专题1.1.1空间向量及其线性运算【4个基础知识+2个能力提升】-2025年暑假新高二数学常考题型归纳

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【专题1.1.1空间向量及线性运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1：空间向量的有关概念】 知识讲解 空间向量的概念及属性 【知识点的认识】 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 例题精选 【例题1】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在长方体中，下列向量与是相等向量的是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【相似题2】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【相似题3】（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：        (1)的相等向量，的相反向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； (3)用三个或三个以上向量的和表示． 【基础知识点2：空间向量的加减运算】 知识讲解 1．加减法的定义： 空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． 2．加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． （1）交换律： （2）结合律：． 3．推广： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： （求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量） （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 ． 例题精选 【例题1】（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【基础知识点3：空间向量的数乘运算】 知识讲解 【知识点的认识】 1．空间向量的数乘运算 实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，与的方向相同； ②当λ＜0时，与的方向相反； ③当λ＝0时，． ④|λ|＝|λ|•|| 的长度是的长度的|λ|倍． 2．运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律． （1）分配律：① ②（λ+μ） （2）结合律： 注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算． 例题精选 【例题1】（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）三棱柱中，分别是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）在四面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 【基础知识点4：共线向量与共面向量】 知识讲解 【知识点的认识】 1．定义 （1）共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量． （2）共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2．定理 （1）共线向量定理 对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得． （2）共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得． 【解题方法点拨】 空间向量共线问题： （1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而． （2）表示与所在的直线平行或重合两种情况． 空间向量共面问题： （1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化． （2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． 证明三个向量共面的常用方法： （1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合； （2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行． 例题精选 【例题1】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【例题2】（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【例题3】（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 相似练习 【相似题1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【相似题3】多选题（24-25高二上·山东·期中）下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【能力提升1：解决空间向量线性运算问题的方法技巧（共线共面推论）】 知识讲解 共面向量定理及推论 定理 向量 与不共线向量 共面 当且仅当 存在唯一实数对 ，使得 。 核心推论 1. 四点共面判定 四点 P, A, B, C共面 存在实数 x, y, z，使得： 等价形式： 例题精选 【例题1】（21-22高二上·安徽宿州·期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2024·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【相似题2】多选题（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 【相似题3】（24-25高二下·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【能力提升2：空间向量的线性运算在立体几何中的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 【例题2】（23-24高二下·江苏·期中）已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 【例题3】（2024·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 【相似题2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【相似题3】（22-23高二上·河北沧州·阶段练习）如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·青海海南·期中）在三棱柱中，（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江·期中）在斜三棱柱中，（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·福建福州·期中）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·四川绵阳·期中）下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（   ） A．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B．若非零向量，满足，则有 C．与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．设为空间的一组基底，且，则四点共面 11．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足（，），下列结论正确的是（    ） A．若，则点到平面的距离为 B．若，则四面体的体积是定值 C．若，则点的轨迹长为 D．若，，则存在点，使得的最小值为 12．（24-25高二上·福建福州·期中）在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，的中点，点满足，，，则（    ） A．当时，四棱锥外接球半径为 B．当时，三棱锥的体积为 C．周长的最小值为 D．若，则点的轨迹长为 三、填空题 13．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设正三棱锥O-ABC的棱长都是2，若点P满足，且，则的最小值为 ． 14．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 四、解答题 15．（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 16．（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【专题1.1.1空间向量及线性运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1：空间向量的有关概念】 知识讲解 空间向量的概念及属性 【知识点的认识】 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 例题精选 【例题1】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 【例题2】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可. 【详解】    如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 【例题3】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在长方体中，下列向量与是相等向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的性质，结合相等向量的定义进行判断即可. 【详解】如图所示的长方体中， A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确； C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确， 故选：B      相似练习 【相似题1】多选题（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 【相似题2】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可； （2）根据相等向量的定义写出即可； （3）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 【相似题3】（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：        (1)的相等向量，的相反向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； (3)用三个或三个以上向量的和表示． 【答案】(1)、、；， (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据相等向量以及相反向量的概念即可得答案. （2）根据向量的加减运算即可得答案. （3）利用向量首尾依次相接的规则，即可求得答案. 【详解】（1）根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有、、， 的相反向量有：、． （2）用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有， ，，．（答案不唯一） （3）用“首尾规则”求解，则，． （答案不唯一） 【基础知识点2：空间向量的加减运算】 知识讲解 1．加减法的定义： 空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． 2．加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． （1）交换律： （2）结合律：． 3．推广： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： （求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量） （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 ． 例题精选 【例题1】（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组，即可求解. 【详解】由于， 所以，，. 故选：B 【例题2】（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量相等及线性运算法则计算可得. 【详解】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 【例题3】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解． 【详解】连接，如图， 因为为的中点， 所以． 故选：C． 【相似题2】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 【相似题3】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得. 【详解】在平行六面体中，==. 故选：C 【基础知识点3：空间向量的数乘运算】 知识讲解 【知识点的认识】 1．空间向量的数乘运算 实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，与的方向相同； ②当λ＜0时，与的方向相反； ③当λ＝0时，． ④|λ|＝|λ|•|| 的长度是的长度的|λ|倍． 2．运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律． （1）分配律：① ②（λ+μ） （2）结合律： 注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算． 例题精选 【例题1】（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 【例题2】（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， , 故选：A 【例题3】（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 【相似题2】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）三棱柱中，分别是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】， 故选：A． 【相似题3】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）在四面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解. 【详解】    在中，，在中，， 故 . 故选：A. 【基础知识点4：共线向量与共面向量】 知识讲解 【知识点的认识】 1．定义 （1）共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量． （2）共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2．定理 （1）共线向量定理 对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得． （2）共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得． 【解题方法点拨】 空间向量共线问题： （1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而． （2）表示与所在的直线平行或重合两种情况． 空间向量共面问题： （1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化． （2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． 证明三个向量共面的常用方法： （1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合； （2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行． 例题精选 【例题1】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 【例题2】（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 【例题3】（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 相似练习 【相似题1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 【相似题2】（24-25高二上·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，表示出相关向量，再利用四点共面时空间向量的基本定理列方程组求解即可. 【详解】 由题意可得， 因为所以，且，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用空间向量的基本定理得到下列方程. 【相似题3】多选题（24-25高二上·山东·期中）下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【分析】由向量数量积运算律及共线判定，结合充分必要性定义判断A，利用共线，则直线AB，CD可能重合判断B，利用四点共面的结论判断C，由向量线性运算及共线判定，结合充分必要性定义判断D. 【详解】对于A：由， 此时，共线，充分性成立， 若，同向共线，且，则，显然不成立， 必要性不成立， 所以“”是“共线”的充分不必要条件，故A正确； 对于B：若共线，则直线AB，CD可能重合，故B错误； 对于C：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故C正确； 对于D：（不共线），若， 则，所以， 即，所以三点共线，反之也成立， 所以是三点共线的充要条件，（本选项也可用三点共线的推论）故D正确. 故选：ACD 【能力提升1：解决空间向量线性运算问题的方法技巧（共线共面推论）】 知识讲解 共面向量定理及推论 定理 向量 与不共线向量 共面 当且仅当 存在唯一实数对 ，使得 。 核心推论 1. 四点共面判定 四点 P, A, B, C共面 存在实数 x, y, z，使得： 等价形式： 例题精选 【例题1】（21-22高二上·安徽宿州·期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行六面体的特征和空间向量的线性运算依次对选项的式子变形，即可判断. 【详解】A： ，故A正确； B： ，故B错误； C： ，故C错误； D： ，故D错误； 故选：A 【例题2】（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及体积法求点到平面距离求解. 【详解】由，且，得点在平面内， 因此的最小值即为点到平面的距离，即三棱锥底面上的高， 长方体中，，， 等腰底边上的高，， 由，得，即，解得， 所以的最小值为. 故选：D 【例题3】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，延长，，至点，，，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到，，，四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，    延长，，至点，，，使得，，， 所以， 又由，所以，，，四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为， 所以的最小值为. 故选：C 相似练习 【相似题1】（2024·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合已知可得，利用共面求. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 因为共面，所以，解得. 故选：D. 【相似题2】多选题（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】ABC 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得平面，故D错误. 故选：ABC.    【相似题3】（24-25高二下·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【答案】/ 【分析】由向量基本定理表达出，根据四点共面，得到方程，求出答案. 【详解】， 因为，，所以， 又，故， 即，故， 因为平面与直线交于点，所以四点共面， 所以，解得.    故答案为： 【能力提升2：空间向量的线性运算在立体几何中的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据空间向量的线性运算得到，利用四点共面可知，即可得到的值. 【例题2】（23-24高二下·江苏·期中）已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 【答案】4 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】，故，， 不妨令，则，又，故点共面， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据，转化为，再根据四点共面的向量表示，从而确定的位置，进而求得体积. 【例题3】（2024·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合空间向量的基本定理，得到在平面内存在一点，使得，得到，即可求解. 【详解】由空间内一点满足， 可得， 因为，根据空间向量的基本定理，可得在平面内存在一点， 使得，所以，即点为的中点， 可得，所以三棱锥和的体积比值为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由空间向量的运算可得，即可证明B，E，G，F四点共面； （2）根据题意，由棱锥的体积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：设为空间的一组基底，因为E，F分别为PA，PC的中点，所以，． 又，所以 ． 故B，E，G，F四点共面． （2）由正四棱锥的对称性知，，． 设点E到平面PBG的距离为，点A到平面PBD的距离为，由E是PA的中点得． 由，得，则． 【相似题2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案. 【详解】取，，， 则 所以与共面，又，， 所以与、共面， 所以四点共面． 【相似题3】（22-23高二上·河北沧州·阶段练习）如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果； （2）证得，即可得出结论. 【详解】（1） 因为， 而， 又D为的中点，所以， 所以 ． （2）因为， ， 所以， ，所以． 所以四点共面． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·青海海南·期中）在三棱柱中，（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江·期中）在斜三棱柱中，（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·福建福州·期中）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·四川绵阳·期中）下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（   ） A．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B．若非零向量，满足，则有 C．与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．设为空间的一组基底，且，则四点共面 11．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足（，），下列结论正确的是（    ） A．若，则点到平面的距离为 B．若，则四面体的体积是定值 C．若，则点的轨迹长为 D．若，，则存在点，使得的最小值为 12．（24-25高二上·福建福州·期中）在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，的中点，点满足，，，则（    ） A．当时，四棱锥外接球半径为 B．当时，三棱锥的体积为 C．周长的最小值为 D．若，则点的轨迹长为 三、填空题 13．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设正三棱锥O-ABC的棱长都是2，若点P满足，且，则的最小值为 ． 14．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 四、解答题 15．（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 16．（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A B D B A BD ABC 题号 11 12 答案 BCD ABC 1．D 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 2．C 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得：． 故选：C. 3．C 【分析】应用空间向量的线性运算即可解. 【详解】三棱柱中，. 故选：C. 4．A 【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】 . 故选：A． 5．B 【分析】由四点共面的充要可得，求解即可. 【详解】是平面外任意一点，且， 若，，，四点共面的充要条件是，即. 故选：B. 6．D 【分析】根据图形应用空间向量的加减法及数乘运算即可求解. 【详解】依题意，. 故选：D. 7．B 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：B 8．A 【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案. 【详解】由已知得，， . 故 故选：A 9．BD 【分析】根据平行六面体的结构特点直接判断出结果. 【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有， 故选：BD.    10．ABC 【分析】利用单位向量判断A；利用共线向量的知识判断B；利用平面的法向量的定义可判断C；利用点共面的判定定理可判断D. 【详解】对于A，由单位向量的定义：长度为1的向量，可得将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，故A正确； 对于B，非零向量，满足，则有，故B正确； 对于C，由平面的法向量的定义可知与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量，故C正确； 对于D，由且，故不共面. 故选：ABC. 11．BCD 【分析】由条件确定点的轨迹，证明点到平面的距离为点到平面的，由此判断A，由可得点的轨迹为，结合锥体体积求法即可判断B；由条件确定点的轨迹，由扇形弧长公式即可判断C；把沿着进行翻折，使得四点共面，结合平面几何知识可求的最小值，判断D. 【详解】对于A，如图，连接，点为线段的中点，点为线段的中点， 则，， 因为，， 所以， 则，又， 所以点的轨迹为线段， 因为，， 所以，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 又为， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离的， 连接，，记其交点为， 因为底面是菱形， 所以， 由已知平面，平面， 所以， ，平面， 所以平面， 因为四边形是菱形，， 所以为等边三角形，又， 所以，所以， 所以点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为，A错误； 对于B，连接，由得点在线段上， 由为直四棱柱得，，又， 所以的面积为定值，又点平面的距离为定值， 所以三棱锥的体积为定值， 所以四面体的体积是定值，故B正确； 对于C，如图，在平面中作，垂足为， 由已知得，平面，且平面， 所以，又平面，且， 所以平面， 因为底面是菱形，， 所以，， 在中，因为，所以， 则点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 设此圆与交于点，因为，且， 所以，则点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，若，则点与点重合， 把沿着进行翻折，使得四点共面， 此时有最小值， 在中，， 所以，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 解得，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于结合所给条件，结合线面位置关系，确定点的轨迹. 12．ABC 【分析】对于A，先由向量加法的平行四边形法结合题意得点P为的中点以及四棱锥为正四棱锥，进而得四棱锥外接球球心O在直线上，于是可得，解该方程即可得解；对于B，由题意结合共线定理得在线段上，接着由中位线求出，由平面得点D到平面的距离为，再由锥体体积公式即可求解；对于C，取中点I，将求周长的最小值等价转换成求的最小值，再结合三角形两边之和大于第三边即可求解；对于D，依据题意求出可得到P点的轨迹，接着求出即可进一步求出解. 【详解】对于A，当时，由题， 所以此时点P为的中点，故点P到底面的距离为1，且四棱锥为正四棱锥， 设底面中心为Q，则且该四棱锥外接球球心O在直线上，    设四棱锥外接球半径为R，则有即， 所以，故A正确； 对于B，当时，因为，，， 所以三点共线，即在线段上，连接， 则由题意可知为的中位线，， 所以， 连接交于点G，则，又由正方体性质可得，平面即平面， 因为，且平面， 所以平面，所以点D到平面的距离为，    所以此时，故B正确； 对于C，由题可得， 所以周长为，所以该周长最小时取得最小值， 因为点满足，，， 所以四点共面，即P在平面内，    如图，取中点I，则由正方体结构性质可知，所以， 所以取得最小值时即为取得最小值时， 所以由三角形两边之和大于第三边可得当三点共线时取得最小值为， 所以周长最小值为，故C正确； 对于D，由A知底面中心为Q，且，又由正方体结构性质可知平面，平面， 所以，所以若，则，    如图，所以点P的轨迹是平面内以Q为圆心半径为2的圆与四边形相交的交线，该交线为圆弧， 因为，所以， 所以，所以， 所以点P的轨迹长为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：求所以周长最小值的关键点1是由题意明确点P在平面内，关键点2是取中点I得到，将求周长的最小值等价转换成了求的最小值，简化了问题的求解难度，进而得到其最小值为而得解. 13． 【分析】由点满足，且，所以点在平面内，当为正三棱锥O-ABC的高时最小. 【详解】点满足，且， 所以点在平面内，因为正三棱锥O-ABC的棱长都是2， 所以当点与点在平面内的射影重合时， 即长为正三棱锥O-ABC的高时，取到最小值， 此时的最小为：. 故答案为：. 14． 【分析】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为： 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【详解】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； 16．；. 【分析】根据是的中点结合平行四边形法则可表示出；根据条件先表示出，根据表示出，结合线段长度关系表示出，由可求结果. 【详解】因为是的中点，所以，所以； 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$