精品解析：2025年广东省清远市清新区中考三模数学试题

2025年清新区初中毕业生第三次适应性学业检测 数学 说明： 1.本试卷共7页，23小题，满分120分，考试用时120分钟. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减，倒数的定义．先计算，再利用“乘积为的两个数互为倒数”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴的倒数是． 故选：C． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超亿次．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：亿． 故选：D． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 4. 已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 60° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果． 【详解】解：∵mn，∠1=70°， ∴∠1=∠ABD=70°， ∵∠ABC=30°， ∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相除，合并同类项，积的乘方，完全平方公式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了同底数幂相除，合并同类项，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6. 小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．用绿灯时间除以红绿灯时间之和，即可得到答案． 【详解】解：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒， 遇到绿灯的概率是， 故选：C． 7. 如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（ ） A. b B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 二次函数的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：如图，①抛物线开口方向向下，则．故①正确； ②对称轴，，即．故②错误； ③抛物线与轴交于正半轴，．故③正确； ④对称轴，．故④正确； ⑤根据图示知，当时，，即．故⑤错误． 综上所述，正确的说法是①③④，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定． 9. 关于的不等式组仅有3个整数解，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有三个整数解的应用．可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解可得到关于m的不等式组，可求得m的取值范围． 【详解】解： 解不等式①可得， 解不等式②可得， 由题意可知原不等式组有解， 原不等式组的解集为， 该不等式组恰好有三个整数解 整数解为1，2，3， ． 故选∶C． 10. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，由一元二次方程根和系数的关系可得，再把转化为，代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 二、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 分解因式：_______. 【答案】． 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 【答案】##137度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 由两直线平行，内错角相等，即可得到． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 13. 小李广花荣是《永浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1.将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为__________结果用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，计算正方形与圆的面积比即可，解题的关键在于正确的计算． 【详解】解：设圆的直径为R，则正方形的对角线长为， 圆的面积为，正方形的面积为， 箭穿过正方形孔的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________． 【答案】 【解析】 【分析】利用切线长定理求得⊙O的半径，根据S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE列式计算即可求解． 【详解】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF， ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆， ∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC， ∵∠C=90°， ∴四边形CDOE为正方形， ∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°， 设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x， ∴4-x+3-x=5， 解得x=1， ∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE =×3×4-×1×1 =5-． 故答案为：5-． 【点睛】本题考查了切线长定理，扇形的面积公式，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 15. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，点D的对应点落在延长线上的点F处，点C的对应点为点G，延长交于点H．若，，则四边形的面积为____________． 【答案】10.5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，矩形的折叠问题，矩形的性质等知识点，连接，延长交于点O，交于点M，连接，证明，进而证明，在中，勾股定理求得，进而根据，得出，根据，求得，进而根据折叠的性质可得，即可求解，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图所示，连接，延长交于点O，交于点M，连接， 设， ∵， ∴， 由折叠知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 由折叠知：， 故答案为：10.5． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，利用零指数幂的意义，绝对值的意义，乘方法则，二次根式的乘法法则以及二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，是的外接圆，是的直径，，l是过点B的一条直线． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点D，交直线l于点E．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求证：l是的切线． 【答案】（1） 如图：即为所求； （2） 证明：设交于点F， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴l是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了基本作图-作角平分线和切线的判定； （1）根据角平分线的基本作法作图； （2）根据“过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．． （1）求点D到水平线的距离； （2）求砖塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）点D到水平线的距离为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，根据斜坡的坡比，，结合勾股定理求出的长即可得解； （2）作于，则四边形为矩形，设 ，则 ，则，，根据，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1，作于，则， 斜坡的坡比， ， 设 ，则 ， 由题意得：，， ， 解得：， ， 点到水平线的距离为； 【小问2详解】 解：如图2，作于， 则， 四边形为矩形， ，， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， 砖塔的高度为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了求曲面上两点之间的最短距离问题和勾股定理，关键是化曲为直，把空间问题转化为平面问题是解题的关键． （1）两点之间线段最短；（2）把圆柱的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，利用勾股定理求解；（3）把圆锥的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，先利用弧长公式求圆心角度数，再用中位线定理和勾股定理求解． 【详解】解：（1）两点之间线段最短； （2）剪开后，，， 最短路线的长为； （3）圆锥的底面周长为， 设侧面展开图的圆心角度数为， ，解得， 如答图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， 点为中点， 是的中位线， 蚂蚁爬行的最短距离为． 20. 为了解中考体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 人； （2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整； （3）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4名同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树状图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 【答案】（1）25 （2）， 条形图如下图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图信息关联，求扇形统计图圆心角，画条形统计图． （1）用B等级的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （2）用总人数分别减去A、B、C等级的人数得到D等级人数，然后用乘以D等级所占的百分比得D等所在的扇形的圆心角的度数，再补全条形统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的两人刚好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：抽取B等成绩的人数为10人，所占比例为， 本次抽样测试的学生人数是（人）， 故答案为：25； 【小问2详解】 D等级的人数为（人）， 所以D等所在的扇形的圆心角的度数； 【小问3详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为6， 所以选中的两人刚好是一男一女的概率为． 21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． （1）求一次函数的解析式； （2）对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； （3）点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积． （1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式． （2）当时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为． （3）先求出的面积为1，从而确定的面积为，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2； ∴A，B； 把A、B的坐标代入得； 解得； ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 ∵； 由图象可知，当时，． 【小问3详解】 ∵一次函数为； ∴D； ∵A， ∴； ∴， 设点P的坐标为： ，； ∴，； 当P在直线下方时，如图1，则； ； 解得； ∴点P． 当P在直线AB的上方时，如图2，则； ； 解得； ∴点P； 综上可得：点P的坐标为： 或 ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分. 22. 在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形的“美好矩形”．例如：如图1，已知，矩形，轴，点在上，点在上，则矩形为的美好矩形． （1）如图2，矩形是函数图象的美好矩形，求出矩形的面积； （2）如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若函数图象在之间的图形的美好矩形面积为9，求的值； （3）对于实数，当时，函数图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在轴上的正方形，请求出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，矩形的性质，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，正确理解题干给出的新定义是本题解题的关键． （1）根据x的取值范围可以求出A点和C的坐标，从而推出B点和D的坐标，然后根据矩形面积公式求解即可； （2）函数图象在A、B之间的图形的美好矩形即以为对角线的矩形，据此求出m的值即可； （3）根据二次函数的对称轴是否在x的取值范围内分类讨论，当对称轴在x取值范围内，顶点在x轴上，端点纵坐标是或端点在x轴上，顶点纵坐标是，当对称轴不在取值范围内时，两个端点一个在x轴上，一个纵坐标是据此解答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：设矩形是其美好矩形， ， 或． 【小问3详解】 解：∵美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形， ∴正方形的边长为二次函数 的对称轴为直线 当 时，即 ①顶点在x轴上，端点纵坐标是即 或 解得：或均符合题意； ②端点在x轴上，顶点纵坐标是即 或 ， 解得：或 (舍去，不符合a，b大小关系)或或或 (舍去，不满足a，b大小关系)； 当对称轴不在x的取值范围内时，有： 或 ， 解得：或 综上所述，或或． 23. 【教材呈现】 人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】 （1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 【答案】（1） （2）证明：作，延长交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质证明，利用相似三角形性质建立等式并求解，即可解题； （2）作，延长交于点，利用等腰三角形性质，证明，得到，再证明，利用相似三角形性质得到，结合等量代换，即可证明； （3）连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点，利用三角形内角和证明，得到，利用等面积法求得，进而得到，设，，利用勾股定理建立等式求解，得到，再证明，利用相似的性质得到，再结合题干条件利用勾股定理得到，将代入等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， ， 于点， ， ， ， ， ，， ， 解得； （2）略 （3）解：连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点， ，， ， ，，， ，， ， ，解得， ， ， 设，， 有， 解得， ， ，， ， ， ， ， E为中点， ， ， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等面积法求高，对称的性质，以及勾股定理等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年清新区初中毕业生第三次适应性学业检测 数学 说明： 1.本试卷共7页，23小题，满分120分，考试用时120分钟. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超亿次．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 60° D. 70° 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（ ） A. b B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 关于的不等式组仅有3个整数解，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 分解因式：_______. 12. 如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 13. 小李广花荣是《永浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1.将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为__________结果用含的式子表示） 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________． 15. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，点D的对应点落在延长线上的点F处，点C的对应点为点G，延长交于点H．若，，则四边形的面积为____________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 计算：． 17. 如图，是的外接圆，是的直径，，l是过点B的一条直线． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点D，交直线l于点E．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求证：l是的切线． 18. 数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．． （1）求点D到水平线的距离； （2）求砖塔的高度（结果保留根号）． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 20. 为了解中考体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 人； （2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整； （3）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4名同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树状图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． （1）求一次函数的解析式； （2）对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； （3）点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分. 22. 在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形的“美好矩形”．例如：如图1，已知，矩形，轴，点在上，点在上，则矩形为的美好矩形． （1）如图2，矩形是函数图象的美好矩形，求出矩形的面积； （2）如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若函数图象在之间的图形的美好矩形面积为9，求的值； （3）对于实数，当时，函数图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在轴上的正方形，请求出的值． 23. 【教材呈现】 人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】 （1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $