精品解析：福建省漳州市诏安县桥东中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

2024-2025学年度下学期高二期中考试 数学试卷 满分150分 时间120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点处的切线斜率为（   ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用商的导数来求切线斜率即可. 【详解】求导得：， 当时，切线斜率， 故选：A. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 3. 如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项. 【详解】 故选：D 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率的计算公式求解即可. 【详解】由题意，知. 故选：C. 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代入即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 6. 随机变量服从两点分布，且，令，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点分布的性质求出，则. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 所以， 由，所以. 故选：D 7. 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果. 【详解】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 8. 已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果. 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示： 由函数图象可得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回.则下列说法正确的是（ ） A. 第二次摸出红球的概率为 B. 第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C. 第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D. 第三次摸出黄球的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用全概率公式求解；B利用条件概率求解；C 利用概率的乘法公式求解；D必备知识：无论第几次抽取黄球，其概率均为. 【详解】解：对于A、第二次摸出红球分两种情况： 第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为 第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为， 可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确； 对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件， 由选项A的分析可知，， 根据条件概率公式，所以选项B正确； 对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第一次摸出红球的概率为， 所以选项C错误； 对于D、因为袋子里共有个球，其中黄球有7个， 所以每次摸出黄球的概率都是，即第三次摸出黄球的概率为，所以选项D正确. 故选：ABD. 10. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的坐标运算与表示，共线向量的坐标运算，共面向量定理，逐项判定，即可求解. 【详解】由向量， 可得，，所以A、B正确； 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以向量与向量不共线，所以C错误； 设，可得， 所以，解得，所以共面，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，导函数的极值点是函数的零点，则（ ） A. 有且只有一个极值点 B. 有且只有一个零点 C. 若，则 D. 过坐标原点仅有一条直线与曲线相切 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，对原函数进行两次求导计算求得，得到函数，再分别就选项A,B中的相关量进行判断；对于C项，判断应该与函数单调性有关，经计算得到，故只需运用单调性即可推得；对于D项，要将过点的曲线切线条数问题转化为含切点坐标的方程的根的个数问题即得. 【详解】由可得：， 不妨取，则， 则由解得：，依题意，， 解得：.此时，. 对于A项，因，函数在R上恒为增函数， 则没有极值点，故A项错误； 对于B项，由A项结论可知，函数在R上恒为增函数，且， 即有且只有一个零点，故B项正确； 对于C项，由A项得：，则， 因函数在R上恒为增函数，则由即：可得：，即：，故C项正确； 对于D项，不妨设切点为，由可得， 切线斜率为：， 则切线方程为：， 因切线过原点，则有：， 整理得：，解得：或， 即过坐标原点有两条直线与曲线相切，故D项错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为，则的数学期望______________. 【答案】## 【解析】 【分析】由二项分布的均值公式即可求解. 【详解】由题意可得，则. 故答案为： 13. 在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】在正方体中构造出正四面体，建立空间直角坐标系.设正方体边长为，求出向量和的坐标，根据向量法即可求解. 【详解】如图，在正方体中构造出正四面体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体边长为.因为， ∴，，，， ∴，， ， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 当时，函数取得最大值2，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数，列方程组求出a，代入即可. 【详解】函数的定义域为，. 因为当时，函数取得最大值2，所以，解得：. 所以，此时. 令解得：；令解得：. 所以函数在上单增，在上单减. 所以函数在时取得最大值2. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）写出函数导数，由求得的值，然后令导数小于0，求得函数的单调区间； （2）由（1）知函数在上的单调性，即可求出函数的最值. 【小问1详解】 ，∴， ∴，即， 令，则，令，则或， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为和， 【小问2详解】 由（1）可知函数在上单调递增，在上递减， ∴， ，， ∴函数在区间上的最大值为，最小值为. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，与平面交于点F． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）建系，求得平面法向量、直线方向向量，代入夹角公式即可求解； （2）由点到面距离的向量法公式即可求解； 【小问1详解】 在正方体中，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，，， 设平面ACE的法向量为， 则 则有，令，得， 可得， 设直线DE与平面ACE所成角为， 则有， 即直线与平面所成角得正弦值为； 【小问2详解】 由（1）可，点到平面ACE的距离为． 17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列. 【答案】（1） （2） 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获得冠军的概率； （2）的可能取值为，利用随机变量的分布列，即可得X的分布列. 【小问1详解】 甲学校获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场， 甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8， 甲学校3场全胜，概率为：， 甲学校3场获胜2场败1场，概率为：， 所以甲学校获得冠军的概率为：； 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为． （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点， （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在三棱柱中，连接，由为等边三角形，为中点，得， 由在平面内的射影为，得平面，而平面，则， 又平面，于是平面， 而平面，则，显然四边形为菱形，有， 由，分别为，中点，得，则， 且，平面，所以平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质与判定推理即得. （2）（ⅰ）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法求点到面的距离；（ⅱ）求出平面的法向量，利用空间向量求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 所以点到平面的距离为. （ⅱ）由（ⅰ）知，平面的一个法向量， 设平面的法向量，则，令，得， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值. 19. 函数，. （1）求函数的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，的递增区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后分，两种情况，由导函数的正负可求得其单调区； （2）构造函数，，把不等式的恒成立转化为，求得，结合分析函数的单调性并确定最小值为，再利用函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，则，在上单增， 的递增区间为； 当时，令，则；令，则. 的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 当时，令，， 则，， 由题意，得. 因为， 令，则；令，则， 在上递减，在上递增， ， 故 在上递增， 又， ， 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期高二期中考试 数学试卷 满分150分 时间120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点处的切线斜率为（   ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 随机变量服从两点分布，且，令，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回.则下列说法正确的是（ ） A. 第二次摸出红球的概率为 B. 第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C. 第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D. 第三次摸出黄球的概率为 10. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 11. 已知函数，导函数的极值点是函数的零点，则（ ） A. 有且只有一个极值点 B. 有且只有一个零点 C. 若，则 D. 过坐标原点仅有一条直线与曲线相切 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为，则的数学期望______________. 13. 在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 14. 当时，函数取得最大值2，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，与平面交于点F． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为． （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点， （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 函数，. （1）求函数的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $