精品解析：北京市顺义区杨镇第一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

十一顺义学校2024级高一第3学段教与学质量诊断 数学试卷 总分150分 时间：120分钟 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 2. 已知向量，，且∥，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 向量（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（ ） A. B. C. D. 5. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（ ） A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 30°或150° 6. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（，）的图象如图所示，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 9. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 在平面直角坐标系中，点，，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. ______． 12. 如果，那么______；______． 13. 已知，均是单位向量，，则______． 14. 的内角，，的对边分别为，，，，则角的大小为______．若角为钝角，则的取值范围为______． 15. 对于函数，给出下列四个命题： ①该函数的最小值为； ②该函数是以为最小正周期的周期函数； ③当且仅当（）时，该函数取得最大值； ④当且仅当（）时，． 其中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知向量，，，，，． （1）求向量，夹角的余弦值； （2）求实数的值． 17. 在平面直角坐标系中，角与的顶点均为坐标原点，始边均为轴非负半轴．若角的终边与圆交于一点，将绕原点按逆时针方向旋转后与角的终边重合． （1）写出角与的关系； （2）求和的值． 18. 在中，，． （1）若，求的值和的面积； （2）若，求角的大小． 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值和最小值，并求出对应的值： （3）若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 20. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求； （2）求，的长． 21. 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为． （1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； （2）写出函数的“伴随向量”为，并求； （3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，最大值为； ①若，，求的值； ②求证：向量的充要条件是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十一顺义学校2024级高一第3学段教与学质量诊断 数学试卷 总分150分 时间：120分钟 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的模长计算可得. 【详解】由题意可得. 故选：B. 2. 已知向量，，且∥，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由∥直接列方程求解即可. 【详解】因为向量，，且∥， 所以，得， 故选：B 3. 向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加减法则可得. 【详解】. 故选：A. 4. 如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，由点的坐标得出复数. 【详解】复数对应的点，则复数. 故选：D. 5. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（ ） A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 30°或150° 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理结合特殊角三角函数值即可求得的值，可求. 【详解】由正弦定理可得，又，，， 所以，所以，又，可得， 则，故. 故选：A. 6. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：C. 7. 已知函数（，）的图象如图所示，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的图象可得周期为，进而计算可求得的值. 【详解】法一：因为函数的图象过点，所以，即， 又，所以. 函数的图象过点，所以， 又由图可知，，所以，， 所以，解得. 法二：根据五点法可知，函数的图象过点，， 所以，即，故， 故选：C. 8. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】先用三角恒等变换化简，再用平移法则求解即可 【详解】， 因此要得到函数的图象， 只需把函数的图象向左平移个单位， 故选：C 9. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解三角不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】在中，由得：或，而，则，因此得， 于是得，是钝角三角形， 当是钝角三角形时，取钝角，， 即是钝角三角形不能推出， 所以“”是“是钝角三角形”的充分而不必要条件. 故选：A 10. 在平面直角坐标系中，点，，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换，即可由三角函数的有界性求解最值. 【详解】由，可得， 所以 ， 故当时，取最大值， 故选：B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】， 故答案为： 12. 如果，那么______；______． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】利用和角的正切公式及正余弦齐次式法分别计算得解. 【详解】由，得； . 故答案为：；1 13. 已知，均是单位向量，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用单位向量的概念、向量的数量积运算即可得解. 【详解】∵，均为单位向量，∴，， 又∵， ∴， ∴. 故答案为：1. 14. 的内角，，的对边分别为，，，，则角的大小为______．若角为钝角，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：利用正弦定理边化角，进而根据三角恒等变可求得，可求；第二空：利用边化角，结合的范围，可求的取值范围. 【详解】第一空：由，可得， 所以，所以， 因为，所以，所以，又，所以； 第二空：因为角为钝角，所以，所以， 所以, 所以的取值范围. 故答案为：①；②. 15. 对于函数，给出下列四个命题： ①该函数的最小值为； ②该函数是以为最小正周期的周期函数； ③当且仅当（）时，该函数取得最大值； ④当且仅当（）时，． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合函数图象逐一判断各个命题即得. 【详解】依题意，， 则， ，因此函数为周期函数，是的一个周期， 作出函数的图象（图中实线），如图： 观察函数图象，得： 对于②，函数的最小正周期为，②正确； 对于①，函数的最小值为，①错误； 对于③，当且仅当或时，函数取得最大值，③错误； 对于④，当且仅当时，，④正确. 所以所有正确结论的序号是②④. 故答案为：②④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知向量，，，，，． （1）求向量，夹角的余弦值； （2）求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角的坐标运算公式求解即可； （2）由题意可得，利用向量数量积的坐标运算求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， ，， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 又，，，所以，解得. 17. 在平面直角坐标系中，角与的顶点均为坐标原点，始边均为轴非负半轴．若角的终边与圆交于一点，将绕原点按逆时针方向旋转后与角的终边重合． （1）写出角与的关系； （2）求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据任意角的概念可得出结论； （2）由三角函数的定义可得出、、的值，再利用二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式可求得的值. 【小问1详解】 由题意可得. 【小问2详解】 由三角函数的定义可得，，， 所以， . 因此， . 18. 在中，，． （1）若，求的值和的面积； （2）若，求角的大小． 【答案】（1），的面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）通过余弦定理得，可求，求得，可求出的面积； （2）本题可根据已知，，然后根据求得余弦，进而可得解. 【小问1详解】 由余弦定理易知，，又，，． 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以，又，所以， 所以的面积为； 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，，所以， 则 ，因为，所以. 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值和最小值，并求出对应的值： （3）若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）时，取得最大值；时，取得最小值. （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换将原式转化为，再求周期即可； （2）正体代入结合正弦函数的单调性求解可得； （3）求出正弦函数的递增区间，再由集合间的包含关系可解. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 当，， 所以当即时，最大值； 当即时，最小值. 【小问3详解】 当，即时， 函数为递增函数， 又在区间上单调递增， 所以应为函数递增区间的子集，即， 取，所以. 20. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求； （2）求，的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得，由平行关系可得； （2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【小问1详解】 因为，，则、均为锐角， 所以，， 则 ， 又，则，因此； 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， 可得， 在中，由余弦定理可得 ， 因此，. 21. 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为． （1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； （2）写出函数的“伴随向量”为，并求； （3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，最大值为； ①若，，求的值； ②求证：向量的充要条件是． 【答案】（1），最大值； （2），； （3）①； ②充分性： ， 等号成立当且仅当存在使得，其中， 所以，即，则， 故若则有； 必要性：当时，， 则 ， 因，， 故当且仅当时，取得最大值. 综上，向量的充要条件是. 【解析】 【分析】（1）根据伴随函数的定义写出函数结合辅助角公式化简整理，即可求出最值； （2）结合两角和的正弦公式可化简得，进而表示出向量，即可求出模长； （3）①结合平面向量的线性坐标运算和辅助角公式即可求出结果；②由两角和的正弦公式，可推出，充分性：找出时，满足的条件即可得证；必要性：当时，，代入的解析式中，即可知. 【小问1详解】 由题意得，，其中， 所以最大值为. 【小问2详解】 ， 所以， 所以 . 【小问3详解】 因，故设，， 则 ， 则， ①由，得 ，其中 ， 则， 由，得，， 故. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $