北京市2024-2025学年下学期七年级期末数学模拟试卷

2024-2025学年北京市七年级（下）期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列结论正确的是(    ) A. 的平方根是 B. 没有立方根 C. 立方根等于本身的数是 D. 2.若点在第三象限内，且，，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 3.如图，，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.解不等式，它的解集在数轴上表示为(    ) A. B. C. D. 5.下列各项调查适合全面调查的是(    ) A. 长江中现有鱼的种类 B. 某班每位同学视力情况 C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌灯泡使用寿命 6.如果是方程的一组解，那么代数式的值是(    ) A. B. C. D. 7.若，则下列不等式中，一定成立的是(    ) A. B. C. D. 8.如图是一只蝴蝶标本、将其放在适当的平面直角坐标系中，装翅膀网端点、的坐标分别为、，则蝴蝶“尾部”点的坐标为(    ) A. B. C. D. 9.如图，正方形的面积为，顶点在数轴上，且点表示的数为，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为(    ) A. B. C. D. 10.已知，，，给出下面个结论：当时，；的最小值是；的最大值是上述结论中，所有正确结论的序号为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的点处出发，选择到对面的______填，或点处折返一次回到点时，跑过的路程最短． 12.如图，直线，相交于点若，，则的度数为______ 13.已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为______． 14.如图，已知平分，且，当 ______时，． 15.在明朝程大位算法统宗中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就空出一间房设该店有客房间，房客人，则可列方程组为______． 16.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点不与点，重合，记，其中为实数． 当时，的最大值为______； 若存在最大值，则的取值范围为______． 三、解答题：本题共10小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 18.本小题分 解二元一次方程组：． 19.本小题分 解不等式组：． 20.本小题分 如图，三角形在直角坐标系中． 请写出三角形各点的坐标； 若把三角形向上平移个单位，再向右平移个单位得到三角形，在图中画出三角 形； 求三角形的面积． 21.本小题分 根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒斤，每盒售价元 每盒斤，每盒售价元 问题解决 任务一 在活动中，学生共卖出了斤草莓，销售总收入为元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ 任务二 现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这斤草莓整盒分装完每个精包装盒的成本为元，每个简包装盒的成本为元若要将购买包装盒的成本控制在元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 22.本小题分 在国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”活动通过数学素养竞赛、数学创意展示等活动，展现数学魅力、传播数学文化为了解学生数学素养竞赛的答题情况，现从七年级随机抽取了名学生成绩单位：分，并对数据进行整理、描述和分析过程如下： 名学生的数学素养竞赛分数： 整理、描述数据： 分数 人数 名学生的数学素养竞赛分数扇形统计图： 名学生的数学素养竞赛分数的平均数、中位数和众数： 平均数 中位数 众数 请根据所给信息，解答下列问题： ______， ______， ______； 在扇形统计图中，“”所在的扇形的圆心角等于______度； 若该校七年级共有名学生参加了数学素养竞赛，且成绩不低于分的学生可获得“数学之星”的称号，请你估计该校七年级获得“数学之星”称号的学生有多少人？ 23.本小题分 如图，点在的内部，点在射线上，点在射线上，连接，，，． 求证：； 过点作交射线于点，连接，请你依题意在图中补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 24.本小题分 对于正实数四舍五入到个位后得到的整数记为，即当为非负整数时，若，则，如：，． ______； 若，求的取值范围； 若，求的值． 25.本小题分 已知为射线上方一点，过点作的平行线，点在射线上运动不与点，重合，点在射线上，连接，满足． 如图，点在线段上，，若，依题意补全图形，并直接写出的度数； 点，在射线上，连接，，满足． 如图，点在线段上，，写出一个的值，使得恒为定值，并求出此定值； 如图，，，若直线和直线中至少有一条与直线平行或垂直，直接写出的值． 26.本小题分 在平面直角坐标系中，给定个不同的点，，，，若，，，，，，，中共有个不同的数，则称为这个不同的点的特征值图形上任意个不同的点，，，中，特征值最小的一组点的特征值称为图形的阶特征值． 点，，的特征值是______； 已知正方形的四个顶点分别为，，，， 直接写出正方形的阶特征值的最小值； 若正方形的阶特征值的最小值是，直接写出的取值范围． 2024-2025学年北京市七年级（下）期末数学模拟试卷答案 1.【答案】  【解析】解：根据平方根与立方根的性质逐项分析判断如下： A、，的平方根是，此项错误，不符合题意； B、，此项错误，不符合题意； C、立方根等于本身的数有，，，此项错误，不符合题意； D、， ，此项正确，符合题意； 故选：． 根据平方根与立方根的性质逐项判断即可得． 本题考查了平方根与立方根的性质，掌握理解平方根与立方根的性质是解题关键． 2.【答案】  【解析】解：点在第三象限内， ，， 又，， ，， 点的坐标是． 故选：． 根据点在第三象限内可知，，又因为，，所以，，得出点坐标． 本题考查点的坐标特征，解题关键是明确各象限内点的坐标特征． 3.【答案】  【解析】解：如图． ． ， ． ， ， ． 故选：． 根据两直线平行，内错角相等得出的度数，根据垂线的定义得出的度数，再根据平角的定义即可求出的度数． 本题考查了平行线的性质，垂线的定义，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 解集在数轴上表示为： 故选：． 先根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为求得不等式解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则逐一判断即可． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力及不等式解集在数轴上的表示，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 5.【答案】  【解析】解：长江中现有鱼的种类，适合用抽样调查，故A不符合题意； B.某班每位同学视力情况，适合用全面调查，故B符合题意； C.某市家庭年收支情况，适合用抽样调查，故C不符合题意； D.某品牌灯泡使用寿命，适合用抽样调查，故D不符合题意； 故选：． 根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：将代入原方程得：， ． 故选：． 将代入原方程，可得出，再将其代入原式中，即可求出结论． 本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：已知， 两边同时减得，则不符合题意， 两边同时乘，得，则不符合题意， 设，，则，则不符合题意， 两边同乘得，再两边同时加上，得，则符合题意， 故选：． 运用不等式的性质进行逐一讨论、求解． 本题考查了不等式的性质，正确记忆把不等式的两边都加或减去同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘或除以同一个负数．不等号的方向改变是解题关键． 8.【答案】  【解析】解：如图：建立平面直角坐标系，则点的坐标为， 故选：． 建立平面直角坐标系，写出点的坐标． 本题考查坐标确定位置，建立平面直角坐标系，正确得出原点的位置是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：正方形的面积为， ， 点表示的数为，数轴上有一点在点的左侧，且， 点表示的数为：， 故选：． 根据题意可得：，当点表示的数为，数轴上有一点在点的左侧，且，因此点表示的数为：． 本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：，即，而， ， ， 当时，，解得， ， ， 当时，，，因此正确； 由于，， 所以， ， 当时，的值最大，此时， 当时，的值最小，此时， 因此正确，不正确； 综上所述，正确的结论是， 故选：． 根据等式的性质，不等式的性质确定的取值范围，再根据的取值范围确定的最大值和最小值即可． 本题考查等式的性质，不等式的性质，掌握等式的性质、不等式的性质以及确定的取值范围是正确解答的关键． 11.【答案】  【解析】解：， ，， 他从场地一边的点处出发，选择到对面的填，或点处折返一次回到点时，跑过的路程最短． 故答案为：． 根据垂线的性质即可得到结论． 本题考查了矩形 到现在，垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：， ． 故答案为：． 由对顶角的性质得到，即可求出的度数． 本题考查对顶角、邻补角，关键是掌握对顶角相等． 13.【答案】  【解析】解：把代入方程得： ， 解得：， 故答案为：． 把代入二元一次方程，然后解方程即可求解． 本题考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解的概念是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：平分， ， ， 当时， ， 故答案为：． 根据平行线的判定定理求解即可． 本题考查的是平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如果每一间客房住人，那么有人无房可住， ； 如果每一间客房住人，那么就空出一间房， ． 根据题意可列方程组． 故答案为：． 根据“如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就空出一间房”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 16.【答案】  ．  【解析】解：当时，， 根据绝对值的意义，可知表示与直线之间的距离， 当点与点重合时，距离最大，此时． 故答案为：； 如图，直线：， 此时，折线段上，点、距离直线：的距离最大，都是， 当时，，表示与直线：之间的距离， 当点与点重合时，取得最大值为， 如图：当直线：，在直线：上方，即，时，此时，折线段上，点距离直线距离最大， 若，，表示与直线：之间的距离，由于不与点重合， 此时不存在最大值． 当直线：，在直线：下方，即，时，此时，折线段上，点距离直线距离最大， 若，，表示与直线：之间的距离，此时存在最大值，即当在点处时取得最大值． 综上所述，当时，存在最大值． 故答案为：． 当时，，根据绝对值的几何意义，可知表示与直线之间的距离，当点在点时，距离最大，由此得解； 先求出当点和到直线距离相等时，此时，有最大值，然后画图分析可知，当直线在直线：上方时，点距离直线距离最大，由于点不与点重合，此时取不到最大值，当直线在直线：下方时，当与点重合时可以取到最大值，由此得解． 本题考查了平面直角坐标系中点与直线间的距离，以及绝对值的几何意义，理解并掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 17.【答案】．  【解析】解： ． 先化简各式，然后再进行计算即可解答． 本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18.【答案】．  【解析】解：， 由，得， 把代入，得， 解得， 把代入，得， 所以方程组的解是． 利用代入消元法解二元一次方程组即可． 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 19.【答案】．  【解析】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20.【答案】，，；   见解析；   ．  【解析】由图形可知，点，点，点； 如图所示，所作三角形即为所求； ． ． 根据点在坐标系内的位置可得其坐标； 分别确定，，平移后的对应点，再顺次连接即可； 利用割补法求解三角形的面积即可． 本题考查的是坐标与图形，画平移图形，求解网格三角形的面积，理解平移的性质是解本题的关键． 21.【答案】解：任务一：设精包装销售了盒，简包装销售了盒， 根据题意得：， 解得：． 答：精包装销售了盒，简包装销售了盒； 任务二：分装成盒精包装，盒简包装或分装成盒精包装，盒简包装，理由如下： 设可以分装成盒精包装，则分装成盒简包装， 根据题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 可以为，， 共有种分装方案， 方案：分装成盒精包装，盒简包装； 方案：分装成盒精包装，盒简包装． 答：分装成盒精包装，盒简包装或分装成盒精包装，盒简包装．  【解析】任务一：设精包装销售了盒，简包装销售了盒，根据“在活动中，学生共卖出了斤草莓，销售总收入为元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务二：设可以分装成盒精包装，则分装成盒简包装，根据购买包装盒的成本控制在元以内，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：任务一：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；任务二：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22.【答案】解：        人， 答：估计该校七年级获得“数学之星”称号的学生有人．  【解析】解：由题意知， 将数据重新排列为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，所以这组数据的中位数，众数， 故答案为：、、； 在扇形统计图中，“”所在的扇形的圆心角等于， 故答案为：； 见答案． 将题干所提供的数据重新排列，再进一步求解即可； 用乘以的人数所占比例即可； 用总人数乘以样本中成绩不低于分的学生人数占总人数的比例即可． 本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键． 23.【答案】证明：因为，， 所以， 所以； 解：或， 理由如下：如图， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； 如图， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以； 综上，或．  【解析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得证； 分情况，根据平行线的判定与性质求解即可． 此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 24.【答案】； ， ， 解得：， 设，则， ， ， 解得， 为非负整数， ， 当时，； 由上可得，的值是． 方法二：， 是整数， 是整数， ， ， ．  【解析】解：由题意可得：， 故答案为：； ， ， 解得：， 设，则， ， ， 解得， 为非负整数， ， 当时，； 由上可得，的值是． 方法二：， 是整数， 是整数， ， ， ． 根据题意和四舍五入法，可以写出题目中的数据的结果； 根据题意和，可以得到不等式组，然后求解即可； 根据题意和，可以设，然后可以得到，从而可以关于得不等式组，从而可以求得的取值范围，进而求得的值． 本题考查取值函数，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，求出相应的数值． 25.【答案】解：当时，， ， ， ， 故的度数为． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 上述无关， ， ． 当时，， 故为时，使得恒为定值，定值为：． ，， 当直线时，设直线与直线交于， ， ， ， ， ． 当， ， ， 舍去． 当时，设设直线与直线交于， ， ， ， ， 当， ， ， ， ， ． 故的值为：，，．  【解析】当时，，，得，即可求解． 根据平行线的定理得，，即可求解． 分情况讨论，当直线时，设直线与直线交于，当时，设设直线与直线交于，根据平行线的定理即可求解． 本题考查了平行线的性质，解题关键在于熟练掌握平行线的定理． 26.【答案】解：． 当时，正方形的四个顶点分别为，，，， 此时正方形的阶特征值最小，且最小值为．   【解析】解：点，，中有，，，共个数， 点的特征值是． 故答案为：． 见答案 正方形的四个顶点分别为，，，， 正方形的一条边在轴上，一条边在直线上，边长为， 正方形的阶特征值的最小值是， 当，在正方形上时，取点，，，此时正方形的阶特征值最小为， 如图． ． 解得：． 本题主要考查了坐标与图形，新定义，解不等式组，解题的关键是理解新定义，数形结合． 根据特征值的概念进行解答即可； 根据图形的阶特征值特点进行解答即可； 根据正方形的四个顶点坐标得出正方形的一条边在轴上，一条边在直线上，边长为，根据正方形的阶特征值的最小值是，得出关于的不等式组，解之即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$