精品解析：广西南宁市第三中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题

2024年南宁三中高二年级下学期段考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数（是虚数单位）的实部为3，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法及复数的概念求解. 【详解】因为, 所以，解得， 故选：B 2. 已知向量满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积进行求解，判断选项. 【详解】根据题意可得，. 故选：A. 3. 从3名男生，2名女生中选2人参加某项活动，在男生甲被选中的条件下，女生乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别求得男生甲被选中和女生乙被选中的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设事件“表示男生甲被选中”，事件“表示女生乙被选中”， 则， 则. 故选：C. 4. 如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（ ） A. 函数在内，当越来越大时的图象越来越陡峭 B. 2不是函数的极值点 C. 在处切线的斜率小于零 D. 在区间上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】结合导函数的图象，利用导函数与原函数的关系逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图知，当时，函数的图象呈递增趋势，即越来越大时， 导数值越来越大，函数上的切线斜率越来越大，则其图象越来越陡峭，故A正确； 对于B，因无论从的左边还是右边接近2时，导函数的值均为正数，故2不是函数的极值点，故B正确； 对于C，由图知，，即在处切线的斜率大于零，故C错误； 对于D，由图知，当时，恒成立，故在区间上单调递增，即D正确. 故选：C. 5. “”是“直线与曲线相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】设在处的切线为，可得，求解即可. 【详解】设在处的切线为， 由，可得，所以， 所以，，所以， 所以或，所以或. ”是“直线与曲线相切”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程可得直线恒过定点，由圆的几何性质可得当时，周长最小，由此可求的值，即而得出圆心到直线的距离及弦长，求出面积即可. 【详解】由可得， 故圆心，半径， 直线的方程可化为， 所以直线恒过定点， 因为 所以点在圆内， 由圆的性质可得当时，最小，周长最小， 又， 所以，此时，即直线， 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以， 故选：B 7. 正四棱台下底面边长为4，上底面边长为2，高为3，则该正棱台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，高为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上， 设外接球的球心为， 设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，因为正四棱台的高为， 则，解得，所以， 所以该正四棱台的外接球的表面积为. 故选：C. 8. 南宁三中五象校区高二年级在本学期组建了年级学生会，共设了学习部、生活部和文体部三个部门，现有5个同学去竞聘年级学生会委员，若每个部门至少聘用他们中的一个人，每人恰被一个部门聘用，并且甲同学和乙同学不会被同一个部门聘用，则不同的聘用情况总数是（ ） A. 336 B. 162 C. 114 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据不平均分组分配计算原理，算出总事件的情况，再排除甲同学和乙同学在同一组的情况即可. 【详解】根据题意分组的方法有两种，第一种：3、1、1，第二种：2、2、1， 第一种方案共有：，第二种方案共有：， 故总体的分配方案共有150种， 又甲同学和乙同学不会被同一个部门聘用， 则在第一种方案中甲同学和乙同学在同一组的方案有：， 在第二种方案中甲同学和乙同学在同一组的方案有：， 故符合题意得方案有：, 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线和所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；利用面面垂直的判定推理判断B；利用等积法求出三棱锥的体积判断C；求出异面直线和所成的角的余弦值判断D. 【详解】对于A， 在四棱锥中，连接交于点，连接， 在中，点为中点，而为的中点，则， 平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，平面，平面，则， 又，平面， 于是平面，又平面，因此平面平面，B正确； 对于C，在中，，由为的中点， 得，C错误； 对于D，由选项A知，异面直线和所成的角即为（或其补角）， 在Rt中，，， 在Rt中，，， 在Rt中，，则，D正确. 故选：ABD 10. 已知是定义在上连续的奇函数，其导函数为，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 4为的一个周期 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由是奇函数得，求导可得为偶函数；对于B，根据得的图象关于直线对称；对于C，再利用对称性和奇偶性可确定CD. 【详解】因为是定义在上连续的奇函数，所以，两边同时求导得 ，即为偶函数，故A正确； 又，即， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 为奇函数，， 即，故C正确； 为奇函数，， ，即， 所以的一个周期为8，故D错误； 故选：ABC. 11. 费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出双曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（、为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.双曲线的左、右焦点分别为、，右顶点到一条渐近线的距离为，右支上一动点处的切线记为，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 当轴时，则内切圆圆心横坐标为 C. 当轴时，则与轴交点横坐标为 D. 过点作，垂足为， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出的值，结合双曲线的离心率公式可判断A选项；利用切线长定理结合双曲线的定义可判断B选项；求出、的值，结合角平分线定理可判断C选项；利用延长、交于点，利用双曲线的定义、中位线的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，双曲线的渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为，解得， 所以，双曲线的离心率为，A对； 对于B选项，如下图所示： 设的内切圆圆分别切三边于点、、， 由切线长定理可得，，， 所以， 所以，解得，即内切圆圆心横坐标为，B错； 对于C选项，设直线交轴于点，由题意，，则， 易知点，将代入双曲线的方程得，解得，即， 由双曲线的定义可得，故， 由角平分线定理得，故， 即，故，C对； 对于D选项，延长、交于点， 因为，且，故，即为的中点，， 又因为为的中点，所以，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二项展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的系数． 【详解】的展开式的通项为， 令，解得，因此，展开式中的系数为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 13. 抛物线的焦点为，直线与交于两点，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】先求得两点的坐标，再利用抛物线定义求得的值，进而求得的值． 【详解】抛物线的焦点，准线为， 直线可化为， 由，整理得， 解之得或，则或 当时，，此时 当时，，此时 综上所述： 故答案为：1 14. 已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】取，推出（），分为奇偶数讨论，求出表达式，继而求得的表达式，整理化简不等式后，结合指数函数的单调性即可求得参数的范围. 【详解】由可得，① 当时，，因，则. 当时，② 由：，设，则有. 当为奇数时，数列为首项是，公差为2的等差数列， 故； 当为偶数时，数列为首项是，公差为2的等差数列， 故. 即，则. 当为奇数时，， 解得，根据指数函数的单调性可得：； 当为偶数时，， 解得，根据指数函数的单调性可得：. 综上所述，可得实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程与演算步骤. 15. 已知是各项均为正数的数列的前项和，. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明：因为，故， 故即， 而为正项数列，故，故为等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据退位相减法可得，故可证明数列是等差数列； （2）利用裂项相消法可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，则，解得， 结合（1）的结果可得是首项为，公差为的等差数列，故， 故， 故 . 16. 如图，在直三棱柱中，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 如图，连接与交于点，连接， 因四边形为矩形， 则为的中点，为的中点，故， 又平面，平面， 故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再由线线平行即可证得线面平行； （2）先由条件求得，再建系，写出相关点的坐标，求出相关向量坐标，利用向量夹角的计算公式即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面，且， 故，解得. 如图，取的中点，则，平面， 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 因， 设平面的法向量为， 则，故可取； 设平面的法向量为， 则，故可取. 则， 因二面角是锐二面角，故二面角的余弦值为. 17. 某无人机制造有限公司是世界级独角兽企业，其产品优质，畅销全球.该公司2024年有3条新型无人机生产线. （1）假设新型无人机销售时按整箱出售，每箱10台.采购商在采购时，会随机选择一箱，并从中一次性随机抽取3台进行检查，若此箱产品中恰好有2台次品，求检测到的次品数的分布列和数学期望. （2）该公司的3条新型无人机生产线的次品率和生产的无人机所占比例如下表： 次品率 占比 1号生产线 0.01 2号生产线 0.02 3号生产线 0.04 现从所生产的无人机中随机抽取1台，用频率估计概率，已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产线所生产的概率，并分析该次品来自哪号生产线的可能性最大. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 ，数学期望为 （2）1号生产线所生产的概率为，2号生产线所生产的概率为，3号生产线所生产的概率为，该次品来自第2条生产线的可能性最大 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，进而求解分布列和数学期望； （2）设表示“取到的是一台次品”，，2，表示“所取到的产品是由第条生产线生产”，根据题目所给数据结合全概率公式得到，再分别求出次品分别由三条生产线所生产的概率，比较大小即可． 【小问1详解】 由题意，的可能取值为， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为， 【小问2详解】 设表示“取到的是一台次品”，，2，表示“所取到的产品是由第条生产线生产”， 由题意得：，，， ，，， ， 所以， ， ， 故该次品来自第2条生产线的可能性最大． 18. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切于，且与圆外切于，设动圆的圆心轨迹为曲线（如图）· （1）求曲线的方程； （2）若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与曲线相交于点和，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形的几何性质和椭圆的定义，从动态图形上找到椭圆的参数，求出椭圆标准方程. （2）根据椭圆中四边形面积的算法，结合韦达定理求出面积的表达式，构造函数，根据函数单调性，求出函数最值，得到面积最小值. 【小问1详解】 根据题意可知，，且， 因为， 可知动圆的圆心到距离之和为定值4，且， 所以的轨迹是以为焦点，，即的椭圆， 可知，求得，在椭圆中， 所以椭圆标准方程为. 【小问2详解】 如图所示，过点作圆的两条垂直切线， 切线与椭圆的交点坐标设为，设直线为. 因为直线与圆相切，所以原点到直线的距离为1， 可得，化简得， 联立直线和椭圆方程得，消去得， 根据韦达定理可知， 则根据弦长公式， 同理可知，当替换时可得， 四边形的面积为， 化简得， 令，则， 令，因为则，则， 此时，当取得最大值时，面积取得最小值， 根据对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则当时，可得面积最小值，此时， 即四边形面积最小值为. 19. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围. （3）若，证明：. 【答案】（1）证明：当时，， 证明即，即， 令，则， 所以函数在上单调递增，且， 得，所以. 又，则，故， 所以当时，. （2） （3）证明：易知，则，所以， 又，所以， 当时，. 当时，由得，则， 令（），则， 所以在上单调递增，且， 所以， 又， 所以. 【解析】 【分析】（1）将原不等式转化为，设，利用导数研究的性质，结合即可证明； （2）将原问题转化为在上恒成立，利用三阶导数研究函数的性质即可求解； （3）由得，易证当时；当时，易知，利用导数证明，结合数列的裂项相消求和法计算即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数在上单调递减， 则在上恒成立， 令（），则， 令，则且，， 若，则使得时， 单调递增，则，即， 所以在上单调递增，又， 所以，即， 所以在上单调递增，不符合题意. 若，则，此时恒成立， 所以函数在上单调递减，得，即， 所以在上单调递减，得，即， 所以在上单调递减，符合题意. 综上，a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年南宁三中高二年级下学期段考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数（是虚数单位）的实部为3，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知向量满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 0 3. 从3名男生，2名女生中选2人参加某项活动，在男生甲被选中的条件下，女生乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（ ） A. 函数在内，当越来越大时的图象越来越陡峭 B. 2不是函数的极值点 C. 在处切线的斜率小于零 D. 在区间上单调递增 5. “”是“直线与曲线相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 7. 正四棱台下底面边长为4，上底面边长为2，高为3，则该正棱台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 南宁三中五象校区高二年级在本学期组建了年级学生会，共设了学习部、生活部和文体部三个部门，现有5个同学去竞聘年级学生会委员，若每个部门至少聘用他们中的一个人，每人恰被一个部门聘用，并且甲同学和乙同学不会被同一个部门聘用，则不同的聘用情况总数是（ ） A. 336 B. 162 C. 114 D. 60 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线和所成的角为 10. 已知是定义在上连续的奇函数，其导函数为，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 4为的一个周期 11. 费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出双曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（、为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.双曲线的左、右焦点分别为、，右顶点到一条渐近线的距离为，右支上一动点处的切线记为，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 当轴时，则内切圆圆心横坐标为 C. 当轴时，则与轴交点横坐标为 D. 过点作，垂足为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为_____． 13. 抛物线的焦点为，直线与交于两点，则___________. 14. 已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程与演算步骤. 15. 已知是各项均为正数的数列的前项和，. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，在直三棱柱中，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 17. 某无人机制造有限公司是世界级独角兽企业，其产品优质，畅销全球.该公司2024年有3条新型无人机生产线. （1）假设新型无人机销售时按整箱出售，每箱10台.采购商在采购时，会随机选择一箱，并从中一次性随机抽取3台进行检查，若此箱产品中恰好有2台次品，求检测到的次品数的分布列和数学期望. （2）该公司的3条新型无人机生产线的次品率和生产的无人机所占比例如下表： 次品率 占比 1号生产线 0.01 2号生产线 0.02 3号生产线 0.04 现从所生产的无人机中随机抽取1台，用频率估计概率，已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产线所生产的概率，并分析该次品来自哪号生产线的可能性最大. 18. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切于，且与圆外切于，设动圆的圆心轨迹为曲线（如图）· （1）求曲线的方程； （2）若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与曲线相交于点和，求四边形面积的最小值. 19. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围. （3）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $