2026届高三数学一轮复习课时作业9：函数的奇偶性

2.3　函数的奇偶性 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，+∞)上单调递减的是(　　) A.y=|x| B.y=x3 C.y=x2 D.y=-3x 2.若偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则f(-)，f(π)，f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-) B.f(π)>f(-)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-) D.f(π)<f(-)<f(-3) 3.(2025·泰州模拟)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数，则实数a等于(　　) A.-1 B.0 C. D.1 4.已知函数f(x)=x+asin x+2，且f(m)=5，则f(-m)等于(　　) A.-5 B.-3 C.-1 D.3 5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(ln 3)的值为(　　) A. B.3 C. D. 6.(2024·阜阳模拟)若函数f(x)=m(ex-e-x)+nln(x+)+1(m，n为常数)在[1，3]上有最大值7，则函数f(x)在[-3，-1]上(　　) A.有最小值-5 B.有最大值5 C.有最大值6 D.有最小值-7 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·六安模拟)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，+∞)上单调递增的是(　　) A.y=ln|x| B.y=|ln x| C.y=x-2 D.y=ex+e-x 8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)满足(　　) A.f(0)=0 B.y=f(x)为偶函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x-1)+f(x2-1)>0的解集为{x|-2<x<1} 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)=x3+若f(a)+f(a-6)=0，则实数a=　　　　　　.  10.已知下列五个函数y1=x，y2=y3=x2，y4=ln x，y5=ex，从中选出两个函数分别记为f(x)和g(x)，若F(x)=f(x)+g(x)的图象如图所示，则F(x)=　　　　　　.  四、解答题(共26分) 11.(13分)已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)求不等式xf(x)≥0的解集.(7分) 12.(13分)函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数). (1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(6分) (2)对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.(7分) 【提升练】 13.(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点，则a等于(　　) A.-1 B. C.1 D.2 14.(多选)(2024·镇海中学模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)g(y)-f(y)g(x)=f(x-y)，g(x)g(y)-f(x)f(y)=g(x-y)，g(0)≠0，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.g(x)为偶函数 C.若f(1)+g(1)=1，则f(100)-g(100)=1 D.若f(1)-g(1)=1，则f(100)+g(100)=1 15.(多选)(2025·苏州模拟)已知函数f(x)满足(x+y)f(x)f(y)=xyf(x+y)，且f(1)=2，则下列结论正确的是(　　) A.f(0)=0 B.f(2)=8 C.函数f(x)为奇函数 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=(n-1)·2n+1+2 16.若函数f(x)=log4(24x+1)+(x+a)2满足f(|x|)+|x|=f(x)+x，则a=　　　　　　.  答案精析 1.D　2.A 3.C　[∵f(x)为奇函数， ∴f(-x)=-f(x)， ∴=-， 即=，∴=， 即x-ax=ax，解得a=.] 4.C　[令g(x)=x+asin x， 则g(x)为奇函数， 故g(m)+g(-m)=0， 又g(m)=f(m)-2=3， 所以g(-m)=f(-m)-2=-3， 所以f(-m)=-1.] 5.D　[因为函数y=f(x)+ex为偶函数， 则f(-x)+e-x=f(x)+ex， 即f(x)-f(-x)=e-x-ex，① 又因为函数y=f(x)-3ex为奇函数， 则f(-x)-3e-x=-f(x)+3ex， 即f(x)+f(-x)=3ex+3e-x，② 联立①②可得f(x)=ex+2e-x，所以f(ln 3)=eln 3+2e-ln 3=.] 6.A　[设g(x)=f(x)-1=m(ex-e-x)+nln(x+)， 因为>=|x|， 所以x+>0恒成立，所以g(x)的定义域为R，关于原点对称， 又g(-x)=m(e-x-ex)+nln(-x+) =-m(ex-e-x)+nln =-[m(ex-e-x)+nln(x+)] =-g(x)，所以g(x)是奇函数， 因为f(x)在[1，3]上有最大值7， 所以g(x)在[1，3]上有最大值6， 所以g(x)在[-3，-1]上有最小值-6， 所以f(x)在[-3，-1]上有最小值-5.] 7.AD　[A选项，设f(x)=ln|x|，其定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，且f(-x)=ln|-x|=ln|x|=f(x)，故f(x)=ln|x|为偶函数，且当x∈(0，+∞)时，y=ln x单调递增，故A正确； B选项，y=|ln x|的定义域为(0，+∞)，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故B错误； C选项，当x∈(0，+∞)时，y=x-2单调递减，故C错误； D选项，设g(x)=ex+e-x，其定义域为R，且g(-x)=e-x+ex=g(x)，故g(x)=ex+e-x是偶函数，且当x∈(0，+∞)时，g'(x)=ex-e-x>0，函数单调递增，故D正确.] 8.AD　[由题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)， 对于A，令x=y=0， 则f(0)=f(0)+f(0)， 即f(0)=0，故A正确； 对于B，令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)， 所以y=f(x)为奇函数，故B错误； 对于C，任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)， 因为x1<x2，所以x1-x2<0，所以f(x1-x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减，故C错误； 对于D，由f(x-1)+f(x2-1)>0，可得f(x-1)>-f(x2-1)=f(1-x2)， 又函数f(x)在R上单调递减， 所以x-1<1-x2， 解得-2<x<1，所以f(x-1)+f(x2-1)>0的解集为{x|-2<x<1}，故D正确.] 9.3 解析　因为f(x)=x3+，定义域为R， 所以f(-x)=-x3-=-f(x)，即f(x)为奇函数， 因为f(x)=x3+在R上单调递增， 若f(a)+f(a-6)=0， 则f(a)=-f(a-6)=f(6-a)， 所以a=6-a，即a=3. 10.+x2 解析　由图可知，F(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，可知F(x)一定包含y2=这一函数，且一定不包含y4=ln x这一函数， 又函数F(x)不是奇函数，所以F(x)=+x不成立，所以只有两种可能：F(x)=+x2或F(x)=+ex. 若F(x)=+ex， 当x→-∞时，→0，ex→0， 所以F(x)=+ex→0，与图象不符， 故F(x)=+ex不成立； 若F(x)=+x2， 当x∈(-∞，0)时，单调递减，x2单调递减，所以F(x)在(-∞，0)上单调递减； 当x∈(0，+∞)时， F'(x)=-+2x=， 令F'(x)=0，得x=， 令F'(x)>0，得x>， 令F'(x)<0，得0<x<， 所以F(x)=+x2在上单调递减，在上单调递增，符合图象， 故F(x)=+x2. 11.解　(1)因为函数f(x)为R上的奇函数， 当x<0时，-x>0， 则f(x)=-f(-x) =-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x， 又因为f(0)=0满足f(x)=x2-2x， 故f(x)= (2)当x≥0时， xf(x)=x(x2-2x)≥0， 可得x2-2x≥0，解得x≤0或x≥2， 此时x=0或x≥2； 当x<0时，xf(x)=x(-x2-2x)=-x(x2+2x)≥0， 可得x2+2x≥0， 解得x≤-2或x≥0， 此时x≤-2. 综上所述，原不等式的解集为(-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞). 12.解　(1)由性质③f(x)+g(x)=ex，则f(-x)+g(-x)=e-x， 由性质②知f(-x)=-f(x)， g(-x)=g(x)， 故-f(x)+g(x)=e-x. 则 解得f(x)=， g(x)=. (2)由(1)可得[g(x)]2-[f(x)]2 =- =-=1， 故对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2为定值，定值为1. 13.D　[方法一　令f(x)=g(x)， 即a(x+1)2-1=cos x+2ax， 可得ax2+a-1=cos x， 令F(x)=ax2+a-1，G(x)=cos x， 原题意等价于当x∈(-1，1)时， 曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点， 注意到F(x)，G(x)均为偶函数， 可知该交点只能在y轴上， 可得F(0)=G(0)， 即a-1=1，解得a=2， 若a=2，令F(x)=G(x)， 可得2x2+1-cos x=0， 因为x∈(-1，1)， 则2x2≥0，1-cos x≥0， 当且仅当x=0时，等号成立， 可得2x2+1-cos x≥0， 当且仅当x=0时，等号成立， 则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0， 即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点， 所以a=2符合题意. 方法二　令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x，x∈(-1，1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零点， 因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cos x=h(x)， 则h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0， 即h(0)=a-2=0，解得a=2， 若a=2，则h(x)=2x2+1-cos x，x∈(-1，1)， 又因为2x2≥0，1-cos x≥0， 当且仅当x=0时，等号成立， 可得h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立， 即h(x)有且仅有一个零点0， 所以a=2符合题意.] 14.ABD [由f(x)g(y)-f(y)g(x)=f(x-y)得f(y)g(x)-f(x)g(y)=f(y-x)， 所以f(y-x)=-f(x-y)，故f(x)是奇函数，所以A正确； 由g(x)g(y)-f(x)f(y)=g(x-y)得 g(y)g(x)-f(y)f(x)=g(y-x)， 所以g(y-x)=g(x-y)，故g(x)是偶函数，所以B正确； 由题意得f(x-y)-g(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)-g(x)g(y)+f(x)f(y) =[f(y)+g(y)]·[f(x)-g(x)]， 令y=1，得f(x-1)-g(x-1) =[f(1)+g(1)]·[f(x)-g(x)]， 由f(x)是奇函数得f(0)=0， 且[g(0)]2-[f(0)]2=g(0)， 又g(0)≠0，解得g(0)=1， 当f(1)+g(1)=1时， f(x-1)-g(x-1)=f(x)-g(x)， 则f(100)-g(100)=f(0)-g(0)=-1，所以C错误； 由题意得f(x-y)+g(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)+g(x)g(y)-f(x)f(y) =[g(y)-f(y)]·[f(x)+g(x)]， 当f(1)-g(1)=1时， 令y=1，得f(x-1)+g(x-1) =[g(1)-f(1)]·[f(x)+g(x)]=-[f(x)+g(x)]， 则f(100)+g(100)=(-1)100[f(0)+g(0)]=1，所以D正确.] 15. ABD [对于A，令x=0，y=1，则f(0)f(1)=0， 又f(1)=2，所以f(0)=0，故A正确； 对于B，令x=y=1，则2f(1)f(1)=f(2)，又f(1)=2，所以f(2)=8，故B正确； 对于C，当x=-1，y=2时，则f(-1)f(2)=-2f(1)，又f(1)=2，f(2)=8，所以f(-1)=-≠-f(1)，所以函数f(x)不为奇函数，故C错误； 对于D，当x=1，y=n时， 则(1+n)f(1)f(n)=nf(n+1)， 又f(1)=2，所以2(1+n)f(n)=nf(n+1)， 即=2·， 所以当n≥2时，××…× =2n-2×， 即=n·2n-3， 即f(n)=8n·2n-3=n·2n，n≥2， 当n=1时，代入上式，1×21=2=f(1)， 所以f(n)=n·2n， 设Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)， 则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n， ① 2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1， ② ①-②得， -Sn=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1 =-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2， 所以Sn=(n-1)·2n+1+2， 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=(n-1)·2n+1+2，故D正确.] 16.-1 解析　函数f(x)满足f(|x|)+|x|=f(x)+x，则y=f(x)+x是偶函数，所以f(x)-f(-x)+2x=0，即log4+(4a+2)x=2x+(4a+2)x=0，所以a=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$