精品解析：广东省清远市阳山县南阳中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题

2024-2025学年第二学期第2次月考 高二级数学科试卷 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可. 【详解】， 故选：C. 2. 第五批实施新高考的8个省份将于2025年迎来新高考，新高考模式下语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 96种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分步计数原理解决即可. 【详解】先确定相同的科目，有4种情况， 再从剩下的3个科目中，甲、乙各选一个不同的科目，有种情况， 则他们四选二科目的选科方式共有种. 故选：B. 3. 在的展开式中，x的系数为（ ） A. B. C. 32 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】通项公式， 令，得， 所以x的系数为， 故选：A 4. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 5. 对两组数据进行统计后得到如图所示散点图，下列结论不正确的是（ ） A. 图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B. 图1数据正相关，图2数据负相关 C. 图1相关系数小于图2相关系数 D. 图1相关系数和图2相关系数之和小于0 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图及正负相关性判断A，B，再根据相关系数性质判断C，D. 【详解】因为散点图都呈直线型，所以图1，图2两组数据都具有线性相关关系，故A正确； 图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确； 图1正相关，图2负相关，所以，故C不正确； 因为图2相关程度更强，所以，故D正确. 故选：C. 6. 现有两位游客去四川旅游，他们分别从成都、九寨沟、黄龙、峨眉山、乐山大佛、熊猫基地、都江堰这7个景点中随机选择1个景点游玩．记事件“两位游客中至少有一人选择九寨沟”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求和，再利用条件概率公式求值. 【详解】事件的对立事件为： “两位游客无人人选择九寨沟”，所以， 又，所以. 故选：D 7. 细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（ ） A. B. 0.596 C. D. 0.206 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，求出，从而可求得线性回归方程，给两边取对数化简，对照回归方程可求得答案. 【详解】由题意得，解得， 因此， 由两边取对数，得， 又，所以，即． 故选：A． （2024·浙江温州·一模） 8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知当时，的取值范围是，当时，的最大值为，且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷，由此即可列出不等式求解. 【详解】当时，的取值范围是， 注意到，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的最大值为， 且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷， 若函数的值域为， 则当且仅当，解得. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A. 变量之间呈现负相关关系 B. C. 可以预测，当时，y约为 D. 由表格数据知，该回归直线必过点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B正确，D正确；将代入回归直线知C错误. 【详解】对于A，由得：，故呈负相关关系，A正确； 对于B，，， ，解得：，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，由知：，回归直线必过点，即必过点，D正确. 故选：ABD. 10. 某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图： 用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ） A. 若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植 B. 若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大 C. 从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145 D. 若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X， 则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图形和概率的概念可判断A选项；由题意可知发芽数X服从二项分布，，再由，且，可求k的最大值；由概率的根据对立事件的性质和相互独立事件的概率公式，可计算选项C;由题意可知X服从二项分布，，可判断D选项. 【详解】从5天内的发芽率来看，A类种子为，B类种子为，故A错误； 若种下12粒A类种子，由题意可知发芽数X服从二项分布，， ， 则，且， 可得，且， 所以，即，即有10粒种子5天内发芽的概率最大，故B正确； 记事件A: 样本A种子中随机取一粒8天内发芽；  事件B: 样本B种子中随机取一粒8天内发芽； 根据对立事件的性质，这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率： ，故C正确； 由题意可知X服从二项分布，， 所以，故D错误； 故选：BC 11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.若，，则b的值不可能的是（ ） A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意可得，利用二项式定理说明被除得的余数为，即可判断. 【详解】由，得 ， 所以， 即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为，即b的值不可能的是ACD. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 已知随机变量，，则_______. 【答案】0.7## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得，即可求解. 【详解】由题意得， 所以. 故答案为： 13. 三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%．已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有3%、5%和1%不合格．三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件．则取到的是不合格品的概率是__________．（答案用小数作答） 【答案】0.028 【解析】 【分析】运用全概率公式，结合条件概率可解. 【详解】根据题意得，取到的是不合格品的概率是 . 故答案为：0.028. 14. 已知方程有两个解，则实数m的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】有两个解，其中，故，令，等价于有两个解，求导得到函数单调性，得到，，令，求导得到其单调性，同一坐标系内，画出与的图象，数形结合得到答案. 【详解】有两个解，因为，，所以，故， 令，等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解. ，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 且当时，恒成立， 同一坐标系内，画出与的图象，如下： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在二项式的展开式中，前三项系数的和是97． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1） （2） （3），，，， 【解析】 【分析】（1）求得二项展开式的通项，结合题意，列出方程，求得的值； （2）根据二项式系数的性质，得到时，二项式系数最大，即可求解； （3）由，得到，进而求得展开式的有理项. 【小问1详解】 解：由二项式展开式的通项为， 可得展开式的前3项的系数分别为， 因为前3项的系数和为，可得，且， 解得或（舍去），即的值为. 【小问2详解】 解：由， 当时，二项式系数最大，即二项式系数最大项为． 【小问3详解】 解：由，可得， 所以展开式的有理项为． 16. 已知函数（）． （1）若是函数极值点，求a的值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求导函数再应用极值点得出计算，并检验； （2）分类讨论，分，讨论导函数正负得出函数的单调性. 【小问1详解】 由题意可得的定义域为，且， ∵是函数的极值点， ∴，即． 当时，，由得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； ∴满足是函数的极值点，因此. 【小问2详解】 ， 当时，因为，所以，则，在上单调递增； 当时，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 则函数的单调增区间为，单调减区间为； 综上可知：当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. 17. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意. 满意 不满意 总计 男游客 35 女游客 15 合计 100 （1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关? （2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）联表见详解，不能. （2）分布列见详解， 【解析】 【分析】（1）根据男游客与女游客的人数的比值,结合卡方计算公式进行计算求解即可； （2）根据超几何分布的性质，结合数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为调查的男游客人数为：，所以，调查的女游客人数为，于是可完成列联表如下： 满意 不满意 总计 男游客 35 5 40 女游客 45 15 60 合计 80 20 100 零假设为：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，可得： ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关； 【小问2详解】 由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知的可能取值为0，1，2，并且服从超几何分布，即，，. 所以的分布列为： 0 1 2 . 18. “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. （1）若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； （2）求丙在3月2日选择“共享单车”的概率； （3）记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1）； （2）； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件的概率公式及条件概率公式计算得解. （2）由已知，利用对立事件及互斥事件的概率公式计算即得. （3）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 记甲、乙、丙三人3月1日选择“共享单车”出行分别为事件， 记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件， 则， 又， 所以， 即若3月1日有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为. 【小问2详解】 设丙在3月第n天选择“共享单车”的概率为 由题意得，则. 【小问3详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）求出函数的导函数，依题意可得有两个不同的变号正根，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据极值点的性质得到相关等式，再通过构造函数进行证明. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 因有两个极值点， 意味着有两个不同的变号正根. 设，，则. 若，，在上单调递增，不会有两个正根； 当，令，得， 所以当时，所以在上单调递增； 当时，所以在上单调递减. 又当时，当时， 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. 【小问3详解】 定义域为， 因为有两个极值点，意味着是有两个不同正根. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期第2次月考 高二级数学科试卷 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 2. 第五批实施新高考的8个省份将于2025年迎来新高考，新高考模式下语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有（ ） A 12种 B. 24种 C. 48种 D. 96种 3. 在的展开式中，x的系数为（ ） A. B. C. 32 D. 40 4. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（ ） A 图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B. 图1数据正相关，图2数据负相关 C. 图1相关系数小于图2相关系数 D 图1相关系数和图2相关系数之和小于0 6. 现有两位游客去四川旅游，他们分别从成都、九寨沟、黄龙、峨眉山、乐山大佛、熊猫基地、都江堰这7个景点中随机选择1个景点游玩．记事件“两位游客中至少有一人选择九寨沟”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 7. 细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（ ） A. B. 0.596 C. D. 0.206 （2024·浙江温州·一模） 8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A. 变量之间呈现负相关关系 B. C. 可以预测，当时，y约为 D. 由表格数据知，该回归直线必过点 10. 某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图： 用频率估计概率，且每一粒种子否发芽均互不影响，则（ ） A. 若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内发芽率来看，B类种子更适合种植 B. 若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大 C. 从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145 D. 若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X， 则 11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.若，，则b的值不可能的是（ ） A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 已知随机变量，，则_______. 13. 三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%．已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有3%、5%和1%不合格．三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件．则取到的是不合格品的概率是__________．（答案用小数作答） 14. 已知方程有两个解，则实数m的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在二项式的展开式中，前三项系数的和是97． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中所有的有理项． 16. 已知函数（）． （1）若是函数的极值点，求a的值； （2）讨论的单调性． 17. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意. 满意 不满意 总计 男游客 35 女游客 15 合计 100 （1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关? （2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. （1）若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； （2）求丙在3月2日选择“共享单车”的概率； （3）记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$