第01讲 正数和负数（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第01讲 正数和负数（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正负数的定义 典型例题二 相反意义的量 典型例题三 有理数的分类 典型例题四 有理数的定义 典型例题五 0的意义 典型例题六 带“非”字的有理数 典型例题七 正负数的实际应用 知识点01 正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了负数的定义，小于0的数为负数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，，都是负数， ∴负数有个， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）某饮食集团4月份营业情况如表所示，盈利记为正，亏损记为负（单位：万元） 营业情况（单位：万元） 2 8 10 天数 4 3 7 10 1 5 该饮食集团4月份盈亏情况为 万元．（用正、负数做答） 【答案】1 【分析】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算，解题的关键是正确列出算式并掌握相关运算法则．将表格中记录的数据进行计算即可得出是否盈利． 【详解】解：（万元）． 故答案为：1． 知识点02 具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作， 故选：． 【即时训练】 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如果温度上升，记作，那么温度下降记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键；根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，即可求解． 【详解】解：如果上升，记作，那么温度下降记作， 故答案为： ． 知识点03 有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）下列一组数：，2.7，，，0，2，分数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查分数的识别，小数也属于分数． 【详解】解：在，2.7，，，0，2中，2.7，，是分数，共3个， 故选：C． 【即时训练】 2．（2025七年级上·全国·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有（每两个1之间的0个数逐次增加，有5个，则； 非负整数有0，21，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则． 故答案为：0． 【典型例题一 正负数的定义】 【例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代著名数学家刘徽在注释《九章算术》时给出了负数的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”．下列各数是负数的是（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查负数的定义，掌握负数的定义是解题的关键． 根据负数小于0求解即可． 【详解】解：根据负数的定义：是负数． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期中）下列四个数中，属于负数的是（   ） A．1.2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查负数的概念，解题的关键是明确负数的定义，即小于0的数是负数． 明确正数，负数和0的性质，逐一分析选项中的数与0的大小关系． 【详解】A、1.2是正数，A项错误； B、1是正数，B项错误； C、小于0，根据负数的定义：小于0的数是负数，所以是负数，C项正确； D、0既不是正数也不是负数，D项错误． 故选：C． 【例3】（2025七年级上·安徽淮北·专题练习）在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔为，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔，负数表示低于海平面的某地的海拔． （1）珠穆朗玛峰的海拔为，它表示的含义是 ； （2）吐鲁番盆地的海拔为，它表示的含义是 ． 【答案】 珠穆朗玛峰高出海平面 吐鲁番盆地低于海平面 【分析】本题主要考查正数和负数的定义，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键． （1）根据正数和负数的概念得出结论即可； （2）根据正数和负数的概念得出结论即可． 【详解】解：（1）珠穆朗玛峰的海拔为，它表示的含义是珠穆朗玛峰高出海平面， 故答案为：珠穆朗玛峰高出海平面； （2）吐鲁番盆地的海拔为，它表示的含义是吐鲁番盆地低于海平面， 故答案为：吐鲁番盆地低于海平面． 【例4】（2025七年级上·安徽马鞍山·专题练习）读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． ． 【答案】读法见解析，正数有：5，，；负数有：，，， 【分析】根据正负数的概念判定即可． 【详解】解：5读着正五或五，读着负七分之五，读着负三点五，读着正1又三分之一或1又三分之一，读着负零点零一，读着正二点五或二点五，读着负七佰； 正数有：5，，； 负数有：，，，． 【点睛】本题考查正负数及其读法，熟记正负数的概念是解题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）小明从学校往北走，小红从学校往南走，如果把“从学校往北走”记作“”，那么“从学校往南走”记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正数和负数的实际意义，熟练掌握正数和负数的实际意义是解题的关键．根据正数和负数的实际意义即可得到答案． 【详解】解：依题意可得：“从学校往南走”记作， 故选D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如果电梯上升米，记作+5米，那么-3米表示 ． 【答案】电梯下降3米 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对， ∵电梯上升5米，记作+5米， ∴-3表示电梯下降3米． 故答案为：电梯下降3米． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）在中，哪些是正数，哪些是负数？ 【答案】正数有：；负数有：． 【分析】本题是对正数和负数的区分，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键．正数前边有“”或省略“”的形式，比要大，根据定义可以找到符合条件的正数； 负数是比零小的数，有负号“”，据此可找到负数，注意既不是正数，也不是负数． 【详解】解：根据正数的定义可得正数有：； 根据负数的定义可得负数有：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【答案】(1)101， (2)正数有个，负数有个 (3)在这一列数中，是第个数．不在这一列数中，因为这一列数中的奇数均为正数 【分析】本题考查了数的排列规律，能发现符号是正负相间且绝对值依次增加是解题的关键． （1）根据这一列数的绝对值依次增加1，且正负相间，可解决问题； （2）由这列数为正负相间排排列，可解决问题； （3）根据题中负数都是奇数，整数都是偶数便可解决问题． 【详解】（1）解：观察数列可知， 这一列数为正负相间，从左往右绝对值依次增加，且第一个数为， 所以第101个数是101，第2024个数是． （2）解：根据数的排列特征可知， 前奇数数个数中，正数比负数多一个． 所以前个数中，正数有个，负数有个． （3）解：因为在这列数中奇数是正数，偶数是负数； ∴在这列数中，是第个数．不在这列数中． 【典型例题二 相反意义的量】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果表示向右走，那么（   ）表示向左走． A．30 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解题的关键；因此此题可根据正负数的意义进行求解． 【详解】解：如果表示向右走，那么表示向左走； 故选D． 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下面两个量中，不具有相反意义的是（   ） A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水 C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降 【答案】C 【分析】此题考查了相反意义的量．根据相反意义的量的定义进行判断即可． 【详解】解：A、盈利和亏损元，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； B、浪费水和节约水，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； C、进三个球和输三场比赛，不是互为相反意义的量，故选项符合题意； D、上升和下降，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·安徽六安·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．例如收入20元记作元，则支出10元记作 元． 【答案】 【分析】本题主要考查正数和负数的意义，理解负数和正数是具有相反意义的量，是解题的关键． 由于收入与支出是互为相反意义的量，由已知即可求解． 【详解】∵收入20元记作元，则支出10元记作元． 故答案为：． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为 ． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为 ． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作 ． 【答案】，， 【分析】本题考查的是正负数，具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负．根据此逐项求解即可． 【详解】解：具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负， ∵运进面粉7吨，记为， ∴运出面粉应记为， 故答案为：； ∵表示得10分， ∴扣20分表示为， 故答案为：； ∵表示向右移动2，记作， ∴表示向左移动3，记作， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）规定一个物体向上移动 1 m，记作 +1 m，则这个物体向下移动了 5 m，可记作（    ） A．m B．m C．m D．m 【答案】A 【分析】根据正负数是表示两种具有相反意义的量，则规定一个物体向上移动1m，记作+1m，则这个物体向下移动了5m，可记作-5m． 【详解】解：规定一个物体向上移动1m，记作+1m，则这个物体向下移动了5m，可记作-5m． 故选：A． 【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它跳第99次落下时，落点处离O点的距离是 个单位长度． 【答案】50 【分析】本题考查有理数加法的应用，根据题意，可以写出前几次落点可以用哪些数字表示，从而可以发现数字的变化特点，从而可以得到当它跳第99次落下时，落点处离点O的距离是多少个单位长度，是解决问题的关键． 【详解】解：设向右为正，向左为负，由题意得， ， 故当它跳第99次落下时，落点处在点O的距离是50个单位长度， 故答案为：50． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 【答案】(1)结果一致； (2)能，． 【分析】本题考查了数轴，正数负数的意义． 根据正负数的意义可得向左移动表示负数、向右移动表示正数，两数相加即可得到点所到达的位置表示的数； 根据相加的两个数都是负数，可以设置情境为数轴上的点两次都向左移动． 【详解】（1）解：， 结果一致； （2）能， 对于可以解释为数轴上的一个点，从原点出发，沿着数轴先向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，到达原点左边5个单位长度处（答案不唯一，言之成理即可） 算式为． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）某空军举行特技飞行表演，其中一架飞机起飞0.5千米后的高度变化如下表： 高度变化 记作 上升2.5千米 下降1千米 ___________ 上升2千米 ___________ 下降2.5千米 ___________ (1)完成表格； (2)飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是多少千米？ (3)如果飞机每上升1千米需消耗5升燃油，平均每下降1千米需消耗3升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ 【答案】(1)见解析 (2)千米 (3)33升 【分析】（1）根据具有相反意义的量即可得； （2）将与表格中记作的四个数字相加即可得； （3）根据上升和下降消耗燃油的情况列出运算式子，再根据有理数的乘法与加法法则进行计算即可得． 【详解】（1）解：因为上升和下降是一对具有相反意义的量，且上升2.5千米记作， 所以完成表格如下： 高度变化 记作 上升2.5千米 下降1千米 上升2千米 下降2.5千米 （2）解： （千米）， 答：飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是千米． （3）解： （升）， 答：这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了33升燃油． 【点睛】本题主要考查了正负数在生活中的实际应用、有理数乘法与加减法的应用，正确列出运算式子是解题关键． 【典型例题三 有理数的分类】 【例1】（24-25七年级上·安徽·期中）在有理数0，，，中，负分数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，负分数的定义，负分数是小于0的分数，是有理数． 根据小于零的分数是负分数，可得答案． 【详解】解：有理数，不是负数， ，是负整数， 是负分数， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期末）下列说法正确的是（   ） A．有理数不是正数就是负数 B．0既不属于整数也不属于分数 C．若，则a是一个非负数 D．有理数的绝对值都是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，负数的定义，绝对值的意义，掌握以上知识是解题的关键．根据有理数的分类，负数的定义，绝对值的意义逐项分析即可． 【详解】解：A．一个有理数不是正数就是负数或0，故该选项不正确，不符合题意； B．0属于整数，故该选项不正确，不符合题意； C．若，则a是一个非负数，故该选项正确，符合题意； D．一个数的绝对值一定是正数或0，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中有理数有个，自然数有个，分数有个，负数有个，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数，自然数，分数，负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据有理数，自然数，分数，负数的定义判断解答即可． 【详解】解：由 有理数有个，自然数有2个，分数有2个，负数有3个， 故， 故． 故答案为：6． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）画示意图表示下列概念之间的关系： 有理数、正有理数、负有理数、零． 【答案】见解析 【分析】本题是对有理数的分类的考查．根据有理数分为正有理数、负有理数、零画图即可． 【详解】解：如图所示． 1．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）学完《有理数》之后，甲同学对乙同学说：“为最小的正整数，b是最大的负整数，c是倒数等于自身的有理数，你知道等于多少？”乙同学脱口答出正确答案是（   ） A．0 B． C．1或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数，绝对值，倒数的定义等知识．根据最小的正整数是1，最大的负整数是，倒数等于自身的有理数，求出即可． 【详解】解：为最小的正整数， ； 是最大的负整数， ； ∵是倒数等于自身的有理数， ∴． ∴当时，； 当时，． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）比大且不大于2的所有整数有 ． 【答案】 【分析】根据有理数的大小比较法则即可得． 【详解】解：比大且不大于2的所有整数有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的分类、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题关键． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）把下列各数填在相应的括号内． （相邻两个3之间一次加一个0） 正有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}． 负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　…}． 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　…}． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数分类，掌握有理数的分类是解题的关键，整数和分数统称有理数，分数包括有限小数和无限循环小数，大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数又不是负数． 【详解】解：正有理数集合{，，，，…} 负数集合{，，，…} 整数集合{0，，，…} 4．（2025七年级上·全国·专题练习）生活情境·同学聚会 有一次同学聚会上，小王的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列一组数中的正整数的个数相等，小马的座位号与下列一组数中的非负数的个数相等．，，，，，，，，，，，． (1)试问小王、小李坐的各是几号位置？ (2)若这次同学聚会的人数是小王的座位号的倍与小马的座位号的倍的和，请问这次聚会到了多少名同学？ 【答案】(1)小王坐的是号位置，小李坐的是号位置 (2)这次聚会到了名同学 【分析】本题考查了有理数的分类及有理数的乘法运算，解决本题的关键是根据正数、负数、非负数的定义确定它们的个数． 根据负数的定义和正整数的定义，即可得到小王、小李坐的位置号； 根据非负数的定义，得出非负数的个数即小马的座位号，再根据这次同学聚会的人数是小王的座位号的倍与小马的座位号倍的和，列式计算即可． 【详解】（1）解：这一组数中负数有个，正整数有个， 小王坐的是号位置，小李坐的是号位置； （2）解：这一组数中非负数有个， 小马坐的是号位置， (名)， 这次聚会到了名同学． 【典型例题四 有理数的定义】 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）在，0，，，，中有理数的个数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义判断解答即可． 【详解】解：根据题意，有理数是0，，，，，共5个． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；位是出生日期；位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小明的爷爷、爸爸、妈妈以及小明四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小明的妈妈的身份证号码应该是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，理解身份证号码位数的含义是解题关键．根据身份证号码的组成，第17位奇数表示男性，偶数表示女性，据此解答即可得． 【详解】解：因为小明的妈妈是一位女性， 所以小明的妈妈的身份证号码的第17位数字是偶数， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）在数，，，中，有理数的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的定义，熟知有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，据此判定即可． 【详解】解：有理数有：，，，因此有3个， 故答案为：3． 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）（1）请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里： ，，，25，，6.3%，10，． （2）这四种数的集合合并在一起______（选填“是”或“不是”）全体有理数集合． 【答案】（1）见解析；（2）不是 【分析】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键． （1）利用正整数，正分数，负分数，以及负整数的定义判断即可； （2）有理数分为正有理数、零和负有理数，据此解答即可． 【详解】解：（1）如图所示， （2）∵有理数分为正有理数、零和负有理数， ∴这四种数的集合合并在一起不是全体有理数集合． 故答案为：不是． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有理数的意义逐项判断即可．掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．注意π是无理数． 【详解】解：实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中有理数为：、、，共3个. 故选C. 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中，①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正的，就是负的；③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的；⑤绝对值等于本身的数是正数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①． 【分析】根据有理数和两种分类方法判断①与②，根据正整数的分类和分数的分类方法判断③④，根据绝对值的性质判断⑤． 【详解】①因为有理数整数和分数两类，所以一个有理数不是整数就是分数，此说法正确； ②有理数有正有理数，负有理数和0，所以一个有理数不是正的，可能是负的，也有可能为0，此说法错误； ③整数有正整数，0和负整数，所以一个整数不是正的，可能是0，也可能是负的，此说法错误； ④当分子的值为0时，分数不是正的，也不是负的，此说法错误； ⑤绝对值等于本身的数有正数和0，此题说法错误． 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，绝对值的性质，关键是正确理解有理数的分类和绝对值的性质． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）把下列各数填在相应的大括号内： 27，，，0， 正数集合： 负数集合： 整数集合： 非负数集合： 【答案】，，； ，，；，，；，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握负数，正数，非负数，以及整数的定义是解题的关键； 根据负数，正数，非正数，以及整数的定义分类即可． 【详解】解：正数集合：{，，… }； 负数集合：{ ，，… }； 整数集合：{，，… }； 非负数集合：{，，，… }． 故答案为：，，； ，，；，，；，，， 4．（2025七年级上·全国·专题练习）黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”．请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数． 【答案】1 【详解】本题考查有理数的定义，分类，正确区分整数，分数以及熟记正分数和负分数的定义是解题的关键．根据正数、负数，以及正整数和负整数的定义可以解答本题． 【解答】解：因为10个有理数中有6个整数， 所以分数个， 因为正分数的个数与负分数的个数相等， 所以有2个负分数，2个正分数，因为负数的个数不超过3个，所以负数共 3个，还有一个是0， ∴负整数共1个． 【典型例题五 0的意义】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在－（－2021），－|－2021|，0，，－20212，－2021各数中，负数的个数是（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据负数的相反数为正、绝对值的意义、幂的运算等相关原则，进行计算分析即可． 【详解】解：，为正数； ，为负数； 0，既不是正数，也不是负数； ，负数的奇数次幂为负数； ，为负数； ，为负数 所以负数个数为4个． 故选：C 【点睛】本题考查负数的判断，根据相反数的概念、绝对值的性质、负数的奇数次幂等相关知识点正确判断是解题关键． 【例3】（24-25七年级上·安徽宣城·期末）下列对“0”的说法中，正确的是 （填序号） （1）0既不是正数，也不是负数；（2）0是最小的整数；（3）0是有理数；（4）0是非负数 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据有理数的分类，有理数的概念，即可得到答案． 【详解】∵0既不是正数，也不是负数， ∴（1）正确； ∵没有最小的整数； ∴（2）错误； ∵0是整数，也是有理数， ∴（3）正确； ∵0是非负数， ∴（4）正确． 故答案是：（1）（3）（4）． 【点睛】本题主要考查有理数的分类以及有理数的概念，理解有理数的概念是解题的关键． 【例4】（24-25七年级·全国·假期作业）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 【答案】见解析 【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决． 【详解】解：①零既不是正数也不是负数； ②零小于正数，大于负数； ③零不能做分母； ④零是最小的非负数； ⑤零的相反数是零; ⑥任何不为零的数的零次幂为1； ⑦零乘以任何数都是零等． 【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在下列说法中：如果，则有；既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义，的意义，解题的关键是熟练掌握有关概念和性质． 根据绝对值的定义，的意义逐一判断即可． 【详解】解：如果，则有，故原说法错误； 既不是正数，也不是负数，故原说法正确； 一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或，故原说法错误； 有温度，温度为度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上），故原说法错误； 综上可得：正确，共个， 故选：． 2．（2025·安徽滁州·模拟预测）在﹣1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是 ． 【答案】0 【分析】根据题意，既不是正数，也不是负数的数只有0． 【详解】解：一个数既不是正数，也不是负数，这个数是0． 故答案为0． 【点睛】本题考查了正数和负数，解决本题需注意既不是正数也不是负数的数只有0． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？ 【答案】不对，因为0既不是正数也不是负数． 【分析】举反例进行说明即可． 【详解】不对．因为0既不是正数也不是负数． 【点睛】本题主要考查了0的意义，掌握“0既不是正数也不是负数”是解题的关键． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ (1)元 (2)元 (3)元 (4)元 【答案】(1)收入元 (2)收入元 (3)支出元 (4)没有收入也没有支出 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果把收入为正，则支出就是负． 【详解】（1）解：元是正数，所以表示收入元； （2）解：元是正数，所以表示收入元； （3）解：元是负数，所以表示支出元； （4）解：元既不是正数也不是负数，所以表示没有收入也没有支出． 【点睛】本题考查正负数的实际意义，理解“正”和“负”的相对性，把握题中具有相反意义的量是解决问题的关键． 【典型例题六 带“非”字的有理数】 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）绝对值不大于3的非负整数有（    ） A．1、2、3 B．1、2 C．0、1、2 D．0、1、2、3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值，理解题意正确解答是解题的关键． 根据题意找出符合条件的非负整数即可． 【详解】解：绝对值不大于3的非负整数有0，1，2，3， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，，四个数中非负数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类．先把各数化简，然后根据非负数的意义求解，注意非负数包括0和正数． 【详解】解：∵是正数，是正数，，既不是正数，也不是负数，是负数， ∴非负数共有3个． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）将下列各数分别填入相应的集合中： ． 正数：{ }；负数：{ }﹔非负数：{ }． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的定义，比0大的数为正数；比0小的数为负数；非负数为0和正数，据此逐个分析作答即可． 【详解】解：正数：； 负数：； 非负数：； 故答案为：；；； 【例4】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）把下列各数序号填在相应的集合中： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ (1)负数集合：__________________________________________ (2)分数集合：__________________________________________ (3)非正整数集合：_________________________________________ (4)有理数集合：__________________________________________ 【答案】(1)②③⑤⑦⑧ (2)④⑤⑨ (3)①②③⑦ (4)①②③④⑤⑥⑦⑨ 【分析】本题考查有理数的分类，涉及绝对值运算、乘方运算、相反数定义等知识，先将各数化简，再根据负数定义、分数定义、非正数定义及有理数定义逐个判定即可得到答案，熟记有理数分类是解决问题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，， 负数集合：②③⑤⑦⑧； （2）解：，，，，，， 分数集合：④⑤⑨； （3）解：，，，，，， 非正整数集合：①②③⑦； （4）解：，，，，，， 有理数集合：①②③④⑤⑥⑦⑨． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：是负整数，错误； 非正数包括和负数，正确； 非负数就是正数和，错误； 正整数、正分数和都属于非负有理数，正确； 其中正确的个数是个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）有理数2，+7.5，-0.03，-0.4，0，.中，非负分数有 ． 【答案】+7.5， 【分析】根据非负数的定义，即非负数为大于或等于0的数，再判定是否为分数即可． 【详解】∵2>0，+7.5>0，−0.03<0，−0.4<0，0=0， ∴非负数为：2，+7.5，0, ∵0和2为整数 ∴非负分数为：+7.5， 故答案为+7.5，． 【点睛】本题考查了非负数的定义，解题的关键是熟练的掌握非负数的定义． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）将下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，20%，，，2024． 自然数：{        }； 分数：{        }； 有理数：{        }； 非负数：{        }． 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，自然数定义，根据各定义依次判断解答即可． 【详解】解：自然数：{ 0， 2024 }； 分数：{ ，， }； 有理数：{ ，，0，，，20%，，2024．}； 非负数：{ ，0，，，20%，，2024． }． 4．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）若有理数a、b、c满足|a﹣1|+|b+4|+（4c﹣1）2＝0，求（abc）250÷（a6×b4×c3）的值． 【答案】 【分析】根据已知等式利用非负数性质求出a，b，c的值，代入原式即可得到答案． 【详解】解：∵|a﹣1|+|b+4|+（4c﹣1）2＝0， ∴a﹣1＝0，b+4＝0，4c﹣1＝0， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝， 则（abc）250÷（a6×b4×c3） ＝[1×（﹣4）×]250÷[16×（﹣4）4×（）3] ＝（﹣1）250÷4 ＝． 即（abc）250÷（a6×b4×c3）的值是． 【点睛】本题考查非负数的应用，熟练掌握有关非负数的性质是解题关键． 【典型例题七 正负数的实际应用】 【例1】（2025·安徽滁州·模拟预测）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小颖得了81分，记作（   ） A．81分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数以及有理数减法的应用，据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：（分）， 即小英的成绩记作分， 故选：C． 【例2】（2025·安徽安庆·模拟预测）下面是4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正、负数和绝对值，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近，从而可得答案． 【详解】解：，，且． 离标准最近． 故选：B． 【例3】（2025·安徽阜阳·模拟预测）小李做水温下降实验，他把一杯水的温度由下降到记作；过一会儿，他测到这杯水的温度是，此时这杯水的温度应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，相反意义的量，根据题意得出，即可得出答案． 【详解】解：， 一杯水的温度由下降到，记作， 故答案为： 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）截至2023年5月，我国已建成11批共145个国家节水型城市，地级及以上缺水城市全部建成了节水型城市，这些城市以创建国家节水型城市为契机，全面加强城市节水工作，形成了一批可复制、可推广的城市节水经验模式．凯凯学习节约用水知识后极度关注自己家里的用水情况，他记录了2024年上半年的用水情况如下：一月份15吨；二月份20吨；三月份18吨；四月份14吨；五月份16吨；六月份19吨． (1)算出他们家上半年的月平均用水吨数． (2)如果把每月平均用水的吨数作为标准，超过平均用水的吨数用正数表示，不足平均用水的吨数用负数表示，请把表格填写完整． 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 平均用水 0 【答案】(1)17吨 (2)见解析 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加法与除法的实际应用，理解题意，列出准确的运算式是解本题的关键． （1）求出1月至6月的用水总量，然后除以6即可； （2）用每月的实际用水量减去平均用水量求解即可． 【详解】（1）解：（吨） （吨） 答：他们家上半年月平均用水量是17吨． （2）解：，，，，，， 填表如下： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 平均用水 3 1 0 1．（2025七年级上·全国·专题练习）实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90m表示观测点A比观测点C高90m），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是（   ） 90m 80m 50m 40m A．210m B．130m C．390m D． 【答案】A 【详解】 ． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 【答案】①④②③ 【分析】此题考查了正数与负数，根据伦敦、悉尼、纽约，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：依题意，得： 标记①②③④的时钟均为12小时制时钟． 标记①时钟表示8:00；②时钟表示3:00；③时钟表示4:00；④时钟表示6:00． （1）若①时钟8:00表示悉尼时间，则北京时间为6:00（能找到④时钟）；进而可知：纽约时间为4:00，伦敦时间为10:00，找不到对应的时钟． ∴标记①的时钟不能表示悉尼时间． （2）若②时钟3:00表示悉尼时间，则北京时间为1:00，①、③、④时钟均找不到． ∴标记②的时钟不能表示悉尼时间． （3）若③时钟4:00表示悉尼时间，则北京时间为2:00，①、②、④时钟均找不到． ∴标记③的时钟不能表示悉尼时间． （4）若④时钟6:00表示悉尼时间，则北京时间为4:00，找到③时钟；纽约时间为3:00，找到②时钟；伦敦时间为8:00，找到①时钟． ∴表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别为①、④、②、③． 故答案为：①④②③． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小李在某超市做兼职，销售某种商品，规定每天销量超过400单(卖出一件称为一单)的部分记为“＋”，低于400单的部分记为“－”，他一周的销售情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/单 15 18 24 11 (1)小李这一周平均每天销售多少单？ (2)该超市兼职人员的工资采用“日结制”，每天的工资由底薪300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过400单，则每少一单罚款2元；超过400单，则超过的部分每单提成1元，求小李这一周的总收入． 【答案】(1)小李这一周平均每天销售405单 (2)小李这一周的总收入为2102元 【分析】（1）由400单加上超过或不足部分数据的平均数即可得到答案； （2）每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴，分别计算每天的工资，再求解代数和即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算是解本题的关键． 【详解】（1）解： (单). 答：小李这一周平均每天销售405单． （2）解：(元) ． 答：小李这一周的总收入为2 102元． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）小明的妈妈在某玩具厂工作，为了加紧生产杭州亚运会吉祥物宸宸、琮琮、莲莲，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具210个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 0 (1)根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具多少个？ (2)根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具多少个？ (3)该厂实行“实行每周计件工资制”．每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)26个 (2)218个 (3)1114元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算的应用等知识，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． （1）利用表格中的星期三的增减产量加上30即可得； （2）将表格中一周的增加产量相加，再加上210即可得； （3）根据工资制度列出运算式子，再计算乘法与加减法即可得． 【详解】（1）解：（个）， 答：小明妈妈星期三生产玩具26个． （2）解： （个）， 答：小明妈妈本周实际生产玩具218个． （3）解： （元）， 答：小明妈妈这一周的工资总额是1114元． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如果向东走10米记作米，那么向西走5米记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵向东走10米记作米， ∴向西走5米记作米， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作(   ) A． B．14 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：零上记作，则零下可记作， 故选：C． 3．（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数的定义，理解整数的定义是解题的关键． 分别用列举法确定为整数的的值，然后取公共部分即可解答． 【详解】解：∵为整数时， ∴可取； ∵为整数时， ∴可取， ∴当为整数时，可取值为共两个． 故选C． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示法，图①所表示的式子为，则图②所表示的式子为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，根据图①所表示的式子为，则图②所表示的式子为，即可作答． 【详解】解：依题意，图①所表示的式子为， 则图②所表示的式子为， 故选：C 5．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 6．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键； 有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，正有理数是大于的有理数，据此解答即可． 【详解】解：：是正分数，属于正有理数； ：是负整数，小于，不是正有理数； ：既不是正数也不是负数，不是正有理数； ：是负数，不是正有理数； ，是正整数，属于正有理数； ：是无限不循环小数，不是正有理数； ：是有限小数，可化为分数，且大于，属于正有理数； （每相邻两个之间的个数逐次加）：是无限不循环小数，不是正有理数； 综上，正有理数有，和，共3个． 故答案为：3． 7．（24-25七年级上·安徽池州·期末） 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线． 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数的分类，属于基础知识．根据有理数的分类可求解． 【详解】解：0既不是正数，也不是负数． 故答案为：0． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作 个． 【答案】 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数的意义解答即可，解题的关键是能准确理解正负数的意义和具有相反意义的量． 【详解】解：∵甲队进3个球，记作个， ∴甲队失2个球，记作个， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示 ． 【答案】水面低于标准水位高度为 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量即可解答． 【详解】解：某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位高度为． 故答案为：水面低于标准水位高度为． 【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解相反意义的量用正数和负数表示是解答本题的关键． 10．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 【答案】 【分析】根据正负数的意义可得达标的有人，然后计算即可． 【详解】解：由题意得：：，，，，，，，中，小于等于0的有6个，即达标的有6人， 则这个小组的达标率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义得出达标的人数是解题的关键． 11．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）将下列各数填入表示它所在集合的圈里． 5，，，，，，，．    【答案】见解析 【分析】根据整数、正数、负数、分数的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：整数集合：，，， 正数集合：，，， 既是整数集合也是正数集合：，， 负数集合：，，， 分数集合：，，，， 既是负数集合也是分数集合：，，，    【点睛】本题考查了整数、正数、负数、分数的定义；大于0的数为正数，小于0的数为负数；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 12．（24-25七年级上·安徽马上·课后作业）如果把一个物体向右移动记作移动，那么这个物体又移动了是什么意思？如何描述这时物体的位置？ 【答案】这个物体又移动了表示物体又向左移动了．此时物体回到了原来的位置． 【分析】根据正负数的意义即可得出答案． 【详解】这个物体又移动了表示物体又向左移动了．此时物体回到了原来的位置． 【点睛】本题考查正负数的实际意义，解题的关键是正确理解“正”和“负”的相对性． 13．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在七(1)班的“数学晚会”上，有十名同学都戴着面具，面具上分别写着下列数： ＋12，－2，－0.4，1，－，0，7，36，－918，－0.618. 主持人要求同学们按照面具上数的特征，将这十名同学分成三组表演节目(每组人数不限)，如果让你来分，你会怎么分组？ 【答案】答案见解析． 【分析】按正数、负数、0分为三组即可． 【详解】正数为一组：＋12，1，7，36； 负数为一组：－2，－0.4，－，－918，－0.618； 零为一组：0． 【点睛】本题考查了有理数的分类．掌握有理数的分类是解答本题的关键． 14．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）将下列各数填入相应的框内：①；②；③（循环）；④；⑤；⑥；⑦；⑧．（填入下面框内，填序号） （1）  （2）   【答案】见解析 【分析】根据有理数的分类填写即可求解． 【详解】解：（1）整数有②；④；⑥，⑧．正整数有⑧，正数有③（循环）；⑦；⑧． （2）分数有①；③（循环）；⑤；⑦；负的分数有①；负数有①；④；⑤；⑥； （1）  （2）   【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米 (2)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元 【分析】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算， （1）计算出表格中的和再加上7天每天求出总路程即可； （2）利用（1）中的总路程计算总费用即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米． （2）解：（元）， （元）， （元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 正数和负数（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正负数的定义 典型例题二 相反意义的量 典型例题三 有理数的分类 典型例题四 有理数的定义 典型例题五 0的意义 典型例题六 带“非”字的有理数 典型例题七 正负数的实际应用 知识点01 正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）某饮食集团4月份营业情况如表所示，盈利记为正，亏损记为负（单位：万元） 营业情况（单位：万元） 2 8 10 天数 4 3 7 10 1 5 该饮食集团4月份盈亏情况为 万元．（用正、负数做答） 知识点02 具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如果温度上升，记作，那么温度下降记作 ． 知识点03 有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）下列一组数：，2.7，，，0，2，分数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【即时训练】 2．（2025七年级上·全国·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【典型例题一 正负数的定义】 【例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代著名数学家刘徽在注释《九章算术》时给出了负数的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”．下列各数是负数的是（   ） A．2 B． C． D．0 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期中）下列四个数中，属于负数的是（   ） A．1.2 B．1 C． D．0 【例3】（2025七年级上·安徽淮北·专题练习）在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔为，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔，负数表示低于海平面的某地的海拔． （1）珠穆朗玛峰的海拔为，它表示的含义是 ； （2）吐鲁番盆地的海拔为，它表示的含义是 ． 【例4】（2025七年级上·安徽马鞍山·专题练习）读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． ． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）小明从学校往北走，小红从学校往南走，如果把“从学校往北走”记作“”，那么“从学校往南走”记作（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如果电梯上升米，记作+5米，那么-3米表示 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）在中，哪些是正数，哪些是负数？ 4．（2025七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【典型例题二 相反意义的量】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果表示向右走，那么（   ）表示向左走． A．30 B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下面两个量中，不具有相反意义的是（   ） A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水 C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降 【例3】（24-25七年级上·安徽六安·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．例如收入20元记作元，则支出10元记作 元． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为 ． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为 ． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作 ． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）规定一个物体向上移动 1 m，记作 +1 m，则这个物体向下移动了 5 m，可记作（    ） A．m B．m C．m D．m 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它跳第99次落下时，落点处离O点的距离是 个单位长度． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）某空军举行特技飞行表演，其中一架飞机起飞0.5千米后的高度变化如下表： 高度变化 记作 上升2.5千米 下降1千米 ___________ 上升2千米 ___________ 下降2.5千米 ___________ (1)完成表格； (2)飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是多少千米？ (3)如果飞机每上升1千米需消耗5升燃油，平均每下降1千米需消耗3升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ 【典型例题三 有理数的分类】 【例1】（24-25七年级上·安徽·期中）在有理数0，，，中，负分数是（   ） A．0 B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期末）下列说法正确的是（   ） A．有理数不是正数就是负数 B．0既不属于整数也不属于分数 C．若，则a是一个非负数 D．有理数的绝对值都是正数 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中有理数有个，自然数有个，分数有个，负数有个，则 ． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）画示意图表示下列概念之间的关系： 有理数、正有理数、负有理数、零． 1．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）学完《有理数》之后，甲同学对乙同学说：“为最小的正整数，b是最大的负整数，c是倒数等于自身的有理数，你知道等于多少？”乙同学脱口答出正确答案是（   ） A．0 B． C．1或 D．1或2 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）比大且不大于2的所有整数有 ． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）把下列各数填在相应的括号内． （相邻两个3之间一次加一个0） 正有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}． 负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　…}． 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　…}． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）生活情境·同学聚会 有一次同学聚会上，小王的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列一组数中的正整数的个数相等，小马的座位号与下列一组数中的非负数的个数相等．，，，，，，，，，，，． (1)试问小王、小李坐的各是几号位置？ (2)若这次同学聚会的人数是小王的座位号的倍与小马的座位号的倍的和，请问这次聚会到了多少名同学？ 【典型例题四 有理数的定义】 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）在，0，，，，中有理数的个数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；位是出生日期；位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小明的爷爷、爸爸、妈妈以及小明四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小明的妈妈的身份证号码应该是（  ） A． B． C． D． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）在数，，，中，有理数的个数有 个． 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）（1）请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里： ，，，25，，6.3%，10，． （2）这四种数的集合合并在一起______（选填“是”或“不是”）全体有理数集合． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中，①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正的，就是负的；③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的；⑤绝对值等于本身的数是正数．其中正确的是 （填序号）． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）把下列各数填在相应的大括号内： 27，，，0， 正数集合： 负数集合： 整数集合： 非负数集合： 4．（2025七年级上·全国·专题练习）黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”．请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数． 【典型例题五 0的意义】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在－（－2021），－|－2021|，0，，－20212，－2021各数中，负数的个数是（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【例3】（24-25七年级上·安徽宣城·期末）下列对“0”的说法中，正确的是 （填序号） （1）0既不是正数，也不是负数；（2）0是最小的整数；（3）0是有理数；（4）0是非负数 【例4】（24-25七年级·全国·假期作业）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在下列说法中：如果，则有；既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025·安徽滁州·模拟预测）在﹣1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？ 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ (1)元 (2)元 (3)元 (4)元 【典型例题六 带“非”字的有理数】 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）绝对值不大于3的非负整数有（    ） A．1、2、3 B．1、2 C．0、1、2 D．0、1、2、3 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，，四个数中非负数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）将下列各数分别填入相应的集合中： ． 正数：{ }；负数：{ }﹔非负数：{ }． 【例4】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）把下列各数序号填在相应的集合中： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ (1)负数集合：__________________________________________ (2)分数集合：__________________________________________ (3)非正整数集合：_________________________________________ (4)有理数集合：__________________________________________ 1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）有理数2，+7.5，-0.03，-0.4，0，.中，非负分数有 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）将下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，20%，，，2024． 自然数：{        }； 分数：{        }； 有理数：{        }； 非负数：{        }． 4．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）若有理数a、b、c满足|a﹣1|+|b+4|+（4c﹣1）2＝0，求（abc）250÷（a6×b4×c3）的值． 【典型例题七 正负数的实际应用】 【例1】（2025·安徽滁州·模拟预测）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小颖得了81分，记作（   ） A．81分 B．分 C．分 D．分 【例2】（2025·安徽安庆·模拟预测）下面是4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·安徽阜阳·模拟预测）小李做水温下降实验，他把一杯水的温度由下降到记作；过一会儿，他测到这杯水的温度是，此时这杯水的温度应记作 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）截至2023年5月，我国已建成11批共145个国家节水型城市，地级及以上缺水城市全部建成了节水型城市，这些城市以创建国家节水型城市为契机，全面加强城市节水工作，形成了一批可复制、可推广的城市节水经验模式．凯凯学习节约用水知识后极度关注自己家里的用水情况，他记录了2024年上半年的用水情况如下：一月份15吨；二月份20吨；三月份18吨；四月份14吨；五月份16吨；六月份19吨． (1)算出他们家上半年的月平均用水吨数． (2)如果把每月平均用水的吨数作为标准，超过平均用水的吨数用正数表示，不足平均用水的吨数用负数表示，请把表格填写完整． 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 平均用水 0 1．（2025七年级上·全国·专题练习）实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90m表示观测点A比观测点C高90m），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是（   ） 90m 80m 50m 40m A．210m B．130m C．390m D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小李在某超市做兼职，销售某种商品，规定每天销量超过400单(卖出一件称为一单)的部分记为“＋”，低于400单的部分记为“－”，他一周的销售情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/单 15 18 24 11 (1)小李这一周平均每天销售多少单？ (2)该超市兼职人员的工资采用“日结制”，每天的工资由底薪300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过400单，则每少一单罚款2元；超过400单，则超过的部分每单提成1元，求小李这一周的总收入． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）小明的妈妈在某玩具厂工作，为了加紧生产杭州亚运会吉祥物宸宸、琮琮、莲莲，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具210个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 0 (1)根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具多少个？ (2)根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具多少个？ (3)该厂实行“实行每周计件工资制”．每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如果向东走10米记作米，那么向西走5米记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作(   ) A． B．14 C． D． 3．（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示法，图①所表示的式子为，则图②所表示的式子为（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个． 7．（24-25七年级上·安徽池州·期末） 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作 个． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示 ． 10．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 11．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）将下列各数填入表示它所在集合的圈里． 5，，，，，，，．    12．（24-25七年级上·安徽马上·课后作业）如果把一个物体向右移动记作移动，那么这个物体又移动了是什么意思？如何描述这时物体的位置？ 13．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在七(1)班的“数学晚会”上，有十名同学都戴着面具，面具上分别写着下列数： ＋12，－2，－0.4，1，－，0，7，36，－918，－0.618. 主持人要求同学们按照面具上数的特征，将这十名同学分成三组表演节目(每组人数不限)，如果让你来分，你会怎么分组？ 14．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）将下列各数填入相应的框内：①；②；③（循环）；④；⑤；⑥；⑦；⑧．（填入下面框内，填序号） （1）  （2）   15．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $$