ax与y=logax(x>0)相切时，设切点为(t，t)，在切点处两曲线的函数值与切线的斜率均相等， 则 由③可得t==logae，代入②可得eln a=1， 解得a=， 综上，若图象有交点，则1<a≤， 由于e≈2.7，故<<<2.] 15.AC　[y=x2-2x+e2+1=(x-1)2+e2≥e2>0， 其在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故f(x)=ln(x2-2x+e2+1)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， f(x)min=f(1)=2，函数图象关于直线x=1对称， 对选项A，f(x)的最小值为f(1)=2，正确； 对选项B，f(e)+f(x)>2f(1)=4，错误； 对选项C，因为25<102，所以5lg 2<2，故lg 2<<1， f(lg 2)>f =f，正确； 对选项D，-1=-1>-1>1，故f(-1)>f(-1)，错误.] 16. AC [对于A，因为a∈[1，10)，所以W(x)=lg a∈[0，1)，故A正确； 对于B，若W(y)=W(x)，必有y=x·10k(k∈Z)，不可能存在非零常数T，使得x+T=x·10k恒成立，不符合周期函数的定义，故B错误； 对于C，设x=a×10m，y=b×10n(a，b∈[1，10)，m，n∈Z)，则S(x)=m，S(y)=n，xy=ab×10m+n，若1≤ab<10，则S(xy)=m+n，若10≤ab<100，则xy=×10m+n+1，S(xy)=m+n+1，所以S(xy)≥S(x)+S(y)，故C正确； 对于D，设x，y同选项C，W(x)=lg a，W(y)=lg b，=×10m-n，若1≤<10，则W=lg =lg a-lg b，若<<1，则=×10m-n-1，W=lg =lg a-lg b+1，所以W≥W(x)-W(y)，故D错误.] 学科网（北京）股份有限公司 $$