第02讲 数轴、相反数和绝对值（7大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第02讲 数轴、相反数和绝对值（7大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 数轴的三要素及其画法 典型例题二 化简多重符号 典型例题三 求一个数的绝对值 典型例题四 利用相反数的定义求解 典型例题五 绝对值非负性 典型例题六 绝对值的几何意义 典型例题七 用数轴上的点表示有理数 典型例题八 相反数的应用 典型例题九 数轴上两点之间的距离 典型例题十 数轴上的规律探究 知识点01 相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知四个有理数、、、在一条缺失了原点和单位长度标记的数轴上对应的点分别为、、、，且与互为相反数，则在、、、四个有理数中，绝对值最小的一个数是 ．    知识点02 多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列化简错误的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽池州·课后作业）化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 知识点03 数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 知识点04 绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有理数的绝对值是（   ） A． B． C．5 D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在数轴上点表示数，点表示数，点表示数；是最大的负整数，，，满足． （1）填空： ， ， ． （2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则 ， ． 知识点05 化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下列各式化简正确的是(    )． A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）化简： ， ． 知识点06 绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【即时训练】 2．（2025七年级上·全国·专题练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是 ； （2）当 时，有最小值，最小值是 ． 知识点07绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ． 编 号 体重情况 【典型例题一 数轴的三要素及其画法】 【例1】（2025七年级上·安徽·专题练习）以下数轴画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下列判断不正确的有（　） ①互为相反数的两个数一定不相等；②互为相反数的数在数轴上的点一定在原点的两边；③所有有理数都有相反数；④符号不同的两个数互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 【例4】（24-25七年级上·安徽池州·期中）画出数轴，并在数轴上把下列各数表示出来：． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）给出下列结论：一个有理数的倍大于这个有理数；绝对值最小的整数是；规定了原点和单位长度的直线叫数轴；如果，那么；不是正数的数一定是负数．其中正确结论的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数学中，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做 ，在直线上任取一点表示0，这个点叫做 ；通常规定直线上向右的方向为 ；选取适当的长度作为 ，数轴的三要素为 、 、 . 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）（1）补全数轴； （2）把表示右边各数的点画在数轴上；，，， （3）用“”把这些数连接起来． 4．（2025七年级上·安徽·专题练习）如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 【典型例题二 化简多重符号】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列各式中，化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列几组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．与 C．和 D．和 【例3】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【例4】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里， （1）负数集合：{ …}； （2）正分数集合：{ …}； 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 4．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）已知一组数：， (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 【典型例题三 求一个数的绝对值】 【例1】（2025·安徽芜湖·模拟预测）的值是（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，检测排球的质量超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下面个排球最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“”连接． 4，，0，， 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）下列各组两个数互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．3和 D．和 2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只是不显示运算，接着再输入整数后则显示的结果，例如：依次输入1，2，则输出的结果是，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，且k的最大值为10，那么k的最小值为 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）（）请你画出数轴，并在数轴上表示下列有理数：，，，，； （）将（）中各数用“”号连接起来． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）有理数，表示在数轴上得到点，，我们就把，叫做，的一维坐标，一般的称为点与点之间的距离．如表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)______；数轴上与两数所对应的两点之间的距离表示为____________ (2)试用数轴探究：当时，的值是____________ (3)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________．（直接写出答案） (4)利用数轴求出的最小值．（直接写出答案即可） 【典型例题四 利用相反数的定义求解】 【例1】（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）的相反数是（ ） A．2024 B． C． D． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．2025和 C．和2025 D．和 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）绝对值等于的实数是 ，的相反数是 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）（1）化简下列各数： ①； ②； （2）若a是的相反数，求a的值． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）若的相反数为，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）已知a是最大的负整数，，数轴上表示数c的点到原点的距离，与表示数b的点到原点的距离相等，且，计算． 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）已知和互为相反数，的绝对值是是最大的负整数． (1)求的值； (2)若，求的值． 【典型例题五 绝对值非负性】 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．4049 C．20 D．0 【例3】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）若，则 ． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）若，求、的值． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足．若点D是的中点，O为原点，数轴上有一动点P，、分别表示数轴上P与D，P与O两点间的距离，则的最小值是 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）若，求，的值． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【典型例题六 绝对值的几何意义】 【例1】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的点表示的数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）下列数轴上四个点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，则 ． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）观察比较： . (1)若，则___；若，则___；若，则___； (2)a，b表示任意有理数，若，则a与b之间有什么关系？ 1．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）直线上有，，，四个点，其中（   ）最接近0． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 3．（24-25七年级上·滁州·期中）如图，点A表示的数是．（数轴上1小格表示1个单位长度） (1)在数轴上标出表示数0的点； (2)点B表示的数为_______________ (3)点C在数轴上，与点B的距离为1.5个单位长度，那么点C表示什么数？ 4．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和两点之间的距离是 ； (2)数轴上，x和两点之间的距离是 ； (3)若数轴上x与1满足，则 ； (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由． 【典型例题七 用数轴上的点表示有理数】 【例1】（2025·安徽亳州·模拟预测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．3 B． C．1 D． 【例2】（2025·安徽·模拟预测）如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）一滴墨水滴在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数有 个． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）（1）如图，直接写出数轴上点A，B分别表示的有理数，A：______；B：______． （2）用数轴上的点表示下列各数：3，． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“2”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）请画出数轴，并将下列有理数标在数轴上，再进行大小比较． ，，，，，，， 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）回答下列问题： (1)过点，两点画一条数轴，使点表示3，点表示． (2)在所画的数轴上将4，表示在数轴上，并将4，，3，这四个数用“”连接起来．______<______<______<______ 【典型例题八 相反数的应用】 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知算式的值为，则“”内应填入的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）若与互为相反数，求的值． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求 的值． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a、b，且满足． (1)_____﹔_______﹔ (2)点M、N两点在数轴上对应的数分别是m，n；点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N从B点出发以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，到达原点时则反向运动，若M，N两点同时出发，设运动的时间为秒． ①求3秒后，m的值． ②t为何值时，m与n互为相反数? 【典型例题九 数轴上两点之间的距离】 【例1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）数轴上，，，四个数对应的点，离原点最近的是（   ） A． B． C． D．2 【例2】（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 【例3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，一条数轴上有三个不同的点，其中点表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若对折后的点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数m、n、p、r所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（   ） A．M或N B．M或R C．N或P D．P或R 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为例如：，两点表示的数如图1所示，则| （1），两点表示的数如图2所示． ①，两点的绝对距离等于 ； ②若为数轴上一点（不与点重合），且|则点C表示的数是 ； （2），为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作 (1)已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现 (2)观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用 (3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离； 求满足等式的的值； 表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 【典型例题十 数轴上的规律探究】 【例1】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点：沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，则表示的数为 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推．    (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为， ①点表示的数为_____， ②若边长为4的正方形的边在数轴上，点与点重合，此时点，点在数轴上所表示的数相同，将长方形和正方形都沿数轴无滑动向右翻滚，当点，点在数轴上所表示的数再次相同时，求此时点表示的数？当点第14次落回到数轴上时，点，点在数轴上所表示的数最多有几次相同？    1．（2025·安徽宣城·模拟预测）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在数轴上，点O表示原点，现将点从O点开始沿数轴如下移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，当时，这时点与原点的距离是 个单位． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）已知，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点B在数轴上以不变的速度向左运动，运动规律如下表： 运动时间（s） 0 1 4 9 …… 点A表示的数 2 ____ ____ …… 点B表示的数 ____ ___ …… (1)补全表格中的数据； (2)当运动时间为时，求之间的距离． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 1．（2025·安徽·模拟预测）（   ） A．0 B． C． D．1 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法： ①存在“调整和差操作”运算结果的和为； ②不存在“调整和差操作”运算结果的差为； ③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 6．（24-25七年级上·安徽六安·期中）化简：= ，= ． 7．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）在直线上表示、、、时，离0最近的数是 ． 8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若m、n为相反数，且满足，则m的值为 ． 9．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）规定：，，例如：，．有下列结论： ①； ②若，则； ③不存在能使成立的x的值； ④式子的最小值是2． 其中正确的是 （填番号） 10．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）长方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和，．若长方形绕着点顺时针方向在数轴上翻转，翻转第次后，点所对应的数为；绕点翻转第次后点A对应的数为；以此类推继续翻转，则翻转次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是 ．    11．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）（1）化简下列各数： ①； ②； （2）若a是的相反数，求a的值． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）小琼和小凤都十分喜欢唱歌，她们两个一起参加社区的文艺汇演，在汇演前，主持人让她们自己确定一个出场顺序，可她们俩争着先出场，最后，主持人想了一个主意，如图所示． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 14．（24-25七年级上·合肥·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 15．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则两点之间的距离． (1)问题情境：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为__________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为__________． (2)情境应用：如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则__________； ②的最小值为__________； (3)综合运用：在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为2． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 数轴、相反数和绝对值（7大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 数轴的三要素及其画法 典型例题二 化简多重符号 典型例题三 求一个数的绝对值 典型例题四 利用相反数的定义求解 典型例题五 绝对值非负性 典型例题六 绝对值的几何意义 典型例题七 用数轴上的点表示有理数 典型例题八 相反数的应用 典型例题九 数轴上两点之间的距离 典型例题十 数轴上的规律探究 知识点01 相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，求一个数的相反数；根据数轴知点P表示的数为2，即可求得其相反数． 【详解】解：由数轴知，数轴上点表示的数为2，则其相反数为； 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知四个有理数、、、在一条缺失了原点和单位长度标记的数轴上对应的点分别为、、、，且与互为相反数，则在、、、四个有理数中，绝对值最小的一个数是 ．    【答案】 【分析】此题考查了有理数大小比较，数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 根据题意得到m与p化为相反数，且中点为坐标原点，即可找出绝对值最小的数． 【详解】解：∵m与p是相反数， ∴， 则原点在线段的中点处， ∴绝对值最小的数是q， 故答案为：q． 知识点02 多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列化简错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多重符号的化简，掌握“利用相反数的含义化简多重符号”是解本题的关键．多重符号化简方法：一个数前面有偶数个“”号，结果为正．一个数前面有奇数个“”号，结果为负． 【详解】解：．，化简正确，故该选项不符合题意； ．，化简正确，故该选项不符合题意； ．，原化简错误，故该选项符合题意； ．，化简正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽池州·课后作业）化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 2024 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据化简多重符号的法则计算即可得解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；2024；；． 知识点03 数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的平移，以及利用数轴表示有理数，根据图像得到点表示的数，再结合题意得到点所表示的数，即可解题． 【详解】解：由图知点表示的数为， 将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】解：根据题意得：点表示的数是3，， ∴点B表示的数是， 故答案为： 知识点04 绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有理数的绝对值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义，解答本题的关键熟练掌握绝对值的性质； 绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用来表示；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此直接解答即可． 【详解】解：因为是负数，的相反数是5， 所以． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在数轴上点表示数，点表示数，点表示数；是最大的负整数，，，满足． （1）填空： ， ， ． （2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查数轴定义与性质、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性运用等知识，先由是最大的负整数求出，再根据绝对值非负性得到、，从而由数轴上两点之间距离公式代值求解即可得到、，熟记数轴定义与性质、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性是解决问题的关键． 【详解】解：（1）是最大的负整数， ， ， ∴， ， 故答案为：； （2）在数轴上点表示数，点表示数，点表示数， ；； 故答案为：． 知识点05 化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下列各式化简正确的是(    )． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值、相反数，根据绝对值的性质、相反数的定义进行解题即可． 【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项正确，符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）化简： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号．若一个不为0的数的前面有偶数个“-”号，其结果为正；若一个不为0的数的前面有奇数个“-”号，其结果为负． （1）根据化简多重符号的方法和步骤即可解答； （2）先求得绝对值的值，再根据相反数的性质计算即可． 【详解】解：； ． 故答案为：；． 知识点06 绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性．先根据绝对值的定义得到，，再由绝对值的非负性推出，则，． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：C． 【即时训练】 2．（2025七年级上·全国·专题练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是 ； （2）当 时，有最小值，最小值是 ． 【答案】 3 1 2 【分析】本题考查绝对值的意义： （1）由绝对值的非负性可以得出，由此可解． （2）根据绝对值的非负性解题即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）∵， ∴当时，，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是2， 故答案为：1，2． 知识点07绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的实际意义，掌握绝对值的意义解题的关键． 根据绝对值的意义，即可解题． 【详解】解：由题意可得各数的绝对值分别为，，，， ， 最接近标准质量的是， 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ． 编 号 体重情况 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【详解】解：，，，，，， ， 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． 【典型例题一 数轴的三要素及其画法】 【例1】（2025七年级上·安徽·专题练习）以下数轴画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键．根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】解：．没有方向，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； ．单位长度不相等，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； ．数轴画法正确，故该选项符合题意； ．没有原点 ，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下列判断不正确的有（　） ①互为相反数的两个数一定不相等；②互为相反数的数在数轴上的点一定在原点的两边；③所有有理数都有相反数；④符号不同的两个数互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，数轴； 根据0的相反数还是0可判断①②不正确；根据相反数的定义可知③正确，④不正确． 【详解】解：①因为0的相反数还是0，所以互为相反数的两个数有可能相等，判断不正确； ②因为0的相反数还是0，是原点，所以判断不正确； ③所有有理数都有相反数，判断正确； ④只有符号不同的两个数互为相反数，判断不正确； 综上，判断不正确的有3个， 故选：C． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴相关定义，掌握数轴的定义以及在数轴上的点的意义是解题的关键．一条规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 根据数轴的定义，用数轴上的点表示有理数，逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：①数轴上的点能表示整数，也能表示分数，故①不正确； ②数轴是一条直线，故②不正确； ③数轴上的一个点只能表示一个数，故③正确； ④数轴上能找到既不表示正数，又不表示负数的点即原点，它表示0，故④不正确； ⑤数轴上的点所表示的数不一定都是有理数，故⑤不正确． 故正确的有③，共1个 故答案为：1 【例4】（24-25七年级上·安徽池州·期中）画出数轴，并在数轴上把下列各数表示出来：． 【答案】见解析 【分析】根据数轴三要素画出数轴，然后根据数轴特点将各数表示出来即可． 【详解】解：如图： 【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴的画法和特点是解题的关键． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）给出下列结论：一个有理数的倍大于这个有理数；绝对值最小的整数是；规定了原点和单位长度的直线叫数轴；如果，那么；不是正数的数一定是负数．其中正确结论的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据数轴和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：①若一个有理数为负数，则这个有理数的3倍小于这个有理数，故①不正确； ②绝对值最小的整数是0，故②正确； ③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，故③不正确； ④如果，那么，故④不正确； ⑤不是正数的数是负数或0，故⑤不正确； 综上所述，正确的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴的性质，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数学中，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做 ，在直线上任取一点表示0，这个点叫做 ；通常规定直线上向右的方向为 ；选取适当的长度作为 ，数轴的三要素为 、 、 . 【答案】 数轴 原点 正方向 单位长度 原点 正方向 单位长度 【详解】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．在画数轴时，一般先画成一条水平的直线，再在直线上选取一点为原点，然后用箭头表示向右为正，最后根据需要选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3，…． 故答案为数轴，原点，正方向，单位长度，原点，正方向，单位长度. 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）（1）补全数轴； （2）把表示右边各数的点画在数轴上；，，， （3）用“”把这些数连接起来． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查有理数在数轴上对应的点、绝对值、有理数的乘方、相反数、有理数的大小比较． （1）根据数轴的定义（规定了原点、正方向、单位长度的直线）解决； （2）先化简，根据有理数在数轴上对应的点解决此题； （3）根据数轴上各个数字的位置比较有理数的大小关系解决此题． 【详解】解：（1）补全的数轴图如下： （2），，， ，，，在数轴上的点表示如下： （3）由图可得：； 4．（2025七年级上·安徽·专题练习）如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了数轴上的数、比较有理数的大小等知识点，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）根据数轴直接解答即可； （2）根据单位长度，在数轴上表示点和点=即可； 【详解】（1）解：由数轴可得：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，； （2）解：如图：点和点即为所求． 【典型例题二 化简多重符号】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列各式中，化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符合的方法是解题的关键．根据化简多重符合的方法逐项判断即可． 【详解】解：A．，原化简错误，不符合题意； B．，原化简正确，符合题意； C．，原化简错误，不符合题意； D．，原化简错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列几组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．与 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此判断即可． 【详解】解：A．，故A选项不合题意； B．，故B选项不合题意； C．，，所以和互为相反数，故C选项符合题意； D．，故D选项不合题意； 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 【例4】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正． （1）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查化简多重符号，将各数化简后，根据负数：“小于0的数”，进行判断即可．掌握化简多重符号，正负数的意义，是解题的关键． 【详解】解：，，，，， 则共有3个负数，即，，． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里， （1）负数集合：{ …}； （2）正分数集合：{ …}； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类、绝对值，相反数的含义等知识点，熟记各概念是解题关键． （1）根据负数的定义（比0小的数叫做负数）即可得； （2）根据正分数的定义（把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数），从正数里面找到分数即可得． 【详解】解：， 负数集合：； 正分数集合：． 故答案为：；． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）；问：①；②，规律见详解 【分析】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． （1）根据相反数的定义进行化简即可； （2）根据相反数的定义进行化简即可； （3）根据相反数的定义进行化简即可； （4）根据相反数的定义进行化简即可； 问：①根据前面的计算结果猜想即可得解； ②根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是； ②当前面有2024个负号，即前面有2025个负号，化简后结果， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）已知一组数：， (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是化简绝对值和多重符号，用数轴表示数、利用数轴比较有理数的大小，解题关键是准确将数在数轴上表示出来，注意符号． （1）先将能化简的数先化简，再将数准确在数轴上表示出来，注意正负号； （2）根据（1）中在数轴上表示的数，从左往右依次增大，用小于号连接即可． 【详解】（1）解：，，， 这些数在数轴上的表示如下图所示： （2）解：由（1）中数轴得：． 【典型例题三 求一个数的绝对值】 【例1】（2025·安徽芜湖·模拟预测）的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得：，所以． 【详解】解：． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，检测排球的质量超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下面个排球最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值意义，分别求出每个数的绝对值，绝对值最小的即最接近标准质量，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴的绝对值最小， ∴这个球是最接近标准的球， 故选：． 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等于它的相反数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是，绝对值是的数是或， 故答案为：，，或 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“”连接． 4，，0，， 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了数轴，有理数大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先化简绝对值，再在数轴上表示出各数，最后根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解： 数轴上表示如图即为所求， 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）下列各组两个数互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．3和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查相反数概念，化简多重符号，化简绝对值，解题的关键在于熟练掌握相关概念．先化简多重符号与绝对值，再结合相反数概念判断各项，即可解题． 【详解】解：A、和，不互为相反数，不符合题意； B、和，互为相反数，符合题意； C、3和互为倒数，不符合题意； D、和，不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只是不显示运算，接着再输入整数后则显示的结果，例如：依次输入1，2，则输出的结果是，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，且k的最大值为10，那么k的最小值为 【答案】6 【分析】根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值，进而分析得出即可．此题考查了含有绝对值的最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有试验观察和分情况讨论的能力． 【详解】解：∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10， ∴设b为较大数字，当时，， 解得：， 故此时任意输入后得到的最小数为：， 设b为较大数字，当时，， 则，即，则， 故此时任意输入后得到的最小数为：， 综上所述：k的最小值为6． 故答案为：6 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）（）请你画出数轴，并在数轴上表示下列有理数：，，，，； （）将（）中各数用“”号连接起来． 【答案】（）数轴表示见解析；（） 【分析】（）先化简各数，再把有理数在数轴上表示出来即可； （）根据数轴比较有理数的大小即可； 本题考查了利用数轴比较有理数的大小，正确画出数轴是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，， ∴有理数在数轴上表示如下： （）由数轴可得，． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）有理数，表示在数轴上得到点，，我们就把，叫做，的一维坐标，一般的称为点与点之间的距离．如表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)______；数轴上与两数所对应的两点之间的距离表示为____________ (2)试用数轴探究：当时，的值是____________ (3)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________．（直接写出答案） (4)利用数轴求出的最小值．（直接写出答案即可） 【答案】(1)， (2)或 (3)，，，，，，， (4) 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据绝对值的意义即可求出的值；然后利用数轴上两点之间的距离公式即可得出答案； （2）由数轴上两点之间的距离即可得解； （3）由题意可知，表示与和两个数所代表的点的距离之和等于的点所表示的数，由数轴可知，进而可得答案； （4）由题意可知，表示与和两个数所代表的点的距离之和，由数轴可知，当时，取得最小值，进而可求得其最小值． 【详解】（1）解：， 数轴上与两数所对应的两点之间的距离表示为， 故答案为：，； （2）解：， 或， 故答案为：或； （3）解：， 表示与和两个数所代表的点的距离之和等于的点所表示的数， 由数轴可知：， 这样的整数有：，，，，，，，， 故答案为：，，，，，，，； （4）解：， 它表示与和两个数所代表的点的距离之和， 由数轴可知：当时，取得最小值，其最小值为． 【典型例题四 利用相反数的定义求解】 【例1】（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）的相反数是（ ） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题绝对值和相反数，根据负数的绝对值为它的相反数，以及只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出结果． 【详解】解：的相反数是； 故选D． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．2025和 C．和2025 D．和 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的绝对值，相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，符合题意； B、2025和不是相反数，不符合题意； C、，不是相反数，不符合题意； D、和不是相反数，不符合题意； 故选A． 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）绝对值等于的实数是 ，的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值意义、相反数定义，根据绝对值意义及相反数定义：只有符号不同的两个数直接求解即可得到答案，熟记绝对值意义、相反数定义是解决问题的关键． 【详解】解：绝对值等于的实数是；的相反数是； 故答案为：；． 【例4】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）（1）化简下列各数： ①； ②； （2）若a是的相反数，求a的值． 【答案】（1）①3.1415；②75；（2）5 【分析】本题主要考查化简多重符号及相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键； （1）根据“同号得正，异号得负”可进行求解； （2）根据“同号得正，异号得负”及相反数的意义可进行求解． 【详解】解：（1）①； ②； （2）∵，且a是的相反数， ∴． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．当两个数的绝对值相等时，注意有2种情况．据此解答即可． 【详解】解：①相等的两个数的绝对值相等，故说法①正确，符合题意； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故说法②正确，符合题意； 绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故说法③与说法④不正确，不符合题意， ∴说法正确的个数是． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）若的相反数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，根据题意得到，求解即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的相反数为， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）已知a是最大的负整数，，数轴上表示数c的点到原点的距离，与表示数b的点到原点的距离相等，且，计算． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，绝对值的意义进行解答即可； 【详解】解：由题意知，b、c互为相反数，则， a为最大的负整数，则， 所以； 【点睛】该题主要考查了相反数、绝对值等知识点，解题的关键是确定出a、b、c的值． 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）已知和互为相反数，的绝对值是是最大的负整数． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)0 【分析】本题考查了相反数、绝对值、代数式求值； （1）根据相反数、绝对值和有理数的概念可得，，，然后分情况代入计算即可； （2）根据已知条件求出，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：因为和互为相反数，的绝对值是3，是最大的负整数， 所以，，， 当时，原式； 当时，原式， 所以的值为或； （2）因为和互为相反数， 所以， 因为，，， 所以， 所以原式 ． 【典型例题五 绝对值非负性】 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴，即一定是负数或零 故选：D． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．4049 C．20 D．0 【答案】A 【分析】本题考查的是非负数的性质-绝对值，根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：因为绝对值具有非负性， 所以， 所以， 所以当时，式子有最大值，此时的值是2026． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）若，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键．根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 解得，． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足．若点D是的中点，O为原点，数轴上有一动点P，、分别表示数轴上P与D，P与O两点间的距离，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查数轴的概念，非负数的性质，由数轴的概念，非负数的性质，即可求解，关键是确定点的位置：点和点之间时，则的值最小． 【详解】解：， ，， ，， 点、在数轴上所对应的数分别是3，， 点是的中点， 点对应的数是， 当点在点和点之间时，的值最小， 最小值是， 故答案为：1． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）若，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了非负数的性质等知识点，几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0，故此，进而即可得解，熟练掌握非负数的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【答案】（）；（）；（）①；② 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为，进而由中点公式列出方程即可求解； （）①根据题意即可求解；②由题意可得点对应的数为，点对应的数为，即得，得到式子等于有理数到有理数和的距离之和，可知当时，可知为定值，据此即可求解． 【详解】解：（）由题意得，，， ∴，， ∴， 即的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 当的中点所对应的数为时，则， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为， （）①由题意得，对应的数为， 故答案为：； ②∵点对应的数为，点对应的数为， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∴式子等于有理数到有理数和的距离之和， 当时，可知为定值，定值为， ∴存在，使得为定值． 【点睛】本题考查了中点坐标公式，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，掌握以上知识点是解题的关键． 【典型例题六 绝对值的几何意义】 【例1】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的点表示的数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，比较各数绝对值的大小即可求解，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与原点距离最远的点表示的数是． 故选：D 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）下列数轴上四个点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数． 根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论． 【详解】解：由图可知：点到原点的距离最短， 所以在这四个数中，绝对值最小的数是． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）观察比较： . (1)若，则___；若，则___；若，则___； (2)a，b表示任意有理数，若，则a与b之间有什么关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题是绝对值的有关知识，掌握绝对值的性质是解答此题的关键． （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据绝对值的性质，结合题目，直接进行解答即可． 【详解】（1）解：若，则；若，则；若，则； 故答案为：；0；； （2）解：∵， 或． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）直线上有，，，四个点，其中（   ）最接近0． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，掌握绝对值越小的数越接近0成为解题的关键． 先求出各数的绝对值，然后确定绝对值最小的数即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴最接近0． 故选D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，根据题意先求得出和之间的整数，再求绝对值大于并且小于等于的整数即可求解． 【详解】解：根据图中数据，可得墨迹盖住的整数是：，，，，． 其中满足绝对值大于并且小于等于的整数有，，共2个， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·滁州·期中）如图，点A表示的数是．（数轴上1小格表示1个单位长度） (1)在数轴上标出表示数0的点； (2)点B表示的数为_______________ (3)点C在数轴上，与点B的距离为1.5个单位长度，那么点C表示什么数？ 【答案】(1)详见解析 (2)2 (3)0.5或3.5 【分析】本题主要考查了数轴表示数，两点间的距离，绝对值等知识点， （1）根据数轴上的点位置和绝对值，确定原点的位置； （2）原点确定后，即可确定点B所表示的数； （3）分两种情况分别求出点C所表示的数，一种是点C在点B的左侧，另一种是点C在点B的右侧，根据距离即可求出所表示的数； 确定点在数轴上的位置，要先确定符号，再确定绝对值是解题的关键． 【详解】（1）∵点A表示的数是， ∴原点在点A的右侧距离点为5个单位长度，如图， （2）如图，点B在原点的右侧距离原点2个单位，因此点B所表示的数为2， 故答案为：2； （3） 如图， ①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， ∴点C表示的数为或． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和两点之间的距离是 ； (2)数轴上，x和两点之间的距离是 ； (3)若数轴上x与1满足，则 ； (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由． 【答案】(1)8，12 (2) (3)4或 (4)有，最小值为3 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义．理解题意，掌握数轴上两点间的距离的求法是解题关键． （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为直接代入求解即可； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为直接代入求解即可； （3）根据表示：数轴上，表示x和1两点之间的距离是3，即可求解； （4）由当表示x的数位于1和两点之间时，距离的和最小解答即可． 【详解】（1）解：，， 所以数轴上表示2和10两点之间的距离是8，数轴上表示2和两点之间的距离是12； （2）解：数轴上，x和两点之间的距离是； （3）解：表示：数轴上，表示x和1两点之间的距离是3， 所以x为4或； （4）解：表示x和1两点之间的距离与x和两点之间的距离的和， 所以当表示x的数位于1和两点之间时，距离的和最小，即为1和两点之间的距离为． 【典型例题七 用数轴上的点表示有理数】 【例1】（2025·安徽亳州·模拟预测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，数形结合，直观得到选项中各数与原点距离，从而确定答案，掌握数轴上表示有理数的方法是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上表示选项中各数，如图所示： 表示1的点离原点距离最近， 故选：C． 【例2】（2025·安徽·模拟预测）如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数，比较解答即可. 本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数， 故该数可能是. 故选：A. 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）一滴墨水滴在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数有 个． 【答案】21 【分析】本题考查了数轴，根据数轴的性质即可得． 【详解】解：墨迹盖住的整数有， 共21个， 故答案为：21． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）（1）如图，直接写出数轴上点A，B分别表示的有理数，A：______；B：______． （2）用数轴上的点表示下列各数：3，． 【答案】（1），；（2）见详解 【分析】（1）直接读取数轴的信息，即可作答． （2）结合数轴的特征，运用数轴上的点表示3，，即可作答． 本题考查了在数轴上表示有理数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）数轴上点A，B分别表示的有理数，A：；B：； 故答案为：，； （2）依题意，如图所示： 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“2”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围即可求解． 【详解】解∶由图可知：刻度尺上在数轴上表示一个单位长度， ∵数轴上x的值在刻度尺的和之间， ∴数轴上x的值的取值范围是，即， ∴仅有D选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的表示方法是解题的关键．根据数轴上个单位长度表示，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：数轴上个单位长度表示， 故个单位长度表示， 则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）请画出数轴，并将下列有理数标在数轴上，再进行大小比较． ，，，，，，， 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查了利用数轴表示有理数，以及利用数轴进行有理数大小的比较，掌握“在数轴上表示的数，右边的总大于左边的”是解决本题的关键．先把各数表示在数轴上，再利用在数轴上的点比较大小的方法得结论． 【详解】解：把各数标在数轴上，如下图所示： 由图知． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）回答下列问题： (1)过点，两点画一条数轴，使点表示3，点表示． (2)在所画的数轴上将4，表示在数轴上，并将4，，3，这四个数用“”连接起来．______<______<______<______ 【答案】(1)见解析 (2)图见解析； 【分析】本题主要考查数轴及比较有理数的大小； （1）根据所给条件画出数轴即可； （2）先再数轴上表示出4，，根据数轴上的点所表示的数的大小，左边的总比右边的小即可得解． 【详解】（1）从B点往右数两个为0点，再往右数3格是A点， （2） 如图，再到数轴上找到1即可；同时找到4，再从左到右排序 故有： 【典型例题八 相反数的应用】 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，解答即可． 本题考查了相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 【详解】解：互为相反数的两个数的和为0， 故两个有理数的和为0，这两个数一定是互为相反数． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知算式的值为，则“”内应填入的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据相反数相加为判断即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴“”内应填入的运算符号为， 故选：． 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ． 【答案】21 【分析】此题考查了相反数，倒数，代数式求值，熟练掌握互为相反数的两数和为0、乘积等于1的两数互为倒数是解本题的关键． 利用相反数，倒数的定义求出，，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数， ∴，， ∴， 故答案为：21． 【例4】（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）若与互为相反数，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了相反数的性质，绝对值及偶次方的非负性，乘方的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据绝对值及偶次方的非负性求出a、b的值，再进行乘方运算即可． 【详解】解：，，且， 且， ，， ． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，且，然后进行逐一辨别． 【详解】解：由题意可得，且， ，，，， 选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D 【点睛】此题考查了运用数轴表示实数大小的能力，关键是能正确理解相关知识，并能运用数形结合思想进行求解． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查绝对值、相反数的意义； （1）根据表示的意义进行计算即可； （2）分均为小数；与中有一个是小数，一个是整数以及都是整数三种情况解答即可． 【详解】解：（1）根据表示的意义得，， 故答案为：； （2）当均为小数时，如，则，则， 和互为相反数，， 解得， 即的值是两个小于1的小数的和，即； 当与中有一个是小数，一个是整数时，的值是1与一个小于1的小数的和，即； 当都是整数时，， 和互为相反数，，即， 综上所述，代数式的最大值为2． 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求 的值． 【答案】 【分析】此题考查了相反数、倒数的性质，有理数的混合运算；利用相反数，倒数性质求出，，，则，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意可得，1，， ∴． ∴ =1+1+0-1 =1． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a、b，且满足． (1)_____﹔_______﹔ (2)点M、N两点在数轴上对应的数分别是m，n；点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N从B点出发以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，到达原点时则反向运动，若M，N两点同时出发，设运动的时间为秒． ①求3秒后，m的值． ②t为何值时，m与n互为相反数? 【答案】(1)，16 (2)①；②1秒或6秒 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）①用点A表示的数减去点M运动的路程即可；②分点N到达原点前，点N到达原点后两种情况，列出点M和点N表示的数，根据相反数的性质列出方程，解之即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）①3秒后，点M对应的数为， 即； ②点N到达原点前， 点M表示的数为， 点N表示的数为， 则， 解得：； 点N到达原点后， 点M表示的数为， 点N表示的数为， 则， 解得：， 综上：t为1秒或6秒时，m与n互为相反数． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，非负数的性质，一元一次方程的应用，相反数的性质，解题的关键是正确表示出相应的数，分类讨论列出方程． 【典型例题九 数轴上两点之间的距离】 【例1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）数轴上，，，四个数对应的点，离原点最近的是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．根据到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，对每个数作出判断，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴到原点的距离是3个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是1个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是个长度单位， ∵， ∴2到原点的距离是2个长度单位， ∴到原点的距离最近的是． 故选：C． 【例2】（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的5和6之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是2.3． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，一条数轴上有三个不同的点，其中点表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若对折后的点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】或0 【分析】本题主要考查的数轴上两点之间的距离，折叠的性质．根据折叠分类讨论，当点A落在4和12对应的点时，结合数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：∵对折后的点到点的距离为4， ∴对折后的点的对应点为或， 当点A落在数4对应的点时，则点C表示的数为：， 当点A落在数12对应的点时，则点C表示的数为：， 综上所述，点C表示的数是或0， 故答案为：或0． 【例4】（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)，，， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据“伴侣点”的定义即可求解； 对于（2），分三种情况讨论可求M、N的阶伴侣点所表示的数. 【详解】（1）解：， ∴. 则点C是点A，B的3阶伴侣点. 故答案为：3. （2）解：， M、N的阶伴侣点在的左边时，所表示的数为； M、N的阶伴侣点在和4中间时，所表示的数为或；M、N的阶伴侣点在4的右边时，所表示的数为. 综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为，，，. 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数m、n、p、r所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（   ） A．M或N B．M或R C．N或P D．P或R 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴的定义以及绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．先利用数轴的特点确定的关系，从而确定的值，确定原点即可． 【详解】解：， ， ， ， 设数a对应的点为点A，数b对应的点为点B， ①当原点在或点时，， 和题意相互矛盾，故原点不可能在或点； ②当原点在时且时，， 故原点应该在M或R点． 故选B． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为例如：，两点表示的数如图1所示，则| （1），两点表示的数如图2所示． ①，两点的绝对距离等于 ； ②若为数轴上一点（不与点重合），且|则点C表示的数是 ； （2），为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解两点的绝对距离的定义． （1）①根据两点的绝对距离的定义即可求解； ②先根据得到，再根据两点的绝对距离的定义即可求解； （2）根据两点间的距离公式，以及，即可写出点M表示的数． 【详解】解：（1）①，两点的绝对距离为； ②∵，， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为或； 故答案为：①，②或； （2）∵，，点在点左边， ∴点在点，N之间，，， ∴，； ∴点M表示的数为或 故答案为：或 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握两点间的距离公式． （1）根据数轴上两点间的距离公式可求有几个单位长度，在图2中，，则数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，由图2 知 ，，可求出，在数轴上的距离为个单位长度，最后根据两点间的距离公式求出； （2）根据，，可得，结合点所表示的数为，利用两点间的距离公式，即可求解． 【详解】（1）解：点，分别表示，， 在图1上，个单位长度， 在图2中，， 数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 由图2 知 ，， ，在数轴上的距离为个单位长度， 点所对应的数， 故答案为：，；； （2），， ， 点所表示的数为， 设点表示的数为， 则， 解得：或， 点表示的数为或． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作 (1)已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现 (2)观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用 (3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离； 求满足等式的的值； 表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)  或  整数有，，，，，， 【分析】本题考查了化简求绝对值、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）结合题意，列式并化简绝对值即可； （2）结合（1）中的表格，即可获得答案； （3）结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案；． 【详解】（1）解：见下表： 4 ，两点之间的距离 （2）解：观察上表：猜想、两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （3）解：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， 故答案为：； 等式表示数轴上有理数到的距离是， 即或， 解得：或； 根据题意，表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和为， 满足条件的有理数的取值范围为， 所有符合条件的整数值有，，，，，，． 【典型例题十 数轴上的规律探究】 【例1】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键．由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1， 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点：沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，则表示的数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律问题，首先根据题意得到点，，，，，分别表示的数，然后找到规律求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， … ∴，， ∴表示的数为． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推．    (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为， ①点表示的数为_____， ②若边长为4的正方形的边在数轴上，点与点重合，此时点，点在数轴上所表示的数相同，将长方形和正方形都沿数轴无滑动向右翻滚，当点，点在数轴上所表示的数再次相同时，求此时点表示的数？当点第14次落回到数轴上时，点，点在数轴上所表示的数最多有几次相同？    【答案】(1) (2)①；②当点A第14次落在数轴上时，点E，点A在数轴上所表示的数最多有3次相同 【分析】（1）根据题意，由图可知，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，从而得到答案； （2）①由（1）可知，若点表示的数为，每一次点第一次落回到数轴上，就相当于向右移动个单位长度，设点第次落回数轴，根据规律即可得到点所表示的数；②根据题意得到点所表示的数为，点在所表示的数为，当点与点表示的数相同时，得到，分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为， 故答案为：； （2）解：①由（1）可知，若点表示的数为，每一次点第一次落回到数轴上，就相当于向右移动个单位长度， 设点第次落回数轴，则点所表示的数为， 故答案为：； ②当点第次落回数轴，则在所表示的数为， 当点与点表示的数相同时，则，即； 当，点与点在数轴上所表示的数相同； 当时，点与点在数轴上所表示的数相同； 当时点与点在数轴上所表示的数相同； 当时点与点在数轴上所表示的数相同； …… ， 当点A第14次落在数轴上时，点与点在数轴上所表示的数最多有3次相同． 【点睛】本题考查数轴上点表示数的规律、数轴表示数、分类讨论等知识，读懂题意，数形结合找出规律求解是解决问题的关键． 1．（2025·安徽宣城·模拟预测）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在数轴上，点O表示原点，现将点从O点开始沿数轴如下移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，当时，这时点与原点的距离是 个单位． 【答案】 【分析】本题是一道与数轴有关的规律型试题．观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动，然后再观察每两次平移，点A实际移动的距离，然后计算，即可解答． 【详解】解：观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动； 第一次向左平移一个单位，第二次向右平移两个单位，实际向右平移个单位； 第三次向左平移三个单位，第四次向右平移四个单位，实际向右平移个单位； 即每2次向右平移1个单位； 则第1002次A点距原点距离为：． 即当时，点与原点的距离是个单位． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）已知，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点B在数轴上以不变的速度向左运动，运动规律如下表： 运动时间（s） 0 1 4 9 …… 点A表示的数 2 ____ ____ …… 点B表示的数 ____ ___ …… (1)补全表格中的数据； (2)当运动时间为时，求之间的距离． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查了数轴，运用数形结合和方程思想是解题的关键． （1）根据路程，速度和时间的关系求解即可； （2）根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】（1）由表格可知，点初始时在数字处， 点A的移动速度为， 秒时的数字为， 秒时的数字为， 点B的移动速度为， 点向左移动，秒时数字为， 秒时数字为， 秒时的数字为， （2）点A的移动速度为，点B的移动速度为， 当运动时间为时，点A表示的数为，点B表示的数为， 所以之间的距离为． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为米 (4)， 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）根据（2）可知当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，然后即可求解； （4）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值； 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ∴，， ∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，， ∴，， ∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是，的最小值是． 故答案为：9；． 1．（2025·安徽·模拟预测）（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 根据负数的绝对值是它的相反数即得答案． 【详解】解：． 故选：C． 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据可知在和之间，且离比较近． 【详解】解：， 在和之间，且离比较近， 有理数在数轴上对应的点的位置应是A选项中的位置． 故选：A． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，绝对值的意义等知识．求出各数的绝对值，绝对值最小的即为最接近标准的，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴从轻重的角度来看，数据更接近标准的是为． 故选A． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法： ①存在“调整和差操作”运算结果的和为； ②不存在“调整和差操作”运算结果的差为； ③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，化简绝对值，列举出所有可能结果，逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，所有的“调整和差操作”共有12种形式，运算A时，需考虑6种情况；运算B时，需考虑12种情况．得出： （1）当，时，； （2）当，时，； （3）当，时，； （4）当，时，； （5）当，时，； （6）当，时，； （7）当，时，； （8）当，时，； （9）当，时，； （10）当，时，； （11）当，时，； （12）当，时，； 综上，得8种不同运算结果，因此题目的说法③不正确； 不存在“调整和差操作”运算结果的和为，因此题目的说法①不正确； 不存在“调整和差操作”运算结果的差为，因此题目的说法②正确； 故选：B． 5．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律，一元一次方程的应用，根据题意分别求出表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，找出规律逐一判断即可，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题的关键． 【详解】解：甲：设点表示， 则表示的数为，表示的数为， 、互为相反数， ∴，解得：， ∴点表示，故甲说法正确； 乙：∵点表示； ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∵点到原点的距离为， ∴或，故乙说法错误； 丙：设点表示， ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∴，故丙说法正确； 综上可知：甲、丙对，乙不对， 故选：． 6．（24-25七年级上·安徽六安·期中）化简：= ，= ． 【答案】 8 / 【分析】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．同时还考查了绝对值的意义，理解相关概念是解题关键． 【详解】解：，， 故答案为：8；． 7．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）在直线上表示、、、时，离0最近的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据绝对值的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴在直线上表示、、、时，离0最近的数是． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若m、n为相反数，且满足，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】由、为相反数得出，再根据即可求出的值．本题考查了相反数，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 【详解】解：、为相反数， 则， ， ∴ 解得， 故答案为：3． 9．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）规定：，，例如：，．有下列结论： ①； ②若，则； ③不存在能使成立的x的值； ④式子的最小值是2． 其中正确的是 （填番号） 【答案】①② 【分析】本题考查了新定义，绝对值，代数式的值，弄清题中的新规定是解题的关键． 根据题中的规定判断出各选项的正确与否即可． 【详解】解：① ， 故①正确； ②若， 则， 解得，， ，故②正确； ③若， 则， 即或， 解得， 即能使成立的的值存在，故③不正确； ④式子的最小值是，故④不正确； 正确的有①②， 故答案为：①②． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）长方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和，．若长方形绕着点顺时针方向在数轴上翻转，翻转第次后，点所对应的数为；绕点翻转第次后点A对应的数为；以此类推继续翻转，则翻转次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是 ．    【答案】3035 【分析】本题考查了数轴表示数的意义，规律探究问题．根据翻转4次为一个周期循环，依据翻转总次数，得出翻转几个周期循环，推算出移动的距离得出结果． 【详解】解：如图，翻转4次，为一个周期，右边的点移动6个单位，    ∵， ∴右边的点移动， ∴， 故答案为：3035． 11．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）（1）化简下列各数： ①； ②； （2）若a是的相反数，求a的值． 【答案】（1）①3.1415；②75；（2）5 【分析】本题主要考查化简多重符号及相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键； （1）根据“同号得正，异号得负”可进行求解； （2）根据“同号得正，异号得负”及相反数的意义可进行求解． 【详解】解：（1）①； ②； （2）∵，且a是的相反数， ∴． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）小琼和小凤都十分喜欢唱歌，她们两个一起参加社区的文艺汇演，在汇演前，主持人让她们自己确定一个出场顺序，可她们俩争着先出场，最后，主持人想了一个主意，如图所示． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查绝对值、相反数、乘方、倒数、有理数的大小比较，熟练掌握绝对值、相反数、乘方、倒数、有理数的大小关系是解决本题的关键．根据绝对值、相反数、乘方、倒数、有理数的大小关系解决此题． 【详解】，，的倒数是，，0的相反数是0，比大的数是． 将化简后的数在数轴上表示如下： 所以． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【答案】(1)B， (2)B， (3)1 (4)见解析 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移： （1）根据向左移动减求出点B表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向右移动加求出点A表示的数，然后作出判断即可； （3）根据向左移动减求出点C表示的数，用点B所表示的数减去点C所表示的数即可； （4）根据A、B、C有一点不移动，分三种情况讨论． 【详解】（1）解：三点表示的数分别是，，， 将点B向左移动4个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （2）解：将点A向右移动3个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （3）解：将点C向左移动6个单位长度后表示的数为：， ， 因此点B表示的数比点C表示的数大1； 故答案为：1； （4）解：有三种不同的移动方法： ①将点A向右移动2个单位长度，将点C向左移动5个单位长度； ②将点A向右移动7个单位长度，将点B向右移动5个单位长度； ③将点B向左移动2个单位长度，将点C向左移动7个单位长度． 14．（24-25七年级上·合肥·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 15．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则两点之间的距离． (1)问题情境：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为__________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为__________． (2)情境应用：如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则__________； ②的最小值为__________； (3)综合运用：在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为2． 【答案】(1)①；②； (2)①6或10；②20 (3)或6 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，根据题意找到等量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）①根据点A表示的数和求解即可； ②根据题意得到点C在点A和点B中间，然后列式求解即可； （2）①根据题意得到表示的是有理数x到有理数8的距离为2，然后分x在8左边和x在8右边两种情况，然后分别列式求解即可； ②根据题意得到表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离，然后得出当有理数x在和8之间时，的值最小进而列式求解即可； （3）设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：①∵数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且 ∴数轴上点B表示的数为； ②∵数轴上有一点C到点A、点B的距离相等， ∴点C在点A和点B中间 ∵点A表示的数为8，点B表示的数为 ∴C表示的数为； （2）解：①表示的是有理数x到8的距离为2 ∴当x在8左边时，； 当x在8右边时，； ②表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离， ∴当有理数x在和8之间时，的值最小 ∴此的最小值为； （3）解：设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为 ∴ 整理得， ∴或 ∴或 ∴经过或6秒后P、Q两点之间的距离为2． 学科网（北京）股份有限公司 $$