上海市宝山区2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试卷

2024学年第二学期期末 高二年级数学学科教学质量监测试卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.(0,1) 2.5 3.=x+1 4.(,3) 5.2 6.n2 7.78.5 9.2V5 7 10. 11.arccos 12 5 12.2025 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13.A 14.C 15.D 16.C 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 解：(1)将直线/：：-y+3张+1=0整理得 (x+3)-y+1=0对任意实数k都成立， 所以 P410解 x+3=0 X=-3 所以对任意实数k,直线1都经过一个定点(3小 (2)由已知条件可知k≠0，求得直线/与x轴、y轴的交点分别为 t003+. 则有二3-一」=3张+1，化简得++)=0 k 当k=子时，直线的方程为少=- 当k=-1时，直线1的方程为y=-x-2. 所以直线的方程为y=弓或y=-2。 18.(本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分) 解：(1)数列{an}中当n≥2时，由an=2an1+1得： an+1=2an+),又a1+1=2, 从而{an+1}为等比数列，公比为2，首项a+1=2,. 1/6 得到an+1=2×2-l=2”. 所以数列{an}的通项公式为an=2”-1。 (2)数列{b}中，b=1,b+2=a5, 则1+7d+2=25-1解得d=4, 所以{bn}的通项公式为b.=1+4(n-)=4n-3. cn=入log(an+)-nb。=Alog22-4n-=m-4i+3 已知数列{Cn}为严格减数列，则cn+1<cn对任意正整数n都成立 即2(n+l)-4(n+l+3(n+)<2n-4i+3m 化简得1<8n+1对任意正整数n都成立 所以1<9. 19.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题①满分5分，第2小题②满分7分) 解：(1)设向量a在基+i,k下的坐标为(k,y,z小，则 a=x减+可+yi+zk=(x+y+yj+z 因为a=4i+2j+3 x+y=4 [x=2 可得方程组y=2 解得{y=2.。 (2=3 (2=3 所以向量a在基专+了i,k下的坐标为(2,2,3) (2)①向量6在基专+万i,k}下的坐标为22,2，即 6=25+万+2i+2k=4i+2可+2k=(4,22) 则2a-b=(4,2,4). 因为向量c与2a-b共线，可设c=m(4,2,4)=(4m,2m,4m),m≠0， 月-=6m2+4m2+16m3=V36m2=6. 2/6 解得m=, 所以c在基有，k下的坐标为(4,24)或(4，-2，-4) ②c=±4,2,4)，d=2,-1,2) 因为d与c的夹角为锐角，从而d.c>0,所以c=(4,2,4) d在c上的投影大小为 d.c147 6=3 以c、d为邻边的三角形区域以c为轴旋转一周得到的旋转体「是两个同底的圆锥， 该圆锥的半径R 两个圆锥的高为-6 所以旋转体Γ的体积为欧月} 32x6=64x 20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分) 解：(1)因为GF=Ga+AB+BF 且G=-6+a4) BF=BC+CF=AD+CC=4D+144.. 2 所以G示。0+网+丽+0+M=D+, 因此GF与AB、AD共面. (2)以点D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线为坐标轴建 立如图空间直角坐标系，则D(0,0,0),D,(0,0,2), B A2,0,0),B(2,2.0),C(0,2,0).F(02,I,E1,1,0) 所以DB=(2,2,0),DF=(0,2,),DA=(2,0,0).DD=(00,2) Di-- 设平面BDF的一个法向量为n=(x,乃，z): 3/6 元丽=2x+2y=0,令x=1,则y=-1.:=2, DF=2y+z=0 所以平面BDF的一个法向量为n=(1,-l,2),· 平面ADG的一个法向量是m。=(0,1,0) 设平面ADG与平面BDF所成的二面角为a,则 n.no -16 cosa V6×】 6 所以平面ADG与平面BDF所成的锐二而角的大小为arccos- 6 6 (3)DG=2DA+DD=(2,0,0)+u(0,0,2)=(21,0,2),n=(1,-l,2) 从而点G到平面BDF的距离为DG_2a+4制6 |l1+1+43 由a,“c[0.1可化简得入+2=1 由EG=(2-1,-1,2） 设GE与平面0F所成角为0e引 IEG 22-1+1+4n 6 则sin0= EdlV(22-旷+1+4r+1+4V2-+1+42 令1=(21-1+1+4w2,则 14-+2+-4对=5-a43=5-含号-到取等号) 所以sin0= 6 s 22-1+1+4w 3 图为90引 y=sin0严格增， 所以当1=时，GB与平面BDF所成的角取得最大值。 即DG=DA+DD时，GE与平面8DF所成的角取得最大值， 5 4/6 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 解：(1)由已知条件可知a=3,2c=4V2 从而c2=8,b2=1. 所以椭圆「的方程号+y= 9 (2) 设Fe,0), 则k1=k= ,k:-kxr= b2 ac ac 从而k1=2k2>0. 设直线NM、NF的倾斜角分别为a、B则 tan ZMNF=tan(a-p)-tana-tanB_ki-k_2k,-k 1+tana tan B +k 1+2k 、 k, 1 1 1+262 6+262V2 当且仅当2k,= 1即k2= 时取等号。 2 此时k,= b2互 即b2=√2ac 2ac 2 所以a2-c2=V2ac 从日+侣)1=0解得e=6合刻 2 所以当∠MF取得最大值时，椭圆Γ的离心率为6-互 2 抽已知椭圆工：+1(a>b>0)经过点6,0小0，)可得a=3,b包 从面精题「的方程号+y产=1 ①当直线1与x轴不垂直时，设1：y=红+m,(m≠0) r-06x418e+6r-e0 y=kx+m 联立方程组 x2 5/6 由题意可知△=9k2+1-m2>0 设A(x,)B(x2,y2),则x+2= -18km 9m2- ,所以 9k2+11 9k2+1 4B=+-x=+ 18km）2 4×9m2- 9k2+1 9k2+1 49g6产41-0网 由P0=200可知0P+0A+0B=0 设P代，人则有x=《6+x)=18k加 0·+y小归-+小2m0 因为点P化，y人在椭圆+y=1上， 9 2 所以 18km -2m =9 1+9k2 1+9k2 整理得4m2=1+9k2 此时△=18km}-4×9m2-19k2+1)=369k2+1-m2）=36×3m2>0 点P(为)到直线1y=r+m的距离d= ,-为+m。3m +k21+k2 所以△PAB的面积 s=ik-9g6c1-m网 49g62+1-m=4m-m3 =9 4m3 4 ②当直线1与x轴垂直时，P(3,0以hx= 2 传9限-9 4l=5.PDl=3+3=9 22 5-hd-5x号-9y5 24 综上可知，△PAB的面积为定值Y 6/62024学年第二学期期末 高二年级数学学科质量监测试卷 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3,在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题， 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分， 要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分). 1.抛物线x2=4y的焦点坐标是 2.等差数列中，2和8的等差中项为 3.经过点(1,2)且斜率为1的直线方程为 4.已知方程x之y2 =1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是 3-mm-1 5.己知直线：x+2y=m和12：x+(m-3)y=2互相垂直，则实数m= 6.已知数列{an}中，an=2n-1,则其前n项和Sn= 7.已知各项均为正数的等比数列{an}满足4·a=2a6,则1og,( &者须线2一-片=m>0)的渐近线与因+少-4y+3=0相玩。则m= 9.已知P是抛物线y2=8x上的一个动点，则P到Q(0,4)的距离与P到准线的距离之和的最 小值为 10.在平面上有如下命题：“若O为直线AB外一点，则点P在直线AB上的充要条件是：存 在实数入、“，满足OP=1OA+uOB,且入+4=1”将该命题类比到空间中，并解决以下 问题：正四面体OABC的棱长为1，P为底面ABC内一点， 且满足0P=0A+}OB+OC,其中1为实数，则 OP.OA= 2024学年第二学期期末高二年级数学学科质量监测试卷 第1页共4页 1/4 机己知取始线E若 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为RF,过点F的直线1交E的 3 左支于A、B两点.若0B=OF（O为坐标原点)，且点O到直线/的距离为二a,则该双曲 线的两条渐近线的夹角为】 12.数列{a,}b,}满足a=1-2b,2,b=2a,b,若=-a(a>0),且 q=44…0 则A信)的最大值为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5 分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内 的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分)， 13.已知平面a的法向量为n=(1,2,-),AB=(2,4,-2),则直线AB和平面a的位置关系是( A.AB⊥a B.ABl/a C.ABca D.AB与：相交但不垂直 14.己知直线y=x+m和曲线y=V1-x2有两个不同的交点，则实数m的取值范围是( A.2N2) B.1,2 cB,2) D./2] 15.已知函数y=f(x)的对应关系如图所示，若数列{x}满足 x=5,且对任意正整数均有x=f(x),则x的值为( A.1 B.2 C.4 D.5 16.平面直角坐标系中，将直线y=√3x绕着y轴旋转一周后形成一个曲面，用一不过原点 的平面a截该曲面.设平面α与y轴所成的角为日，若平面a与曲面相截得到的平面曲线为 椭圆，则8的范围是( A(0 (到 (劉 三、解答题（本大题共有5题，潮分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号)内写出必要的步骤) 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 己知直线1：：-y+3张+1=0.(k∈R). (1)证明：对任意实数k,直线/都经过一个定点： (2)若直线/在x轴、y轴上截距相等，求直线/的方程. 2024学年第二学期期末高二年级数学学科质量监测试卷 第2页共4页 2/4 18.(本题满分14分，第1小愿满分5分，第2小题满分9分) 已知数列{a,}中，a=1，a。=2a+1(n之2)：数列{b}为等差数列，且满足： 6=1,久+2=a3 (1)求证：数列{a。+l}为等比数列，并写出数列{a,}的通项公式： (2)令c=入og(a。+1)-nb,若数列{Cn}为严格数列，求实数入的取值范用. 19.(本题满分16分，第1小愿满分4分，第2小题①满分5分，第2小题②满分7分) 如果、e与g是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实 数入、u与v,使得a=g+μe+v吗.其中的乌称为向量a的一个基，系数 (亿，“，)称为向量a在基e,马}下的坐标。 已知、了k分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基F,可k下的坐标为 (4,23引.且专+，i,kj是空间中的另-个基 (1)求向量a在基+ji,kj下的坐标： （2)若向量6在基￥+ji,k}下的坐标为2,22)，向量c与2ā-6共线，且=6 ①求向量c在基，k下的坐标 ②若向量d在基j,k下的坐标为（亿，-l,2,且与c的夹角为锐角，将c、d的起 点平移至同一点O后，以c、d为邻边的三角形区域绕c旋转一周得到旋转体，求「的 体积. 2024学年第二学期期末高二年级数学学科质量监测试卷 第3页共4页 3/4 20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分) 如图，棱长为2的正方体ABCD-ABGD中，E、F分别为BD、CC的中点，点G是 平面ADD,4上的点 (1)若点G是AD的中点，证明：GF与AB、AD共面： (2)求平面ADG与平面BDF所成的锐二面角的大小： (3)若点G满足DG=ADi+uD丽(rQ,),且点G到平面BDF的距离为y6 试确 定点G的位置，使得GE与平面BDF所成的角取得最大值. D A B 21.(本题满分18分，第1小题潮分4分，第2小恩满分6分，第3小题满分8分) 已知椭圆T:。+,1(a>b>0)的图像经过点g0】 (1)若椭圆厂的焦距为4√2，求椭圆厂的方程： (2)F为椭圆「的右焦点，过点F作x轴的垂线与椭圆在第一象限交于点M,点N与点M 关于原点对称，连接NM、NF,当∠MNF取得最大值时，求椭圆「的离心率： (3)若椭圆Γ经过点(0，)，点P是椭圆上的动点，直线1与椭圆交于A、B两点，Q为AB 的中点，且满足P0=200,则△PAB的面积是否为定值？若是，请求出该值：若不是，请说 明理由， M N 2024学年第二学期期末高二年级数学学科质量监测试卷 第4页共4页 4/4