精品解析：山东省济宁市兖州区兖州十八中、兖州八中、十三中等2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中教学质量检测 八年级数学试题 试卷说明： 1．本试题共页，满分100分，考试时间120分钟 2．请将答案写在答题纸指定位置. 第I卷 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分．将正确答案的字母填入答题卷的表格中． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知在中，对角线相交于点，若，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形ABCD两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，菱形ABCD的面积为24，则OE长为（　　） A. 2.5 B. 3.5 C. 3 D. 4 4. 平行四边形中，对角线和的长分别为16和12，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺(丈尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为(　　) A B. C. D. 7. 如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是一张平行四边形纸片，张老师要求学生利用所学知识作出一个菱形．甲、乙两位同学的作法如下： 甲：如图2，分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形． 乙：如图1，连接，作的中垂线交、于点、，则四边形是菱形． 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　） A. 甲、乙均正确 B. 甲、乙均错误 C. 仅甲正确 D. 仅乙正确 9. 如图，中，、交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点E，交于点F，连接，若，的周长为14，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：共6道小题，每小题3分，共18分，要求只写出最后结果，填入答案卷相应的位置． 11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 12. 如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为______． 13. 平行四边形中，，，若平分交边于点，则的长为________． 14. 在△ABC中，三边长分别为1、、，则它的面积为_______． 15. 在中，对角线相交于点O，，则的面积是______． 16. 如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是_____． 三、解答题：本大题共7道小题，满分52分，解答应写出文字说明和推理步骤． 17 计算：． 18. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E，求证：四边形BOCE是矩形． 19. 有一块薄铁皮ABCD，∠B=90°，各边的尺寸如图所示，若对角线AC剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？ 20. 已知，．求的值． 21. 【尝试】如图，把一个等腰直角沿斜边上的中线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形，如示意图1．（以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明） （1）猜一猜：四边形一定是 ； （2）试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图1不同的四边形，并在图2中画出示意图． 【探究】在等腰直角中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形． （1）想一想：你能拼得四边形分别是 （写出两种即可）； （2）画一画：请分别在图3，图4中画出你拼得这两个四边形的示意图． 22. 如图，，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=6，BD=8，过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长． 23. 正方形中，点E为边上的任意一点（点E不与B，C重合），点P为线段上一动点，过点P作直线． （1）如图1，当直线l经过点D时，直线l交边于点F，求证：； （2）如图2，当直线l分别交边，边于点M，点N时，如果，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中教学质量检测 八年级数学试题 试卷说明： 1．本试题共页，满分100分，考试时间120分钟 2．请将答案写在答题纸指定位置. 第I卷 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分．将正确答案的字母填入答题卷的表格中． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐一判断即可：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、含开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、含开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的概念，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 2. 如图，已知在中，对角线相交于点，若，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴的周长， 故选：． 3. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，菱形ABCD的面积为24，则OE长为（　　） A. 2.5 B. 3.5 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得OB＝OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，菱形ABCD的面积为24， ∴， 解得：BD＝8， ∴AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO， 又∵点E是AB中点， ∴OE是△DAB的中位线， 在Rt△AOD中，AD=＝5， 则OE＝AD＝2.5． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键． 4. 平行四边形中，对角线和的长分别为16和12，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设对角线和相交于O，根据平行四边形的性质求出，再根据三角形三边的关系求出边的取值范围即可． 【详解】解：设对角线和相交于O， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，即， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形三边的关系，熟知平行四边形对角线互相平分是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可 【详解】A. ，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B. ，不同类二次根式，不能合并，不符合题意； C. 符合题意； D.， 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键． 6. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺(丈尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由竹子的原长及折断处离地面的高度，可得出折断处到竹梢触地面处的长度为尺，再利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵竹子原高丈(丈尺)，且折断处离地面的高度为尺， ∴折断处到竹梢触地面处的长度为尺． 根据题意得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 7. 如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出三角形的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，由勾股定理得： ， 根据的面积，得： ， 即：， 解得：． 故选：C． 8. 如图，四边形是一张平行四边形纸片，张老师要求学生利用所学知识作出一个菱形．甲、乙两位同学的作法如下： 甲：如图2，分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形． 乙：如图1，连接，作的中垂线交、于点、，则四边形是菱形． 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　） A. 甲、乙均正确 B. 甲、乙均错误 C. 仅甲正确 D. 仅乙正确 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明，可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判定四边形是平行四边形，再由，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出是菱形；四边形是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得，所以四边形是菱形． 【详解】解：甲的作法正确； 四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 乙的作法正确； ， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ，且， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 故选：A． 【点睛】本题考查的是作图复杂作图，熟知平行四边形的性质及菱形的判定定理是解答此题的关键． 9. 如图，中，、交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点E，交于点F，连接，若，的周长为14，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得EA=EC，再根据三角形BCE的周长可以得到AB的长，从而得到CD的长 ． 【详解】解：由已知条件可知EF是AC的垂直平分线，所以EA=EC， ∵△BCE 的周长为14， ∴BC+CE+EB=14， ∴BC+EA+EB=14， 即BC+AB=14， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC=AB，BC=AD=6， ∴DC=14-BC=14-6=8， 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质、线段垂直平分线的作图与性质是解题关键． 10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连接BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°， 而CE=DF， ∴AF=DE， 在△ABF和△DAE中 ∴△ABF≌△DAE， ∴AE=BF，所以（1）正确； ∴∠ABF=∠EAD， 而∠EAD+∠EAB=90°， ∴∠ABF+∠EAB=90°， ∴∠AOB=90°， ∴AE⊥BF，所以（2）正确； 连接BE， ∵BE＞BC， ∴BA≠BE， 而BO⊥AE， ∴OA≠OE，所以（3）错误； ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF=S△DAE， ∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF， ∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”． 二、填空题：共6道小题，每小题3分，共18分，要求只写出最后结果，填入答案卷相应的位置． 11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≥2且x≠4 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解． 【详解】由题意得，x﹣2≥0且4﹣x≠0，解得x≥2且x≠4． 故答案为：x≥2且x≠4． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 12. 如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是根据菱形的性质，求出，且，根据勾股定理，即可求出菱形的边长． 【详解】解：设，的交点为， ∵四边形是菱形， ∴，且， ∴， ∴菱形的边长为． 故答案为：． 13. 平行四边形中，，，若平分交边于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，以及等角对等边． 根据平行四边形性质可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质推出，则，最后根据，即可求解． 详解】解： 平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 在△ABC中，三边长分别为1、、，则它的面积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理先得到三角形是直角三角形，在求面积即可 【详解】解：∵， ∴△ABC是直角三角形， ∴面积为， 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形面积的求解，熟练掌握知识点是解题关键. 15. 在中，对角线相交于点O，，则的面积是______． 【答案】24 【解析】 【分析】如图，与交于，由平行四边形的性质可得，，由，即，可得是直角三角形，且，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，与交于， ∵， ∴，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 16. 如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：MK＝FK＝1，NP＝3，PF＝2，利用勾股定理可得MN的长． 【详解】过M作MK⊥CD于K，过N作NP⊥CD于P，过M作MH⊥PN于H， 则MK∥EF∥NP， ∵∠MKP＝∠MHP＝∠HPK＝90°， ∴四边形MHPK是矩形， ∴MK＝PH，MH＝KP， ∵NP∥EF，N是EC中点， ∴ ∴PF＝FC＝BE＝2，NP＝EF＝3， 同理得：FK＝DK＝1， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC＝45°， ∴△MKD是等腰直角三角形， ∴MK＝DK＝1，NH＝NP﹣HP＝3﹣1＝2， ∴MH＝2+1＝3， 在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN＝ 故答案为． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；本题的关键是构造直角三角形MNH，根据勾股定理计算． 三、解答题：本大题共7道小题，满分52分，解答应写出文字说明和推理步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质进行化简，然后进行乘除运算，最后进行减法运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算．解题的关键在于正确的运算． 18. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E，求证：四边形BOCE是矩形． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】先证四边形BOCE是平行四边形，再由菱形的性质得∠BOC = 90°，即可得出结论． 【详解】证明：∵BE∥AC，EC∥BD， ∴四边形BOCE是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC = 90°， ∴BOCE是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 19. 有一块薄铁皮ABCD，∠B=90°，各边的尺寸如图所示，若对角线AC剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？ 【答案】是，理由见解析． 【解析】 【分析】先在△ABC中，由∠B=90°，可得△ABC为直角三角形；根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2=8，那么AD2+AC2=9=DC2，由勾股定理的逆定理可得△ACD也为直角三角形． 【详解】都是直角三角形．理由如下： 连接AC． 在△ABC中，∵∠B=90°， ∴△ABC为直角三角形； ∴AC2=AB2+BC2=8， 又∵AD2+AC2=1+8=9，而DC2=9， ∴AC2+AD2=DC2， ∴△ACD也为直角三角形． 20. 已知，．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先计算x+y=−6，xy=6，可得x<0，y<0，根据二次根式的性质化简，然后x+y=−6，xy=6，代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴x+y=−6，xy=6， ∴x<0，y<0． 原式= = =． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式的化简，二次根式的混合运算，掌握以上知识是解题的关键． 21. 【尝试】如图，把一个等腰直角沿斜边上的中线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形，如示意图1．（以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明） （1）猜一猜：四边形一定是 ； （2）试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图1不同的四边形，并在图2中画出示意图． 【探究】在等腰直角中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形． （1）想一想：你能拼得四边形分别是 （写出两种即可）； （2）画一画：请分别在图3，图4中画出你拼得的这两个四边形的示意图． 【答案】[尝试]（1）平行四边形；（2）作图见解析；[探究]（1）平行四边形，矩形；（2）作图见解析 【解析】 【分析】[尝试]（1）由题意知，，，则四边形一定是平行四边形，然后作答即可； （2）如图2，将绕顺时针旋转至，则，，即四边形是正方形，四边形即为所求； [探究]（1）如图3，为的中位线，拼四边形，则 ，，，即四边形是矩形；如图4，为的中位线，拼四边形，则，，即四边形是平行四边形；进而可得结果； （2）画四边形的示意图如图3、图4． 【详解】[尝试]（1）解：由题意知，，， ∴四边形一定是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）解：如图2，将绕顺时针旋转至，则四边形是正方形； [探究]（1）解：如图3，为的中位线，拼四边形，由题意知，四边形是矩形； 如图4，为的中位线，拼四边形，由题意知，四边形是平行四边形； 故答案为：矩形、平行四边形； （2）解：画四边形的示意图，如图3、图4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，中线，中位线，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22. 如图，，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=6，BD=8，过点A作AH⊥BC于点H，求AH长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出BC=AB=5，由菱形的面积等于对角线积的一半和底乘高即可求得结论． 【小问1详解】 解：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， ∵AEBF， ∴∠DAC=∠ACB， ∴∠BAC=∠ACB． ∴AB=BC， 同理AB=AD， ∴AD=BC． 又AEBF， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形； 【小问2详解】 在菱形ABCD中， OB=BD=4，OC=AC=3，AC⊥BD， ∴BC=5． ∵S菱形ABCD=AC·BD=BC·AH， ∴×6×8=5AH， ∴AH=． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，菱形的性质和判定，解题的关键是通过角的平分线和平行线的性质及等腰三角形的判定证得AB=BC，AB=AD． 23. 正方形中，点E为边上的任意一点（点E不与B，C重合），点P为线段上一动点，过点P作直线． （1）如图1，当直线l经过点D时，直线l交边于点F，求证：； （2）如图2，当直线l分别交边，边于点M，点N时，如果，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到； （2）过点M作于点H，先证明四边形是矩形，即可得到，，再证明．即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过点M作于点H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $