二次函数与几何图形综合题（与线段周长问题）归纳练2025年中考数学二轮复习备考

二次函数与几何图形综合题（与线段周长问题）归纳练2025年中考数学二轮复习备考 1．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线分别与x轴、y轴交于点，，过点B作，与抛物线交于点C，轴，垂足为D，连接，与y轴交于点E，过点E作，垂足为F． (1)求抛物线的解析式； (2)求的长； (3)如图②，已知P为线段上一动点（不与点C、D重合），连接并延长，与x轴交于点M，N为上一点，且，求出当线段的长取何值时，线段最长，并求出此时的长． 3．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，两点，交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在轴上，点在第一象限的抛物线上，若且，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的中点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，试探究的取值范围． 4．如图1，抛物线 与x轴交于点A和点B，点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P 是抛物线上一点，且位于点 A和点D之间（不含点A，D）． 如图2，连接，，，求四边形的面积的最大值； 如图3，连接交于点Q，连接交于点E，求的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，B两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点E，F为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物交于点N，点M是新抛物上对称轴左侧的一个动点，点K在的对称轴上，连接，当且时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程． 6．如图，抛物线 （）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 7．在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图像与y轴交于点C，与x轴交于点A、B两点（点A在B的左侧），P是其顶点． (1)求抛物线顶点P的坐标（用含m的式子表示）． (2)若，如图1，过点P作直线轴，过点C作于点F，若，求m的值． (3)若时，见备用图，三个顶点的坐标分别为，当函数（m为常数）与的直角边的交点为Q，过点Q作x轴的平行线，与此函数图象的另一个交点为，过C作x轴的平行线，与函数图象另一个交点为． ①求m的取值范围． ②若，请直接写出m的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线上一点，且在第一象限内， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，请直接写出的值． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，和点，与轴交于点，抛物线的对称轴是． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． (3)连接，点是抛物线上一动点，连接，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图1，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，两点的坐标； (2)若点是对称轴上一点，当为锐角时，设点的纵坐标为，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，点为线段上一动点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，，当为定值时，判断点是否为定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，两点（A在B的左侧），连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 12．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一点，过点作轴，垂足为点交直线于点，设点的横坐标为长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，直线经过点，且与轴交于点．点为线段上的一点，连接交轴正半轴于点，当时，求点的坐标． 13．如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式： (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴平行线交于点，点是线段上一点，当最大时，求的最小值． (3)将抛物沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点坐标为，点是新抛物线对称轴上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 14．如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直线上方该抛物线上的一动点，连接，，点是直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)在（2）问取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过线段的中点．若点为新抛物线上的一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数与几何图形综合题（与线段周长问题）归纳练2025年中考数学二轮复习备考》参考答案 1．(1) (2)16 (3)存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 2．(1) (2)4 (3)当线段时，线段最长，此时的长为． 【分析】1）将点，代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，设，利用勾股定理列方程求出，从而得到点的坐标，得出，依次证明，，得到，即可求出的长； （3）过点作于点，证明，得到，从而得到， ，设，利用角的正切值，得出，则，再利用直角三角形，得出，，进而推出，再根据得到关于的二次函数，求出最值即可． 【详解】（1）解：抛物线分别与x轴、y轴交于点，， ，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于点， ，， ，， ， 点在抛物线上， 设， ，， 在中，， ， 解得：或（舍）， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 当线段时，线段最长，此时的长为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解直角三角形的应用，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等知识，作辅助线构造直角三角形，利用数形结合的思想解决问题是关键． 3．(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）由得，得，得，根据，得，即得； （2）由得，得，设，根据，，得，得,解得，即得； （3）①∵，为的中点，得；②根据，得，解得或． 【详解】（1）解：∵中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵时，或， ∴， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：①∵，为的中点， ∴， ∵轴，交抛物线于点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 解得或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握庭系数法求函数解析式，平移性质，中点坐标性质，二次函数的图象和性质，函数与不等式，是解题的关键． 4．(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意得到，解方程组即可得到答案； （2）①求出点B的坐标是，则，过点P作轴，交线段于点Q，求出点的    D的坐标是，得到，可得，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，得到，得到四边形面积，由，即可得答案； ②设点P的坐标为，求出直线的解析式为，求出，则，求出直线的解析式为，则点E的坐标是，求出，即可求出定值． 【详解】（1）解：把点代入得到，① ∵是抛物线的对称轴且交x轴于点． ∴，② 联立①②得， 解得 ∴抛物线的解析式为： （2）解：①∵， 当时，， 当时，，解得，， ∴点B的坐标是， ∴， 连接，过点P作轴，交线段于点Q， ∵ ∴顶点D的坐标是， ∴ ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， ∴四边形面积， ∵点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间． ∴， ∴当时，有最大值，最大值为9； ②设点P的坐标为，如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴ ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点E的坐标是， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，二次函数与面积，二次函数与线段和，还考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，难度较大，数形结合是解题的关键． 5．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，得到，将代入抛物线解析式计算即可； （2）先求出，，直线的解析式为，过点P作x轴平行线，交延长线于点G，证明，推出，即，设，则点纵坐标为，求出，利用二次函数的性质求出；将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接，易证四边形是平行四边形，得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可； （3）分点M在点上方和下方，利用相似三角形和等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意：，则， 将代入抛物线解析式得：， 解得：，则， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，则， 令，解得：或， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作x轴平行线，交延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 设， 则点纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为，即有最大值， 此时，，即； 将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长； ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：根据题意， 令，解得：或， 根据题意：， ∴， ∴， ∵二次函数图象的对称轴为， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 过点M作于点H，过点作轴平行线交抛物线对称轴于点T，过点作轴平行线，交于点，过点作轴平行线交于点L，则，，， 当点M在点上方时， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，点横坐标为， 设，，则， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 则， ∴； 当点M在点下方时， 同上得，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 则， ∴； 综上，所有符合条件的点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及求抛物线解析式，二次函数的平移，平行四边形的判定与性质，两点间距离公式，相似三角形的判定与性质及解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是：构造三角形相似． 6．(1) (2)，的最小值为 (3)或 【分析】（1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，先求出直线的解析式为，通过，得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，证明，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，利用含角的直角三角形的性质进行求解即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，在直线上取一点，使得， 则，则，则直线与抛物线的另一交点即为点，设，则利用列式求出，求出直线解析式为，联立抛物线即可求解；利用对称性，在直线上取另一点，使得， 再进行列式求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 上述两点坐标分别代入抛物线， 得：， 解得：， ∴； （2）解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 则，， 则， ∵， ∴当时，最大， 此时， 则此时， ∵， ， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点， 由，得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即最小值为； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，的顶点为， ∴新抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 如图，在直线上取一点，使得， 则， ∴， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 如图，利用对称性在直线上取另一点，使得， 则， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：（舍），， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法，二次函数的图象与性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 7．(1) (2) (3)①或；②或者 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）求出对称轴，把对称轴对应的自变量的值代入函数解析式，求出顶点纵坐标即可； （2）求出点坐标，进而求出点坐标，根据，得到，求出，进而得到点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）①分与抛物线相交，交点Q在之间和与抛物线相交，两种情况进行讨论求解即可；②分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ∴当时， ； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵直线轴，，， ∴， ∴，， ， ， ， ， ， ∴代入，得： 解得：(舍去负值）； （3）①当与抛物线相交，交点Q在之间时， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 当与抛物线相交时， ∵ 则交点Q的纵坐标为 由上可知：抛物线过点， ， ； 综述或； ②当时，点Q的横坐标为，，因此点Q在对称轴直线的左侧 此时，， ，即：， ； 当时，把点Q的纵坐标代入，得：， ∴， ， ， ∴， 解得：或（舍去）； 综述，或． 8．(1) (2)①；②点的坐标为，的最大值为 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）①求出点坐标，可得的长，即得的面积，设，表示出的面积，再根据列出方程解答即可求解；②过点作于点，使得，过点作轴交于点，可得是等腰直角三角形，即得，可得，当取最大值时，线段取最大值，利用待定系数法求出直线的函数解析，进而求出，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再分、和三种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①当时，， 解得，， ∴， ∵、， ∴，， ∴， 设， ∵点在第一象限内， ∴，， ∵， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴； ②如图，过点作于点，使得，过点作轴交于点，则，，， ∵，， ∴， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取最大值时，线段取最大值， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设，则， ∴， 当时，取最大值，此时，， ∴当线段最大时，点的坐标为，的最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当，即时，在范围内，随的增大而增大， ∴取最小值，取最大值， 即，， ∵， ∴， 整理得，， ∴； 当，，即时，在范围内，函数的最大值为，即， ∵， ∴， 把代入得，， 解得或， ∵， ∴， ∴此种情况不合题意； 当，即时，在范围内，随的增大而减小， ∴取最大值，取最小值， 即，， ∵， ∴， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 9．(1) (2) (3)存在，点或使得 【分析】（1）确定抛物线的对称轴是直线，再利用待定系数法进行解答即可； （2）连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，进一步解答即可； （3）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，交轴于点， 抛物线的对称轴是直线， ， 解得 抛物线的表达式为 （2）连接，过作于，交抛物线对称轴直线于， 设直线交轴于，如图： 在中，令得， 解得或， ， ， 将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点， ， ， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度， ， ， 的最小值为． （3）过点作交对称轴于点，交抛物线于点， ， 在中，， ， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， 则， 设表达式为   ， 解得， 直线的表达式为：， ， 解得， 点的坐标为， 作点关于轴的对称点， 同理可求得直线的表达式为：， 联立抛物线表达式可求得， 综上所述，存在点或使得． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质、勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，熟练掌握解直角三角形、相似三角形的判定和性质是解题的关键 10．(1)， (2)或 (3)为定点 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理、根和系数的关系等，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键； （1）令，解方程，即可求解； （2）先求得点的坐标，进而求得当为直角时，点的坐标，结合图形，即可求解； （3）设点的坐标分别为：，求出直线的解析式，和直线的解析式，直线的解析式，从而表示出，，根据即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 解得： ∵在的左侧， ∴，， （2）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 抛物线，与轴交于点． 当时，， ∴， 又， ∴，， 当时， ∴ 解得：或 ∴当为锐角时，或； （3）是定点，理由如下： 由题意，的坐标为， 设点的坐标分别为： (点在点左侧)， ∴把的坐标代入中得， 解得： 直线的解析式为：， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∴， 则， 同理可得，， ∴， ∴， 即， ∴直线的解析式为：与无关， ∴， 即为定点． 11．(1) (2)的最小值为 (3)N的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，图象的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是较强计算能力． （1）将点和代入函数解析式，进一步得出结果； （2）作于，交于，先推出当最大时，最大，求得的函数解析式，进而设点和点坐标，进而表示出的关系式，进一步得出点坐标；连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长，进一步得出结果； （3）先求出平移后的抛物线解析式，可得出，进而推出，当时满足条件，从而得出坐标；作，交于，交轴于点，设，根据列出方程，从而求得坐标，进而求得的解析式，求出其与的交点，从而得出结果． 【详解】（1）解：将，代入 ， ， ； （2）解：如图1， 作于，交于， 轴， ， ∵当时，， ， ，又， ， ， ， 当最大时，最大， ，， 直线的解析式为：， 设，， ， ，， 当时，最大， ， ， 连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长， 由得， 或， ， ， 的最小值为：； （3）解：如图2， 抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位后为：， 即：， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，， 由题意得， 当平移到点，点平移到， ， ，即， 作，交于，交轴于点， 设， ， ， ， ， ， ， 的解析式为：， 由得，或， ， ， 综上所述：或． 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）先求出点B的坐标，然后再运用待定系数法确定直线解析式，设，则，，最后根据即可解答； （3）先求出点D的坐标，再求出的值，过点F作轴于点H，证明可得，再在上取点K，使得，连接，然后说明，再在中运用勾股定理可得；设F，则，根据点N在直线上列式求得t，进而确定点N的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点 ∴，解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线经过点、点B， 令， ∴，解得， ∴ 设直线解析式为 ∵，， ∴，解得： ∴直线解析式为： 设，则， ∴， 即． （3）解：由于直线交y轴于点D，又当时， ∴， 又∵ ∴， ∴， 过点F作轴于点H， ∵轴于点M， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 在上取点K，使得，连接 ∵，， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，解得， 设F，则， ∴， ∵，， ∴， ∴点N的坐标是， 又∵点N在直线上 ∴，解得， 当时，， ∴点N坐标是． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点，灵活运用相关知识点为解答本题的关键． 13．(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点，代入，即可求解； （2）先求出直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，得出，得当时，取得最大值，此时点的坐标为，过点作，过点作于点， 则，得出，证明，则，则当点，，三点依次共线，且时，取得最小值，最小值为的长，求出直线的解析式为，则可得直线的解析式为，得点的坐标为，分别计算 和即可； （3）利用平移得出新抛物线的对称轴为直线，在轴负半轴上取点，使得，得出，过点作于点，求出，证明，得，则，设， 分两种情况：当点在轴上方时和当点在轴下方时，分别构造一线三垂直全等，再利用全等性质和一次函数求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时点的坐标为， 如图，过点作，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，三点依次共线，且时，取得最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为， 把点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴点的坐标为， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度，即水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴新抛物线的对称轴为直线， 在轴负半轴上取点，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当点在轴上方时，如图，过点作，交于点，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入， 得， 解得：（负值舍）， ∴； 当点在轴下方时，如图，过点作，交直线于点，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点， 同理可得， ∴，， ∴， 同理可得直线的解析式为， 将代入， 得， 解得：或（舍）， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查二次根式的图象与性质，待定系数法求一次函数与二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与几何的相关方法是解题的关键． 14．(1) (2)的最大值为， (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）可求直线，设，则，那么，则当，最大为4，此时连接并延长至点，使得，连接，可得点关于直线对称，则，那么，当点三点共线时，取得最大值，而，则，同理可求直线，与直线联立，求出； （3）可求新抛物线，①当在轴上方抛物线上时，可得，求出直线，与抛物线解析式联立即可求解，②当在轴下方抛物线上时，记轴上方抛物线的点为，下方抛物线的点为，作关于轴的对称点，则，则直线与抛物线交点即为点，则，同理可求直线，则与抛物线联立，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，与轴分别交于点， ∴， 对于， 当， ∴ 设直线， 代入点，则， 解得：， ∴直线， 设， ∵轴， ∴将代入， 则， 解得：， ∴， ∴， ∴当，最大为4，此时 连接并延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点关于直线对称， ∴， ∴，当点三点共线时，取得最大值， ∵，且， ∴， ∴， 同理可求直线， 则， 解得：， ∴； （3）解：存在，理由如下： 在中，， 原抛物线：， ∴设平移后的解析式为：， 代入得： 解得：或（舍）， ∴新抛物线解析式为：，即， ①当在轴上方抛物线上时， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线，代入，则， 解得：， ∴直线， 则， 解得：或（舍）， ∴ ②当在轴下方抛物线上时， 记轴上方抛物线的点为，下方抛物线的点为，作关于轴的对称点，则， 则直线与抛物线交点即为点， ∵ ∴， 同理可求：直线， 则与抛物线联立得：， 解得：或（舍）， ∴ 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线的平移问题，“将军饮马”问题，勾股定理逆定理，轴对称问题等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 15．(1) (2)最小值为： (3)或． 【分析】（1）把点，代入即可求解； （2）求解直线为，，如图，过作，设直线为，当直线与抛物线有1个交点时，的面积最大，可得有两个相等的实数根，可得，，证明，作关于的对称点，连接，则三点共线，且，，可得，即，进一步求解即可； （3）如图，延长与轴的交点为，求解直线为，可得，，在直线上，抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位，连接，可得，可得，作交新抛物线于，交轴于，则，即满足，证明，设，此时在抛物线上，即，作关于直线的对称点，连接交于，连接交新抛物线于，，，此时满足条件，设，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵， 当时，， ∴， 如图，过作， 设直线为， 当直线与抛物线有1个交点时，的面积最大， ∴方程，即有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴直线为，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 作关于的对称点，连接，则三点共线，且，， ∴，即， 当三点共线时， ，此时最小， 最小值为：． （3）解：如图，延长与轴的交点为，，， 同理可得：直线为， ∴，， ∵为的中点， ∴，，， ∴在直线上，抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， 连接， ∴，，平移后的抛物线为：， ∴， 作交新抛物线于，交轴于，则，即满足， ∵， ∴，设， ∴， ∴，解得：， ∴， 此时在抛物线上，即， 作关于直线的对称点，连接交于，连接交新抛物线于， ∴，，此时满足条件， 设， ∴， ∴，而， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理可得：为， ∴， 解得：或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的二次函数的综合应用，涉及求解解析式，二次函数的图象与面积，一元二次方程根的判别式的应用，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式的应用，锐角三角函数的应用，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$