2026届高三数学一轮复习课时作业12：二次函数与幂函数

2.6　二次函数与幂函数 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若幂函数f(x)=xα的图象经过第三象限，则α的值可以是(　　) A.-2 B.2 C. D. 2.已知a=b=c=2则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 3.函数f(x)=的单调递减区间是(　　) A.(-∞，3) B.(3，4] C.(5，+∞) D.(4，+∞) 4.已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数，且函数g(x)=f(x)-(2a-6)x在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，4) B.(-∞，4] C.[6，+∞) D.(-∞，4]∪[6，+∞) 5.已知m>1，点(1-m，y1)，(m，y2)，(m+1，y3)都在二次函数y=x2-2x的图象上，则(　　) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y1=y3<y2 D.y2<y1=y3 6.已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2，2)，且截x轴所得线段的长度是4，将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线y=g(x)的图象，则抛物线y=g(x)的图象与y轴的交点坐标为(　　) A.(0，-8) B.(0，-6) C.(0，-2) D.(0，0) 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.幂函数f(x)=(2m2+m-2)xm-3，m∈N*，则下列结论正确的有(　　) A.m=1 B.函数f(x)在定义域内单调递减 C.f(-2)<f(3) D.函数f(x)的值域为(0，+∞) 8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x=-1，且过点(-3，0)，下列说法正确的是(　　) A.abc<0 B.2a-b=0 C.3a+c=0 D.若(-5，y1)，(3，y2)是抛物线上两点，则y1>y2 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2024·南京模拟)已知函数f(x)=x2+mx，若∀x∈R，f(1-x)=f(1+x)，则m=　　　　　.  10.如图为三个幂函数y=y=y=在其定义域上的局部图象，则实数a1，a2，a3从小到大的排列顺序为　　　　　　.(请用“<”连接)  四、解答题(共28分) 11.(13分)已知幂函数f(x)=(2k-1)(m∈N*)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减. (1)求m和k的值；(6分) (2)求满足(2a+1)-m<(3-2a)-m的实数a的取值范围.(7分) 12.(14分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)当x∈[-1，1]时，f(x)>2x+2m+1恒成立，试确定实数m的取值范围.(8分) 【提升练】 13.已知函数f(x)=的部分图象如图所示，则a+b+c等于(　　) A.-3 B.-6 C.13 D.1 14.若函数f(x)=x2-2bx+3a在区间[0，1]上的最大值为M，最小值为m，则M-m的值(　　) A.与a无关，与b有关 B.与a有关，与b无关 C.与a有关，且与b有关 D.与a无关，且与b无关 15.(多选)一般地，若函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称[ka，kb]为f(x)的“k倍跟随区间”，若函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”，下列结论正确的是(　　) A.若[1，b]为f(x)=x2-2x+2的“跟随区间”，则b=2 B.函数f(x)=1+存在“跟随区间” C.若函数f(x)=m-存在“跟随区间”，则m的取值范围是 D.二次函数f(x)=-x2+x存在“3倍跟随区间” 16.定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解.若关于x的不等式|x2-2x-3|-mx+2<0(m>0)有最优解，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　.  答案精析 1.D　2.A 3.C　[由f(x)=可得x2-8x+15>0，解得x<3或x>5， 由y=x2-8x+15图象的对称轴为x=4， 则y=x2-8x+15在[4，+∞)上单调递增， 故f(x)=的单调递减区间为(5，+∞).] 4.C　[因为幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数， 则m2-5m+5=1，解得m=1或m=4， 当m=1时，f(x)=x-1，该函数是定义域为{x|x≠0}的奇函数，不符合题意； 当m=4时，f(x)=x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意. 所以f(x)=x2，则g(x)=x2-(2a-6)x，其对称轴方程为x=a-3， 因为g(x)在区间[1，3]上单调递减，则a-3≥3，解得a≥6.] 5.D　[二次函数f(x)=x2-2x=(x-1)2-1， 其图象的对称轴方程为x=1， 而(1-m)+(1+m)=2， 所以f(1-m)=f(1+m)，即y1=y3， 当x>1时，f(x)单调递增， 因为m>1，所以m+1>m>1， 所以f(m+1)>f(m)，即y2<y3， 综上，y2<y1=y3.] 6.B　[因为二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(2，2)，故f(x)的对称轴为直线x=2， 又f(x)的图象截x轴所得线段的长度是4， 所以f(x)的图象与x轴的交点坐标为(0，0)和(4，0)， 设f(x)=a(x-2)2+2(a≠0)， 将点(0，0)代入得a(-2)2+2=0， 解得a=-， 所以f(x)=-(x-2)2+2， 因为g(x)的图象为f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，所以g(x)=f(x-2)=-(x-2-2)2+2=-(x-4)2+2， 令x=0，则g(0)=-×(0-4)2+2=-6， 所以g(x)的图象与y轴的交点坐标为(0，-6).] 7.AD　[由f(x)=(2m2+m-2)xm-3为幂函数可得2m2+m-2=1，解得m=1或m=-，又m∈N*，所以m=1.所以f(x)=x-2=，故A正确； 因为函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，由f(-x)===f(x)，知函数f(x)为偶函数，由于-2<0，故f(x)=x-2在区间(0，+∞)上单调递减，根据偶函数性质知f(x)=x-2在区间(-∞，0)上单调递增，故B错误； f(-2)==>==f(3)，故C错误； 因为f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，则x2>0，所以f(x)=的值域为(0，+∞)，故D正确.] 8.ABC　[由图知该抛物线开口向上，故a>0，∵对称轴是直线x=-1， ∴-=-1，故b=2a>0，即2a-b=0，故B正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，故A正确； 由抛物线对称性得该函数图象必过点(1，0)，可得a+b+c=0，结合b=2a，可得3a+c=0，故C正确； 易知点(-5，y1)，(3，y2)到对称轴距离相等，故y1=y2，故D错误.] 9.-2 解析　因为∀x∈R， f(1-x)=f(1+x)， 函数f(x)的对称轴为直线x=1， 而由f(x)=x2+mx=-可知其对称轴为直线x=-，故-=1，解得m=-2. 10.a1<a2<a3 解析　对于y=， 由其图象可知a1<0； 对于y=，由其图象可知0<a2<1； 对于y=，由其图象可知a3>1， 所以a1<a2<a3. 11.解　(1)由函数f(x)=(2k-1)·为幂函数，则2k-1=1， 解得k=1. 由f(x)=(m∈N*)在(0，+∞)上单调递减，得m2-2m-3<0，解得-1<m<3， 而m∈N*，故m=1或2， 当m=1时，f(x)=x-4， 定义域为{x|x≠0}， 且f(x)为偶函数，符合题意； 当m=2时，f(x)=x-3，定义域为{x|x≠0}，函数为奇函数，不符合题意， 故m=1，k=1. (2)由(1)得m=1， 则(2a+1)-1<(3-2a)-1， 即<，故2a+1>3-2a>0或0>2a+1>3-2a或2a+1<0<3-2a， 解得<a<或a∈∅或a<-. 故实数a的取值范围为 ∪. 12.解　(1)由题意，函数f(x)是二次函数， 且f(0)=f(2)，可得函数f(x)的对称轴为直线x=1， 又由最小值为1，可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0)， 又f(0)=3，即a(0-1)2+1=3，解得a=2， 所以函数的解析式为f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3. (2)因为当x∈[-1，1]时，f(x)>2x+2m+1恒成立， 即当x∈[-1，1]时，2x2-4x+3>2x+2m+1恒成立， 即当x∈[-1，1]时，m<x2-3x+1恒成立， 设函数g(x)=x2-3x+1，x∈[-1，1]， 则g(x)在区间[-1，1]上单调递减， 所以g(x)在区间[-1，1]上的最小值为g(1)=-1， 所以m<-1， 故实数m的取值范围为(-∞，-1). 13.A　[令g(x)=ax2+bx+c， 则f(x)=， 由图可得方程g(x)=0的两根为2和4， 则g(x)=a(x-2)(x-4)， 又由图象知f(3)=1， 即=1，则g(3)=1， 所以a×(3-2)×(3-4)=1， 解得a=-1， 所以g(x)=-(x-2)(x-4) =-x2+6x-8， 所以b=6，c=-8， 则a+b+c=-1+6-8=-3.] 14.A [函数f(x)=x2-2bx+3a的图象开口向上，且对称轴为直线x=b， ①当b>1时，f(x)在[0，1]上单调递减，则M=f(0)=3a，m=f(1)=1-2b+3a，此时M-m=2b-1，故M-m的值与a无关，与b有关； ②当b<0时，f(x)在[0，1]上单调递增，则M=f(1)=1-2b+3a，m=f(0)=3a，此时M-m=1-2b，故M-m的值与a无关，与b有关； ③当0≤b≤1时，m=f(b)=3a-b2， 若0≤b≤，则f(1)≥f(0)，有M=f(1)=1-2b+3a，∴M-m=b2-2b+1，故M-m的值与a无关，与b有关，若b>， 则f(1)<f(0)，有M=f(0)=3a， ∴M-m=b2，故M-m的值与a无关，与b有关， 综上，M-m的值与a无关，与b有关.] 15. AD [对于A，若[1，b]为f(x)=x2-2x+2的“跟随区间”，因为f(x)=x2-2x+2的对称轴为直线x=1，所以b2-2b+2=b，解得b=2或b=1(舍去)，经检验符合题意，故A正确； 对于B，假设f(x)=1+存在“跟随区间”[a，b]，易知[a，b]⊆(-∞，0)或[a，b]⊆(0，+∞)， 因为f(x)=1+在[a，b]上单调递减， 则有 解得或 与a<b矛盾，故不存在，故B错误； 对于C，f(x)=m-在定义域上单调递减，若存在“跟随区间”[a，b](-1≤a<b)， 则有 即 两式相减得a-b=-， 即(a-b)(+)=a+1-(b+1)=a-b， 又因为-1≤a<b，所以+=1， 所以0≤<≤1，>， 所以m=b+=b+1-， 设=t，t∈， 则m=t2-t， 即m=t2-t在区间上有解， 所以-<m≤12-1， 解得-<m≤0，故C错误； 对于D，若f(x)=-x2+x存在“3倍跟随区间”， 设其在区间[a，b]上的值域为[3a，3b]， 当a<b≤1时，易得函数在定义域上单调递增， 则a，b是方程-x2+x=3x的两个不相等的实数根，解得x=0或x=-4， 故存在区间[-4，0]，使得f(x)在区间[-4，0]上的值域为[-12，0]，故D正确.] 16. 解析　|x2-2x-3|-mx+2<0可转化为|x2-2x-3|<mx-2， 在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)=|x2-2x-3|，g(x)=mx-2的图象，如图所示.当m>0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)， 则 即解得<m≤. 所以实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$