空间向量求空间距离与夹角【5个题型专练】讲义-2025年暑假新高二数学常考题型归纳

2025年新高二数学常考题型归纳 【空间向量求距离与夹角】 总览 题型梳理 一．空间向量法求解直线与平面所成的角（共6小题） 二．空间向量法求解二面角及两平面的夹角（共5小题） 三．空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离（共6小题） 四．空间中点到平面的距离（共4小题） 五．空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离（共5小题） 【知识点清单】 1．空间向量法求解直线与平面所成的角 【知识点的认识】 直线与平面所成角的求法： 向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|． 2．空间向量法求解二面角及两平面的夹角 【知识点的认识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角﹣﹣ 在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O． 3、二面角的平面角求法： 向量法：用空间向量求平面间夹角的方法： 设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 （1）当0，，θ，， 此时cosθ＝cos，． （2）当，π时，θ＝π，， cosθ＝﹣cos，． 3．空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 【知识点的认识】﹣点到直线的距离：点P到直线l的距离为： 其中是点P到直线上的点A的向量，是直线的方向向量． ﹣两平行直线间的距离：两平行直线的距离是它们之间任意一点到另一条直线的距离． 4．空间中点到平面的距离 【知识点的认识】 点到平面的距离 （1）定义：过该点作平面的垂线，此点与垂足之间线段的长度即为点到平面的距离。 （2）向量求法步骤 · 确定平面相关向量：设平面的法向量为，平面上一点，平面外一点，求出向量 。 · 计算投影：根据向量点积与模长关系，在法向量方向上的投影的绝对值，此值就是点到平面的距离。 题型分类 知识讲解与常考题型 一．空间向量法求解直线与平面所成的角（共6小题） 1．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1，P为B1C1的中点，则直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角．版权所有 【分析】过点A作平面ACC1A1的垂线为x轴，以AC，AA1所在直线分别为y轴和z轴，作空间直角坐标系．求平面ACC1A1的一个法向量，以及直线BP的方向向量，则|cos，|即为所求． 【解答】解：过点A作平面ACC1A1的垂线为x轴，以AC，AA1所在直线分别为y轴和z轴，作空间直角坐标系，如下图所示： 则平面ACC1A1的一个法向量为， 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AB＝AA1＝2，则，， 所以， 直线BP与平面ACC1A1所成的角为θ． 则sinθ＝|cos，|＝||， 所以直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值为． 故选：A． 【点评】本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 2．若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（　　） A． B． C．或 D．或 【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角．版权所有 【分析】求出方向向量和法向量夹角余弦值绝对值后，可得直线l与平面α所成的角的正弦，进而可得解． 【解答】解：设直线l与平面α所成的角为θ， 因为直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为， 则． 因为，所以． 故选：A． 【点评】本题考查向量法的应用，属于基础题． 3．正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，直线AA1与平面ABCD所成角的大小为60°，则该棱台的高为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角．版权所有 【分析】过A1作A1H⊥AC，得出直线AA1与底面ABCD所成的角为∠A1AH，再解三角形即可． 【解答】解：因为AB＝2，A1B1＝1， 所以，， 则， 过A1作A1H⊥AC， 所以直线AA1与底面ABCD所成的角为∠A1AH， 又因为直线AA1与平面ABCD所成角的大小为60°， 所以∠A1AH＝60°， 所以， 则， 解得， 所以． 故选：B． 【点评】本题考查线面角的计算，属于中档题． 4．如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD． （1）求证：平面DCE⊥平面ABCD； （2）求直线BE与平面DCE所成角的正切值． 【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；平面与平面垂直．版权所有 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，即证明ED⊥平面ABCD； （2）连接BD，先证明BD⊥平面CDE，进而可确定直线BE与平面DCE所成角，然后根据线角关系求出其正切值即可． 【解答】解：（1）证明：因为四边形ADEF为正方形，所以ED⊥AD， 又因为平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊂平面ADEF，平面ADEF∩平面ABCD＝AD， 所以ED⊥平面ABCD， 又因为ED⊂平面DCE， 所以平面DCE⊥平面ABCD． （2）连接BD，设AB＝1． 因为． 所以， 又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°． 所以DC2＝BD2+BC2﹣2BD×BC×cos45°2， 所以， 所以DC2+BD2＝BC2，即BD⊥DC， 由（1）知ED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则BD⊥ED， 而DE∩DC＝D，DE，DC⊂平面DCE， 所以BD⊥平面DCE， 所以∠BED就是直线BE与平面DCE所成的角， 在Rt△BDE中，， 所以直线BE与平面DCE所成角的正切值为． 【点评】本题考查面面垂直的判定，以及线面角的计算，属于中档题． 5．如图1，等腰梯形AECD是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将△BCE沿BC翻折至△BCP，使得PD＝3，如图2所示． （1）求证：PD⊥BC； （2）求直线BD与平面BCP所成角的正弦值． 【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面垂直．版权所有 【分析】（1）根据全等三角形性质，利用线面垂直判定定理可证明BC⊥平面POD，再由线面垂直性质可得PD⊥BC； （2）利用空间向量，求出平面BCP法向量以及直线BD的方向向量，根据线面角与空间向量之间的关系即可求得结果． 【解答】解：（1）证明：在图1连接DE交BC于O点， 在图2中，知△BCD、△BCP都是等边三角形，得DO⊥BC， PO⊥BC，又DO∩PO＝O，DO，PO⊂平面POD， 所以BC⊥平面POD， 又因为直线PD⊂平面POD， 所以PD⊥BC． （2）因为AB＝2，PD＝3，则在△POd中，由，PD＝3， 由余弦定理得∠POD＝120°，作PH⊥DO，垂足为H，连接OH， 得∠POH＝60°，所以， 如图，以BC的中点O为原点，OB，DO，OZ分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（﹣1，0，0），，，， 因此，，， ，， 设平面BCP的法向量为， 则，则， 解得x＝0，令，则z＝1， 即向量， 设直线BD与平面BCP所成角为θ， 则， 直线BD与平面BCP所成角的正弦值为． 【点评】本题考查线线垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 6．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形，AA1＝2AB＝6，E，F分别为线段CC1，A1B1上的点，且满足A1F：FB1＝C1E：EC＝2：1． （1）证明：C1F∥平面A1BE； （2）求直线EF与平面A1BE所成角的正弦值． 【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面平行．版权所有 【分析】（1）过F点作FG∥BB1交A1B于G点，连结EG，只需证明C1F∥GE，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线EF的方向向量与平面A1BE的法向量，再结合向量夹角的余弦公式即可求解． 【解答】解：（1）证明：过F点作FG∥BB1交A1B于G点，连结EG， ∵A1F：FB1＝2：1， ∴，∴， ∵C1E：EC＝2：1，∴， ∵C1C＝B1B，C1C∥B1B， ∴FG＝C1E，且FG∥C1E， ∴四边形FGEC1是平行四边形， ∴C1F∥GE， ∵GE⊂平面A1BE，C1F⊄平面A1BE， ∴C1F∥平面A1BE， （2）如图，以D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设直线EF与平面A1BE所成角为θ，平面A1BE的法向量为， ∵AA1＝2AB＝6，则B（3，3，0），A1（3，0，6），E（0，3，2），F（3，2，6）． ∴，，， ∴， 取x＝2，得y＝6，z＝3， 则是平面A1BE的一个法向量． ∴， 故直线EF与平面A1BE所成角的正弦值为． 【点评】本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 二．空间向量法求解二面角及两平面的夹角（共5小题） 7．如图，PA⊥平面ABCD，CF∥AP，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝7，AP＝BC＝14，CF＝8． （1）求直线BF与平面BDP所成角的正弦值以及点F到平面BDP的距离； （2）求二面角P﹣BD﹣F的正弦值． 【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；空间中点到平面的距离．版权所有 【分析】（1）建立空间向量法求出平面BDP的法向量，再应用线面角正弦值公式计算求解，再结合点到平面的距离公式计算求解． （2）再求出平面BDF的法向量，应用面面角余弦公式计算求解． 【解答】解：（1）因为PA⊥平面ABCD，AD⊥AB， 所以AP，AD，AB两两垂直， 以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则A（0，0，0），B（7，0，0），C（7，14，0），D（0，7，0），P（0，0，14），F（7，14，8）， 所以，，， 设为平面BDP的一个法向量， 则， 令z＝1，则x＝y＝2， 所以， 设直线BF与平面BDP所成角为θ， 则， 点F到平面BDP的距离为． （2）设为平面BDF的一个法向量， 则， 令c＝﹣7，则a＝b＝4， 所以， 所以|cos，|， 所以二面角P﹣BD﹣F的正弦值为． 【点评】本题考查直线与平面的位置关系，点到平面的距离，二面角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 8．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，A1B1＝1，点P为线段AC上的动点，棱台的体积为． （1）求AA1的长； （2）若CC1∥平面PB1D1，请确定点P的位置； （3）求平面PB1D1与平面BCC1B1的夹角的余弦值的最大值． 【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；棱台的体积；直线与平面平行．版权所有 【分析】（1）根据台体体积公式得到方程，求出AA1＝2． （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设P（m，m，0），0≤m≤2，求出平面PB1D1的法向量，根据得到方程，求出答案． （3）求出平面BCC1B1的法向量，在（2）基础上，设出面面角，利用向量夹角余弦公式得到，结合自变量取值范围，求出最大值． 【解答】解：（1）底面ABCD是边长为2的正方形，A1B1＝1， 故底面A1B1C1D1是边长为1的正方形， 所以底面A1B1C1D1的面积为12＝1，底面ABCD的面积为22＝4， 因为AA1⊥底面ABCD， 所以AA1为棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高， 所以棱台的体积为，解得AA1＝2． （2）因为AA1⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AD， 又AD⊥AB，故AA1，AB，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系： 由（1）知，AA1＝2， 则C（2，2，0），C1（1，1，2），B1（1，0，2），D1（0，1，2）， 设P（m，m，0），0≤m≤2， 则，， 设平面PB1D1的法向量为， 则， 令x＝1，则y＝1，， 所以， 因为CC1∥平面PB1D1， 所以， 解得， 此时， 所以点P的位置为靠近C的4等分点． （3）， 设平面BCC1B1的法向量为， 则， 令x1＝1，则， 所以， 由（2）知，平面PB1D1的法向量为， 设平面PB1D1与平面BCC1B1的夹角为θ， 则cosθ＝|cos，|， 令2m+3＝t∈[3，7]， 则， 因为，故当，即时，取得最大值， 所以cosθ的最大值为， 所以平面PB1D1与平面BCC1B1的夹角的余弦值的最大值为． 【点评】本题考查直线与平面的位置关系，平面与平面所成的角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，E、F分别为BC，BB1的中点． （1）证明：C1E⊥平面ACF； （2）在线段EC1上是否存在点M，使得直线A1M与平面AC1E所成角的正弦值为若存在，求平面AFM与平面AC1E夹角的余弦值；若不存在，请说明理由． 【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直．版权所有 【分析】（1）根据给定条件，以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证． （2）求出平面AC1E的法向量，利用线面角的向量求法求出点M坐标，再求出平面AFM的法向量，利用面面角的向量求法求解． 【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，则直线CA，CB，CC1两两垂直， 以C为原点，直线CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2），E（0，1，0），F（0，2，1）， ， 因为， 所以C1E⊥AC， 因为， 所以C1E⊥AF， 而AC和AF是平面ACF内两条相交直线， 所以C1E⊥平面ACF． （2）设点M存在，，M（0，1﹣t，2t），t∈[0，1]， ， 设平面AC1E法向量为， 则，则， 取x＝1，得， 设A1M与平面AC1E所成角为θ， 则， 由， 解得， 即M为EC1中点，坐标为， ， 设面AFM法向量， 则， 取a＝1，得， 设平面AFM与平面AC1E的夹角为β， 则， 所以平面AFM与平面AC1E夹角的余弦值． 【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题． 10．如图1，在四边形ABCD中，，AC＝AD＝2，，如图2，把△ACD沿AC折起，使点D到达点P处，且平面PAC⊥平面ABC，Q为PC的中点． （1）求证：AC⊥BQ； （2）求二面角A﹣BQ﹣P的余弦值； （3）判断线段AP上是否存在点M，使得三棱锥M﹣ABQ的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；棱锥的体积；直线与平面垂直．版权所有 【分析】（1）在平面图形中证得AB⊥BC，DA⊥AC，取AC的中点O，连接QO，BO，利用线面垂直的判定性质推理得证． （2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABQ与平面BOQ的法向量，再利用面面角的向量法求解． （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解． 【解答】解：（1）在图1中，由，AC＝2，得AB2+BC2＝AC2，因此AB⊥BC， 因此，由，得，即DA⊥AC， 在图2中，PA⊥AC，取AC的中点O，连接QO，BO，由Q为PC的中点， 得QO∥PA，因此QO⊥AC，由，得BO⊥AC，而BO∩QO＝O， BO，QO⊂平面BOQ，因此AC⊥平面BOQ，又BQ⊂平面BOQ，因此AC⊥BQ． （2）由已知及（1）得平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，QO⊥AC， 于是QO⊥平面ABC，直线OB，OA，OQ两两垂直， 以O为坐标原点，直线OB，OA，OQ分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因此A（0，1，0），B（1，0，0），Q（0，0，1），P（0，1，2）， ， 设平面ABQ的法向量为， 因此，令y＝1，因此x＝1，z＝1， 因此平面ABQ的一个法向量为， 设平面PBQ的法向量为， 因此，令m＝1，因此n＝﹣1，s＝1， 因此平面PBQ的法向量为， 因此， 由图知二面角A﹣BQ﹣P为锐二面角，因此二面角A﹣BQ﹣P的余弦值为． （3）假设线段AP上是否存在点M，使得三棱锥的体积为， 在△ABQ中，，因此， 因为三棱锥M﹣ABQ的体积为，设点M到平面ABQ的距离为d， 因此，因此，因此点M到平面ABQ的距离为， 令，由（2）得，， 又平面ABQ的法向量为， 因此点M到平面ABQ的距离为，解得， 线段AP上是否存在点M，使得三棱锥M﹣ABQ的体积为，且． 【点评】本题考查空间向量法求解二面角及两平面的夹角，属于中档题． 11．如图，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是正方形，DE⊥CD，CD∥EF，CD＝3EF，CD＝2DE． （1）求证：AC⊥BE； （2）求平面DBF与平面CBF夹角的余弦值． 【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直；平面与平面垂直．版权所有 【分析】（1）证明DE⊥平面ABCD，证明AC⊥DE，证明AC⊥平面BDE，证明AC⊥BE； （2）证明DE⊥平面ABCD，证明DE⊥AD，证明AD⊥CD，以AD，CD，ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据向量法即可求解． 【解答】解：（1）证明：因为DE⊥CD，平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，DE⊂平面CDEF， 所以DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD， 所以AC⊥DE．因为四边形ABCD是正方形， 所以AC⊥BD，又DE∩BD＝D，DE，BD⊂平面BDE， 所以AC⊥平面BDE，又BE⊂平面BDE， 所以AC⊥BE； （2）由（1）知DE⊥平面ABCD， 又AD⊂平面ABCD，所以DE⊥AD， 又四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD， 所以AD，CD，ED两两垂直． 以AD，CD，ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设CD＝6，则D（0，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），F（0，2，3）， 所以， 设平面DBF的法向量为， 则，则 令x＝1，得， 所以平面DBF的一个法向量为， 设平面CBF的法向量为， 则，则， 令b＝3，得a＝0，c＝4， 所以平面CBF的一个法向量为， 设平面DBF与平面CBF的夹角为θ， 则， 即平面DBF与平面CBF的夹角的余弦值为． 【点评】本题考查线线垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 三．空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离（共6小题） 12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，AB＝AC＝AA1＝4，点P为棱B1C1的中点，则点P到直线AB的距离为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离．版权所有 【分析】根据直三棱柱ABC﹣A1B1C1条件，可判断△PAB为等腰三角形，进而可求出点P到直线AB的距离． 【解答】解：已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，AB＝AC＝AA1＝4，点P为棱B1C1的中点， 则， 所以， 同理， 所以△PAB为等腰三角形． 设点P到直线AB的距离为h， 因为，AB＝4， 则． 故选：A． 【点评】本题考查了空间点到直线的距离，属于中档题． 13．已知空间中有A（1，2，3），B（﹣1，2，2），C（2，0，1）三点，则点A到直线BC的距离为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离．版权所有 【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可． 【解答】解：因为有A（1，2，3），B（﹣1，2，2），C（2，0，1）， 所以，， 所以点A到直线BC的距离为：． 故选：A． 【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题． 14．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，则点D1到直线AE的距离为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离．版权所有 【分析】建系，利用向量法，向量数量积的运算，即可求解． 【解答】解：建系如图： 则D1（0，0，2），A（2，0，0），E（1，2，0）， 所以，， 所以点D1到直线AE的距离为： ． 故选：C． 【点评】本题考查向量法求解点到直线的距离，属中档题． 15．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线AA1的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离．版权所有 【分析】建系，利用向量法，向量数量积运算，即可求解． 【解答】解：建系如图： 则根据题意可得D1（0，0，2），E（1，2，0），A1（2，0，2），A（2，0，0）， 所以，，， 设与，都垂直的向量为， 则，取， 所以P到直线AA1的距离的最小值为． 故选：A． 【点评】本题考查异面直线的距离的求解，向量法的应用，属中档题． 16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点M满足，则点M到直线A1D的距离为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离．版权所有 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求点到直线的距离即可． 【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系， 以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的空间直角坐标系， 根据题意，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3， D（0，0，0），A1（1，0，1），M（1，2，0），设点M到直线A1D的距离为d， 所以，， 根据点到直线距离公式有：， 所以． 故选：C． 【点评】本题考查了点到直线的距离，属于基础题． 17．在空间直角坐标系中，点A（﹣1，1，1），B（﹣2，0，1），P（0，1，3），则P到直线AB的距离为　　 ． 【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离．版权所有 【分析】利用空间向量的点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：设直线AB的单位方向向量为， ∵点A（﹣1，1，1），B（﹣2，0，1），P（0，1，3）， ∴，，∴，， ∴，∴， ∴P到直线AB的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查向量法的应用，属于基础题． 四．空间中点到平面的距离（共4小题） 18．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E是AB的中点，则点A到平面EB1D的距离为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间中点到平面的距离．版权所有 【分析】根据棱锥的体积公式，利用等体积法求解即可． 【解答】解：设点A到平面EB1D的距离为d， 因为， 所以， 而， 所以，S△AED1， 所以d， 即点A到平面EB1D的距离为． 故选：C． 【点评】本题考查空间中点到平面距离的求法，熟练掌握等体积法，棱锥的体积公式是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 19．若平面α过点A（2，3，0）且该平面的一个法向量为，则点P（1，1，5）到平面α的距离为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间中点到平面的距离．版权所有 【分析】利用空间向量法求点到面的距离即可． 【解答】解：因为A（2，3，0），P（1，1，5）， 所以， 因为平面α的一个法向量为， 所以点P（1，1，5）到平面α的距离． 故选：A． 【点评】本题考查空间中点到平面距离的求法，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 20．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别是AB和BC的中点，则MN到平面A1C1D的距离为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间中点到平面的距离．版权所有 【分析】延长MN交DC延长线于点Q，连接A1Q，C1Q，根据MN∥平面A1C1D，则MN到平面A1C1D的距离转化为点Q到平面的距离，再利用等体积转换法即可求解． 【解答】解：延长MN交DC延长线于点Q，连接A1Q，C1Q， 易知MN∥平面A1C1D， 所以MN到平面A1C1D的距离即点Q到平面的距离， 设点点Q到平面的距离为h， 则， 因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1， 所以DQ，， 所以， 即， 解得， 所以MN到平面A1C1D的距离为． 故选：C． 【点评】本题考查利用等体积转换法求点到平面的距离，属于中档题． 21．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则点B到平面APQ的距离为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间中点到平面的距离．版权所有 【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得． 【解答】解：如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz， 则A（1，0，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），B（1，1，0），C1（0，1，1）， 因点P，Q分别为平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则， 于是，， 设平面APQ的法向量为， 则，即，令y＝1， 故可取，又，||， 则点B到平面APQ的距离为． 故选：B． 【点评】本题考查用空间向量的方法求点到平面的距离，属于中档题． 五．空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离（共5小题） 22．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则平面AEB1到平面C1DF的距离为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离．版权所有 【分析】利用空间向量法来求平行平面间的距离即可． 【解答】解：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），F（2，2，1），C1（0，2，2），A（2，0，0），E（0，0，1）， 所以，，，， 所以，即AE∥FC， 因为AE⊄平面C1DF，FC1⊂平面C1DF， 所以AE∥平面C1DF， 又因为四边形AB1C1D是平行四边形， 所以AB1∥C1D， 因为AB1⊄平面C1DF，C1D⊂平面C1DF， 所以AB1∥平面C1DF， 又因为AB1∩AE＝A，AB1，AE⊂平面AB1E， 所以平面AB1E∥平面C1DF， 所以平面AEB1到平面C1DF的距离为点A到平面C1DF的距离， 设平面C1DF的法向量为， 则，即， 令x＝1，则z＝2，y＝﹣2， 所以（1，﹣2，2）， 所以点A到平面C1DF的距离为． 故选：A． 【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题． 23．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为（　　） A．0 B． C． D． 【考点】空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离．版权所有 【分析】利用坐标法，由题可得AC∥平面EMN，然后利用点到平面的距离的向量求法即得． 【解答】解：如图建立空间直角坐标系， 则A（2，0，0），C（0，2，0），E（2，1，2），M（1，0，0），N（0，2，1）， 所以，， 设平面EMN的法向量为， 则，令x＝1，可得y＝1，z＝﹣1， 所以， 因为2×1+2×1﹣1×0＝0， 所以，又AC⊄平面EMN， 所以AC∥平面EMN， 故点A到平面EMN的距离即为直线AC到平面EMN的距离，又， 所以点A到平面EMN的距离为，即直线AC与平面EMN之间的距离为． 故选：B． 【点评】本题主要考查了向量在直线与平面距离求解中的应用，属于中档题． 24．已知直线AB∥平面α，平面α的法向量（1，0，1），平面α内一点C的坐标为（0，0，1），直线AB上点A的坐标为（1，2，1），则直线AB到平面α的距离为　　 ． 【考点】空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离．版权所有 【分析】由已知得（1，2，0），从而直线AB到平面α的距离d． 【解答】解：∵直线AB∥平面α，平面α的法向量（1，0，1）， 平面α内一点C的坐标为（0，0，1）， 直线AB上点A的坐标为（1，2，1）， ∴（1，2，0）， 直线AB到平面α的距离d． 故答案为：． 【点评】本题考查直线到平面的距离的求法，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用． 25．如图，在平行四边形ABCD中，∠CBD＝90°，沿其对角线BD将△BCD折起至△BC′D，使△BC′D所在平面与平面ABCD垂直． （1）证明：平面BC′D⊥平面AC′D； （2）若E为CC′上一点，且AC′∥平面BDE，BC＝BD＝1，求直线AC′到平面BDE的距离． 【考点】空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离；平面与平面垂直．版权所有 【分析】（1）由已知得CB⊥BD，再结面面垂直的性质可得CB⊥平面BC′D，而AD∥BC，则A D⊥平面BC′D，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论； （2）连接AC交BD于点O，连接OE，由线面平行的性质可得AC′∥OE，AC′∥平面BDE，则将AC′到平面BDE的距离转化为点C′到平面BDE的距离，可证得△DC′C为等边三角形，则DE⊥CC′，由线面垂直的判定可得CC′⊥平面BDE，从而可求得结果． 【解答】解：（1）证明：因为∠CBD＝90°，所以CB⊥BD， 因为平面BC′D⊥平面ABCD，平面BC′D∩平面ABCD＝BD，CB⊂平面ABCD， 所以CB⊥平面BC′D， 因为平行四边形ABCD，所以AD∥BC， 所以AD⊥平面BC′D，因为AD⊂平面AC′D，所以平面BC′D⊥平面AC′D； （2）因为AC′∥平面BDE，所以AC′到平面BDE的距离等于点C′到平面BDE的距离． 连接AC交BD于点O，连接OE， 因为AC′∥平面BDE，AC′⊂平面AC'C，平面AC′C∩平面BDE＝OE， 所以AC′∥OE，因为O为AC中点，所以E为CC′的中点， 因为BC＝BD＝1，∠CBD＝90°，所以， 在Rt△C′BC中，C′B＝1，BC＝1，所以BE⊥CC'，且， 所以△DC′C为等边三角形，所以DE⊥CC′， 因为BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，所以CC′⊥平面BDE， 所以C′E的长即为点C′到平面BDE的距离，因为， 所以AC′到平面BDE的距离为． 【点评】本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，属于中档题． 26．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，AB＝AA1＝4． （1）求证：A1B∥平面ADC1； （2）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1； （3）求直线A1B到平面ADC1的距离． 【考点】空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离；直线与平面平行；平面与平面垂直．版权所有 【分析】（1）连接A1C，交AC1于点O，连接OD，易得OD∥A1B，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先证明AD⊥BC，BB1⊥AD，从而知AD⊥平面BCC1B1，再由面面垂直的判定定理，即可得证； （3）先将问题转化为求点B到平面ADC1的距离，再利用等体积法求解即可． 【解答】（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O是A1C的中点， 因为D是BC的中点， 所以OD∥A1B， 又OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1． （2）证明：因为△ABC为等边三角形，且D是BC的中点， 所以AD⊥BC， 由正三棱柱的性质知，BB1⊥平面ABC， 因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD， 又BC∩BB1＝B，BC、BB1⊂平面BCC1B1， 所以AD⊥平面BCC1B1， 因为AD⊂平面ADC1， 所以平面ADC1⊥平面BCC1B1． （3）解：由（1）知A1B∥平面ADC1， 所以直线A1B到平面ADC1的距离等价于点B到平面ADC1的距离， 由（2）知AD⊥平面BCC1B1， 所以点A到平面BDC1的距离为AD， 因为AA1∥平面BDC1，所以点A1到平面BDC1的距离也为AD， 而AD•DC12，BD•CC14， 设点B到平面ADC1的距离为d， 因为， 所以d•AD•，即，解得d， 所以直线A1B到平面ADC1的距离为． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，线面、面面垂直的判定定理，以及利用等体积法求点到面的距离是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年新高二数学常考题型归纳 【空间向量求距离与夹角】 总览 题型梳理 一．空间向量法求解直线与平面所成的角（共6小题） 二．空间向量法求解二面角及两平面的夹角（共5小题） 三．空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离（共6小题） 四．空间中点到平面的距离（共4小题） 五．空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离（共5小题） 【知识点清单】 1．空间向量法求解直线与平面所成的角 【知识点的认识】 直线与平面所成角的求法： 向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|． 2．空间向量法求解二面角及两平面的夹角 【知识点的认识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角﹣﹣ 在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O． 3、二面角的平面角求法： 向量法：用空间向量求平面间夹角的方法： 设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 （1）当0，，θ，， 此时cosθ＝cos，． （2）当，π时，θ＝π，， cosθ＝﹣cos，． 3．空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 【知识点的认识】﹣点到直线的距离：点P到直线l的距离为： 其中是点P到直线上的点A的向量，是直线的方向向量． ﹣两平行直线间的距离：两平行直线的距离是它们之间任意一点到另一条直线的距离． 4．空间中点到平面的距离 【知识点的认识】 点到平面的距离 （1）定义：过该点作平面的垂线，此点与垂足之间线段的长度即为点到平面的距离。 （2）向量求法步骤 · 确定平面相关向量：设平面的法向量为，平面上一点，平面外一点，求出向量 。 · 计算投影：根据向量点积与模长关系，在法向量方向上的投影的绝对值，此值就是点到平面的距离。 题型分类 知识讲解与常考题型 一．空间向量法求解直线与平面所成的角（共6小题） 1．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1，P为B1C1的中点，则直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 2．若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（　　） A． B． C．或 D．或 3．正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，直线AA1与平面ABCD所成角的大小为60°，则该棱台的高为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD． （1）求证：平面DCE⊥平面ABCD； （2）求直线BE与平面DCE所成角的正切值． 5．如图1，等腰梯形AECD是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将△BCE沿BC翻折至△BCP，使得PD＝3，如图2所示． （1）求证：PD⊥BC； （2）求直线BD与平面BCP所成角的正弦值． 6．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形，AA1＝2AB＝6，E，F分别为线段CC1，A1B1上的点，且满足A1F：FB1＝C1E：EC＝2：1． （1）证明：C1F∥平面A1BE； （2）求直线EF与平面A1BE所成角的正弦值． 二．空间向量法求解二面角及两平面的夹角（共5小题） 7．如图，PA⊥平面ABCD，CF∥AP，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝7，AP＝BC＝14，CF＝8． （1）求直线BF与平面BDP所成角的正弦值以及点F到平面BDP的距离； （2）求二面角P﹣BD﹣F的正弦值． 8．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，A1B1＝1，点P为线段AC上的动点，棱台的体积为． （1）求AA1的长； （2）若CC1∥平面PB1D1，请确定点P的位置； （3）求平面PB1D1与平面BCC1B1的夹角的余弦值的最大值． 9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，E、F分别为BC，BB1的中点． （1）证明：C1E⊥平面ACF； （2）在线段EC1上是否存在点M，使得直线A1M与平面AC1E所成角的正弦值为若存在，求平面AFM与平面AC1E夹角的余弦值；若不存在，请说明理由． 10．如图1，在四边形ABCD中，，AC＝AD＝2，，如图2，把△ACD沿AC折起，使点D到达点P处，且平面PAC⊥平面ABC，Q为PC的中点． （1）求证：AC⊥BQ； （2）求二面角A﹣BQ﹣P的余弦值； （3）判断线段AP上是否存在点M，使得三棱锥M﹣ABQ的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是正方形，DE⊥CD，CD∥EF，CD＝3EF，CD＝2DE． （1）求证：AC⊥BE； （2）求平面DBF与平面CBF夹角的余弦值． 三．空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离（共6小题） 12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，AB＝AC＝AA1＝4，点P为棱B1C1的中点，则点P到直线AB的距离为（　　） A． B． C． D． 13．已知空间中有A（1，2，3），B（﹣1，2，2），C（2，0，1）三点，则点A到直线BC的距离为（　　） A． B． C． D． 14．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，则点D1到直线AE的距离为（　　） A． B． C． D． 15．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线AA1的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点M满足，则点M到直线A1D的距离为（　　） A． B． C． D． 17．在空间直角坐标系中，点A（﹣1，1，1），B（﹣2，0，1），P（0，1，3），则P到直线AB的距离为　 　 ． 四．空间中点到平面的距离（共4小题） 18．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E是AB的中点，则点A到平面EB1D的距离为（　　） A． B． C． D． 19．若平面α过点A（2，3，0）且该平面的一个法向量为，则点P（1，1，5）到平面α的距离为（　　） A． B． C． D． 20．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别是AB和BC的中点，则MN到平面A1C1D的距离为（　　） A． B． C． D． 21．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则点B到平面APQ的距离为（　　） A． B． C． D． 五．空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离（共5小题） 22．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则平面AEB1到平面C1DF的距离为（　　） A． B． C． D． 23．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为（　　） A．0 B． C． D． 24．已知直线AB∥平面α，平面α的法向量（1，0，1），平面α内一点C的坐标为（0，0，1），直线AB上点A的坐标为（1，2，1），则直线AB到平面α的距离为　 　 ． 25．如图，在平行四边形ABCD中，∠CBD＝90°，沿其对角线BD将△BCD折起至△BC′D，使△BC′D所在平面与平面ABCD垂直． （1）证明：平面BC′D⊥平面AC′D； （2）若E为CC′上一点，且AC′∥平面BDE，BC＝BD＝1，求直线AC′到平面BDE的距离． 26．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，AB＝AA1＝4． （1）求证：A1B∥平面ADC1； （2）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1； （3）求直线A1B到平面ADC1的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$