2025--2026学年人教版七年级数学上册 --暑假-第2讲 相反数与绝对值

第2讲 相反数与绝对值 课程目标 1.理解相反数的定义，会求一个数的相反数，能根据相反数的意义对多重符号的数进行化简. 2.能借助数轴从几何和代数两个角度正确理解绝对值的意义，并会求一个有理数的绝对值. 3.掌握比较有理数的大小的一般方法，能比较一组有理数的大小. 课程内容 知识点一 相反数 意义 特点 求相反数的方法 代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中任意一个数都叫做另一个数的相反数；. 几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等． ①任意一个非零有理数的符号，与其相反数的符号一定相反； ②如果a与b互为相反数，则a+b=0. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数仍是0. 相反数：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/18367.mp4 题型一 求一个有理数的相反数 例1 写出下列各数的相反数：3，-0.25，0，20，-10，0.4. 【思路分析】根据相反数的意义，即可求得每个数的相反数. 【解】3的相反数是-3；-0.25的相反数是0.25；0的相反数是0；20的相反数是-20；-10的相反数是10；0.4的相反数是-0.4. 【总结提示】求一个数的相反数，只需在这个数的前面添上“-”号，所表示的数即为原来那个数的相反数. 练1 下列各组数：①4.4和-2.2；②和4； ③-（-）和-；④0与0； ⑤-0.01与0.001；⑥与-1.5，其中互为相反数的是（ ）. A．②⑤ B．②③④ C．③④⑥ D．②④⑥ 【思路分析】根据相反数的意义判断. 【解】 因为③④⑥中的两个数只有符号不同，所以它们互为相反数； 因为①②⑤中的两个数，除符号不同外，两个数也不相同，所以它们不互为相反数. 故选C . 题型二 利用相反数的意义化简 例2 利用相反数的意义化简下列各数： （1）-（-5）； （2）-（+5）； （3）+（-8）； （4）-[-(+)]； （5）-[-(-)]； （6）+[-(-)]. 【思路分析】在一个数的前面加一个“+”，“+”可以省略，仍然与原数相同；在一个数前边加一个“-”，就成为原数的相反数，由此即可把上述各数化简. 【解】 （1）因为-（-5）表示-5的相反数，而-5的相反数是5，所以-（-5）=5. （2）因为-（+5）表示+5的相反数，而+5的相反数是-5，所以-（+5）=-5. （3）因为+（-8）前面的“+”可以省略，所以+（-8）=-8. （4）因为-[-(+)]表示-(+)的相反数，而-(+)的相反数是+，即， 所以-[- (+)]=+(+)=. （5）因为-[-(-)]表示-(-)的相反数，而-(-)的相反数是-， 所以-[-(-)]=+(-)=-. （6）因为+[-(-)]前面的“+”可以省略，所以+[-(-)]=-(-)， 又-(-)表示-的相反数，而-的相反数是， 所以+[-(-)]=-(-)=. 【总结提示】本题考查利用相反数的意义化简多重符号，通过对解题过程的总结，我们得到一个判定含有多重符号的数的符号的方法，即：如果一个数的前面有多重“-”，在判定这个数的正负时，只需看这个数前面“-”号的个数，如果有奇数个“-”号时，则这个数是负数；如果有偶数个“-”号时，则这个数是正数，简记为“奇负偶正”.同时，这也验证了带有“-”的数不一定是负数”的正确性. 练2 化简下列各数： （1）-（-16）； （2）-（+25）； （3）+（-12）； （4）+（+2）； （5）-[-（+）]； （6）- [+（-a）]. 【思路分析】如果数的前面是“+”号，则先省略“+”号；如果数的前面是“-”号，则按相反数的意义化简. 【解】 （1）-（-16）=16. （2）-（+25）=-25. （3）+（-12）=-12. （4）+（+2）=2. （5）-[-（+）]=. （6）- [+（-a）]=a. 题型三 相反数性质的运用 例3 已知p与q互为相反数，且p≠0，那么下列关系式正确的是（　　）. A．p•q=1 B．=-1 C．p+q=1 D．p-q=0 【思路分析】利用相反数的定义逐项判断即可． 【解】 A、乘积不一定为1，所以A不正确； B、p和q互为相反数，则p＋q＝0，即p＝-q，因为p不为0，所以q也不为0，所以=-1，所以B正确； C、因为p+q=0，所以C不正确； D、当p＝q＝0时，p和q相等p-q＝0；当p≠q时，p-q≠0，所以D不正确. 故选B． 【总结提示】本题主要考查对相反数的理解，互为相反数的两个数，相加等于0；同时注意不为0的两个数互为相反数，两数商为-1；另外，0 的相反数是它本身，这个一个特殊情况，在做相反数的题目的时候，需要引起重视. 练3 已知4a-15与a互为相反数，求a的值． 【思路分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程求解即可． 【解】 由题意，得4a-15＋a=0， 整理，得5a-15=0， 解得a=3． 知识点二 绝对值 1.绝对值的定义：一般地，在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作│a│. 2.绝对值的意义：可从两个角度理解，即： （1）几何意义：一个数的绝对值就是这个数在数轴上的对应点到原点的距离； （2）代数意义：一个数的绝对值可表示为│a│= 3.绝对值的特点：任何一个有理数的绝对值都是非负数. 绝对值：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/18369.mp4 题型一 求一个数的绝对值 例4 用两种不同的方法求下列各数的绝对值： （1）； （2）； （3）-4.75； （4）8.5. 【思路分析】根据绝对值的意义，即可求得各数的绝对值. 【解】 方法一（利用绝对值的几何意义）： （1）因为在数轴上的对应点到原点的距离为，所以|| =. （2）因为+在数轴上的对应点到原点的距离为，所以||=. （3）因为-4.75在数轴上的对应点到原点的距离为4.75，所以|-4.75|=4.75. （4）因为8.5在数轴上的对应点到原点的距离为8.5，所以|8.5|=8.5. 方法二（利用绝对值的代数意义）： （1）因为-＜0，所以|| =-（-）=. （2）因为+＞0，所以||=. （3）因为-4.75＜0，所以|-4.75|=-（-4.75）=4.75. （4）因为8.5＞0，所以|8.5|=8.5. 【总结提示】本题的求解过程，进一步验证了“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”的正确性. 练4 -3的绝对值是（　　）. A． B．-3 C．3 D．±3 【思路分析】根据绝对值的意义求解. 【解】因为-3＜0，所以|-3|=-（-3）=3，故选C. 题型二 化简含有绝对值符号的数 例5 化简： （1）-|-3|； （2）-|-（-7.5）|； （3）+|-（+7）|； （4）-（-|-|）. 【思路分析】先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，然后再进一步化简. 【解】 （1）-|-3|=-3. （2）-|-（-7.5）|=-7.5. （3）+|-（+7）|=|-（+7）|=7. （4）-（-|-|）=-（-）=. 【总结提示】注意不要把绝对值和括号相混淆，如-|-3|表示-3的绝对值的相反数，化简结果为-3；而-（-3）表示-3的相反数，化简结果为3. 练5 下列各式不正确的是（　　）. A．|-2|=2 B．-2=-|-2| C．-（-2）=|-2| D．-|2|=|-2| 【思路分析】根据绝对值的意义作出判断即可． 【解】A、B、C、均正确；D、左边=-|2|=-2，右边=|-2|=2，左边≠右边，所以D错误，故选D． 例6 有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b-c　　0，a+b　　0，c-a　　0； （2）化简：|b-c|+|a+b|-|c-a|． 【思路分析】 （1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可； （2）根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，然后合并同类项即可． 【解】 （1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以b-c＜0，a+b＜0，c-a＞0； 故填＜，＜，＞. （2）|b-c|+|a+b|-|c-a| =（c-b）+（-a-b）-（c-a） =c-b-a-b-c+a =-2b． 【总结提示】本题考查了绝对值的性质及数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键． 练6 如图所示，a，b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为（　　）. A．3a+b B．3a-b C．3b+a D．3b-a 【解】由数轴得，-1＜a＜0，b＞1， 所以a+b＞0，b-a＞0， 所以|a|+|b|+|a+b|+|b-a|=-a+b+a+b+b-a=3b-a． 故选D． 题型三 绝对值非负性的应用 例7 已知|a-1|+|b-1|=0，求a+b的值. 【思路分析】因为任意一个数的绝对值都是非负数，且由于这两个非负数之和等于0，所以每个非负数都等于0，由此得到关于a，b的方程，解方程即可求得a，b，进而可求得a+b的值. 【解】 因为|a-1|≥0，|b-1|≥0，且|a-1|+|b-1|=0，所以|a-1|=|b-1|=0. 由|a-1|=0，得a-1=0，则a=1. 由b-1|=0，得b-1=0，则b=1. 所以a+b=1+1=2. 【总结提示】绝对值是我们在初中数学中所学到的第一个非负数，而“几个非负数之和等于0，则这几个非负数分别等于0”是解这类题中一个经常用到的性质. 非负性的应用：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/18370.mp4 练7 若丨a-丨+丨b-丨+丨c-丨=0，求a+b-c的值. 【解】由题意，得a=，b=，c=，所以a+b-c=+-=. 题型四 绝对值和相反数的综合 例8 若x与3互为相反数，则|x+3|等于（　　）. A．0 B．1 C．2 D．3 【思路分析】先求出x的值，进而可得出结论． 【解】因为x与3互为相反数，所以x=-3，所以|x+3|=|-3+3|=0．故选A． 【总结提示】本题也可以直接运用互为相反数的两个数相加等于0这个结论，且这样解答更简洁. 练8 如果a与1互为相反数，则|a+2|等于 　　． 【解】因为a与1互为相反数，所以a=-1，把a=-1代入|a+2|得：|a+2|=|-1+2|=1． 故填1． 知识点三 比较有理数的大小 方法一：利用数轴，即：先把各数在数轴上表示出来，再根据数轴上右边的数总比左边的数大进行比较. 方法二：利用符号，即：先把所给有理数按正数、0、负数进行分类，再根据“正数大于0，0大于负数，正数大于负数”以及“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行比较. 易错警示：比较两个负数大小的方法和步骤为 ①先求这两个负有理数的绝对值； ②比较两个负数绝对值的大小； ③得出结论. 有理数比较大小：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/18371.mp4 题型一 比较一组负数的大小 例9 比较-，-，-，-，-的大小，并用“＜”号连接起来. 【思路分析】先比较以上各负数的绝对值的大小，再根据“绝对值大的反而小”得出结论. 【解】 |-|==， |-|==，|-|==，|-|==， |-|== 因为＞＞＞＞，所以-＜-＜-＜-＜-. 【总结提示】本题在比较各负数的绝对值大小时，其技巧是把各分数化为同分子分数，然后根据分母之间的关系比较大小，其原因是本题的通分非常困难，体现了灵活运用所学知识的优越性. 练9 比较-7，-2.5，-的大小，下列结论正确的是（ ）. A．-7＜-＜-2.5 B．-7＞-＞-2.5 C．-7＜-2.5＜- D．-2.5＞-7＞- 【思路分析】因为各数都是负数，所以只需比较它们的绝对值即可，然后根据绝对值越大的负数其值反而小得出结论. 【解】因为-=-0.8， |-7|=7，|-2.5|=2.5，|-|=0.8，且7＞2.5＞0.8，所以-7＜-2.5＜-，故选C. 题型二 比较一组有理数的大小 例10 用两种不同的方法比较下列各数，并将各数按从小到大的顺序用“＜”连接． |-1|，0，-1.5，-，2.5，-． 【思路分析】方法一：先在数轴上表示出所给的各数，然后根据右边的数总比左边的数大得出结论；方法二：利用有理数的符号比较各数的大小. 【解】 方法一：各数在数轴上的位置如图所示： 所以-1.5＜-＜-＜0＜|-1|＜2.5． 方法二：因为|-1|=1＞0，2.5＞0，所以1＜2.5. 因为-1.5＜0，-＜0，-＜0，所以-1.5＜-＜-. 所以-1.5＜-＜-＜0＜|-1|＜2.5． 【总结提示】比较上述两种比较有理数大小的方法，可知利用数轴思路简单，但具体解题过程比较复杂，所以当题目没有特殊指明时，常用方法二比较一组有理数的大小.其具体方法可分为三步：①分类：把各数按正数、0、负数分为三类；②分组比较：分别比较各正数与各负数的大小；③综合：综合上述比较结果，根据“正数大于0，0大于负数，正数大于负数”得出结论. 练10 比较下列各数，2.5，-2，-（-3），0，-|-1.5|，4，并用“＜”号将各数连接起来，正确结果为 ． 【思路分析】先根据各数的符号分组比较，然后根据“正数大于0，0大于负数，正数大于负数”得出结论． 【解】 因为﹣2＜0，-|-1.5|＜0，-（-3）＞0，且丨-2丨＜丨-|-1.5|丨； 所以﹣2＜-|-1.5|＜0＜2.5＜-（-3）＜4，故填-2＜-|-1.5|＜0＜2.5＜-（-3）＜4． 附加题 1.如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，请在图中标出原点O的位置； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，请在图中标出原点O的位置； （3）若点A和点D表示的数互为相反数，求点B与点C所表示的数的绝对值． 【思路分析】（1）（2）根据表示互为相反数的点到原点的距离相等，即可求得原点；（3）先根据相反数的定义可求原点，再求点B与点C所表示的数，即可求出其绝对值． 【解】 （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则点A，C到原点的距离相等. 又点A和点C相距7个单位，所以原点O的位置如图1所示. （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则点B，D到原点的距离相等. 又点B和点D相距6个单位，所以原点O的位置如图2所示. （3）若点A和点D表示的数互为相反数，，则点A，D到原点的距离相等. 又点A和点D相距10个单位，所以原点O的位置如图3所示. 因为点B在点O的左边，且点B到点O的距离为1个单位长度，所以点B表示的数 是-1，其绝对值是1； 因为点C在点O的右边，且点C到点O的距离为2个单位长度，所以点C表示的数 是2，其绝对值是2. 【总结提示】此题主要考查了相反数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，要求学生首先正确理解相反数的几何意义，才能利用数形结合的思想解题． 2.计算：++++…++. 【解】 原式＝++++…++ ＝1－ ＝. 3. 设y＝|x－1|＋|x－3|，试探究y是否有最小值.如果有，求出这个最小值；如果没有，请说明理由. 【解】y有最小值，最小值为2. 如图，在数轴上，A，B两点分别表示数1，3， 由绝对值的几何意义得|x－1|＋|x－3|表示数轴上x的对应点到A，B两点距离的和． 设x的对应点为点C. 当点C在点A左侧时，y＝|x－1|＋|x－3|＝AC＋BC＝2AC＋AB； 当点C在点B右侧时，y＝|x－1|＋|x－3|＝AC＋BC＝2BC＋AB； 当点C在点A，B之间时(包含两端点)，y＝|x－1|＋|x－3|＝AC＋BC＝AB. 因为2AC＋AB＞AB，2BC＋AB＞AB，且AB＝3－1＝2， 所以y有最小值，且y的最小值为2. 一课一练 1.下列各组数中，互为相反数的是（　　）. A．-1与（-1）2 B．1与（-1）2 C．2与 D．2与|-2| 【思路分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，对各选项逐一判断即可． 【解】 A．-1与（-1）2只有符号不同，故A正确； B .1与（-1）2是同一个数，故B错误； C .2与互为倒数，故C错误； D. |-2|=2，故D错误. 故选A． 2．下列各数中，相反数等于本身的数是（　　）. A．-2 B．0 C．1 D．2 【解】相反数等于本身的数是0，故选B． 3．绝对值最小的数是（　　）. A．0.000001 B．0 C．-0.000001 D．-100000 【解】因为|0.000001|=0.000001，|0|=0，|-0.000001|=0.000001，|-100000|=100000， 所以绝对值最小的数是0． 4．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）. A B C D 【思路分析】先求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【解】因为|-0.9|=0.9，|+1.2|=1.2，|-2.4|=2.4，|+2.8|=2.8，且0.9＜1.2＜2.4＜2.8， 所以从轻重的角度看，最接近标准的是-0.9，故选A． 5. 若一个数的绝对值等于-6的绝对值，那么这个数是________. 【解】因为-6的绝对值为6,6的绝对值也为6，所以这个数是6或-6.故填±6. 6.比较下列各组数的大小： ⑴-100和0；⑵-200和∣-∣；⑶-和-∣-95∣；⑷-（-35）和-[-（+）]. 【解】⑴因为0大于所有的负数，所以0＞ -100. ⑵因为∣-∣=，且正数大于所有的负数，所以∣-∣＞-200. ⑶因为-∣-95∣=-95，且95＞，所以-＞ -. ⑷因为-（-35）=35， -[-（+）]= ，且35＞，所以-（-35）＞-[-（+）]. 7.计算：（1）+ ；（2）；（3）. 【解】 (1)+ =3+10-1 =12. (2) =24÷3×2 =16. (3) =（-+）×6 =×6-×6+×6 =5-3+2 =4. 家庭作业 1．-2018的绝对值是（　　）. A．±2018 B．-2018 C．- D．2018 【解】根绝对值的意义知，丨-2018丨=2018，故选D. 2.下列各数中：+（-2），+（+2），-(-2)， -[-（-2）]，+[-（+2）]，+[-（-2）]，其中负数的个数是（ ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【解】化简+（-2）=-2，+（+2）=2，-(-2)=2，-[-（-2）]=-2，+[-（+2）]=-2，+[-（-2）]=2，所以负数的个数是3.故选B. 3．如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（　　）. A．-4 B．-5 C．-6 D．-2 【解】 因为点B，C表示的数的绝对值相等，即到原点的距离相等， 所以点B，C表示的数分别为-2，2， 所以点A在原点的左边且到原点的距离为4， 所以点A表示的数是-4．故选A． 4．在数轴上表示距离原点4个单位长度的点有______个，它们分别是_____，它们的关系是_________. 【解】 在数轴上表示距离原点4个单位长度的点有2个，分别在原点的两侧. 当该点在原点左侧时，表示的数是-4； 当该点在原点右侧时，表示的数是4. -4和4互为相反数. 故填2，±4，互为相反数. 5．下列说法：①一个数的绝对值一定是正数；②负数的绝对值等于它的相反数；③一个数的绝对值一定是非正数；④绝对值是它本身的数有2个，分别为0和1. 其中正确的是 . 【解】 一个数的绝对值一定是非负数，故①③错误； 由绝对值的定义知②正确； 绝对值是它本身的数只有1个，即0，④错误.故故填②. 6. 若|a-1|＋＝0，则2ab=_________. 【解】依题意，得a＝1，b＝，则2ab＝1. 7. 已知有理数-，-（-0.68），，0.6，请把这些数及其相反数按照从小到大的顺序用“＜”连接起来. 【解】-、-（-0.68）、、0.6的相反数依次为0.67、-0.68、-、-0.6，它们在数轴上的大致位置如图所示. 所以各数按照从小到大的顺序排列为-0.68＜-0.6＜-＜-＜＜0.67＜ 0.6＜-（-0.68）. 8.蜗牛从某点O开始沿一条东西方向的直线爬行，规定向东爬行的路程记为正数，向西爬行的路程记为负数.爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10. （1）求蜗牛最后是否回到出发点? （2）蜗牛离开出发点O最远时是多少厘米? （3）在爬行过程中，如果每爬1厘米奖励一粒芝麻，则蜗牛一共得到多少粒芝麻? 【解】 （1）因为蜗牛向东爬行的总路程为5+10+12=27（厘米）， 向西爬行的总路程为3+8+6+10=27（厘米）， 所以蜗牛最后回到出发点. （2）根据记录，可知蜗牛相对于出发点O位置依次为点O东5厘米，点O东2厘米，点O东12厘米，点O东4厘米，点O西2厘米，点O东10厘米，点O，所以蜗牛离出发点O最远时是12厘米. （3）1×（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|）=54（粒）. 即蜗牛一共得到54粒芝麻. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$