精品解析：辽宁省鞍山市第一中学2024-2025学年高三八模数学试卷

.2024-2025学年高三（25届）八模数学科试卷 命题人：孙宁 校对人：王华 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A，B，根据交集运算即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C 2. 命题，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 不存在，使 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题，的否定为，. 故选：B 3. 已知，，在上的投影的数量为，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影数量求出数量积，故可求. 【详解】因为在上的投影的数量为，故，故， 故， 故选：C. 4. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（ ） A. 0.206 B. C. 0.596 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点，可求，再推导出，可求值. 【详解】由表格中数据得， ， 代入方程得，，解得，因此. 由两边取对数，得. 又，所以，，即. 故选：D 5. 小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出每年应还款的数额，分别求出10年还款的现金与利息和以及银行贷款10年后的本利和，列等式后求得每年应还款数． 【详解】设每年应还万元，则有， 得 ， 解得． 故选：B． 6. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 【答案】B 【解析】 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 7 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用变角化，然后再用正弦的两角和差公式，结合平方关系即可求值. 【详解】 , 故选：A. 8. 已知，若有唯一解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数性质，只需要研究的零点个数，然后用换元法构造新函数进行求导证明单调性，借助端点值效应，，所以可证明存在唯一零点的参数取值范围. 【详解】，， 为偶函数， ，设，， 则在有唯一零点．，当且仅当取等号． 若,时，，则在单调递增， 又因为，所以在有唯一零点 若,时，令得，即， 解得或， 其中，满足要求， ， 其中，故在时恒成立， 所以，即，不合要求， 当时，，则在单调递减， 所以，时，， 故在有1个零点． 又，所以在上有两个零点，不满足题意， 故的取值范围为． 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，设直线为抛物线在点处的切线，过点作的垂线交抛物线于另一点，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线的斜率为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线定义判断A，根据导数的几何意义求切线斜率可判断B，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系判断C，根据不等式的性质及抛物线的定义判断D. 【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A对， 因为，即，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 直线的斜率为，所以选项B错； 由，消得到， 则，得到，所以选项C正确； 对于选项D，因为， 得到，所以当时，， 又，所以，则，故选项D正确． 故选：ACD 11. 由9个不同的实数构成一个数表，若中每行3个数之和、每列3个数之和、两条对角线3个数之和均相等，则称为一个3阶幻方，这个和称为幻和，例如就是一个3阶幻方，幻和为15．则下列结论正确的是（ ） A. 设是一个3阶幻方，则 B. 设是一个3阶幻方，则是的中位数 C. 将正整数1，2，…，9填入数表中构成一个3阶幻方，可能为奇数 D. 将正整数1，2，…，9填入数表中构成一个3阶幻方，的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过幻和的定义计算判断A，结合中位数的定义根据3阶幻方的定义求解判断B，利用反证法结合3阶幻方的定义判断C，结合C选项利用古典概型概率公式求解判断D. 【详解】对于A，根据条件中对于幻和的定义，第一行加第三行减去两条对角线可表示为： ，化简可得， 再代入到第二列中，可得：．所以A对． 对于B，对第二行，第二列和两条对角线应用结论， 得，，，所以必有4个数小于， 有4个数大于，即是这9个数的中位数．所以B对． 对于C，假设是奇数，由选项A可知，幻和为15是奇数，且， 则必为奇数，如此则每一行和每一列当中都有奇数，对于任意一行或列而言， 要么三个都是奇数，要么只能有一个奇数， 如此幻方当中奇数的数量只能是3个或者9个，与已知5个奇数矛盾，故不可能是奇数．所以C错． 对于D，同C可以证明一定为奇数，1，3，7，9等可能行的出现，所以取3的概率为． 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求. 【详解】由题意可得，故， 故展开式的第四项为, 故系数为， 故答案为： 13. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，圆上有一个动点，若的面积为15，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式及向量的极化恒等式，分别得出两个方程，两式相除即可得解. 详解】由题意得，故， 因为， 因为为的中点，由极化恒等式可得， 所以， 两式相除得． 故答案为： 14. ，用表示，中的较小者，记为，设函数，，若，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，判断函数的单调性，求出的解集为，问题转化为时，恒成立，即，再利用基本不等式，求出（）的最小值即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递增， 又. 所以当时，，时成立． 当时，. 又因为对，， 所以时，恒成立． 即时，，， 设，则， 当且仅当取等号，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数．若函数的相邻两条对称轴间的距离为． （1）求的值，并求函数在的值域； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【答案】（1）1， （2）． 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简后，利用正弦型函数的周期求出，再由自变量的范围求出值域； （2）根据函数为奇函数， 由诱导公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，函数的最小正周期，所以， 所以． ，，． 所以，在的值域为． 【小问2详解】 函数为奇函数， 令得，所以， 因为，所以，． 16. 设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． （1）求动点的轨迹方程； （2）已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件设出点的坐标，再利用为线段的中点得到，代入中即可求解； （2）将转化为用和表示，代入点的坐标得到关于的一元二次函数即可求得最大值. 【小问1详解】 ，分别是直线和上的动点， 设，，， 点为线段的中点，则，， 又， ，即， 动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 线段是圆的一条直径，圆心为，半径为， ， ， ，当时，取得最大值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． （1）若平面与直线交于点，求的值； （2）若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用共面向量基本定理及向量的坐标运算求得，即可得解. （2）求出平面和平面的法向量，利用向量法根据平面夹角的余弦值列式求得，最后利用向量法求解点面距离即可. 【小问1详解】 在平面内作， 因为平面，平面，平面， 所以， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，，，， 又，分别为，的中点， ，，设， ， ，，共面，存在实数，，使得， 即， 所以，解得，所以； 【小问2详解】 设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 又，， 设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 设平面和平面所成的角为， ， 整理得，，， ，， 故点到平面的距离为． 18. 十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60％，次品率为6％；第二批占40％，次品率为5％．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查． （1）从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率； （2）若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批片数的分布列和数学期望； （3）若该企业使用新技术前生产的芯片剩余片，经检查有200片为次品，从中任取500片，表示取出的500片中次品的数目．已知取出的500片中次品有15片，试求出的估计值．（以使得最大的的值作为的估计值）． 【答案】（1）0.944 （2）分布列见解析， （3）6666． 【解析】 【分析】（1）设事件“任取一个芯片是合格品”，事件“产品取自第一批”，事件“产品取自第二批”，根据全概率公式求解即可； （2）由条件可知：第一批芯片数：9，第二批芯片数：6；的取值范围为，结合超几何分布求解概率分布列及数学期望即可； （3）由题可得当时，，当时，，设，确定其单调性从而得最大的的值. 【小问1详解】 设事件“任取一个芯片是合格品”，事件“产品取自第一批”， 事件“产品取自第二批”，则且、互斥； 由全概率公式可知：， 所以． 【小问2详解】 由条件可知：第一批芯片数：9，第二批芯片数：6； 的取值范围为， ；； ；． 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 【小问3详解】 当时，， 当时，， 记，则 ． 当时，， ， 即当时，，即； 同理可得当时，，即． 故时，最大，所以的估计值为6666． 19 已知 （1）当时，求函数的单调区间； （2），恒成立，求的取值范围； （3），恒成立，求正整整的最小值． 【答案】（1）增区间为和，减区间为． （2） （3）2 【解析】 【分析】(1)依据题设条件，运用导数与函数的单调性之间的关系求解； (2)依据题设条件，先将不等式进行化简，再构造函数借助导数工具，对参数的取值范围分类探求其最值； (3)构造函数利用导数求其最小值，得到一个不等式对进行适当的放大，然后利用等比数列的求和公式计算最后得到正整数的最小值. 【小问1详解】 若，则， 令，得或， 得或，得， 函数的增区间为和，减区间为． 【小问2详解】 因为， 所以， 即， 因为，所以对任何均恒成立． 设函数，则时． 因为 所以，故． 又， 若，则，所以得，得， 所以函数在递减，递增， 所以时成立． 若，则时，得或 ，，即． 所以得或，得， 所以函数在递增，递增，递减， 所以函数的最小值在或处取得， ，， 时成立． 综上，的取值范围． 小问3详解】 设， 时得，得， 所以函数在递增，递减， 故，即， 所以，故， 所以， 故， 因为，所以正整数满足成立． 又因为时，，所以正整数最小值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ .2024-2025学年高三（25届）八模数学科试卷 命题人：孙宁 校对人：王华 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 不存在，使 3. 已知，，在上的投影的数量为，则（ ） A. 6 B. C. D. 4. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（ ） A. 0.206 B. C. 0.596 D. 5. 小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元. A. B. C. D. 6. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若有唯一解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，设直线为抛物线在点处的切线，过点作的垂线交抛物线于另一点，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线的斜率为 C. D. 11. 由9个不同的实数构成一个数表，若中每行3个数之和、每列3个数之和、两条对角线3个数之和均相等，则称为一个3阶幻方，这个和称为幻和，例如就是一个3阶幻方，幻和为15．则下列结论正确的是（ ） A. 设是一个3阶幻方，则 B. 设是一个3阶幻方，则是的中位数 C. 将正整数1，2，…，9填入数表中构成一个3阶幻方，可能为奇数 D. 将正整数1，2，…，9填入数表中构成一个3阶幻方，的概率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为______. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，圆上有一个动点，若的面积为15，则________． 14. ，用表示，中的较小者，记为，设函数，，若，，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数．若函数相邻两条对称轴间的距离为． （1）求值，并求函数在的值域； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 16. 设，分别是直线和上动点，且，动点为线段的中点． （1）求动点的轨迹方程； （2）已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，中点． （1）若平面与直线交于点，求值； （2）若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 18. 十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60％，次品率为6％；第二批占40％，次品率为5％．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查． （1）从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率； （2）若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批片数的分布列和数学期望； （3）若该企业使用新技术前生产的芯片剩余片，经检查有200片为次品，从中任取500片，表示取出的500片中次品的数目．已知取出的500片中次品有15片，试求出的估计值．（以使得最大的的值作为的估计值）． 19. 已知 （1）当时，求函数的单调区间； （2），恒成立，求的取值范围； （3），恒成立，求正整整的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $