北京市广渠门中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

北京市广渠门中学2024-2025学年度第二学期期中试题 高二年级数学学科 时间：120分钟 2025.4 本试卷共 2 页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一 选择题（共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ） A. 12种 B. 48种 C. 72种 D. 120种 4. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知一组数据的平均数为，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. （2017.唐山市二模）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 7. 已知函数，则“”是“在其定义域内的子区间上不单调”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则对于任意，，下列结论正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. D. 9. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 10. 已知函数，，若成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二 填空题（共25分） 11. 的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 12. 从10名大学毕业生中选3个人担任村主任助理，则甲､乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为___________. 13. 某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为，，，乘火车迟到的概率为，乘轮船迟到的概率为，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率为___________． 14. 已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________． 15. 已知，，则下列说法正确的有___________． ①的值域为； ②时，恒有极值点； ③恒有零点； ④对于，恒成立． 三 解答题（共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间上的取值范围是，求实数的取值范围． 17. 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． （1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； （2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列、期望和方差． 18. 周末李梦提出和父亲､母亲､弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲､母亲､弟弟比赛的情况，得到如下统计表： 父亲 母亲 弟弟 比赛的次数 50 60 40 李梦获胜的次数 10 30 32 以上表中的频率作为概率，求解下列问题. （1）如果按照第一场与父亲比赛､第二场与母亲比赛､第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛. （i）求李梦连胜三场的概率； （ii）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望； （2）记“与父亲､母亲､弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p，此概率p与父亲，母亲，弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序使概率p最大（不必计算）？如果无关，请给出简要说明. 19. 已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P． （Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围； （Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ∥BM，求证：∠PFQ为定值． 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线为轴，求的值； （2）讨论在区间内极值点的个数； （3）若在区间内有零点，求证：. 21. 在个实数组成的行列的数表中，表示第行第列的数．记，．若，且，，，，，，，两两不等，则称此表为“阶表”．记． （1）请写出一个“阶表”； （2）对任意一个“阶表”，若整数，且，求证：为偶数； （3）是否存在“阶表”？若存在，请写出一个“阶表”；若不存在，请说明理由． 北京市广渠门中学2024-2025学年度第二学期期中试题 高二年级数学学科 时间：120分钟 2025.4 本试卷共 2 页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一 选择题（共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二 填空题（共25分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】49 【13题答案】 【答案】0.18## 【14题答案】 【答案】. 【15题答案】 【答案】②③④ 三 解答题（共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 【16题答案】 【答案】（1）在和单调递增，在上单调递减 （2） 【17题答案】 【答案】（1） X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2） Y的分布列为： Y 0 1 2 P ，， 【18题答案】 【答案】（1）（i）； （ii）分布列为 （2）有关，出场顺序为妈妈弟弟爸爸或爸爸弟弟妈妈 【19题答案】 【答案】（Ⅰ）kAM∈（，0） （0，）； （Ⅱ）由题意F（，0），M（x0，y0），其中x0≠±2，则1， 直线AM的方程为y（x+2），令x＝0，得点P的坐标为（0，）， ∵kBM=kAQ，∴直线AQ的方程为y（x+2）， 令x＝0，得点Q的坐标为（0，），由（，），（，）， ∴•20，∴⊥，即∠PFQ＝90°， 故∠PFQ为定值 【20题答案】 【答案】（1） （2）当时，在区间内的极值点个数为0； 当时，在区间内的极值点个数为1. （3）由（2）知当时，在区间上单调递增， 所以，在区间内无零点. 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 所以. 若在区间内有零点，则. 而，设， 则. 设，则， 所以在区间上单调递增. 所以，即. 所以在区间上单调递增. 所以，即. 又， 所以. 【21题答案】 【答案】（1）“阶表”如下表所示： （2）证明：对任意一个“阶表”，表示第行所有数的和，表示第列所有数的和，均表示数表中所有数的和，所以. 因为，所以，，……，，，，……，只能取内的整数. 又因为，，……，，，，……，互不相等，且， 所以{，，，……，，，，……，，……，-1，0，1，……，， 所以 所以偶数. （3）不存在，理由：假设存在一个“阶表”， 则由（2）知，且和至少有一个成立， 不妨设，设，则， 于是，因而可设， ， ①若是某列的和，由于，故只能是前四列某列的和， 不妨设是第一列，即. 现考虑，只能是或，不妨设，即， 由两两不等知两两不等， 不妨设， 若则；若则；若则，均与已知矛盾. ②若是某行的和，不妨设，则第4行至少有个1， 若这个是前四个中某三个数，不妨设， 则第五行前三个数只能是个不同的数， 不妨设，则矛盾， 故第四行只能前四个数有个，第五个数为， 不妨设，所以， 第五行只能是个，个或个，个. 则、、至少有两个数相同，不妨设，则与已知矛盾. 综上，不存在“阶表”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $