2026届高三数学一轮复习课时作业10：函数的周期性和对称性

2.4　函数的周期性和对称性 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2 026)等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.函数y=-ex与y=e-x的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 3.若函数y=f(x)与函数y=2x+1-1的图象关于直线x=2对称，则f(4)的值为(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.(2024·茂名模拟)函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R上的奇函数，若f(-1)=-2，则f(2 025)等于(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f'(x)，且满足f(x)-f(2-x)=0，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点(1，1)对称 B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 C.函数f'(x)的图象关于直线x=1对称 D.函数f'(x)的图象关于点(1，0)对称 6.(2025·漳州质检)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，则(　　) A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称 D.2π是f(x)的一个周期 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.(2024·龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，且f(x)在(-∞，2]上单调递减，则不等式f(2x+3)≤f(1)的解集为　　　　　　　　　　　　　.  8.(2025·八省联考)已知曲线C：y=x3-两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点.若△OPM的面积为则△MNQ的面积为　　　　.  四、解答题(共27分) 9.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称. (1)证明：f(x)是周期函数；(6分) (2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(7分) 10.(14分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9分) (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(5分) 【提升练】 11.已知函数f(x)的定义域为R，f 为偶函数，f(2-x)+f(x)=0，f =-则f 等于(　　) A. B. C.0 D.- 12.已知函数f(x)的定义域为R，f(x-2)为偶函数，f(x-3)+f(-x+1)=0，当x∈[-1，0]时，f(x)=x+1，则f(k)等于(　　) A.19 B.0 C.1 D.-1 13.(2025·吕梁模拟)已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=，则下列结论不正确的是(　　) A.f(0)=3 B.函数f(2x-1)的图象关于直线x=对称 C.f(x)+f(0)≥0 D.f(x)的周期为3 14.(多选)已知定义域为R的函数f(x)对任意实数x，y都有f(x)+f(y)=f  f ，且f(1)=1，则下列说法正确的是(　　) A.f(0)=3 B.f(x)=f(-x) C.函数f(x)的图象关于点对称 D.f(1)+f(2)+…+f(2 024)=0 答案精析 1.B　2.C　3.A 4.D　[因为y=f(x-2)为奇函数， f(x-2)=-f(-x-2)， 所以y=f(x)的图象关于点(-2，0)对称， 即f(-x)+f(x-4)=0， 又y=f(x)的图象关于原点对称， 则f(-x)=-f(x)， 有f(x)=f(x-4)⇒f(x+4)=f(x)， 所以y=f(x)的一个周期为4， 故f(2 025)=f(1+2 024)=f(1)=-f(-1)=2.] 5.BD　[由f(x)-f(2-x)=0，可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称.对f(x)-f(2-x)=0求导，得f'(x)+f'(2-x)=0，则函数f'(x)的图象关于点(1，0)对称，所以A，C错误，B，D正确.] 6.ABC　[对于A，根据题意令x=y，则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，可得f(2x)+f(2x)=2f(2x)f(0)，又f(x)不恒等于0，则f(0)=1，即A正确； 对于B，令y=-x，可得f(2x)+f(-2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x)，所以f(2x)=f(-2x)， 即对任意的x∈R满足f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函数，所以B正确； 对于C，令x+y=π，则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)， 可得f(2π-2y)+f(2y)=2f(π)f(π-2y)=0， 即f(x)满足f(2π-x)+f(x)=0，因此可得f(x)的图象关于点(π，0)中心对称，即C正确； 对于D，由于f(x)是偶函数，所以满足f(x-2π)+f(x)=0， 即f(x)+f(x+2π)=0， 可得f(x-2π)=f(x+2π)，即f(x)=f(x+4π)，所以4π是f(x)的一个周期，即D错误.] 7.[-1，0] 解析　因为函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)， 则f(x)的图象关于直线x=2对称， 又因为f(x)在(-∞，2]上单调递减， 则f(x)在[2，+∞)上单调递增， 则由f(2x+3)≤f(1)得|2x+3-2|≤|1-2|， 即|2x+1|≤1，解得-1≤x≤0， 则不等式的解集为[-1，0]. 8. 2 解析　因为函数y=x3-为奇函数,所以曲线C的图象关于原点对称,又两条直线l1和l2均过坐标原点O,则P,Q关于原点对称,M,N关于原点对称,则四边形PNQM为平行四边形. 又S△OPM=,则S△MNQ=2. 9.(1)证明　因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x+2)=f(2-x)， 即有f(-x)=f(x+4)， 又函数f(x)是定义在R上的偶函数， 有f(-x)=f(x)， 所以f(x+4)=f(-x)=f(x)， 即f(x)是周期为4的周期函数. (2)解　当x∈[-2，2]时， f(x)=-x2+1， 又f(x)是周期为4的周期函数， 当x∈[2，6]时，x-4∈[-2，2]， 所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1， 所以f(x)=-(x-4)2+1=-x2+8x-15，x∈[2，6]. 10.解　(1)设函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b， 则g(x)为奇函数， 故g(-x)=-g(x)， 故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b， 即f(-x+a)+f(x+a)=2b， 即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b. 整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0， 故解得 所以函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1，-2). (2)推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数. 11.A　[因为f为偶函数， 所以f =f ， 所以f(-x+2)=f(x-1)， 又因为f(2-x)+f(x)=0， 故f(x-1)+f(x)=0， 即f(x)=-f(x-1)， 所以f(x-1)=-f(x-2)， 故f(x)=f(x-2)， 故函数f(x)的一个周期为2， 故f =f =f， 在f(x-1)+f(x)=0中， 令x=得， f +f =0， 因为f =-， 所以f =， 故f =f =.] 12.D　[因为f(x-2)是偶函数， 所以f(x-2)=f(-x-2)， 则f(x)=f(-4-x)，① 即对称轴为直线x=-2， 又因为f(x-3)+f(-x+1)=0， 所以f(x-3)=-f(-x+1)， 则f(x)=-f(-x-2)，② 即对称中心为点(-1，0). 由①②得f(-4-x)=-f(-x-2)， 令t=-x-2，则-4-x=t-2， 所以f(t-2)=-f(t)， 即f(x-2)=-f(x)，③ 所以f(x-4)=-f(x-2).④ 由③④得f(x-4)=f(x)， 所以f(x)=f(x+4)， 所以函数f(x)是周期为4的周期函数， 当x∈[-1，0]时，f(x)=x+1， 则f(0)=1，f(-1)=0， f(-2)=-f(0)=-1， f(-3)=-f(-1)=0， 根据周期性得f(1)=f(-3)=0， f(2)=f(-2)=-1，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=1， 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0-1+0+1=0， 又因为19=4×4+3， 故f(k)=4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=4×0+0-1+0=-1.] 13.D [令x=1，y=0， 则2f(1)=f(1)f(0)， 又f(1)≠0，解得f(0)=3，A正确； 令x=0，则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y)， 所以f(y)=f(-y)，即f(x)是偶函数， 所以f(2x-1)=f(-2x+1)=f[2(1-x)-1]， 所以函数f(2x-1)的图象关于直线x=对称，B正确； 令y=x，则f(2x)+f(0)=[f(x)]2≥0， 令t=2x，则f(t)+f(0)≥0，所以f(x)+f(0)≥0，C正确； 令y=1，则f(x+1)+f(x-1)=f(x)， ① 所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)， ② 联立①②得f(x+2)=-f(x-1)， 所以f(x+3)=-f(x)，f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，即f(x)的周期为6，D错误.] 14.BD [定义域为R的函数f(x)对任意实数x，y都有f(x)+f(y)=f  f ，令x=y=1，则f(1)+f(1)=f(1)f(0)，而f(1)=1，因此f(0)=2，A错误； 令y=-x，则f(x)+f(-x)=f(0)f(x)=2f(x)，则f(x)=f(-x)，B正确； 显然f(0)+f(1)=3≠0，则函数f(x)的图象关于点不对称，C错误； 令y=x-2，则f(x)+f(x-2)=f(x-1)f(1)=f(x-1)，同理f(x+1)+f(x-1)=f(x)，因此f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x)，从而f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，即函数f(x)的周期是6，由f(x+3)=-f(x)，得f(2)=-f(-1)=-f(1)，则f(1)+f(2)=0，显然f(4)=-f(1)，f(5)=-f(2)，f(6)=-f(3)，所以f(1)+f(2)+…+f(2 024)=337[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)=0，D正确.] 学科网（北京）股份有限公司 $$