精品解析：2025年天津市红桥区中考三模数学试题

九年级数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分． 第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回．祝你考试顺利! 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. －1 B. 1 C. －5 D. 5 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 将数据2680000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 的值等于（ ） A B. C. 1 D. 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 计算的结果是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 1﹣x D. 8. 二元一次方程组解为（　　） A. B. C. D. 9. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C D. 10. 如图，在矩形中，，连接，分别以点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，与相交于点，与相交于点，连接，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 11. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，点C的对应点为E，点A的对应点D落在的延长线上，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第II卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是______. 14. 计算的结果为________． 15. 计算的结果等于_____． 16. 若一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_____ （写出 一个即可）． 17. 如图，在菱形中，，，为边中点，连接与相交于点． （1）线段的长为_____； （2）若为的中点，则线段的长为_____． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段长等于_____； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_____； （2）解不等式②，得_____； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_____． 20. 某社区为了解居民的用电情况，随机调查了该社区户家庭的日用电量．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为_____，图①中的的值为_____，统计的这组家庭的日用电量数据的众数和中位数分别是_____和_____； （2）求统计的这组家庭的日用电量数据的平均数； （3）根据样本数据，若该社区共有户家庭，估计该社区日用电量大于8度的户数． 21. 已知为的直径，切于点，过点作于点，交于点，连接． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若为的中点，，求线段的长． 22. 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C处测得教学楼顶部D处的仰角为18°，教学楼底部B处的俯角为20°，教学楼的高BD=21m，求实验楼与教学楼之间的距离AB（结果保留整数）．（参考数据：tan18°≈0.32，tan20°≈0.36） 23. 已知小明家、超市、学校、书店依次在同一条直线上，超市、学校、书店离小明家的距离分别为．小明放学后从学校出发，先匀速步行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 ②填空：小明从超市返回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）小明的哥哥小亮和小明在同一所学校上学，当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，如果小亮比小明早返回家；那么他在返回家的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且． （1）填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且． （1）若． ①求抛物线的顶点和点的坐标； ②当时，求的值； （2）若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分． 第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回．祝你考试顺利! 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. －1 B. 1 C. －5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法的运算法则是解题的关键． 根据有理数的减法进行计算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可． 【详解】解：从正面看，共三列，从左到右小正方形的个数分别为：1、2、1． 故选：A． 3. 将数据2680000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握其概念，找出对称轴是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，根据定义，结合图形，找出对称轴即可． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B ． 5. 的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值，将特殊三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】把变形为，然后用“夹逼法”解答即可． 【详解】解：=， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 7. 计算的结果是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 1﹣x D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同分母分式的加减运算法则计算可得． 【详解】解：原式= = = =-1， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握同分母分式的加减运算法则． 8. 二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】利用加减消元法解这个二元一次方程组. 【详解】解： ①-②2，得：y=-2， 将y=-2代入②，得：2x-2=4， 解得，x=3， 所以原方程组的解是. 故选C. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点，解此题的关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较典型，难度适中. 9. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的增减性是关键． 根据题意，反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限，随的增大而减少，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∴图象经过第一、三象限，每个象限，随的增大而减少， 当时，，当时，， ， ∴， ∴， 故选：D ． 10. 如图，在矩形中，，连接，分别以点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，与相交于点，与相交于点，连接，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 根据矩形的性质得，由作图可知垂直平分，得，设，则，最后由勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：在矩形中，， ， 由作图步骤可知，垂直平分， ， 设，则， ， ， 解得， 故选：C． 11. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，点C的对应点为E，点A的对应点D落在的延长线上，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得BA=BD，∠BDE=∠A，又因为点A的对应点D落在的延长线上，所以∠BDC=∠A，即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点B领时针旋转得到， ∴∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABC， BD=BA，BC=BE， 故A、B、D选项不符合题意， ∵BD=BA，点A的对应点D落在的延长线上， ∴∠BDC=∠A， ∴∠BDE=∠BDC， 故C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转前后对应边相等、对应角相等是解题的关键． 12. 冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意得，， 当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误． ，且当时，， 蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确． 令， ． 或． 的图象开口向下， 蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确． 综上，正确的有①③，共2个． 故选：C． 第II卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】用绿球的个数除以总球的个数即可得出取出绿球的概率． 【详解】解：∵不透明的袋子中装有8个球，其中有个红球、个绿球和个黑球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为； 故答案为. 【点睛】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用积的乘方运算法则计算即可求得答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了积乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 15. 计算的结果等于_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式，进行计算即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 16. 若一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_____ （写出 一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出，随便写出一个小于0的b值即可． 【详解】解：∵一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 17. 如图，在菱形中，，，为边的中点，连接与相交于点． （1）线段的长为_____； （2）若为的中点，则线段的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理等等，熟知菱形的性质是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质可推出，，则可证明是等边三角形，得到，据此解直角三角形即可得到答案； （2）连接，可证明，得到，解得到，再证明，求出，则． 【详解】解：（1）如图所示，连接 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵为边的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由（1）可得是等边三角形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于_____； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 ①. ②. 图见解析，取圆与网格线的交点，连接相交于点；取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点；连接并延长，与圆分别相交于点；连接相交于点，则点即为所求 【解析】 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （I）根据网格，运用勾股定理即可求解； （II）根据圆与格点，确定圆心，再运用垂径定理，四边形的内角和得到，根据圆周角定理，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（I）； （II）如图， 取圆与网格线的交点，连接相交于点，即为圆心； 取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点，如图所示，取格点矩形，，连接，分别与交于点，连接并延长，与圆分别相交于点， ∴点是弦的中点， ∴； 连接相交于点，如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则点即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_____； （2）解不等式②，得_____； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_____． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据不等式求解方法求出不等式的解集； （2）根据不等式求解方法求出不等式的解集； （3）根据（1）（2）在数轴上表示即可； （4）根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 小问1详解】 解：解不等式①，得：； 【小问2详解】 解：解不等式②，得：； 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图： ； 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 20. 某社区为了解居民的用电情况，随机调查了该社区户家庭的日用电量．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为_____，图①中的的值为_____，统计的这组家庭的日用电量数据的众数和中位数分别是_____和_____； （2）求统计的这组家庭的日用电量数据的平均数； （3）根据样本数据，若该社区共有户家庭，估计该社区日用电量大于8度的户数． 【答案】（1），，8，8 （2） （3）户 【解析】 【分析】（1）根据日用电量为6度的有4户，占，可求出本次随机调查了该社区的家庭有户数；根据日用电量为7度的有8户，可求出它所占的百分比，从而可求得；根据总共有户，可知中位数是日用电量为第、户，结合条形统计图可求解；利用条形统计图求出众数； （2）根据加权平均数的算法，利用条件统计图中数据计算； （3）用样本估计总体． 【小问1详解】 解：∵日用电量为6度的有4户，占， ∴本次随机调查了该社区的家庭有户， ∵日用电量为7度的有8户， ∴， ∴， ∵总共有40户， ∴中位数是日用电量为第、户， 从条形统计图可知日用电量为第、户都是8度， ∴中位数是， 从条形统计图可知日用电量为8度的户数最多，有13户， ∴统计的这组家庭的日用电量数据的众数是8， 故答案为：40，20，8，8． 【小问2详解】 解：观察条形统计图，， 这组数据的平均数是． 【小问3详解】 解：在所抽取的样本中，日用电量大于8度的户数比例为， 根据样本数据，估计该社区户家庭中日用电量大于8度的户数比例为，于是，有． 估计该社区日用电量大于8度的家庭约为户． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，求一组数据的中位数，求众数，求加权平均数，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 21. 已知为的直径，切于点，过点作于点，交于点，连接． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若为的中点，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质结合，即可得到，再根据等边对等角得到，即，即可求出； （2）连接，与相交于点，先证明，由题意可得，推出，易证为等边三角形，解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：连接． 切于点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，与相交于点， ∵，， ∴， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题为圆的综合题．考查圆的基本性质，切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形．正确的作出辅助线是解答本题的关键． 22. 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C处测得教学楼顶部D处的仰角为18°，教学楼底部B处的俯角为20°，教学楼的高BD=21m，求实验楼与教学楼之间的距离AB（结果保留整数）．（参考数据：tan18°≈0.32，tan20°≈0.36） 【答案】AB的长约为31m． 【解析】 【分析】过点C作CM与BD垂直，CM的长即为AB的长，利用锐角三角函数定义，用含CM的式子表示BM和DM的长，代入BM＋DM＝BD，从而得到CM的长. 【详解】过点C作CM⊥BD于点M， 在Rt△CDM中，∵tan∠DCM=， ∴DM=CMtan∠DCM=CMtan18°； 在Rt△BCM中，∵tan∠BCM=， ∴BM=CMtan∠BCM=CMtan20°， ∵DM+BM=BD， ∴CMtan18°+CMtan20°=21， 解得：CM=≈31（m）， 则AB=31m， 答：AB的长约为31m． 故答案为约为31m. 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键. 23. 已知小明家、超市、学校、书店依次在同一条直线上，超市、学校、书店离小明家的距离分别为．小明放学后从学校出发，先匀速步行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 ②填空：小明从超市返回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）小明的哥哥小亮和小明在同一所学校上学，当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，如果小亮比小明早返回家；那么他在返回家的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1） ①2，1.2，0.4；②0.08；③当时，；当时，；当时，． （2） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据小明的运动过程，计算得出小明离开学校时，小明离家的距离，再结合函数图象信息填表即可； ②根据速度、时间、路程的关系求解，即可解题； ③结合函数图象，利用待定系数法分情况求解，即可解题； （2）设小亮离家的距离关于时间的函数解析式为，根据题意得到过点，，利用待定系数法求出解析式，再联立求解，即可解题． 【小问1详解】 解：①由小明的运动过程可知，小明离开学校时，小明在书店到超市的路程中间，即小明离家的距离为， 根据图象填表如下： 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 2 1.2 0.4 故答案为：2，1.2，0.4； ②小明从超市返回家的速度为； 故答案为：0.08； ③当时，设解析式为， 则，解得， 故； 当时，； 当时，设解析式为， 则，解得， 故． 【小问2详解】 解：小明哥哥小亮离家的距离关于时间的函数解析式为， 当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，且小亮比小明早返回家； 过点，， 则，解得， ， 联立与，解得， 小亮在返回家的途中遇到小明时离家的距离是． 24. 将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且． （1）填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先利用解直三角形求出，，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质求得，，即可求得，； （2）①先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可求得，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，并求得，设，用表示出，进而表示出与的坐标，再利用解直角三角形表示出，进而求得，再根据折叠的性质得出，从而可得； ②分三种情况：当时，当时，当时，分别找出重叠部分，求出对应的S的取值范围，再最后确定其范围即可． 【小问1详解】 解：过点B作轴于点D， ∵， ∴， ， ∵点， ∴， ∵梯形中， ，轴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， 故答案为：； 【小问2详解】 ①过点Q作于点E， ，， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ． ， ∵， ， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∴，， ∴， ， 由折叠可知：，， ， ，解得：， ， ， ， 由折叠可知：， ∵折叠后重叠部分的面积为， ， 又，解得：， ； ②当时，折叠后重叠部分为，如图所示： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，折叠部分为四边形，如图所示： 根据解析①可知：此时， ∴； 当时，重叠部分为四边形，如图所示： 则， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴为等边三角形，且边长为， ∴， ∴ ， ∴当时，； 综上分析可知：． 【点睛】本题考查了坐标与图形综合，解直角三角形的相关计算，的最值，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 25. 已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且． （1）若． ①求抛物线的顶点和点的坐标； ②当时，求的值； （2）若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值． 【答案】（1）①；；② （2）4 【解析】 【分析】（1）①把解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，再求出函数值为0时自变量的值即可求出点B的坐标；②由题意得点的坐标为，其中．求出点的坐标为，得到，则垂直平分，可得点M在第一、三象限的角平分线上，则，解方程即可得到答案； （2）把点B坐标代入解析式可得，则抛物线解析式为，即可得到抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，求出点的坐标为，则直线的解析式为，过点作轴，与相交于点，则点的坐标为．可证明，则．求出，．则．即可得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①当时，抛物线解析式． 顶点的坐标为． 令，得．解得或． 点在点的左侧， 点的坐标为． ②根据题意，点的坐标为，其中． 当时， ∴点的坐标为， ∴ ， ∴垂直平分 ∴，即点M在第一、三象限的角平分线上， ． 解得（舍去），． 【小问2详解】 解：点的坐标为， ∴ ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 过点作轴，与相交于点，则点的坐标为． ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴． ． 轴， ． ． ． 当时，取得最大值． ．即． 解得（舍去），． 的值为4． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合等等，解（1）的关键在于证明点M在第一、三象限的角平分线上，解（2）的关键在于证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$