精品解析：广东省清远市阳山县南阳中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

2024-2025学年第二学期第2次月考 高一级数学科试卷 一、单选题 1. 设a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝（ ） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 2. 已知复数，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 3. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 平行于同一个平面的两条直线平行 D. 平行于同一个直线的两个平面平行 6. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，角所对的边分别是，且，点在边上，且，，则 A. B. C. D. 二、多选题 9 已知复数z满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程的两个根 10. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为5 D. 若，则当三点共线时， 11. 已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，点Q是的中点，点P满足，下列结论正确的是（ ） A. 点P的轨迹的周长为 B. 点P轨迹的周长为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为 三、填空题 12. 已知向量，.若.则________. 13. 在中，角所对的边分别是，已知，， 则角__________． 14. 已知正三棱柱高与底面边长均为3，则该正三棱柱外接球的体积为__________. 四、解答题 15 已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）.电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电10000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg）？ 17. 函数(A，，常数，A>0，>0，)的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数的解析式； (Ⅱ)将函数的图象向左平移t(0<t<)单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，若的图象过点(，2)，求函数的单调递减区间. 18. 如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥体积. 19. 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期第2次月考 高一级数学科试卷 一、单选题 1. 设a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝（ ） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据实部与虚部的概念列式，即解得结果. 【详解】由题意知，a－2＝2a＋1，解得a＝－3. 故选：A. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求得，再求复数的模即可. 【详解】由题意， 则. 故选：D. 3. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上的投影向量公式即可求解. 【详解】在上的投影向量的坐标为. 故选：C. 4. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示求出值. 【详解】向量，，，则， 所以. 故选：A 5. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 平行于同一个平面的两条直线平行 D. 平行于同一个直线的两个平面平行 【答案】B 【解析】 【分析】 由空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系逐项判断所给选项可得. 【详解】垂直于同一个直线的两条直线可能相交，则A错误； 根据平行的传递性可知，B正确； 平行于同一个平面的两条直线可能相交，则C错误； 平行于同一个直线的两个平面可能相交，则D错误； 故选：B 6. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出溶液的上底面半径为，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为溶液高度恰为5cm，所以溶液的上底面半径为， 下底面半径为，高为， 所以溶液的体积. 故选：B 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三角形的面积，及，代入条件计算即可. 【详解】将代入已知条件，得到， 则，则，则. 故选：B 8. 已知中，角所对的边分别是，且，点在边上，且，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可通过边角关系式求得；再利用同角三角函数关系求得；再次利用正弦定理求得. 【详解】由正弦定理可知： 即 即 在中，，即 解得： 本题正确选项： 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形和边角关系式的化简，关键是将边角关系式中的边化成角的关系，从而能够得到所需的三角函数值. 二、多选题 9. 已知复数z满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程两个根 【答案】BC 【解析】 【分析】先化简，然后结合选项可得答案. 【详解】因为，所以， 对于A，显然不是纯虚数，A不正确； 对于B，，对应的点在第四象限，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，所以和不是方程的根, D不正确. 故选：BC 10. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为5 D. 若，则当三点共线时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；由共线向量定理求出可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知，， ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 所以， 当时，的最大值为5，故C正确； 对于D，当三点共线时，， ，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，点Q是的中点，点P满足，下列结论正确的是（ ） A. 点P的轨迹的周长为 B. 点P的轨迹的周长为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】取的中点，连接，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到B正确；结合三棱锥的体积公式，可判定D正确． 【详解】取的中点为，取的中点为，取的中点为，取的中点为， 取的中点为，分别连接， 由，且，所以平面， 由题意可得P的轨迹为正六边形，其中， 所以点P的轨迹的周长为，所以A不正确，B正确； 当点P在线段上运动时，此时点到平面的距离取得最大值， 此时有最大值，最大值为， 所以C不正确，D正确． 故选：BD 三、填空题 12. 已知向量，.若.则________. 【答案】或3 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示，列式求出. 【详解】向量，，由，得， 所以或. 故答案为：或3 13. 在中，角所对的边分别是，已知，， 则角__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵1+=，即===， ∴cosA=，即A为锐角， ∴sinA==， ∵a=2，c=2， ∴由正弦定理=得：sinC==， ∵a＞c，∴A＞C， ∴C=． 故答案为：． 14. 已知正三棱柱的高与底面边长均为3，则该正三棱柱外接球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由正三棱锥的结构特征，即可得到其外接球的半径，再由球的体积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】 设正三棱锥，取三棱锥两底面中心为， 连接，取的中点，连接，则为正三棱柱外接球的半径， 因为是边长为3的正三角形，为的中心， 所以， 又因为， 所以， 所以正三棱柱外接球的体积为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知，，. （1）求的值； （2）求值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系式得，，结合两角差的余弦公式计算得出答案； （2）利用二倍角公式化简原式，代入计算可得结果； 【小问1详解】 因为，， 所以，. 所以 . 【小问2详解】 . 16. 如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）.电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电10000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg）？ 【答案】1.74kg. 【解析】 【分析】 该机器零件的表面积相当于一个圆柱的侧面和一个棱柱的表面构成，求出这两个的面积，相加即可得一个该机器零件的表面积，进而可得需要的锌的重量. 【详解】解：∵圆柱的侧面积，棱柱的表面积， ∴该机器零件的表面积. 则10000个零件的表面积为. 故需锌的质量为. 答：电镀10000个零件需锌1.74kg. 【点睛】本题考查组合体的表面积的计算，是基础题. 17. 函数(A，，常数，A>0，>0，)的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数的解析式； (Ⅱ)将函数的图象向左平移t(0<t<)单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，若的图象过点(，2)，求函数的单调递减区间. 【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) . 【解析】 【分析】（1）由最大值得出，的距离可以得出，进一步可以求出的值,此时只差一个参数，此时可以代入最小值点进去，求出结果. （2）通过平移求出新函数的表达形式 ,代入题中已知点,求参数，再利用整体思想可以去研究的性质. 【详解】(Ⅰ)由图可知，， ∴,又 ∴ 由 ∵，取k=0，得 ∴. (Ⅱ)，∵的图象过点 ∴ ∴ ∴,∴ ∵,∴ ∴ 由 即 ∴函数的单调递减区间为. 【点睛】（1）由三角函数的图象求解析式，常见步骤由图象中直接读取最大值、周期，这样可以确定的值，再从题中找出一个点（代点过程尽可能代最值点）. （2）三角函数左右平移的过程中一定要注意系数的提取，否则容易出现错误.研究三角函数的单调性问题，都是用整体思想. 18. 如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求证以及，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）取线段的中点，求证四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可； （3）求出各边长，利用棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 连接， 因为平面，平面，所以， 因四边形为菱形且，则为正三角形， 又为的中点，则， 又，平面，则平面. 【小问2详解】 设为线段的中点，连接、， 因为的中点，则，且， 又且，为的中点，则且， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面； 小问3详解】 ∵，为正三角形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， 故三棱锥的体积为. 19. 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简解析式，由得到，从而求得，进而求得. （2）由求得，利用正弦定理化简，通过的取值范围，求得的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 又，则， 所以， 又， 故. 【小问2详解】 由，又， 所以，即． 由正弦定理，可得， 因为是锐角三角形， 所以，即． 所以， 所以． 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$