精品解析：广东省惠州市惠阳区2025年中毕业生学业水平测试二模数学

2025年惠阳区初中毕业生学业水平测试（二）数学 说明：本试卷共6页，答题卡共4页，满分120分，考试时间：120分钟． 一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数最大的是（　　） A. B. C. 2025 D. 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达秒．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，于A，，若，则等于（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示，若点坐标为，则对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 对于一元二次方程，则它根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 两根之和是3 C. 两根之积是 D. 有两个不相等的实数根 8. 一架无人机在进行倾斜摄影时，已知斜片相机“光轴线”与地面的夹角为（如图），斜片相机能拍摄到的地面宽度为．当无人机处于离地面米时，若，则此时宽度的值为（ ） A. 150 B. C. 200 D. 9. 如图，在中，点E为边上一点，连结交对角线于点G．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 10. 已知抛物线（a，b，c是常数，且，）的图象经过点，其中，现有四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程必有一个小于2的正实数解．其中正确的结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则代数式的值等于______． 12. 若一组数据3，4，5，，6，7的众数是6，则中位数是___________． 13. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为___________． 14. “湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳的地标性建筑之一，如图①，A，B表示摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，半径为，A、B是圆上的两点，，则的长为________．（结果保留） 15. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. （1）计算： （2）解方程组： 17. 如图，在中，对角线，相交于点． （1）求证：是矩形； （2）点在边上，满足．若，求的长． 18. 如图，在中，，M，N分别为边的中点． （1）尺规作图：过点B作的平行线，交的延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：垂直平分． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 宪法是国家的根本法，是治国安邦的总章程．学法辨是非、知法明荣辱、守法正社风、用法止纷争，弘扬并践行宪法精神是当代青少年的义务与担当．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩分（满分100分）分为4个等级：等级等级，等级等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有___________人； （2）补全频数分布直方图，扇形统计图中等级所对应的圆心角的度数为___________； （3）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 20. “钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务． 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍． 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多． 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天（7：00-19：00）可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图． 素材4 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克． 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？ 21. 如图，为的直径，弦，过点A作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分) 22. 已知二次函数的图象与轴交于和，与轴交于点． （1）求该二次函数的表达式． （2）如图，连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值． （3）如图，在抛物线对称轴上是否存在一点，使得点到轴的距离与到直线的距离相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． （1）【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） （2）【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年惠阳区初中毕业生学业水平测试（二）数学 说明：本试卷共6页，答题卡共4页，满分120分，考试时间：120分钟． 一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数最大的是（　　） A. B. C. 2025 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则比较即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：． 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B 3. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达秒．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选C． 4. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，故本选项中的式子不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，故本选项中的式子不是最简二次根式； D、，故本选项中的式子不是最简二次根式； 故选：B. 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，熟知概念是关键. 5. 如图，于A，，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由垂直的定义得出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵于A， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键． 6. 如图所示，若点坐标为，则对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点坐标的平移，根据平面直角坐标系中点坐标的平移特征进行分析求解即可． 【详解】解：∵点E坐标为， ∴对应的点，可表示为将点E向左平移2个单位，再向上平移2个单位， ∴对应的点可能是A点， 故选：A． 7. 对于一元二次方程，则它根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 两根之和是3 C. 两根之积是 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先找出，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴这个一元二次方程没有实数根，故A正确、D错误． ∵，故C错误． ，故B错误． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握<0，一元二次方程没有实数根是关键． 8. 一架无人机在进行倾斜摄影时，已知斜片相机“光轴线”与地面的夹角为（如图），斜片相机能拍摄到的地面宽度为．当无人机处于离地面米时，若，则此时宽度的值为（ ） A. 150 B. C. 200 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意求出，，然后解直角三角形求出，，进而求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 9. 如图，在中，点E为边上一点，连结交对角线于点G．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，证明，列出比例式，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10. 已知抛物线（a，b，c是常数，且，）的图象经过点，其中，现有四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程必有一个小于2的正实数解．其中正确的结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，得根据，，，即可得到，判断①，由，，得到抛物线与轴有两个交点，一个交点在和之间，判断④②，由抛物线的对称轴不能确定，当时，无法确定y随x的增大而增大，判断③， 本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点，， ∴， ∵，， ∴，故①正确， ∵，， ∴抛物线与y轴交点在正半轴，点P在x轴下方， ∴抛物线与轴有两个交点，一个交点在和之间，故④正确， ∴，故②正确， ∵抛物线的对称轴不能确定， ∴当时，无法确定y随x的增大而增大，③故错误， 综上所述，①②④正确， 故选：． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则代数式的值等于______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：5． 12. 若一组数据3，4，5，，6，7的众数是6，则中位数是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数的概念，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据众数概念推出，再根据中位数的概念求解，即可解题． 【详解】解：一组数据3，4，5，，6，7的众数是6， ， 则中位数． 故答案为：5.5． 13. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式中对应不等式的解集，再根据大大小小找不到（无解）的口诀求解即可． 【详解】解： 解不等式②得：， ∵原不等式组无解， ∴， 故答案为：． 14. “湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳的地标性建筑之一，如图①，A，B表示摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，半径为，A、B是圆上的两点，，则的长为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，并规范计算是解题的关键．利用弧长公式直接计算即可． 【详解】半径为， 的长， 故答案为：． 15. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再根据平移，用表示出，的坐标，然后根据双曲线恰好同时经过点，时，列出方程求解． 【详解】解：设平移了个单位， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段，点，点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵将沿轴正方向平移至， ∴，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当双曲线恰好同时经过点，时，， 解得：，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平移的性质求解，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，根据旋转的性质求解，解题的关键是根据反比例函数图象上的横纵坐标的积为求解． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二次根式的加减计算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：， ①得，，解得， 把代入①得，，解得， 方程组的解为． 17. 如图，在中，对角线，相交于点． （1）求证：是矩形； （2）点在边上，满足．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． （1）先利用平行四边形的性质得到，利用得到，从而判定四边形为矩形； （2）根据，是矩形，得到，，再求出所求线段的长． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 是矩形； 【小问2详解】 解：，是矩形； ， ， ， ， ． 18. 如图，在中，，M，N分别为边的中点． （1）尺规作图：过点B作的平行线，交的延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 证明：由作法得：． ∵M，N分别为边的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． 又∵， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）作，即可； （2）由作法得：，由三角形中位线定理可得，，从而得到，再证明，可得，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 宪法是国家的根本法，是治国安邦的总章程．学法辨是非、知法明荣辱、守法正社风、用法止纷争，弘扬并践行宪法精神是当代青少年的义务与担当．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩分（满分100分）分为4个等级：等级等级，等级等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有___________人； （2）补全频数分布直方图，扇形统计图中等级所对应的圆心角的度数为___________； （3）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）50 （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查统计图，利用树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息，熟练掌握树状图法求概率，是解题的关键： （1）用等级的人数除以所占的比例，求出总人数即可； （2）求出等级的人数，补全直方图，再利用360度乘以等级人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）； 故答案为：90； 【小问2详解】 等级的人数：； 等级的人数为：； 补全直方图如图： ； 故答案为：． 【小问3详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果数为8， ∴P（恰好抽到一名男生和一名女生） 20. “钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务． 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍． 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多． 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天（7：00-19：00）可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图． 素材4 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克． 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？ 【答案】任务1：红粉西红柿进价为每千克5元，有机西红柿进价为每千克7.5元；任务2：每千克10元；任务3： 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． 任务1：设红粉西红柿进价为每千克元，则有机西红柿进价为每千克元，根据同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多建立方程求解即可； 任务2；设标价（白天的售价）为每千克元，分别求出白天和晚上的销售额，再根据利润不低于建立不等式求解即可； 任务3：可计算得到九折和八折有利润，七折，六折和五折时亏钱，那么在八折时刚好卖完即可或者最大利润，据此求解即可． 【详解】解：任务1：设红粉西红柿进价为每千克元，则有机西红柿进价为每千克元 由题意可得：， 解得： 经检验，是方程的根，且符合题意 答：红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元 任务2：设标价（白天的售价）为每千克元， 由题意可得：， 解得：， 标价（白天的售价）最低价为每千克10元； 任务3： 九折和八折有利润，七折，六折和五折时亏钱 ， 每天进货时利润最大． 21. 如图，为的直径，弦，过点A作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的 ． （1）先证明，则，由，得到，继而求证； （2）连接，为的直径，，则，，先求，再证明即可． 【小问1详解】 证明：∵是的切线，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为的直径，， ∴，， ∵半径为5 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，， ∴ ， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分) 22. 已知二次函数的图象与轴交于和，与轴交于点． （1）求该二次函数的表达式． （2）如图，连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值． （3）如图，在抛物线对称轴上是否存在一点，使得点到轴的距离与到直线的距离相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或2 （3）存在；或 【解析】 【分析】运用待定系数法即可求得答案． 由题意得：，，，分两种情况：当时，，即，可求得；当时，，即，可求得． 运用待定系数法求得直线的解析式为，可得出：，，如图，作的平分线交直线于点，过点作于点，设，利用角平分线性质可得出：，，再运用三角函数定义可得，建立方程求解即可；过点作交直线于点，过点作于点，设，如图，利用角平分线性质可得出：，，再运用三角函数定义可得，建立方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于和， ， 解得：， 该二次函数的表达式为． 【小问2详解】 抛物线与轴交于点， ， 由题意得：，， ， ，， ，， ， ， 为直角三角形，，如图， 或， 当时，， ， ， 解得：； 当时，， ， ， 解得：； 综上所述，当为直角三角形时，的值为或． 【小问3详解】 存在， 设直线的解析式为，把，代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为， ， 抛物线的对称轴为直线，设直线与轴交于点，与直线交于点， 则，， 如图，作的平分线交直线于点，过点作于点，设， 平分，，， ，， ，，， ， ， ， ， 解得：， ； 过点作交直线于点，过点作于点，设，如图， 则，， 平分， ， ， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、动点问题，直角三角形的性质、角平分线性质、三角函数定义等知识点，运用数形结合、分类讨论思想是解题的关键． 23. 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． （1）【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） （2）【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；③； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①如图所示，连接BE，首先得到，然后证明出，得到； ②作，，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可； ③同②的方法求解即可；如图所示，当且，点F在上，设，则，然后由得到，进而求解即可； （2）由【探究一】中（2）知当时，，设，则，表示出，得到当时，与重合时，面积取最小，求出，，得到当时，；当时，取得最大，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接BE． ①当时，为中点， 是等腰直角三角形， ， 又，， ， 在和中， ， ； ②；理由如下： 作，， ， 又， ， ， ， 又，， ， ， ． ③；理由如下： 作，， ， 又， ， ， ， 又，， ， ， ； 如图所示，当且，点F在上 ∴是等腰直角三角形 ∴设，则 ∴ ∴ 由题意得， ∴ ∴当时，和没有交点 ∴的取值范围是； 【小问2详解】 解：存在．由【探究一】中（2）知当时，； 设，则， ， 当时，与重合时，面积取最小， ，是等腰直角三角形， ， ，， ，， 在等腰中， ， 当时，； 当时，取得最大， ，，， 在中， ， ，此时面积最大， ． 【点睛】此题考查了全等三角形和相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 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