北京市育英学校2024-2025学年高二下学期期中数学试题

北京市育英学校高二第二学期数学期中练习 2025.04 班级：__________姓名：__________ 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 过点且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 63 B. 72 C. 84 D. 135 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 已知函数，则下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 6. 设在处可导，且，则等于（ ） A. 6 B. C. D. 2 7. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ） A. 有极小值点，没有极大值点 B. 有极大值点，没有极小值点 C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点 9. 已知函数与直线交于，两点，则所在的区间为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 10. 已知，则__________． 11. 已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______. 12. 已知双曲线的左焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为__________. 13. 数列中，若存在，使得“且”成立，（，）则称为的一个峰值.若，则的峰值为________；若，且不存在峰值，则实数的取值范围为________. 14. 已知数列满足，，给出下列四个结论： ①数列的前n项和； ②数列的每一项都满足； ③数列的每一项都满足； ④存在，使得成立 其中，所有正确结论的序号是__________. 三、解答题（共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明程） 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点. （1）求椭圆C的方程； （2）设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：当时，； （3）若函数有个不同的零点，求的取值范围． 北京市育英学校高二第二学期数学期中练习 2025.04 班级：__________姓名：__________ 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】（答案不唯一） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】②③ 三、解答题（共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明程） 【15题答案】 【答案】（1） 增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2） 【16题答案】 【答案】（1） 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 因为为棱的中点，为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） F（1，0），A（-2，0）， 设直线l的方程为， 由得 直线l过椭圆C的右焦点，显然直线l椭圆C相交. 设P（，），Q，）， 则. 直线AP的方程为， 令，得，即M（4，）， 同理，N（4，）， 所以， 所以 ， 所以以MN为直径的圆恒过点F. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 由题设知． 设函数． 当时，因为， 所以对任意的恒成立，即． 所以函数在区间上单调递增，所以． 所以当且时，． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $