专题12 实数的运算（5知识点+10大题型+5大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题12 实数的运算 （5知识点+10大题型+5大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．0.42 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的概念，根据无限不循环小数即为无理数进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：，不是无理数，故A选项不符合题意； 是分数，不是无理数，故B选项不符合题意； 是无理数，故C选项符合题意； 0.42是有限小数，不是无理数，故D选项不符合题意； 故选：C 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）在数，，，，5中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无限不循环小数即无理数判断即可． 【详解】解：3.14，，5是有理数，，是无理数，故无理数有2个； 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）下列各数：0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有 个． 【答案】3 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此判断即可． 【详解】解：、、0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）是无理数，共有3个， 、，是有理数， 故答案为：3． 知识点2：实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）下列各数，，，，0，，，其中正有理数的个数为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握以上知识是解题的关键． 实数包括有理数和无理数；整数和分数都属于有理数；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．找到有理数，即可确定正有理数的个数． 【详解】解：，，，，0，为有理数；为无理数； ∴，，，，为正有理数， 即正有理数的个数有个， 故选：B． 5．（2025七年级上·浙江·专题练习）有下列说法：①是一个负数；②0的相反数和倒数都是0；③全体实数和数轴上的点一一对应；④一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；⑤实数包括无理数和有理数；⑥无理数和无理数的和一定是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】此题考查的是实数的分类、相反数和倒数的定义、实数与数轴一一对应关系、平方根的性质、实数的分类和无理数的运算是解决此题的关键．根据各自定义逐一判断即可． 【详解】解：①无意义，故说法错误； ②0的相反数是0，0没有倒数，故说法错误； ③全体实数和数轴上的点一一对应，故说法正确； ④一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故说法错误； ⑤实数包括无理数和有理数，故说法正确； ⑥，故无理数和无理数的和不一定是无理数，故说法错误； 则其中正确的是：③⑤， 故答案为：③⑤． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的0个数逐次增加中正数有个，非负整数有个，正分数有个，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有，，0.3，21，，（每两个1之间的0个数逐次增加，有6个，则，非负整数有0，21，有2个，则， 正分数有，，0.3，有3个，则， 则． 故答案为：1． 知识点3：实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 7．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，数轴的一部分被阴影覆盖了，则被阴影覆盖的数可能是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，根据平方根的定义，对选项中的无理数进行正确的估算是解决本题的关键．根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行排除即可． 【详解】解：∵， 2， ， ∴被阴影覆盖的可能是． 故选：B． 8．（2025·浙江·模拟检测）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 9．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）在数轴上，点在原点左侧，点表示的数为，点表示的数为，若点沿数轴向左平移1个单位长度到达点，且，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 / 【分析】本题用数轴表示数，根据题意得到，，且，再由算术平方根的性质得到或，开平方求出值，进而得到即可确定答案，熟记数轴表示数及算术平方根性质是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上，点在原点左侧，点表示的数为，点表示的数为，若点沿数轴向左平移1个单位长度到达点， ，，且， ， 或， 即或， 或（舍去）或（舍去）， ， 故答案为：，． 知识点4：实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 【即时训练】 10．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，实数的概念，根据绝对值的意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：， 故选：． 11．（22-23七年级上·浙江衢州·期末）实数π的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用实数a的相反数是进行求解． 【详解】解：由题意得，实数π的相反数是， 故选：A． 【点睛】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 12．（23-24七年级上·浙江温州·期末）的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得到正确的答案． 【详解】解：无理数的相反数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求一个实数的相反数的能力，关键是能准确理解、运用相反数的概念． 知识点5：比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 13．（2025·浙江·模拟预测）实数0、、、中，最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较；先比较两个负数的大小，再根据正数大于0大于负数即可得出结论． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴0， ∴最小的数是， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数比较大小，先整理得，再结合正数大于0,0大于负数，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·浙江金华·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算得出，即可求解； （2）作差可得，根据无理数的估算得出，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为5． （2）解：， ， ， ， ． 【题型1 无理数】 1．下列各数是无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．0是整数，属于有理数，故不符合题意； B．是整数，属于有理数，故不符合题意； C．是无理数，故符合题意； D．是分数，属于有理数，故不符合题意． 故选：C． 2．在实数，，，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解：是有限小数，0，3是整数，是分数，它们不是无理数； ，，（两个1之间依次多一个6）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个； 故选：C． 3．写出一个在2与4之间的无理数 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算.设这个无理数为，则，则且，然后选择一个开方开不尽的数即可． 【详解】解，设这个无理数为， 则根据题意得， ∴， ∴且满足题意， 可取， 故答案为：（答案不唯一）． 4．在实数和中，无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是无理数的概念．熟练掌握和运用无理数的概念是解决本题的关键．无理数是无限不循环小数． 根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：，中，无理数有和，2个． 故答案为：2． 5．在，，，，，，2.121112111112111……（相邻两个2之间1的个数逐次加2）中，是无理数的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查无理数的判断，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，，，，2.121112111112111……（相邻两个2之间1的个数逐次加2）中，无理数有，，，2.121112111112111……（相邻两个2之间1的个数逐次加2），共4个； 故答案为：4． 【题型2 无理数的大小估算】 6．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 7．与最接近的整数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算出的取值范围是解题关键． 估算出的范围，即可得出与最接近的整数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵4和9中比较接近8的是9， ∴比较接近3，即更接近6， 故选C． 8．已知，且a是整数，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数比大小是解题的关键，根据， ，可得，再由a是整数，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴，且a是整数， ∴， 故选：B． 9．已知a，b为两个连续的整数，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先估算出的取值范围，得出a，b的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵a、b为两个连续整数， ∴， ∴． 故答案为：9． 10．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为150的正方形边长为，且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得：， ∴． (1)的整数部分为________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)13 (2)示意图见解析， 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出，即可解答； （2）仿造示例画出图形，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为13， 故答案为：13； （2）解：示意图如图所示： ∵面积为176的正方形边长为， 且， ∴设，其中， 根据示意图，可得图中正方形面积为， ∵， ∴， 当时，可忽略， 得：，解得：， 即． 【题型3 无理数整数部分的有关计算】 11．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：B． 12．已知，则整数的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解决本题的关键是估算出的取值范围，首先得出，得出的取值范围，即可得出m的值． 【详解】解：， ， ，为整数， ， 故选：B． 13．的整数部分是 ，小数部分是 ． 【答案】 10 / 【分析】本题考查了估算无理数的大小．根据平方运算估算出的值，即可解答． 【详解】解：， ，则， 的整数部分为：10， 小数部分为， 故答案为：，． 14．已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】因为，则，可知的整数部分为3，则小数部分为， 本题考查了无理数整数、小数部分的相关问题，解题的关键是：求出无理数的取值范围，从而确定取值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分为：， 故答案为：． 15．先阅读材料，再解答问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是用下面方法表示． ， 即， 的整数部分是1，小数部分为． (1)根据上面的方法，求出的小数部分； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相反数的定义，无理数的估算，无理数的整数部分以及小数部分，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据得，即可求出的小数部分； （2）同理得的整数部分为4，小数部分为，再结合，其中是整数，且，得，，故，即可作答． 【详解】（1）解：， 即， 的小数部分是； （2）解：∵ ， 的整数部分为4，小数部分为，, ， ，其中是整数，且， ，， ， ， 的相反数是． 【题型4 实数概念理解】 16．下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【答案】D 【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意； B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意； C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 17．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数与数轴上的点是一一对应的 【答案】A 【分析】依据有理数和无理数的概念回答即可． 【详解】A．无理数都是无限不循环小数，故A正确； B．无限循环小数是有理数，故B错误； C．带根号的数不都是无理数，如，故C错误； D．实数与数轴上的点一一对应，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的相关概念，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键． 18．下列说法正确的有（    ） ①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：无限的不循环小数是无理数， 的结论不正确； 无理数是无限的不循环小数，都是无限小数， 的结论正确； 带根号且开不尽放 方的数都是无理数， 的结论不正确； ， 两个无理数的和不一定是无理数， 的结论不正确； 数轴上的点与实数一一对应， 的结论正确； 综上，正确的结论有：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了实数的概念，实数的运算，数轴的相关性质，利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断是解题的关键． 19．下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 20．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)正确，理由见解析 (3)错误，理由见解析 (4)错误，理由见解析 (5)错误，理由见解析 (6)错误，理由见解析 (7)错误，理由见解析 (8)正确，理由见解析 【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可． 【详解】（1）（错误）无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误； （2）（正确）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确； （3）（错误）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误； （4）（错误）0是有理数；故答案为：错误； （5）（错误）如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误； （6）（错误）如，虽然带根号，但，这是有理数；故答案为：错误； （7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误； （8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键． 【题型5 实数的分类】 21．在实数，，，中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：，是有理数，符合题意； ，，均开方开不尽，是无理数，不符合题意； 故选：B． 22．在，0，3，这四个数中，负整数是（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．根据实数的分类方法分析即可． 【详解】解：是负整数， 0既不是正数，也不是负数， 3是正整数， 是负无理数． 故选A． 23．在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 【答案】(1)，0，2，， (2)，，（两个2之间依次多一个1） (3)，0，2， (4) 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数． 根据有理数，无理数，整数和分数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：是有理数的有，0，2，，， 故答案为：，0，2，，． （2）解：是无理数的有，，（两个2之间依次多一个1）， 故答案为：，，（两个2之间依次多一个1）． （3）解：是整数的有，0，2，， 故答案为：，0，2，． （4）解：是分数的有， 故答案为：． 24．在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的0个数逐次增加中正数有个，非负整数有个，正分数有个，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有，，0.3，21，，（每两个1之间的0个数逐次增加，有6个，则，非负整数有0，21，有2个，则， 正分数有，，0.3，有3个，则， 则． 故答案为：1． 25．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 无理数：{                    }； 负分数：{                    }； 整数：{                    }． 【答案】①⑥；②③⑦；④⑤． 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，根据相关定义逐一填写即可，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键． 【详解】解：无理数：{， } 负分数：{，，} 整数：{，} 故答案为：①⑥；②③⑦；④⑤． 【题型6 实数的性质】 26．已知实数满足、则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的性质，求一个数的平方根，根据绝对值的非负性可得，由平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 27．关于的叙述错误的是（   ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．的相反数是 D．的整数部分是4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用，无理数的估算，实数的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、面积为13的正方形的边长是，正确，不符合题意； B、在数轴上可以找到表示的点，正确，不符合题意； C、的相反数是，正确，不符合题意； D、，故的整数部分是3，原说法错误，符合题意； 故选：D． 28．化简： 【答案】/ 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 29．绝对值小于的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义，先求出绝对值小于的所有整数，再将它们相加即可． 【详解】∵ ∴绝对值小于的所有整数为，，， 根据有理数的加法法则，互为相反数的两个数和为，可知这5个数的和为． 故答案为． 【点睛】此题考查了无理数的估算，绝对值的定义及有理数的加法法则．要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中． 30．求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的绝对值是，相反数是 (2)的绝对值是，相反数是 (3)的绝对值是，相反数是 (4)的绝对值是，相反数是 【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数是互为相反数；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． （1）（2）（3）（4）根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】（1）解：的绝对值是，相反数是 （2）解：的绝对值是，相反数是 （3）解：的绝对值是，相反数是 （4）解：的绝对值是，相反数是 【题型7 实数与数轴结合】 31．如图，实数在数轴上对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查的是实数与数轴，掌握无理数的大小估算是解题的关键．先判断出的取值范围，即可求解． 【详解】解：， ， 点符合题意． 故选：C． 32．如图，将实数表示在数轴上，对应的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，实数在数轴的表示；由无理数的估算得，即可求解；能熟练进行无理数估算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 实数表示在数轴上，对应的点可能是点， 故选：A． 33．如图，数轴上有、、、四个点，则下列说法正确的有（   ） （1）点表示的数可能是；（2）点表示的数可能是 （3）点表示的数可能是；（4）点表示的数可能是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数与数轴，无理数的估算等知识，熟练进行无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算及点所处的位置进行判断即可． 【详解】解：（1），则， 而点A表示的数是大于的数，故错误； （2），由数轴知，点表示的数可能是， 故正确； （3），点表示的数接近3，故它表示的数不可能是； 故错误； （4），由数轴知，点D表示的数大于4， 故错误； 综上，正确的有1个； 故选：B． 34．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积公式求得边的长，即可得到点与原点的距离，进而得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， 点在数轴正半轴上，点表示的数为， 点到原点的距离为， 点所表示的数为， 故答案为：． 35．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 【答案】(1)， (2)2， (3)他不能裁出来，理由见详解 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，，故，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， 依题意，， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解：他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为， ∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为， ∴宽为，， 则， ∴（负值已舍去） 则长方形纸片的长为， ∵， ∴， 依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且 ∵ 即， ∴他不能裁出来． 【题型8 实数的大小比较】 36．下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的比较方法是解题关键．利用立方、平方、绝对值以及求值，逐项比较大小即可． 【详解】解：A、，，不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，符合题意； D、，，，不符合题意； 故选：C． 37．比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较；对于含有算术平方根的两个实数比较，采用平方法是常见的比较方法；先求出这两个正数的平方，再比较平方数的大小，平方数大的，其算术平方根也大． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 38．比较下列各组数的大小，用“>”，“<”或“=”连接： (1)______； (2)______； (3)1______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查比较实数的大小，熟练掌握比较实数的大小方法：作差法，估算法，平方法，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）估算法比较大小即可； （3）估算法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ， 即：； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴； 故答案为：． 39．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 40．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小． 小明的解法如下： 解：． ．． ．． 我们把这种比较大小的方法称为作差法． 请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的大小比较： （1）用作差法比较即可； （2）用作差法比较即可； （3）用作差法比较即可； 【详解】（1）解：， ； （2）解：． ， ， ， ， ， ． （3）解：． ， ， ， ． 【题型9 实数的混合运算】 41．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算立方根和绝对值，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．实数计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算乘法，再去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解； ； （2）解： ． 43．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得； （2）先计算实数的乘法，再计算实数的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 44．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据立方根定义和算术平方根定义，绝对值意义进行求值即可； （2）根据算术平方根的定义进行化简，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，立方根，乘方，绝对值，熟练掌握实数的混合运算顺序是解题的关键．利用算术平方根，立方根，乘方绝对值进行化简，再进行加减即可． 【详解】解： 【题型10 实数运算的实际应用】 46．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 47．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 48．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 49．某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案； （2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 50．虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 【拓展训练一 实数混合运算的综合】 51．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值和计算乘方，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值和计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解； ； （2）解： ． 52．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查的是实数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，化简绝对值，再合并即可； （2）先计算算术平方根的平方，算术平方根，立方根，乘方运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 53．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据算术平方根、立方根、绝对值等知识点化简，然后计算即可． 【详解】解：原式， ． 54．计算 (1) (2) 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再计算减法即可得到答案； （2）先计算立方根和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 55．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及乘方、立方根、算术平方根、绝对值的性质等知识点，解题的关键是正确进行化简． （1）利用算术平方根、立方根、绝对值的性质进行求解即可； （2）利用乘方、绝对值的意义、立方根和算术平方根的运算法则进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【拓展训练二 实数的规律运算问题】 56．小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 【答案】73 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 57．（1）若，则代数式的值为 ． （2）如下是按规律排列的一列单项式： ，… 则第10个单项式是 ． 【答案】 【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可求解； （2）根据单项式的系数的绝对值为，字母都为，指数的规律为对应的序号，系数的符号奇数个时为正，偶数个时为负，乘以即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴ 故答案为：； （2），… ∴第个单项式为， ∴第10个单项式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的计算，单项式规律，掌握实数的运算法则以及找到单项式的规律是解题的关键． 58．阅读下列材料：，即的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： (1)如果介于连续的两个整数和之间，且，求a，b的值． (2)如果是的小数部分，是的整数部分，求的值． (3)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的估算、实数的运算，熟练掌握无理数的估算是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）先求出，，由此即可得； （3）先代入计算的值，再计算算术平方根即可得． 【详解】（1）解：，即， ∵介于连续的两个整数和之间，且， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵是的小数部分，是的整数部分， ∴，． （3）解：由（2）已得：， ∴， ∴的算术平方根为． 59．阅读下列材料： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： 如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，属于基础题，注意掌握“夹逼法”的运用及二次根式的混合运算法则是解题的关键．根据，，得出，，然后再进行计算即可． 【详解】解：，， ，， ． 60．我们知道，无理数就是无限不循环小数．例如，就是无理数，所以的小数部分是不可能全部写出来的．但我们可以用来表示的小数部分．再如，是无理数，因为，即，所以的整数部分为2，的小数部分为．请你观察上面规律后解决下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （3）已知，其中是x整数，且，求的相反数． 【答案】（1）3，；（2）；（3）． 【分析】（1）利用无理数的估算求值； （2）利用无理数的估算确定a和b的值，然后代入求解； （3）根据无理数的估算确定x和y的值，然后求解． 【详解】解：（1）∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴的整数部分是3，小数部分是-3， 故答案为：3；-3； （2）∵＜＜，＜＜， ∴1＜＜2，2＜＜3， ∴a=-1，b=-2， ∴ =(−1)+(−2)−8 =3-+5-2-8 =--2； （3）∵＜＜， ∴2＜＜3， ∴12＜10+＜13， 又∵x是整数，且0＜y＜1， ∴x=12，y=10+-12=-2， ∴x-y=12-（-2）=14-， ∴x-y的相反数是-14． 【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的混合运算，掌握算术平方根的概念和实数的混合运算法则是解题关键． 【拓展训练三 实数与数轴综合】 61．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬到点B，点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)蚂蚁在数轴上还爬过D、E两点，D、E两点分别表示实数d和e，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离求解即可． （2）根据绝对值的意义化简绝对值，再进行运算即可． （3）根据相反数的定义以及非负数的性质得到e，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m， ∴， 解得：； 故答案为： （2）解：，则， ； 答：的值为6． （3）解：与互为相反数， ， ，且， 解得：， ， 的平方根为． 答：的平方根为． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，实数的运算，相反数的定义，绝对值的非负性，代数式求值，以及求一个数的平方根，掌握这些定义以及性质是解题的关键． 62．某位同学学习实数之后整理的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日    星期二    晴 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则点A对应的数为，点对应的数为． 类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ (1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想______． A．方程思想    B．数形结合思想    C．化归思想 (2)“类比思考”中，线段的长为______，的长为______；则点B表示的数为______，点表示的数为______． (3)拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1)B (2)，，， (3)见解析 【分析】本题考查实数与数轴，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）体现了数形结合的思想； （2）利用平移的思想，进行求解即可； （3）类比题干中的方法，作图即可． 【详解】（1）解：体现了数形结合的思想； 故选：B； （2）解：图3中的正方形相当于从图2的位置向右平移1个单位长度得到的， ∴的长为，，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，，，； （3）解：∵大正方形的面积为5， ∴小长方形的对角线长为， 如图所示，点P表示的数为． 63．（1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，得到4个等腰直角三角形，将所得的4个等腰直角三角形拼成一个大正方形． ①求正方形的边长； ②如图2，在数轴上，以原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，交数轴的负半轴于点，直接写出点表示的实数． （2）请你参照（1）的方法，解决下面的问题： ①如图3，把5个边长为1的正方形排成一个长方形，将图3的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，并求出大正方形边长的值（图4中小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）； ②在①的条件下，数轴上点表示的数为，在图5的数轴上标出点． 【答案】（1）①；②；（2）①，图见解析；②见解析 【分析】此题考查了实数和数轴，算术平方根的应用， （1）①设正方形的边长为，根据题意得到，然后求解即可； ②根据点M的位置和的长度求解即可； （2）①根据题意得到，求出； ②根据在图5的数轴上标出即可． 【详解】解：（1）①设正方形的边长为，根据题意得，， ∵， ∴， ∴正方形的边长为； ②． （2）①在图3中画出裁剪线，在图4中画出大正方形如图所示； 根据题意，得， ∵， ∴； ②在数轴上标出点如图5所示． 64．如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为． (1)_____． (2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪． 【答案】(1) (2)；；能 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用点A表示的数减去点A和点B之间的距离即可得到答案； （2）用电C表示的数减去点B表示的数即可得到的长；求出运动的时间即可求出运动的路程；比较出运动的路程与的长的大小关系即可得到最后的答案． 【详解】（1）解：∵数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点， ∴； （2）解：由（1）可得，点B表示的数为， ∵点所表示的数为5， ∴； ∵的速度是1个单位长度/秒， ∴从到达时的运动时间为秒， ∴运动的路程是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴能逃脱的魔爪 65．如图1，直径为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是___________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，解决下列问题： ①如图2所示，数轴上的点表示，点表示，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为．求的值． ②若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由？ 【答案】(1) (2)①，②不能裁出，见解析 【分析】本题主要考查数轴与实数的关系，数轴上两点之间的距离，熟练掌握平方根的运算及比较大小以及实数与数轴上点的关系是解决本题的关键． （1）利用圆的周长公式计算出圆的周长即可求解； （2）①由得到，再代入求值即可；②根据长方形的面积以及长与宽的比求出长与宽，再判断长是否小于正方形边长即可判断． 【详解】（1）解：圆的周长为：， ， 是原点， 表示的数为：， 故答案为：； （2）①点表示，点表示，点所表示的数为， 点到点的距离为，点到点的距离为 点到点的距离与点到点的距离相等， ， ， ； ②正方形的边长为， 设长方形的长为，宽为， 则长方形的面积为， 解得：， 由边长的实际意义得：， 此长方形纸片的长为， ， ， ， 长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，不能裁出． 【拓展训练四 无理数的整数部分、小数部分压轴】 66．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是_____________，小数部分是______________； (2)如果的小数部分为；的整数部分为，求的值； (3)已知，出其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，平方根的估算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）估算的范围后求解即可； （2）估算和，求出和的值后代入运算即可； （3）估算的范围，求出和的值后代入运算即可． 【详解】（1）解∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； 故答案为：，； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 67．阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 1 x x 1 1 解：由图中面积计算，， ，． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值． (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算． （1）根据材料一中的方法求解即可； （2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分为5，的整数部分为2，即， ∴的小数部分为，即． ∴； （2）解：∵面积是5的正方形的边长是，， ∴可设 画出示意图如图所示 由图中面积计算， ∵， ∴， ∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程，解得，即． 68．综合与实践：小李同学探索的近似值的过程如下 ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ． ∵， ∴． 当时，可忽略，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为_______； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）；（解题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程．） (3)卫星太阳能板的优化设计：某科技公司设计正方形卫星太阳能板时，需计算展开后的边长．已知太阳能板的面积为137平方米，工程师采用类似的近似方法优化材料用量．若忽略后近似计算，实际需保留项修正．设，通过计算，验证近似值的误差（保留两位小数）． 【答案】(1)7 (2) (3)0．59 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据无理数的估算方法估算出，据此可得答案； （2）根据题目所提供的方法进行解答即可； （3）先估算出，设，其中，把代入中求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分的值为7； （2）解：∵面积为52的正方形的边长是，且， ∴设，其中， 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ． ∵， ∴． 当时，可忽略，得，解得． ∴． （3）解：∵， ∴， 设，其中， 把代入中得：， ∴实际面积误差：（平方米）． 69．阅读材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用减去其整数部分，差就是小数部分．根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么_____，______； (2)已知，，且为的整数部分，为的小数部分，比较与的大小． 【答案】(1)3， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是无理数的估算，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出，计算即可． 【详解】（1）解：， ， ，是整数，且， ，， 故答案为：3，； （2）解：， ， 为的整数部分，为的小数部分， ，， ， ． 70．下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分， 又如： ． ． 的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容可知，的整数部分是________，小数部分是_________； (2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1)6， (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴，即， ∴的整数部分是6， 小数部分是， 故答案为∶6，； （2）解：∵， ∴，即， ∴，即 ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 【拓展训练五 实数的新定义问题】 71．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为________；的相邻值为________； (2)若实数，满足关系式：，求的相邻值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的估算和新定义，解题关键是理解新定义的含义． （1）按照已知条件中的新定义，进行解答即可； （2）先根据二次根式，绝对值，偶次方的非负性，列出关于，的方程，解方程求出，，从而求出，最后根据已知条件中的新定义求出答案即可． 【详解】（1）解：， 的相邻值为； ， 的相邻值为，相邻值为， 故答案为：；； （2）解：， ， ，， 解得：，， ， ， 的相邻值为，即的相邻值为． 72．【生活发现】 （1）如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为______． 根据有理数的定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数． 【提出猜想】 通过不断估算，发现不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商．因此，提出猜想：不是有理数． 【数学证明】 假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是2的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 【类比迁移】 （2）如图2，是一个顶点与原点重合的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示的点； （3）请你模仿上述过程，证明：不是有理数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于两个小面积之和，进而问题可求解； （2）该正方形面积为5，则边长为，对角线长为； （3）依照例题求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知：两个小正方形的面积分别为1， ∴大正方形的面积之和为：2， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）如图，点即为所作； ； （3）假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是10的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 73．定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据已知得，进而得出代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴的“共同体区间”为． 74．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，与是互质的两个整数，且， 则 即． 因为是整数且不为， 所以是不为的偶数． 设（是整数，且）， 则． 所以． 所以也是偶数，与，是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 故答案为：，． （2）设，与是互质的两个整数，且，则， 所以， ，是整数且不为， 为的倍数． 设（是整数）， ， 也是的倍数，与与是互质的整数矛盾， 是无理数． 75．定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：即， 则，； （2）解：， ， 是整数，， ，， ． （3）解：， 根据题意得：，， ． 1．在实数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较．利用正数大于零，负数小于零，结合无理数的估算比较实数的大小，即可找出最大的数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴最大的数是， 故选：D． 2．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值，先估算出，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故选：C 3．是一个很奇妙的数，在艺术、建筑中以“黄金分割”体现美感，估计的值（　　） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算的值，然后再减去1后的结果再除以2，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， 即的值估计在0和1之间， 故选：A． 4．满足的整数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小和整数的概念．先估算出与的取值范围，再根据整数的概念进行求解，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与之间的整数有：，，0，1，共4个， 故选：C． 5．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； 故选：C． 6．如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是6， 故选：C． 7．在实数2，中，有理数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数和有理数识别、算术平方根、实数运算等知识，理解有理数和无理数的定义是解题关键．首先判断四个实数中的无理数和有理数，然后根据算术平方根的定义性质以及实数加法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故这组实数中，为无理数，2，为有理数， 则有理数的和为． 故答案为：． 8．已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键．由，可得，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，． ∴． 故答案为：． 9．如图，数轴上点，表示两个连续的整数，点表示的数是，则点表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先用夹逼法估算，再根据点，表示两个连续整数即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 10．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：72，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】 255 新增答案空 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，根据表示不超过a的最大整数，对81只需进行3次操作后变为1，由此分别对82，182，255，282进行操作，可得到只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的整数． 【详解】解：； ∵只需进行3次操作后变为1的所有正整数，算术平方根是16时就需要四次操作，取整数， ∴最大的数是255． 故答案为：255． 11．如图，在中，， ，在数轴上，点A表示的数是1，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点D，则点D表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据作图得出的长，再求出点D到原点的距离，即可得出点D表示的数． 【详解】解：由题意得， ∵点A表示的数是1， ∴点D到原点的距离是， ∵点D在数轴的负半轴， ∴点D表示的数是． 故答案为：． 12．我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．把下列各数进行分类：0，，3.14，，，，，， 负实数： 正有理数： 无理数： 【答案】，；3.14，，； 【分析】本题主要考查了实数的有关概念，解题关键是熟练掌握负实数，正有理数和无理数的定义．根据负实数，正有理数和无理数的定义，对各个数进行判断即可． 【详解】解：负实数：，； 正有理数：3.14，，； 无理数：； 故答案为：，；3.14，，；． 14．把下列实数表示在数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，， 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数以及利用数轴比较实数的大小，解题的关键是将各数在数轴上表示出来． 画出数轴，然后根据数轴的特点表示出所有的数，再根据数轴上的数右边的总比左边的大进行排列． 【详解】解：， 各数表示在数轴上如下： ． 15．某小区有一个的长方形场地，且长和宽之比为3：2． (1)求这个长方形场地的长和宽分别是多少m？ (2)小区准备把这个长方形场地用实木棚栏围起来．小区原有可以围成的正方形场地的实木栅栏未使用，那么这些实木栅栏是否够用？并说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)这个长方形场地的长为，宽为 (2)这些实木栅栏够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根，正方形和长方形的面积、周长，根据题意设出合适未知数，依据相等关系列出方程，是解题的关键． （1）设这个长方形场地宽为，则长为，根据面积为，列式进行计算即可得到答案； （2）先求出正方形的边长，再求出正方形、长方形的周长，进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个长方形场地宽为，则长为， 由题意有：， 解得：， 表示长度， ， ， ， 答：这个长方形场地的长为，宽为； （2）解：正方形棚栏的面积为， 正方形棚栏的边长为：， 正方形棚栏的周长为：， 这个长方形场地的周长为：， ， ， 这些实木棚栏够用． 16．【阅读理解】 如何判断无理数的大小范围呢？我们可这样做： 因为： 所以： 即： 因此：是介于5到6的一个数． 由此我们也可以得到这样的结论：的整数部分是5，小数部分是． 【问题解决】 (1)下列无理数中，大小在3与4之间的是（   ） A．　B．　C．　D． (2)的整数部分是_______，小数部分是_______． (3)的整数部分为，小数部分为，则_______． 【答案】(1)C (2)3； (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小．熟练掌握利用算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键． （1）分别估算出各选项中无理数大小，即可得出答案； （2）根据得到，即可求解； （3）根据，得到，即可求出a、b值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：A、∵，∴，∴是介于2到3的一个数，故此选项不符合题意； B、∵，∴，即，∴是介于2到3的一个数，故此选项不符合题意； C、∵，∴，∴是介于3到4的一个数，故此选项符合题意； D、∵，∴，∴是介于4到4的一个数，故此选项不符合题意； 故选：C． （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是． 故答案为：3；． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：． 17．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1．4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，则，． 根据材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则________，________； (2)若，其中是整数，且，求的值； (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，，其中是整数，且 则； （2）解：， ， ∵a是整数，， ，， ∴． （3）∵， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴根据题意得， ， ． 18．人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即_______．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，_______． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． (3)【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)她的想法不可行，理由见解析 【分析】本题考查反证法，算术平方根的应用，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． （3）求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （3）她的想法不可行，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴她的想法不可行． 19．某位同学学习实数之后整理的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日    星期二    晴 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则点A对应的数为，点对应的数为． 类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ (1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想______． A．方程思想    B．数形结合思想    C．化归思想 (2)“类比思考”中，线段的长为______，的长为______；则点B表示的数为______，点表示的数为______． (3)拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1)B (2)，，， (3)见解析 【分析】本题考查实数与数轴，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）体现了数形结合的思想； （2）利用平移的思想，进行求解即可； （3）类比题干中的方法，作图即可． 【详解】（1）解：体现了数形结合的思想； 故选：B； （2）解：图3中的正方形相当于从图2的位置向右平移1个单位长度得到的， ∴的长为，，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，，，； （3）解：∵大正方形的面积为5， ∴小长方形的对角线长为， 如图所示，点P表示的数为． 20． 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可以概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：． ， ，即， 的整数部分为，的小数部分为． 以为例：， ． 代入公式得． 这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果． 任务： (1)利用材料一中的方法，的小数部分等于_______； (2)利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）； (3)已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）先估算出，再根据材料二中的方法计算即可； （3）先估算出，，求得的算术平方根为，再根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分为5，的小数部分为． 故答案为：； （2）解：，， ，， 代入公式得． 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵，且， ∴，， ∴， ∴的算术平方根为， ，， ，， 代入公式得． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 实数的运算 （5知识点+10大题型+5大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．0.42 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）在数，，，，5中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）下列各数：0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有 个． 知识点2：实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）下列各数，，，，0，，，其中正有理数的个数为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025七年级上·浙江·专题练习）有下列说法：①是一个负数；②0的相反数和倒数都是0；③全体实数和数轴上的点一一对应；④一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；⑤实数包括无理数和有理数；⑥无理数和无理数的和一定是无理数．其中正确的是 （填序号）． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的0个数逐次增加中正数有个，非负整数有个，正分数有个，则 ． 知识点3：实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 7．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，数轴的一部分被阴影覆盖了，则被阴影覆盖的数可能是（   ） A． B． C． D．以上都不对 8．（2025·浙江·模拟检测）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）在数轴上，点在原点左侧，点表示的数为，点表示的数为，若点沿数轴向左平移1个单位长度到达点，且，则的值是 ，的值是 ． 知识点4：实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 【即时训练】 10．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D． 11．（22-23七年级上·浙江衢州·期末）实数π的相反数是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·浙江温州·期末）的相反数是 ． 知识点5：比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 13．（2025·浙江·模拟预测）实数0、、、中，最小的数是 ． 14．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）比较大小： ． 15．（24-25七年级上·浙江金华·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【题型1 无理数】 1．下列各数是无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 2．在实数，，，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．写出一个在2与4之间的无理数 4．在实数和中，无理数有 个． 5．在，，，，，，2.121112111112111……（相邻两个2之间1的个数逐次加2）中，是无理数的有 个． 【题型2 无理数的大小估算】 6．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 7．与最接近的整数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知，且a是整数，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知a，b为两个连续的整数，且，则 ． 10．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为150的正方形边长为，且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得：， ∴． (1)的整数部分为________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【题型3 无理数整数部分的有关计算】 11．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 12．已知，则整数的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．的整数部分是 ，小数部分是 ． 14．已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为，则 ． 15．先阅读材料，再解答问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是用下面方法表示． ， 即， 的整数部分是1，小数部分为． (1)根据上面的方法，求出的小数部分； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【题型4 实数概念理解】 16．下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 17．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数与数轴上的点是一一对应的 18．下列说法正确的有（    ） ①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应． A．个 B．个 C．个 D．个 19．下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 20．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【题型5 实数的分类】 21．在实数，，，中，有理数是（    ） A． B． C． D． 22．在，0，3，这四个数中，负整数是（    ） A． B．0 C．3 D． 23．在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 24．在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的0个数逐次增加中正数有个，非负整数有个，正分数有个，则 ． 25．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 无理数：{                    }； 负分数：{                    }； 整数：{                    }． 【题型6 实数的性质】 26．已知实数满足、则实数（   ） A． B．2 C． D． 27．关于的叙述错误的是（   ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．的相反数是 D．的整数部分是4 28．化简： 29．绝对值小于的所有整数的和是 ． 30．求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7 实数与数轴结合】 31．如图，实数在数轴上对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 32．如图，将实数表示在数轴上，对应的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 33．如图，数轴上有、、、四个点，则下列说法正确的有（   ） （1）点表示的数可能是；（2）点表示的数可能是 （3）点表示的数可能是；（4）点表示的数可能是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 34．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 35．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 【题型8 实数的大小比较】 36．下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 37．比较大小： ．（填“”或“”） 38．比较下列各组数的大小，用“>”，“<”或“=”连接： (1)______； (2)______； (3)1______． 39．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 40．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小． 小明的解法如下： 解：． ．． ．． 我们把这种比较大小的方法称为作差法． 请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 【题型9 实数的混合运算】 41．计算 (1)； (2)． 42．实数计算： (1)； (2)； 43．计算： (1)； (2)． 44．计算： (1)； (2)． 45．计算： 【题型10 实数运算的实际应用】 46．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 47．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 48．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 49．某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 50．虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【拓展训练一 实数混合运算的综合】 51．计算： (1)； (2)． 52．计算 (1)； (2) 53．计算：． 54．计算 (1) (2) 55．计算： (1)； (2)． 【拓展训练二 实数的规律运算问题】 56．小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 57．（1）若，则代数式的值为 ． （2）如下是按规律排列的一列单项式： ，… 则第10个单项式是 ． 58．阅读下列材料：，即的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： (1)如果介于连续的两个整数和之间，且，求a，b的值． (2)如果是的小数部分，是的整数部分，求的值． (3)求的算术平方根． 59．阅读下列材料： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： 如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 60．我们知道，无理数就是无限不循环小数．例如，就是无理数，所以的小数部分是不可能全部写出来的．但我们可以用来表示的小数部分．再如，是无理数，因为，即，所以的整数部分为2，的小数部分为．请你观察上面规律后解决下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （3）已知，其中是x整数，且，求的相反数． 【拓展训练三 实数与数轴综合】 61．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬到点B，点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)蚂蚁在数轴上还爬过D、E两点，D、E两点分别表示实数d和e，且有与互为相反数，求的平方根． 62．某位同学学习实数之后整理的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日    星期二    晴 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则点A对应的数为，点对应的数为． 类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ (1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想______． A．方程思想    B．数形结合思想    C．化归思想 (2)“类比思考”中，线段的长为______，的长为______；则点B表示的数为______，点表示的数为______． (3)拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 63．（1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，得到4个等腰直角三角形，将所得的4个等腰直角三角形拼成一个大正方形． ①求正方形的边长； ②如图2，在数轴上，以原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，交数轴的负半轴于点，直接写出点表示的实数． （2）请你参照（1）的方法，解决下面的问题： ①如图3，把5个边长为1的正方形排成一个长方形，将图3的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，并求出大正方形边长的值（图4中小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）； ②在①的条件下，数轴上点表示的数为，在图5的数轴上标出点． 64．如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为． (1)_____． (2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪． 65．如图1，直径为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是___________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，解决下列问题： ①如图2所示，数轴上的点表示，点表示，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为．求的值． ②若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由？ 【拓展训练四 无理数的整数部分、小数部分压轴】 66．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是_____________，小数部分是______________； (2)如果的小数部分为；的整数部分为，求的值； (3)已知，出其中是整数，且，求的值． 67．阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 1 x x 1 1 解：由图中面积计算，， ，． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值． (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 68．综合与实践：小李同学探索的近似值的过程如下 ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ． ∵， ∴． 当时，可忽略，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为_______； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）；（解题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程．） (3)卫星太阳能板的优化设计：某科技公司设计正方形卫星太阳能板时，需计算展开后的边长．已知太阳能板的面积为137平方米，工程师采用类似的近似方法优化材料用量．若忽略后近似计算，实际需保留项修正．设，通过计算，验证近似值的误差（保留两位小数）． 69．阅读材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用减去其整数部分，差就是小数部分．根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么_____，______； (2)已知，，且为的整数部分，为的小数部分，比较与的大小． 70．下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分， 又如： ． ． 的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容可知，的整数部分是________，小数部分是_________； (2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根． 【拓展训练五 实数的新定义问题】 71．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为________；的相邻值为________； (2)若实数，满足关系式：，求的相邻值． 72．【生活发现】 （1）如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为______． 根据有理数的定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数． 【提出猜想】 通过不断估算，发现不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商．因此，提出猜想：不是有理数． 【数学证明】 假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是2的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 【类比迁移】 （2）如图2，是一个顶点与原点重合的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示的点； （3）请你模仿上述过程，证明：不是有理数． 73．定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 74．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 75．定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 1．在实数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 2．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 3．是一个很奇妙的数，在艺术、建筑中以“黄金分割”体现美感，估计的值（　　） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 4．满足的整数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ）    A． B． C． D． 6．如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．在实数2，中，有理数的和为 ． 8．已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 9．如图，数轴上点，表示两个连续的整数，点表示的数是，则点表示的数是 ． 10．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：72，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 11．如图，在中，， ，在数轴上，点A表示的数是1，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点D，则点D表示的数是 ． 12．我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．则的值为 ． 13．把下列各数进行分类：0，，3.14，，，，，， 负实数： 正有理数： 无理数： 14．把下列实数表示在数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，， 15．某小区有一个的长方形场地，且长和宽之比为3：2． (1)求这个长方形场地的长和宽分别是多少m？ (2)小区准备把这个长方形场地用实木棚栏围起来．小区原有可以围成的正方形场地的实木栅栏未使用，那么这些实木栅栏是否够用？并说明理由．（参考数据：） 16．【阅读理解】 如何判断无理数的大小范围呢？我们可这样做： 因为： 所以： 即： 因此：是介于5到6的一个数． 由此我们也可以得到这样的结论：的整数部分是5，小数部分是． 【问题解决】 (1)下列无理数中，大小在3与4之间的是（   ） A．　B．　C．　D． (2)的整数部分是_______，小数部分是_______． (3)的整数部分为，小数部分为，则_______． 17．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1．4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，则，． 根据材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则________，________； (2)若，其中是整数，且，求的值； (3)若，其中是整数，且，求的值． 18．人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即_______．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，_______． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． (3)【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？请说明理由． 19．某位同学学习实数之后整理的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日    星期二    晴 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则点A对应的数为，点对应的数为． 类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ (1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想______． A．方程思想    B．数形结合思想    C．化归思想 (2)“类比思考”中，线段的长为______，的长为______；则点B表示的数为______，点表示的数为______． (3)拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 20． 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可以概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：． ， ，即， 的整数部分为，的小数部分为． 以为例：， ． 代入公式得． 这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果． 任务： (1)利用材料一中的方法，的小数部分等于_______； (2)利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）； (3)已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$