第04讲 绝对值（1知识点+10考点+过关检测）（暑假预习讲义）新七年级数学新教材沪科版

第04讲 绝对值 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.从数形两方面理解绝对值的意义(代数意义和几何意义)； 2.会求已知数的绝对值及已知绝对值求未知数;体会分类讨论思想； 3.运用绝对值的非负性解决问题； 4.能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想. 知识点 1 绝对值 绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即绝对值的代数意义可以用式子表示为：. 【易错】若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.（错误原因：忽视关键数0） 绝对值的性质：1）绝对值具有非负性，即|a|≥0. 2）互为相反数的两个数的绝对值相等.如：若|a|=|b|，则a=b或a=-b. 3）任何数的绝对值总是非负数，如果几个数的绝对值的和为0，则这几个数都等于0，即|a|+|b|+|c|=0，则a=b=c=0. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性.离原点距离越远，则这个数的绝对值就越大.离原点距离越近，这个数的绝对值就越小. 【补充】： 代数式 几何意义 |a|=|a-0| 数轴上点a的到原点的距离 |a+b|=|a-(-b）| 数轴上点a到点（-b）的距离 【易错点】 1）若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 2）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 1．（2025·四川乐山·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据，即可作答． 【详解】解：， 故选：A 2．（2025·河南安阳·二模）在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是（   ） A．0 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，掌握实数的大小比较方法成为解题的关键． 先求出每个数的绝对值的大小，然后根据实数大小比较的法则比较即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是0． 故选：A． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋340g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义.求出各选项绝对值比较即可. 【详解】解：，，，， ． 故选：C． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知实数的绝对值为4，且在数轴上对应点的位置位于原点右侧，则表示的数为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，熟练掌握以上知识点的解题的关键．根据绝对值的意义和数轴的特点即可求解． 【详解】解：实数的绝对值为4， ， 又在数轴上对应点的位置位于原点右侧， ， 故答案为：4． 5．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）当 时，有最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数加减运算，掌握绝对值的性质是解题关键．由绝对值的非负性可知当，有最小值，即可求解． 【详解】解：， 当，有最小值， 即时，有最小值为， 故答案为：，． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）有理数、在数轴上的位置如图所示，观察数轴，并回答下列问题： (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)用“”连接、、、． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了数轴、比较有理数的大小，解决本题的关键是根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，比较数的大小． 根据有理数、在数轴上的位置比较两数的大小即可； 因为表示数的点到原点的距离大于表示数的点到原点的距离，根据绝对值的定义可知； 把、、、表示在数轴上，根据它们在数轴上的位置比较大小． 【详解】（1）解：表示数的点在原点左侧， ， 表示数的点在原点右侧， ， ； （2）解：由数轴可知，表示数的点到原点的距离大于表示数的点到原点的距离， ； （3）解：把、、、表示在数轴上， 如下图所示， 数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数， ． 【考点 1 绝对值的概念辨析】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（　　） A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值、相反数、有理数的大小比较，掌握绝对值的定义是解题的关键．根据绝对值的定义，对题目选项中的说法逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两个负数绝对值较大的数反而小，故此选项错误； B、两个正数绝对值较大的数较大，故此选项错误； C、互为相反数的两个数绝对值相等，故此选项正确； D、绝对值相等的两个数相等或者互为相反数，故此选项错误． 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．互为相反数的两个数和是0 B．互为相反数的两个数的绝对值相等； C．绝对值是本身的数是正数 D．相反数是本身的数只有0 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和绝对值，根据相反数与绝对值的意义逐项进行判断即可. 【详解】解：A、互为相反数的两个数和是0，正确，故A选项不符合题意； B、互为相反数的两个数的绝对值相等，正确，故B选项不符合题意； C、绝对值是本身的数是正数或0，故C选项错误，符合题意； D、相反数是本身的数只有0，正确，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．绝对值小于3的所有整数的和为 0 B．任何正数都大于它们的相反数 C．如果两个数的绝对值相等 ，那么这两个数一定相等 D．0既不是正数 ，也不是负数 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义即可判断A、C，根据相反数的定义即可判断B，根据0的意义即可判断D． 【详解】解：A、绝对值小于3的整数有，它们的和为，原说法正确，不符合题意； B、正数的相反数为负数，则任何正数都大于它们的相反数，原说法正确，不符合题意； C、如果两个数的绝对值相等 ，那么这两个数相等或互为相反数，原说法错误，符合题意； D、0既不是正数 ，也不是负数，原说法正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了绝对值，相反数，0的意义，有理数比较大小，灵活运用所学知识是解题的关键． 4．（23-24七年级上·广东珠海·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．绝对值等于它本身的数一定是正数 B．相反数和它本身相等的数是0 C．绝对值最小的有理数是0 D．互为相反数的两个数绝对值相同 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质及相反数的定义分析即可求解． 【详解】解：A、绝对值等于它本身的数一定是非负数，原来的说法错误，符合题意； B、相反数和它本身相等的数是0，是正确的，不符合题意； C、绝对值最小的有理数是0，是正确的，不符合题意； D、互为相反数的两个数绝对值相同，是正确的，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值及相反数的概念．解决本题的 关键是熟练掌握绝对值及相反数的意义． 5．（22-23七年级上·福建福州·阶段练习）下列说法：①绝对值是它本身的数有两个，它们是0和1；②一个有理数的绝对值必为正数；③2的相反数的绝对值是2；④任何有理数的绝对值都不是负数，错误的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义． 利用相反数的定义，绝对值的定义解答． 【详解】解：①绝对值是它本身的数有两个，它们是0和1，说法错误，还有除1外的其他正数，故错误； ②一个有理数的绝对值必为正数，说法错误，0的绝对值为0，不是正数，故错误； ③2的相反数的绝对值是2，正确； ④任何有理数的绝对值都不是负数，正确． 故答案为：①②． 【考点 2 求一个数的绝对值】 1．（2025·江西宜春·模拟预测）下列有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的绝对值、相反数和有理数的大小比较，熟练掌握有理数的基本知识是解题的关键； 先化简，再进行大小比较即可. 【详解】解：， 因为， 所以最小的数是，即； 故选：A. 2．（2025·山东·三模）年是农历乙巳蛇年，下列对的说法正确的是（    ） A．的相反数是 B．的绝对值是 C．的倒数是 D．的平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了平方根，相反数，绝对值，倒数，根据平方根，相反数，绝对值，倒数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、2025的相反数是，故A选项错误； B、2025的绝对值是2025，故B选项正确； C、2025的倒数是，故C选项错误； D、2025的平方根是，故D选项错误． 故选：B． 3．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值和化简多重符号，首先化简绝对值和多重符号，然后比较即可． 【详解】解：， ∴与的关系是相等． 故选：A． 4．（2025·安徽合肥·三模）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：，则的相反数是， 故选：D． 5．（24-25六年级上·上海·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的大小比较的应用，解题关键在于掌握正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．先根据绝对值意义和相反数定义将两个数进行化简，然后再根据正数都大于负数比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【考点 3 已知一个数的绝对值求该数】 1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）一个负数的绝对值为3，则这个负数的值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：∵一个负数的绝对值为3， ∴这个负数的值为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 2．（22-23七年级上·云南玉溪·期中）一个数的绝对值是，这个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：∵一个数的绝对值是， ∴这个数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．熟记：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值． 3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）一个数的相反数是它本身，则这个数的绝对值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查相反数和绝对值的性质．根据相反数是它本身的数是0和0的绝对值为0解答即可． 【详解】解：相反数是它本身的数是0， 所以这个数的绝对值是0． 故答案为：0． 4．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）若为最大的负整数，为绝对值最小的数，为最小的正整数，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整数、正负数、绝对值的性质，有理数加减运算；根据整数、正负数、绝对值的性质，即可得到a、b、c的值，通过有理数加法运算即可得到答案． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵b是绝对值最小的数， ∴， ∵c是最小的正整数， ∴， ∴． 故答案为：0． 5．（23-24七年级上·浙江温州·期中）老师在课上出了一道有关绝对值的计算题：，若该题的计算结果为，则“”处的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据求一个数的绝对值的逆运算可知 或，进而可求解． 【详解】求有理数的绝对值的方法 解：根据题意可知， ， 所以或， 所以 或， 故答案为：或． 【考点 4 已知一个数的绝对值求参数范围】 1．（22-23九年级·浙江杭州·）若，则实数的范围为 ． 【答案】x≥1 【分析】根据绝对值的非负性即可得到x-1≥0，即可求出x的取值范围． 【详解】解：因为， ∴x-1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟知． 2．（2024七年级·全国·竞赛）如，那么的取值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，正确理解绝对值的概念是解答本题的关键，绝对值化简方法为．移项得，根据绝对值的化简方法，即可得到答案． 【详解】 ． 故选C． 3．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）若，下列的取值能使这个式子成立的是（　　） A． B．1 C．2 D．取任何数 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴，选项中只有符合， 故选：A． 【点睛】此题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． 4．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如，那么x的取值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，求不等式的解集，正确理解绝对值的概念是解答本题的关键，绝对值化简方法为．移项得，根据绝对值的化简方法，即可得到答案． 【详解】 ． 故答案为：． 【考点 5 化简绝对值1】 1．（24-25七年级上·山东临沂·期末）若，则化简结果为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零．直接利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】， ， 故选：B 2．（24-25六年级上·山东东营·期末）已知在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与绝对值，由数轴判断出是解题的关键． 根据数轴得到， 进而判断出 即可去绝对值进行化简， 【详解】解：由数轴可得，， 原式， ， ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·天津西青·期中）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了化简绝对值，实数的大小比较，判断与3.14的大小是解题的关键． 判断，则即可得到，即可化简绝对值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减，由已知可得，，进而根据绝对值的性质化简运算即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：________，________，________； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减运算，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）根据数轴可得，，然后根据有理数的加减法法则即可解答； （）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 【考点 6 化简绝对值2】 1．（24-25七年级上·广东珠海·期中）化简： ．（其中） 【答案】2或0 【分析】本题考查了化简绝对值，除法法则等知识，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：当时， ∵ ∴； 当时， ∵ ∴； 综上，的值为2或0， 故答案为：2或0． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b，c满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法计算，化简绝对值，根据乘法计算法则可得a、b、c三个数中负数的个数为奇数个，即负数的个数为1个或3个，再讨论奇数的个数，结合去绝对值的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴a、b、c三个数中负数的个数为奇数个，即负数的个数为1个或3个， 当负数的个数为1个时，不妨设a是负数，b、c是正数， ∴， 当负数的个数为3个时， ∴； 综上所述，的值为， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海·期中）如果有理数、、满足，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于得出，，中必有两正一负．根据可以看出，，中必有两正一负，从而确定，进而可出求的值． 【详解】解：根据绝对值的意义：一个非零数的绝对值除以这个数，等于或． ， 其中必有两个和一个，即，，中必有两正一负． ， 则， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·福建莆田·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，根据要求解决下列问题． 【提出问题】若非零有理数a，b同号，求的值． 【解决问题】解：由a，b同号，可知a，b有两种可能： ①若，，有，，所以． ②若a________0，，有，________，所以________． 综上所述，的值为2或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 若三个有理数a，b，c满足，求的值． 【答案】解决问题：②，，；探究：3或 【分析】本题考查了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． 解决问题：当a、b都正数；当a、b都是负数分别求解即可； 拓展探究：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即，，时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，，代入计算即可． 【详解】解：解决问题：①若，，有，，所以， ②若，，有，，所以， 故答案为：②，，； 拓展探究：由，可得a，b，c三个有理数都为正数或一正两负，分情况讨论如下： ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则， ②当a，b，c一正两负时：设，，， 则， 的值为3或． 5．（24-25七年级上·山东德州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a、b满足a、b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能；①a，b都是正数；②a，b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有，，则 ②若a、b都是负数，即，，有，，则，所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)0； (2)1或； (3)． 【分析】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； （2）由题意得：a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．然后分情况讨论计算即可； （3）由，得，，，再根据得：a，b，c三个有理数中必然是一个为负数，另两个为正数．据此计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴①，；②，， 当，时，，，则； 当，时，，，则， 综上，的值为0； （2）∵，且a，b，c是有理数， ∴a，b，c三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a，b，c三个有理数均为负数时，即，，， ∴原式， ②当a，b，c中一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， ∴原式， 综上，的值为1或； （3）∵， ∴，，， ∴， ∵，，且a，b，c是有理数， ∴a，b，c中一个为负数，另两个为正数，不妨设，，， ∴原式， ∴的值为． 【考点 7 由绝对值的非负性求值】 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果， 那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的加法，先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即，； ∴， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 3．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）若，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，求解代数式的值．当非负数和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出x和y的值，再根据加法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0，同时考查了求解代数式的值．根据非负数的性质求出、的值，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选B． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）设是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系以及周长的求法． 先根据绝对值非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 分两种情况： （1）当2为底边长时，腰长为5， ，能组成三角形， 此时三角形的周长为； （2）当5为底边长时，腰长为2， ，不能组成三角形． 综上可知，此三角形的周长为12． 故答案为：12． 6．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）若与互为相反数，则的值为 【答案】10 【分析】本题考查了代数式的求值、绝对值的非负性、相反数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得，，利用绝对值的非负性求出的值，再代入即可求值． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ． 故答案为：10． 【考点 8 解绝对值方程】 1．（24-25七年级上·广东汕头·期中）若为有理数且，则的取值是（    ） A．5 B． C．或3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解绝对值方程，掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据绝对值的意义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即：或． 故选C． 2．（2024七年级上·河南·专题练习）方程的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解绝对值方程，由得，分两种情况分别解方程即可． 【详解】解：因为， 所以分以下两种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得． 综上所述，方程的解是或． 故选：A． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）方程的解的个数是（    ） A．1个 B．2020个 C．2021个 D．无穷多个 【答案】D 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程的解的个数是无穷多个， 故选：D． 4．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，根据，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是绝对值方程的解法，一元一次方程的解法，由可得或，再分情况讨论即可. 【详解】解：∵， ∴或， 当时， ∴， ∴或， 解得：（不符合题意舍去）或（不符合题意舍去）； 当时， ∴， ∴或， 解得：或， 经检验或是原方程的解， 故答案为：或． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数，任何数的绝对值都是非负数，互为相反数的两数之和为． 根据两数的绝对值互为相反数，可知这两数均为，从而求出、的值； 把，代入，可得，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ，， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 或． 7．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【答案】(1)3或 (2)或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案； （2）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）∵ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或； （2）∵ ∴ ∴ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或． 【考点 9 由绝对值的几何意义求最值】 1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，得出的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和，说明当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，求出结果即可． 【详解】解：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知表示2与的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数2对应的点与负数对应的点之间的距离，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值即有理数的加法运算，解题的关键是掌握绝对值的定义．利用绝对值的定义解答． 【详解】解：表示到数，1，3的距离和， ∴当时， ， ∴有最小值4． 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）的最小值是 ，的最大值是 ，方程的解是 ，方程的解是 ． 【答案】 或 无解 【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，分及三种情况，找出代数式的取值范围或值是解题的关键． ①分及三种情况考虑，当时，；当时，；当时，，进而可得出的最小值；②分及三种情况考虑，当时，；当时，，结合可得出的取值范围；当时，，进而可得出的最大值；③分，及三种情况考虑，根据，可求出的值；④由的最大值是3，可得出方程无解． 【详解】解：①当时，； 当时，； 当时，， 的最小值是3； ②当时，； 当时，， ， ； 当时，， 的最大值是3； ③， 当时，， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 方程的解是或； ④的最大值是3， 方程无解． 故答案为：；；或；无解． 4．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 5．（24-25七年级上·福建漳州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】本题考查了绝对值在数轴上的应用，关键判断正负去掉绝对值符号． （1）直接用两数相减的绝对值求出两点的距离； （2）根据a的大小判断出绝对值符号里面结果的正负，再去掉绝对值符号求值； （3）根据a的取值范围结合数轴解答即可． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是， 数轴上表示和2两点之间的距离是； （2）解：当数轴上表示数的点位于表示数与2两点之间时（包括这两点），的值为6； 当数轴上表示数的点在表示数2的点的右边时，的值大于6； 当数轴上表示数的点在表示数的点的左边时，的值大于6； 所以的最小值为6； （3）解：当时，的最小值为6，不合题意，舍去； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得； 综上所述或． 6．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 分三种情况：当点P在点A左边时，当点P在线段点上时，当点P在线段点上时，分别求解，再比较即可． 【详解】解：设表示数的点为点A，表示数2的点为点B， 则，，， 当点P在点A左边时，如图， ∴ ． 当点P在线段点上时，如图， ∴ ， ∴； 当点P在点B右边时，如图， ∴ ． 综上，， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．在学习绝对值时，我们知道：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．请根据所学内容并结合数轴解答下列问题： (1)若数x在数轴上对应点的位置如图所示，在数轴上画出表示与的点； (2)题（1）中 ； ； ；（用代数式表示） (3)改变数x在数轴上对应点的位置，结合数轴回答下列问题： ①若表示数x的点在表示与1的两点之间，则 ； ②若表示数x的点在表示﹣3的点的左边，则 ； (4)根据以上探究直接写出的最大值是 ． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)①；②4 (4)4 【分析】本题考查列代数式、数轴、绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）将表示x的点向左平移1个单位长度为的点，向右平移3个单位长度为的点； （2）根据去绝对值符号即可； （3）①根据去绝对值符号即可； ②根据去绝对值符号即可； （4）根据以上的计算结果直接写出答案即可． 【详解】（1）解：表示与的点如图所示： （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：，，． （3）①∵， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴． 故答案为：4． （4）根据以上探究，的最大值是4． 故答案为：4． 【考点 10 绝对值的应用】 1．（23-24七年级上·广西河池·期中）某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． (1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ 【答案】(1)经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品； (2)这天要付元搬运费． 【分析】本题主要考查了有理数的加法、绝对值，解决本题的关键是根据有理数的加法法则进行计算． 把这天进出仓库的商品件数相加，所得结果为，所以经过天之后，该仓库内的商品增加了件，此时仓库的商品还有件； 【详解】（1）解：（件）， 经过天之后，该仓库内的商品件数为：（件）， 答：经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品； （2）解：（件）， 这天要付给工人的搬运费为：（元）， 答：这天要付元搬运费． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·开学考试）出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的长街上，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下：，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离是多少千米？ (2)若每千米耗油0.1升，这天下午共耗油多少升？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离是0千米 (2)这天下午共耗油11.8升 【分析】本题考查了正数和负数，绝对值、有理数的加法、乘法运算的应用，正确计算是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算，可得和，根据和的大小，可得答案； （2）根据行车距离乘以单位耗油量，可得到答案． 【详解】（1）解：（千米） 答：将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离是0千米． （2）解： （千米） 耗油量（升） 答：这天下午共耗油11.8升． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）2024年9月9日受台风“摩羯”的影响，云南红河州进入Ⅱ级应急响应状态，某消防队参与救援抢险，消防员战士将消防车加满油，沿南北方向的道路抢修各种故障，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶路程记录如下：（单位：千米） (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若消防车每千米耗油升，油箱容量为150升，求当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)地位于A地北边，距离A地3千米 (2)至少还需补充油量升 【分析】本题主要考查正负数的意义，有理数的混合运算，绝对值的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据正负数的意义，有理数的加减法的运算即可求解； （2）根据行程计算当天的行程，再根据有理数的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴地位于地北边，距离地3千米； （2）解：根据题意得：（千米）， ∵每千米耗油升， ∴共耗油量为（升）， ∵油箱容量为150升，则（升）， 答：至少还需补充油量升． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）某公司7天内货品进出仓库的吨数如下：（“”表示进库，“”表示出库） ，，，，，，． (1)经过这7天，仓库管理员结算发现仓库还有货品400吨，那么7天前仓库里有货品多少吨？ (2)如果进出的装卸费都是每吨9元，那么这7天要付多少元装卸费？ 【答案】(1)434吨 (2)1530元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数减法的实际应用，绝对值的其他应用，有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列式计算是解题的关键． （1）先求出这7天内货品进出仓库的吨数之和，然后用400减去它，即可求出7天前仓库里的货品吨数； （2）先求出这7天内货品进出仓库的吨数的绝对值之和，然后乘以每吨的装卸费9元，即可求出这7天要付的装卸费． 【详解】（1）解：由题意得：（吨）， （吨）， 答：7天前仓库里有货品434吨； （2）解： （元）， 答：这7天要付1530元装卸费． 5．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为a和b，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号； (2)见解析． 【分析】本题考查了绝对值的应用；理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 因为， 所以3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得 如果，那么结果为b的质量好一些， 如果，那么结果为a的质量好一些， 如果，那么两个篮球的质量一样好． 6．（24-25六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【答案】(1)5号零件的大小最符合标准 (2)1、2、5号是正品，3号是次品，4号是废品 【分析】本题主要考查了绝对值意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据． （1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品． 【详解】（1）解：∵， ∴5号零件的大小最符合标准． （2）解：∵，， ∴第1、2、5号是正品； ∵， ∴3号是次品， ∵， ∴4号为废品． 1．（24-25七年级上·广东广州·期末）下列各数中，比小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握有理数比较大小的方法．有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．，，， ，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．，，， ，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北随州·期末）有理数a，b，c在数轴上位置如图，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，化简绝对值的知识，利用绝对值的意义去掉绝对值是解题的关键． 根据有理数a，b，c在数轴上的位置可得到：，再利用绝对值的意义去掉绝对值符号，然后即可求解． 【详解】解：由图可得：， ∴，， ∴，， ∴； 故选：B 3．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值化简，解题的关键在于正确掌握绝对值性质．根据绝对值性质计算判断，即可解题． 【详解】解：A、，成立，不符合题意； B、，成立，不符合题意； C、，成立，不符合题意； D、，选项不成立，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，先根据绝对值的非负性得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 5．（2024·甘肃兰州·中考真题）的绝对值是（   ） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义计算即可．熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是2024， 故选：B． 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）若有理数，在数轴上的位置如图，则等于（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的加减法，化简绝对值，整式的加减计算，数形结合是解题的关键． 根据数轴上点的位置判断的符号，进而化简绝对值，合并同类项，即可求解． 【详解】解：根据有理数a，b在数轴上的位置得知： ， ， ， ， ， 故选A． 7．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知，试求的值是（ ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的化简，有理数的乘法，根据正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它相反数化简即可． 【详解】解：当、，则，原式； 当、，则，原式； 当、，则，原式； 当、，则，原式； 故选：C． 8．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据的最小值是即可求解． 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为， 故选：A． 9．（24-25七年级上·广东肇庆·期末）若与互为相反数，则的值为（   ） A． B．6 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值、相反数、绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题关键．先根据相反数的定义可得，再根据绝对值的非负性可得，从而可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如果，那么是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【答案】B 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于掌握若，则；若，则；若，则．直接根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， 是非负数， 故选：B． 11．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试） ， 【答案】 / 【分析】本题考查的是化简绝对值及化简多重符号，熟练掌握绝对值性质及化简多重符号的方法是解题关键，根据绝对值及相反数定义直接计算即可． 【详解】解：； ； ； ， 故答案为：，，，． 12．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等于它的相反数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是，绝对值是的数是或， 故答案为：，，或 13．（24-25七年级上·山东临沂·期末）若且，则值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的加法和除法，应用“分类讨论”的数学思想是关键．根据且可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可． 【详解】由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正． 当a，b，c为两正一负时， 当a，b，c为两负一正时，， 故答案为：1或 14．（24-25七年级上·江西宜春·期末）化简： ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简，有理数的加法运算法则；先化简绝对值，再加法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 15．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是___________；式子的几何意义是___________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，___________； (3)若，求的值； (4)探究：的最小值是___________；此时满足的条件是___________． 【答案】(1)，数轴上表示的点与表示的点之间的距离 (2)或 (3)或 (4)， 【分析】本题考查新定义题型，读懂题意，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． （1）由题意直接求解即可得到答案； （2）由绝对值的几何意义得到一元一次方程求解即可得到答案； （3）由绝对值的意义得到一元一次方程求解即可得到答案； （4）由绝对值的几何意义分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示的点与表示的点之间的距离； （2）解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， 则或； 故答案为：或； （3）解：， 或， 解得或； （4）解：当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 综上所述，的最小值是；此时满足的条件是； 故答案为：，． 16．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了由点在数轴上的位置判断式子的符号，绝对值化简，整式加减等； （1）由数轴得，，，逐一进行判断，即可求解； （2）由（1）得去绝对值，再进行整式加减运算，即可求解； 能根据点在数轴上的位置判断式子的符号，并能熟练进行绝对值化简是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴得 ，，， ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得 原式 ． 17．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 【答案】(1)7 (2)，，0，1，2，3，4，5 (3)时，最小值为9 (4)最小值为9， 【分析】（1）根据题意，得，解答即可； （2）根据题意，得，得到解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 得到． ∴，，0，1，2，3，4，5． （3）解：根据题意，得， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 故当时，取得最小值，且最小值为9． （4）解：根据题意，当时，，此时； 当时，，此时； 当时， 当时，的最小值为． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，距离之和最小的意义，有理数的加法．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及当点在两点之间时，点到两点间的距离之和最小，是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 绝对值 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.从数形两方面理解绝对值的意义(代数意义和几何意义)； 2.会求已知数的绝对值及已知绝对值求未知数;体会分类讨论思想； 3.运用绝对值的非负性解决问题； 4.能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想. 知识点 1 绝对值 绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即绝对值的代数意义可以用式子表示为：. 【易错】若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.（错误原因：忽视关键数0） 绝对值的性质：1）绝对值具有非负性，即|a|≥0. 2）互为相反数的两个数的绝对值相等.如：若|a|=|b|，则a=b或a=-b. 3）任何数的绝对值总是非负数，如果几个数的绝对值的和为0，则这几个数都等于0，即|a|+|b|+|c|=0，则a=b=c=0. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性.离原点距离越远，则这个数的绝对值就越大.离原点距离越近，这个数的绝对值就越小. 【补充】： 代数式 几何意义 |a|=|a-0| 数轴上点a的到原点的距离 |a+b|=|a-(-b）| 数轴上点a到点（-b）的距离 【易错点】 1）若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 2）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 1．（2025·四川乐山·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南安阳·二模）在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是（   ） A．0 B． C． D．6 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋340g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知实数的绝对值为4，且在数轴上对应点的位置位于原点右侧，则表示的数为 ． 5．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）当 时，有最小值为 ． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）有理数、在数轴上的位置如图所示，观察数轴，并回答下列问题： (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)用“”连接、、、． 【考点 1 绝对值的概念辨析】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（　　） A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等 2．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．互为相反数的两个数和是0 B．互为相反数的两个数的绝对值相等； C．绝对值是本身的数是正数 D．相反数是本身的数只有0 3．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．绝对值小于3的所有整数的和为 0 B．任何正数都大于它们的相反数 C．如果两个数的绝对值相等 ，那么这两个数一定相等 D．0既不是正数 ，也不是负数 4．（23-24七年级上·广东珠海·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．绝对值等于它本身的数一定是正数 B．相反数和它本身相等的数是0 C．绝对值最小的有理数是0 D．互为相反数的两个数绝对值相同 5．（22-23七年级上·福建福州·阶段练习）下列说法：①绝对值是它本身的数有两个，它们是0和1；②一个有理数的绝对值必为正数；③2的相反数的绝对值是2；④任何有理数的绝对值都不是负数，错误的是 ． 【考点 2 求一个数的绝对值】 1．（2025·江西宜春·模拟预测）下列有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D．0 2．（2025·山东·三模）年是农历乙巳蛇年，下列对的说法正确的是（    ） A．的相反数是 B．的绝对值是 C．的倒数是 D．的平方根是 3．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 4．（2025·安徽合肥·三模）的相反数是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25六年级上·上海·期中）比较大小： ． 【考点 3 已知一个数的绝对值求该数】 1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）一个负数的绝对值为3，则这个负数的值为（　　） A． B． C． D．3 2．（22-23七年级上·云南玉溪·期中）一个数的绝对值是，这个数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）一个数的相反数是它本身，则这个数的绝对值是 ． 4．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）若为最大的负整数，为绝对值最小的数，为最小的正整数，则的值是 ． 5．（23-24七年级上·浙江温州·期中）老师在课上出了一道有关绝对值的计算题：，若该题的计算结果为，则“”处的数为 ． 【考点 4 已知一个数的绝对值求参数范围】 1．（22-23九年级·浙江杭州·）若，则实数的范围为 ． 2．（2024七年级·全国·竞赛）如，那么的取值是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）若，下列的取值能使这个式子成立的是（　　） A． B．1 C．2 D．取任何数 4．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如，那么x的取值是 ． 【考点 5 化简绝对值1】 1．（24-25七年级上·山东临沂·期末）若，则化简结果为（   ） A．5 B． C． D． 2．（24-25六年级上·山东东营·期末）已知在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25七年级下·天津西青·期中）化简： ． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）当时，代数式的值是 ． 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：________，________，________； (2)化简：． 【考点 6 化简绝对值2】 1．（24-25七年级上·广东珠海·期中）化简： ．（其中） 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b，c满足，则的值为 ． 3．（24-25六年级上·上海·期中）如果有理数、、满足，那么 ． 4．（24-25七年级上·福建莆田·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，根据要求解决下列问题． 【提出问题】若非零有理数a，b同号，求的值． 【解决问题】解：由a，b同号，可知a，b有两种可能： ①若，，有，，所以． ②若a________0，，有，________，所以________． 综上所述，的值为2或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 若三个有理数a，b，c满足，求的值． 5．（24-25七年级上·山东德州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a、b满足a、b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能；①a，b都是正数；②a，b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有，，则 ②若a、b都是负数，即，，有，，则，所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【考点 7 由绝对值的非负性求值】 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果， 那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 3．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）若，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）设是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 6．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）若与互为相反数，则的值为 【考点 8 解绝对值方程】 1．（24-25七年级上·广东汕头·期中）若为有理数且，则的取值是（    ） A．5 B． C．或3 D． 2．（2024七年级上·河南·专题练习）方程的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）方程的解的个数是（    ） A．1个 B．2020个 C．2021个 D．无穷多个 4．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如果，那么 ． 5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）方程的解是 ． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)已知，求的值． 7．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【考点 9 由绝对值的几何意义求最值】 1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知表示2与的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数2对应的点与负数对应的点之间的距离，则的最小值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）的最小值是 ，的最大值是 ，方程的解是 ，方程的解是 ． 4．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 5．（24-25七年级上·福建漳州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 6．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．在学习绝对值时，我们知道：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．请根据所学内容并结合数轴解答下列问题： (1)若数x在数轴上对应点的位置如图所示，在数轴上画出表示与的点； (2)题（1）中 ； ； ；（用代数式表示） (3)改变数x在数轴上对应点的位置，结合数轴回答下列问题： ①若表示数x的点在表示与1的两点之间，则 ； ②若表示数x的点在表示﹣3的点的左边，则 ； (4)根据以上探究直接写出的最大值是 ． 【考点 10 绝对值的应用】 1．（23-24七年级上·广西河池·期中）某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． (1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·开学考试）出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的长街上，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下：，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离是多少千米？ (2)若每千米耗油0.1升，这天下午共耗油多少升？ 3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）2024年9月9日受台风“摩羯”的影响，云南红河州进入Ⅱ级应急响应状态，某消防队参与救援抢险，消防员战士将消防车加满油，沿南北方向的道路抢修各种故障，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶路程记录如下：（单位：千米） (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若消防车每千米耗油升，油箱容量为150升，求当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）某公司7天内货品进出仓库的吨数如下：（“”表示进库，“”表示出库） ，，，，，，． (1)经过这7天，仓库管理员结算发现仓库还有货品400吨，那么7天前仓库里有货品多少吨？ (2)如果进出的装卸费都是每吨9元，那么这7天要付多少元装卸费？ 5．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为a和b，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 6．（24-25六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 1．（24-25七年级上·广东广州·期末）下列各数中，比小的数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北随州·期末）有理数a，b，c在数轴上位置如图，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·甘肃兰州·中考真题）的绝对值是（   ） A． B．2024 C． D． 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）若有理数，在数轴上的位置如图，则等于（） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知，试求的值是（ ） A． B． C．或 D．或或 8．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·广东肇庆·期末）若与互为相反数，则的值为（   ） A． B．6 C．2 D． 10．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如果，那么是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 11．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试） ， 12．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 13．（24-25七年级上·山东临沂·期末）若且，则值为 ． 14．（24-25七年级上·江西宜春·期末）化简： ． 15．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是___________；式子的几何意义是___________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，___________； (3)若，求的值； (4)探究：的最小值是___________；此时满足的条件是___________． 16．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 17．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$