精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

哈师大附中2023级高二下期中考试 数学试题 一、单选题 1. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列中，，则的值为（ ） A. 236 B. 216 C. 204 D. 196 4. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 5. 若等比数列的前项和为，则“”是“单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 7. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 函数有极大值 D. 函数在上的最小值为 10. 已知函数，则下列描述正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的图像关于对称 C. 直线是的一条切线 D. 关于的不等式的解集为 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为， B. 函数的值域为 C. 若关于的方程有三个根，则 D. 若对于恒成立，则 三、填空题 12. 若函数存在单调递减区间 ， 则实数的取值范围是__________． 13. 设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则__________. 14. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）若，求在区间上的最小值和最大值. 16. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数 与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. （1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数 与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）依据（1）的结果和上表中的数据求出 关于的回归方程. （3）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 已知数列的前n项和为，， （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 18. 已知函数，其中，. （1）曲线在处的切线方程为，求，的值； （2）当时，求的极值点； （3）当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若 ①求函数的单调区间； ②求证： （2）若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大附中2023级高二下期中考试 数学试题 一、单选题 1. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【详解】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关， 所以都为正数，都为负数. 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1. 综上可得：. 故选：A. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】，， 令，且，易得： 所以单调递减区间是， 故选：B 3. 等差数列中，，则的值为（ ） A. 236 B. 216 C. 204 D. 196 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以，即. 所以. 故选：C 4. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数求导，由题意可得，求得或，再回代入函数解析式，检验其单调性和极值情况即可. 【详解】由求导得：， 因函数在处有极大值，故，解得或. 当时，， 由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故此时函数在处有极小值，不合题意； 当时，， 由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故此时函数在处有极大值，符合题意. 故. 故选：B. 5. 若等比数列的前项和为，则“”是“单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n项和公式及，结合充分、必要性定义判断条件的关系. 【详解】若的公比为 ，则， 若时，不单调，充分性不成立； 若单调递增，则恒成立，故，必要性成立， 所以“”是“单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为. 故选：C 7. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据条件判断函数的单调性，再根据函数的单调性把函数不等式转化为代数不等式，即可求出的取值范围. 【详解】设，，则. 因为在上恒成立，所以在上恒成立. 即在上单调递增. 又. 所以. 即不等式的解集为. 故选：A 8. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可得，构造函数，利用导数可得时，函数单调递减，进而有可得，即得. 【详解】因，故，故， 设，则， 令得，故当时，， 即函数在区间上单调递减， 因，故， 得，即，故， 故选：D 二、多选题 9. 已知函数．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 函数有极大值 D. 函数在上的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】因，则通过导数的定义可通过求来判断A；通过求导，研究的单调性可判断BCD. 【详解】由题意可得， 因，则，故A不正确； 由得或，由得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，故B正确，C正确， ，则函数在上的最小值为，故D不正确． 故选：BC. 10. 已知函数，则下列描述正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的图像关于对称 C. 直线是的一条切线 D. 关于的不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：对函数求导，根据导数正负确定单调区间，判断A选项.  对于B：依据函数关于点对称的性质，计算，判断B选项.  对于C：设切点求斜率，结合已知切线斜率求出切点，进而得到切线方程，判断C选项.  对于D：先确定函数单调区间，再结合范围，根据单调性解不等式，判断D选项. 【详解】对求导，可得. 令，即，解得或，此时函数单调递增. 令，即，解得，此时函数单调递减. 所以在上单调递减，A选项错误.  对于点，计算： ，. 则，满足，所以的图像关于对称，B选项正确.  设切点为，切线斜率. 若直线是的切线，则切线斜率，即，解方程可得. 当时，. 所以切线方程为，即，所以直线是的一条切线，C选项正确.  由前面分析可知在和上单调递增，在上单调递减. . 因为，且在上单调递增，，即，解得或. 所以不等式的解集为，D选项正确.  故选：BCD. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为， B. 函数的值域为 C. 若关于的方程有三个根，则 D. 若对于恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据分式函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图象，进而直接判断A和B；通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，并结合图象即可判断C，设函数，并求出与函数的切点的横坐标，结合图象分析时，直线斜率增大，此时函数满足在时处于直线下方，从而判断D. 【详解】（i）当时，， 则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. （ii）当时，，， 当在单调递增， 当在单调递减， 故， 且当时， ，，恒有. 综上可知，， 作出函数大致图象，如下图. 对于A，函数的单调减区间为，故A正确； 对于B，函数的值域为，故B错误； 对于C，方程有三个根， 则所以与有3个公共点， 由图象可知当时，与有3个交点，满足题意， 即的取值范围是，故C正确; 对于D，设函数为过定点的直线， 且与函数的切点为， 则有① ，②，且③， 由①②得， 将③代入上式可得，即， 即，解得或（舍去）， ，此时直线与函数相切，为临界情况； 当，直线斜率增大，此时函数满足在时，处于直线下方， 即对于恒成立， 因此，，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】总结点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对函数解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、填空题 12. 若函数存在单调递减区间 ， 则实数的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意转化为导数小于0有解，利用判别式求解即可. 【详解】求导可得， 由题意，有解， 所以只需，解得或， 故实数的取值范围是或. 故答案为：或. 13. 设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则__________. 【答案】3或 【解析】 【分析】由等比中项及等差数列前项和性质，列出等式求解即可. 【详解】由，可得， 即，即， 又成等比数列， 可得：，联立，消去， 可得：，可得：或， 当时，，易得， 当时，，可得， 所以3或， 故答案为：3或 14. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意存在唯一的变号正实根，即存在唯一的变号正实根，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，， 则， 因为函数存在唯一极值点， 所以存在唯一的变号正实根， 即方程存在唯一的变号正实根， 当时，， 当时，，当时，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数存在唯一极值点1，符合题意； 当时，方程，即， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要使方程存在唯一的变号正实根，且已经有一个正实根1， 则，即， 此时，，即， 当时，；当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数存在唯一的极值点，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）若，求在区间上的最小值和最大值. 【答案】（1）答案见解析 （2）的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，求出函数单调性； （2）求导，得到函数单调性，进而求出最值. 【小问1详解】 由题知， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，由得，（舍负）， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 因为，， 因为，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， ，， 由于，则， 故时，的最小值为，最大值为. 16. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. （1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程. （3）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）更适合 （2） （3）能 【解析】 【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型. （2）将两边取对数，转化为线性回归方程，利用表中的数据和线性回归方程公式求解即可. （3）应用卡方公式求卡方值，由独立性检验的基本思想下结论即可. 【小问1详解】 依据散点图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型. 【小问2详解】 由，得， 依题意得， ， 所以，即. 【小问3详解】 零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联， 此推断犯错误的概率不超过0.10. 17. 已知数列的前n项和为，， （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 因为， 所以当，时， ， 即 又时，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到当，时，，且有，由等比数列的定义即可证明结果； （2）由（1）及条件可得，，再利用等比等差数列前项和公式分组求和，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 又由，可得， 所以 18. 已知函数，其中，. （1）曲线在处的切线方程为，求，的值； （2）当时，求的极值点； （3）当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围. 【答案】（1），. （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义和题设条件得，即可求解； （2）对求导，得，再对进行讨论，利用极值的定义，即可求解； （3）根据条件得，令，得到，，再对进行讨论，求出在区间上的单调性，再结合条件，即可求解. 【小问1详解】 因为，由题可得， 即，解得，. 【小问2详解】 因为，， ①当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增，无极值点； ②当，即时，恒成立，当且仅当时取等号， 此时在区间上单调递增，无极值点； ③当，即时，因为的对称轴为， 令，得到或（舍）， 当时，，当时，， 所以为的极大值点，无极小值点， 综上，当时，无极值点，当时，极大值点为，无极小值点. 【小问3详解】 因为，则，所以， 令，解得，； ，， 当或时，，当时，， ①若，即时，此时在区间上单调递增， 所以的最大值为，解得， ②若，即时，此时在区间上单调递增；在上单调递减， 所以的最大值为，满足题意， ③若时，即时，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 因为，，所以满足题意 综上所述，在区间上的最大值为1，则的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若 ①求函数的单调区间； ②求证： （2）若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 【答案】（1）①的单调递减区间为，单调递增区间为；②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①当时，求得，令，可得，求得在单调递增，且，进而得到的单调区间； ②令，求得，令，得到，得到在上单调性，结合零点存在性定理，得到存在，使得，进而求得的单调性与，进而证得； （2）（法一）由，得到，令，取得，得到在上递增，进而得到，令，求得，得到的单调性与最小值，即可求解； （法二）设，求得，设，得到，进而求得的单调性，求得，令，求得，得到函数的单调性与最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：①当时，函数，可得，则， 令，可得， 所以在单调递增，且， 当时，，即，在单调递减； 当时，，即，在单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. ②证明：令，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，且，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 可得， 又由，可得，则， 所以，即. 【小问2详解】 解：（法一）由，可得，则， 令，可得，所以在上递增， 又由，可得，所以， 令，可得， 由，解得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以实数的取值范围为. （法二）设，则， 设，则， 因为在上递增，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以在递减， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $