精品解析：黑龙江省哈尔滨市第四中学校2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024级高一下学期期中考试 数学试卷2025.5.9 试卷满分：150分 考试时间：8：00—10：00 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分； 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 向量与垂直，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. 9 D. 4. 在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 已知为不共线向量，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 6. 将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量与，则函数的最小正周期为（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 8. 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题，本大题共4小题，每小题6分，共24分； 9. 下列两个向量，能作为平面中一组基底是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 设复数，则下列命题结论正确是（ ） A. 的虚部为1 B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 是方程的根 11. 在中，分别是边中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则为等边三角形 12. 在中内角，，所对的边长分别为，，，则下列命题中真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则； D. 若，则 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分； 13. 已知为虚数单位，，若，则__________. 14. 如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是________． 15. 如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为_______km 16. 《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 四、解答题 17. 设复数，. （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，求实数的值. 18. 已知为的三内角，且其对边分别为，若. （1）求； （2）若，，求的面积. 19. 已知向量，，若，，，夹角为． （1）求； （2）当何值时，向量与向量互相垂直？ 20. 已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. （1）求； （2）求的取值范围. 21. 如图所示，设是平面内相交成 角两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）若，求模长； （2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； （3）若在仿射坐标系下，设，若对恒成立，求的范围及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级高一下学期期中考试 数学试卷2025.5.9 试卷满分：150分 考试时间：8：00—10：00 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分； 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则可求解. 【详解】. 故选：C. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，再由复数的几何意义求解即可. 【详解】对应的点为位于第二象限, 故选：B. 3. 向量与垂直，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示可求实数. 【详解】因为向量与垂直， 所以，解得， 故选：C. 4. 在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形的边角关系，可判断出三角形解的个数. 【详解】 因为，所以符合条件的三角形个数是2个. 故选：C. 5. 已知为不共线向量，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，依次判断各项对应点所得向量是否共线，即可判断. 【详解】由题设， ，，，与有公共端点，所以三点共线，A对； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，B错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，C错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，D错； 故选：A 6. 将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的表面积公式求解． 【详解】正方体的棱长为1，要使制作成球体零件最大， 则球内切于正方体，则球的直径为1，半径为， 可能制作的最大零件的表面积为. 故选：B. 7. 已知向量与，则函数的最小正周期为（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数式，再由正弦型函数的性质求最小正周期. 【详解】由题设， 所以，最小正周期. 故选：A. 8. 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件探求出，结合转化为二次函数并求函数的最小值即可. 【详解】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则， 于是得，而，且与不共线， 则，即有，因此，， 当且仅当时取“=”，此时MBC中点， 所以的最小值为. 故选：C 二、多选题，本大题共4小题，每小题6分，共24分； 9. 下列两个向量，能作为平面中一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据各项中向量的坐标表示判断是否共线，即可得. 【详解】显然各项均为非零向量， A：由，即不共线，满足； B：由，即共线，不满足； C：由，即垂直，故不共线，满足； D：由，即共线，不满足； 故选：AC 10. 设复数，则下列命题结论正确的是（ ） A. 的虚部为1 B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 是方程的根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的运算先求复数，再逐项验证即可. 【详解】，的虚部为1，故A正确； 复数在复平面对应的点为位于第一象限，故B错误； ，故C正确； 由有，故D正确. 故选：ACD. 11. 在中，分别是边中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则为等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量的加减法法则、几何意义以及向量的数量积公式逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由向量加法的平行四边形法则可得，即，故A正确； 对于B，由向量减法的三角形法则可得，故B错误； 对于C，若，则, 即，所以，所以， 故C正确； 对于D，如下图，分别表示方向的单位向量， 由向量加法的平行四边形法则可得为菱形对角线向量， 若，则，， 且与同向，又， 所以，，由已知及菱形性质可知， 既是中线又是角平分线， 由为中线，所以， 又，， 又，则， 所以，又，为等边三角形，故D正确. 故选：ACD. 12. 在中内角，，所对的边长分别为，，，则下列命题中真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则； D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用余弦定理及基本不等式判断A；令判断B；应用正弦边角关系判断C；由三角形内角和及正切和角公式得到，再应用基本不等式判断D. 【详解】由，当且仅当时取等号， 若，则，，故，A对； 若，如，此时，B错； 由，则，而，故，C对； 由，即都是锐角，所以， 所以，D对. 故选：ACD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分； 13. 已知为虚数单位，，若，则__________. 【答案】 【解析】 分析】应用复数乘法及复数相等得，即可得. 【详解】由题设，则，可得. 故答案为： 14. 如图，等腰直角三角形是一个平面图形直观图，斜边，则原图形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图中的位置关系以及线段长度还原出原图形，即可计算出面积. 【详解】易知， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 故答案为： 15. 如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为_______km 【答案】 【解析】 【分析】在中得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理得. 【详解】依题意，, ， 在中，，，则，又，则km， 在中，，，则， 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 所以该船行驶的距离km. 故答案为： 16. 《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 【答案】1 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律有，再由已知和数量积的定义得到关于的表达式，即可求最大值. 【详解】由， 且，，，， 所以 ， 当时，的最大值为1. 故答案为：1 四、解答题 17. 设复数，. （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再由复数对应的点在实轴上，求出的值，从而可求出； （2）先化简，再由为纯虚数可求出实数的值. 【小问1详解】 因为复数，， 所以， 因为复数对应的点在实轴上， 所以，得，所以， 所以； 【小问2详解】 因为复数，， 所以 ， 因为为纯虚数，所以，解得. 18. 已知为的三内角，且其对边分别为，若. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由于，可求的值，结合，可求A的值. （2）由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：（1）∵， ∴由正弦定理可得：， 整理得， 即：， 所以， ∵，∴， ∵，∴. （2）由，，由余弦定理得， ∴，即有， ∴， ∴面积为. 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.解题的过程中注意以下公式的灵活应用：、、. 19. 已知向量，，若，，，夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由条件根据数量积的定义求，再结合模的性质求结论； （2）由条件可得，结合数量积运算律化简可求结论. 【小问1详解】 因为，，，夹角为， 所以， 又， 所以， 所以， 【小问2详解】 因为向量与向量互相垂直， 所以， 所以， 由（1），又，， 所以， 所以. 20. 已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. （1）求； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得. 【小问1详解】 由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； 【小问2详解】 由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 21. 如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）若，求的模长； （2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； （3）若在仿射坐标系下，设，若对恒成立，求的范围及的最大值． 【答案】（1）； （2）不正确，证明见解析； （3），的最大值为. 【解析】 【分析】（1）应用向量数量积的运算律求向量的模即可； （2）由向量数量积的坐标表示及垂直关系，结合充分、必要性的定义判断证明； （3）根据题设得到对恒成立，再应用二次函数的性质得，再由向量的夹角公式得，即可得最值. 【小问1详解】 因为，则，又， 则． 【小问2详解】 不正确，理由如下， 因为，则，又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的． 【小问3详解】 因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又，所以，解得， 因为，所以满足题意， 所以， 又，所以，则最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$