精品解析：2025年四川省绵阳市涪城区中考第三次诊断考试数学试题

2025年春九年级（下）学情调查 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分：150分，时间：120分钟． 2．考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．第Ⅰ卷选择题答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷用0.5mm黑色墨水签字笔直接答在答题卡上．交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项最符合题目要求． 1. 下列各项中是满足不等式的无理数的是（ ） A. B. C. D. 1 2. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（   ） A. B. C. D. 3. 绵阳既是科技城，也是教育之城，根据相关统计数据，2024年末绵阳共有各类学校1100余所，在校学生约70.1万人，将70.1万用科学记数法表示应是（ ） A. B. C. D. 4. 已知， 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 如图，在拧开一个边长为a的正六边形螺帽时，扳手张开的开口，则正六边形的边长a是（ ）mm． A. B. C. D. 12 8. 若二次函数的图象经过点，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长是，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（ ） A. 10 B. C. D. 11. 在中，，，点D为中点，过点D作，与交于点E，连接，且，则的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 4 12. 南宋杰出的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，摘录了如图所示的三角形数表，被称为杨辉三角，观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： …… 根据前面各式规律，则的展开式中的系数是（ ） A. 72 B. 39 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本小题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 分解因式：______． 14. 如图，，，点G为直线上点，交的平分线于F，，则______． 15. 一个不透明的布袋内有3个白色小球和2个红色小球，这些球除颜色外无其他差别，从中摸出一个小球又放回，第二次再摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色相同的概率是______． 16. 若关于x的不等式组共有4个整数解，则a的取值范围是______． 17. 如图，平行四边形中，，，过点D作，垂足为点F，与交于点E，若，则______． 18. 已知二次函数的图象如图所示，根据已知信息有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 20. 文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 年龄段 频数（人数） 第1组 5 第2组 第3组 35 第4组 20 第5组 15 （1）请直接写出　 　，　 　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　 　度． （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于两点，与y轴交于C． （1）求反比例函数解析式； （2）直线分别与x轴，y轴交于F，E，且B、C两点关于直线对称，连接，，求的面积． 22. 如图，、是直径，点为上的点，，垂足为，与交于点，延长至，且． （1）证明：与相切； （2）若，半径为3，求长． 23. 某商家准备购进甲、乙两种粽子进行销售，若甲种粽子进价比乙种粽子的进价每盒少5元，其用90元购进甲种粽子的数量与用100元购进乙种粽子的数量相同． （1）求甲种粽子、乙种粽子的进价分别是每盒多少元？ （2）若该商家购进甲种粽子的数量是乙种粽子的3倍少5盒，两种粽子的总数不少于95盒，计划采购粽子的资金共5325元，已知该商家甲种粽子的销售价格为50元/盒，乙种粽子的销售价格为每件58元/盒，则购进的甲、乙两种粽子全部售出后，销售的总利润最多能达到多少元？ 24. 在中，，D是边上一动点（不与B、C重合），P为延长线上一点，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E在延长线上，连接． ①求长度； ②若，求长度； （2）如图2，当E在延长线上时，延长至G，与交于点G，且，连接，求的长度． 25. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴相交于点C．连接AC，BC． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，线段（点在点左侧）是直线上一段长度为动线段，y轴上点下方有点，试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点，使得四边形是菱形，若存在则求出该菱形面积，若不存在则说明理由； （3）如图2，点为抛物线第一象限图象上点，若，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春九年级（下）学情调查 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分：150分，时间：120分钟． 2．考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．第Ⅰ卷选择题答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷用0.5mm黑色墨水签字笔直接答在答题卡上．交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项最符合题目要求． 1. 下列各项中是满足不等式的无理数的是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，不等式的定义，属于基础题．选项A、B根据立方、算术平方根的性质与比较即可作出判断． 【详解】解：A、∵， ∴， 是无理数，故此选项符合题意； B、∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； C、，是有理数，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误； B、主视图为矩形，俯视图为矩形，故B选项正确； C、主视图是矩形，俯视图均为圆，故C选项错误； D、主视图为梯形，俯视图为矩形，故D选项错误. 故选：B. 3. 绵阳既科技城，也是教育之城，根据相关统计数据，2024年末绵阳共有各类学校1100余所，在校学生约70.1万人，将70.1万用科学记数法表示应是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是学查科学记数法中和的确定方法． 先将70.1万转化为普通数字，再根据科学记数法的形式（为整数）确定和的值． 【详解】因为1万，所以70.1万， ， 故选：D． 4. 已知， 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方及完全平方公式可进行排除选项． 【详解】解：A、，正确，故符合题意； B、，错误，故不符合题意； C、，错误，故不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方及完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方及完全平方公式是解题的关键． 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，正确记忆一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键． 若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围． 【详解】解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故选：A ． 7. 如图，在拧开一个边长为a的正六边形螺帽时，扳手张开的开口，则正六边形的边长a是（ ）mm． A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆知识，构造一个由正多边形的外接圆半径、边长、边心距组成的直角三角形是解题的关键． 如图，连接、，过O作于H．解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接、，过O作于H． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 若二次函数的图象经过点，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是先确定二次函数的对称轴，再根据函数的增减性和点到对称轴的距离判断函数值大小． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分别计算三个点到对称轴的距离，根据二次函数开口向上时，距离对称轴越远，函数值越大来判断的大小关系． 【详解】解：对于二次函数，根据配方法， ∴该二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，函数图数开口向上， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴对应的函数值． 故选：A． 9. 如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长是，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式方程可列出． 【详解】解：设原正方形的边长为，依题意有 ， 故选：C． 10. 如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质． 先证明为等边三角形得到，再证明为等腰直角三角形得到，再利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于，从而得到下面圆锥的侧面积． 【详解】， 而， ∴为等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于， ∴下面圆锥的侧面积． 故选：D． 11. 在中，，，点D为中点，过点D作，与交于点E，连接，且，则的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，由，设，则，证明，可得，求解：，，同理可得：，而，可得，进一步可得结论． 【详解】解：过作于， ∵， ∴设，则， ∴， ∵点D为中点，过点D作， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 同理可得：，而， ∴， 解得；， ∴； 故选B 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，直角三角形斜边上的直线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12. 南宋杰出的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，摘录了如图所示的三角形数表，被称为杨辉三角，观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： …… 根据前面各式的规律，则的展开式中的系数是（ ） A. 72 B. 39 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了规律探究，熟练掌握相关知识是解题的关键． 观察所给展开式的系数和杨辉三角中各数的关系，先写出所求展开式中的系数，根据发现的规律得出每个展开式中的系数，进行相加求解即可． 【详解】依据规律可得到的展开式的系数是杨辉三角第6行的数， 第6行的数分别为， ∴展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 展开式中的系数为， ∴原式展开式中的系数为． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本小题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 14. 如图，，，点G为直线上点，交的平分线于F，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．也考查了三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 先根据平行线的性质求出与的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵交的平分线于F， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 15. 一个不透明的布袋内有3个白色小球和2个红色小球，这些球除颜色外无其他差别，从中摸出一个小球又放回，第二次再摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：根据题意画树状图，如图所示： ∵共有25种等可能的情况，其中两次摸出的小球颜色相同的有13种情况， ∴两次摸出的小球颜色相同的概率：， 故答案为：． 16. 若关于x的不等式组共有4个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解问题，正确求出不等式组的解集，进而得出其整数解是解题关键． 先解每个不等式确定不等式组的解集，然后再根据不等式组只有4个整数解，得到关于的不等式组，即可求得a的范围即可． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 则不等式组的解集为 ∵不等式组只有4个整数解 ∴整数解是，，，1． ，解得 故答案为：． 17. 如图，平行四边形中，，，过点D作，垂足为点F，与交于点E，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，先根据平行四边形的性质得到，根据对应边成比例得到，，然后根据勾股定理，求出，，即可得到长，过点D作于点，根据三角形的面积求出长，再利用正弦的定义解答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：，，（负值舍去） ∴， 过点D作于点G， 则， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 已知二次函数的图象如图所示，根据已知信息有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，做题时会用数形结合的思想进行思考，从而判断函数解析式中各系数关系的正负性是解题的关键．由二次函数的图象及性质，逐个结论进行判段，从而解答本题． 【详解】解：由抛物线的开口方向可知：， 由对称轴的位置，可知：， 不等式两边同时乘以得：， 可得：，， 结论①正确；②正确； 由，，可知：， 由抛物线与轴的交点可知：， ， 结论③错误； 由二次函数与一元二次方程的联系得，关于的方程有两个不相等的实数根， ， ， 由上可知，，，， ，， ， 结论④正确； 综上所述：①②④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、分式的化简求值．解题的关键是对分式的分子分母要因式分解． （1）先计算绝对值、负整数指数幂、三角函数及化简二次根式，最后计算加减法即可得； （2）根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再代入x、y的值计算即可得． 【详解】（1）解： （2） 将，代入得 20. 文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 年龄段 频数（人数） 第1组 5 第2组 第3组 35 第4组 20 第5组 15 （1）请直接写出　 　，　 　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　 　度． （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？ 【答案】（1）25，20，126；（2）补全的频数分布直方图如图所示；见解析；（3）40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人． 【解析】 【分析】（1）随机选取总人数减去其他组人数即可得到a，第4组人数除以调查总人数即可得到答案；第3组人数所占百分比乘以360度，即可得到答案； （2）由（1）值，有25人，即可得到答案； （3）300万乘以调查40～50岁年龄段的百分比可得答案. 【详解】（1）， ， 第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：， 故答案为25，20，126； （2）由（1）值，有25人， 补全的频数分布直方图如图所示； （3）（万人）， 答：40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人． 【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图，解题的关键是熟练读出扇形统计图和条形统计图的信息. 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于两点，与y轴交于C． （1）求反比例函数解析式； （2）直线分别与x轴，y轴交于F，E，且B、C两点关于直线对称，连接，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求解，再把代入即可得到答案； （2）过点B作轴，垂足为H，证明，求解，设，则，，，求解，即，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由已知得点B在函数图象上 ∴， 解得， 即并且点也在函数的图象上 ∴， ∴反比例函数解析式是． 【小问2详解】 解：过点B作轴，垂足为H， ∵B、C两点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得，即， ∴， 联立方程组， 整理得，即， 解得，，即点A横坐标， ∴． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，一元二次方程的解法，轴对称的性质，勾股定理的应用，熟练的利用方程思想解题是关键． 22. 如图，、是直径，点为上的点，，垂足为，与交于点，延长至，且． （1）证明：与相切； （2）若，半径为3，求的长． 【答案】（1）证明过程见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理的推论、等腰三角形的性质，可得，结合是直径，即可证得结论． （2）用勾股定理解直角三角形，可得和的长度，根据圆周角定理的推论，结合锐角三角函数求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的直径，点和点在上， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切． 【小问2详解】 解：设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵的半径为3，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 连接，则， ∴， ∴， 答：的长为 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的判定，勾股定理，锐角三角函数，圆周角定理及其推论，熟练掌握垂径定理和圆周角定理及其推论是解题的关键． 23. 某商家准备购进甲、乙两种粽子进行销售，若甲种粽子的进价比乙种粽子的进价每盒少5元，其用90元购进甲种粽子的数量与用100元购进乙种粽子的数量相同． （1）求甲种粽子、乙种粽子的进价分别是每盒多少元？ （2）若该商家购进甲种粽子的数量是乙种粽子的3倍少5盒，两种粽子的总数不少于95盒，计划采购粽子的资金共5325元，已知该商家甲种粽子的销售价格为50元/盒，乙种粽子的销售价格为每件58元/盒，则购进的甲、乙两种粽子全部售出后，销售的总利润最多能达到多少元？ 【答案】（1）甲种粽子的进价为每盒45元，乙种粽子的进价为每盒50元 （2）665元 【解析】 【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是关键． （1）设乙种粽子的进价为每盒x元，则甲种粽子的进价为每盒元，用90元购进甲种粽子的数量与用100元购进乙种粽子的数量相同，据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设购进乙种粽子y盒，则购进甲种粽子盒，该商家购进甲种粽子的数量是乙种粽子的3倍少5盒，两种粽子的总数不少于95盒，计划采购粽子的资金共5325元，据此列出不等式组，解不等式组得到且y为整数，再根据题意列出一次函数解析式，根据一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设乙种粽子的进价为每盒x元，则甲种粽子的进价为每盒元， 由题意得，， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 所以甲种粽子的进价为每盒45元，乙种粽子的进价为每盒50元， 【小问2详解】 设购进乙种粽子y盒，则购进甲种粽子盒， 由题意得， 解得且y为整数， 则其销售后总利润 化简整理得， 因为，w随着y的增大而增大。 因为 所以当时，总利润最大，利润最大值为665元． 24. 在中，，D边上一动点（不与B、C重合），P为延长线上一点，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E在延长线上，连接． ①求长度； ②若，求长度； （2）如图2，当E在延长线上时，延长至G，与交于点G，且，连接，求的长度． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①过点A作，垂足为H，过点D作，垂足为点M，求解，，，设，则，，，由旋转可得：，，证明，再进一步建立方程求解即可；②由①得，则，可得，证明，可得，设，则，，再进一步求解即可； （2）如图，过点A作，垂足为H，过作于，过点D作，垂足为点M，过点P作，垂足为点N，结合（1）可得：四边形为矩形，可得，，设，则，求解，可得，证明，，证明，可得，设，则，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：①过点A作，垂足为H，过点D作，垂足为点M， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， 由旋转可得：，， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴； ②由①得，则， ∴， ∵， ∴，而，， ∴，又， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，经检验，符合题意； ∴. 【小问2详解】 解：如图，过点A作，垂足为H，过作于， 过点D作，垂足为点M，过点P作，垂足为点N， 结合（1）可得：四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴ 解得， ∴， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴相交于点C．连接AC，BC． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，线段（点在点左侧）是直线上一段长度为的动线段，y轴上点下方有点，试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点，使得四边形是菱形，若存在则求出该菱形面积，若不存在则说明理由； （3）如图2，点为抛物线第一象限图象上点，若，求点坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，特殊四边形、特殊角的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； （2）连接，与交于点，过点 作，先证明是等腰直角三角形，进而可得，设，可得，再根据中点坐标公式求出，代入解析式即可求出点，即可得出，，根据两点距离公式求出对角线，结合菱形面积公式可得. （3）先构造，根据，求出,由三角形是等腰直角三角形，所以，求出，进而可得直线解析式是，联立抛物线与直线解析式即可求出. 【小问1详解】 解：已知点，代入抛物线解析式为 解得 ∴抛物线解析式为 【小问2详解】 连接，与交于点，过点 作， 由抛物线解析式为可得， 又∵， ∴直线解析式为，， 若四边形为菱形，则，且 ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 代入抛物线解析式得： 解得（舍），， ∴，，， ∴ 所以菱形的面积 【小问3详解】 延长至，过点作，与直线交于点，作轴，与x轴交于点H， 因为，即 ∴， 因为，，所以 又， ∴， 又∵， ∴， ∴三角形是等腰直角三角形，所以 又∵，所以， 又，所以直线解析式是 联立抛物线与直线解析式得 解得（舍）， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $