精品解析：江西省南昌市第十九中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

南昌十九中2024-2025学年下学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（每题5分，选错0分） 1. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积为，则=（ ） A. B. C. D. 8. 在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，正确答案2个则每个3分，正确答案3个则每个2分，选错0分） 9. 角的终边上有一点，且，则＝（ ） A. B. C. D. 0 10. 某美妙音乐的模型函数为，则关于该函数下列说法不正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 是偶函数 C. 在区间上单调递增 D. 最大值为 11. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为4，是正八边形内的动点（含边界），则的取值可能是（ ） A. -10 B. 10 C. 30 D. 50 三、填空题（每题5分） 12. 将函数的图象向左至少平移________个单位可得到函数的图象. 13. 已知，若函数的图象如图所示，则________. 14. 我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的钝角三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为_________． 四、解答题 15. 设是不共线的单位向量，且与的夹角的余弦值为. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若外接圆的半径为，的面积为，求的周长. 17. 在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 （1）若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； （2）依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 18. 设函数，其中，已知，且. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围. 19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． （1）请用、表示和； （2）设，，求的值； （3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌十九中2024-2025学年下学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（每题5分，选错0分） 1. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，两个不共线的向量可以作为基底，由此对各项中的向量加以分析，可得正确答案． 【详解】对于A，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底； 对于B，，，根据零向量与平面内任意向量共线，可知与不可以作为基底； 对于C，，，根据，可知与不共线，它们可以作为基底； 对于D，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底． 故选：C． 2. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的性质依次判断各项对应函数的最小正周期、区间单调性，即可得. 【详解】由的最小正周期为，的最小正周期为，A、D不符； 由在上单调递增，C不符； 以为最小正周期，且在区间上单调递减，B符合. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】由题意，. 故选：A 4. 已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 5. 已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直向量的坐标表示建立方程，求得参数，结合投影向量的计算，可得答案. 【详解】由，则，解得，即， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 6. 在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据正弦定理求出关于的表达式，然后确定角的范围，进而可求出的取值范围. 【详解】根据正弦定理可得：， 所以，且. 因为，有两解， 所以. 所以. 故选：C. 7. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积为，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面积可求得，然后根据余弦定理得到，再由正弦定理的变形可得所求的值． 【详解】∵的面积为，， ∴，∴． 由余弦定理得，∴． 由正弦定理得， 所以， 故选：A. 8. 在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立基底，，则，然后将设，最终表示为，然后得到，进而求出范围． 【详解】矩形中，已知分别是上的点，且满足， 设，则，， 联立，可解得， 因为点在线段上运动，则可设， ， 又，所以， ， 因为，所以． 故选：B． 二、多选题（每题6分，正确答案2个则每个3分，正确答案3个则每个2分，选错0分） 9. 角的终边上有一点，且，则＝（ ） A. B. C. D. 0 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义，即可求解. 【详解】由题意，角的终边上有一点，且， 若，此时； 若时，可得，解得， 当时，可得； 当时，可得. 故选：ABD. 10. 某美妙音乐的模型函数为，则关于该函数下列说法不正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 是偶函数 C. 在区间上单调递增 D. 最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用周期的定义可判断A；用奇函数和偶函数的定义可判断B；利用函数单调性的运算判断C；特值分析判断D. 【详解】A选项： ，故A选项错误； B选项： ，B选项错误； C选项：， 当时，，，函数在上都是单调递增，根据函数单调性的运算规律可知，函数单调递增，C选项正确； D选项：，当时，，此时，，，即三项无法同时取到最大值，D选项错误. 故选：ABD 11. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为4，是正八边形内的动点（含边界），则的取值可能是（ ） A. -10 B. 10 C. 30 D. 50 【答案】AB 【解析】 【分析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，则，故只需求的范围即可. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设， 过作的垂线，垂足为，正八边形中，边长为4， 所以，所以， 所以，所以， 设，则，，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为，所以， 故选：AB. 三、填空题（每题5分） 12. 将函数的图象向左至少平移________个单位可得到函数的图象. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移变换法则，即可求得的值. 【详解】因为， 所以将函数的图象向左至少平移个单位可得到函数的图象， 故答案为： 13. 已知，若函数的图象如图所示，则________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据正弦函数周期性，在不需求出解析式的情况下，判断一个周期内所有函数值的和为0，计算目标式子中有多少个周期，求出结果. 【详解】由图形可知，得， 由正弦函数的图象和性质可得， . 故答案为：0. 14. 我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的钝角三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案. 【详解】 连接，在中，，即， 所以，在中，， 所以， 在中，，则， 因为，，所以， 则，，所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 设是不共线的单位向量，且与的夹角的余弦值为. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律以及模长公式即可求解， （2）根据数量积以及向量共线即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以 所以， 【小问2详解】 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 当与共线时，设，即， 因为与不共线，所以，解得， 因此当与不共线时，， 由，得， 即，解得， 所以且，即实数的取值范围为 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若外接圆的半径为，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理得，再由正弦定理得，即可求解； （2）由三角形的面积公式，求得，根据题意和余弦定理，化简求得的值，即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理及，可得， 又由正弦定理，可得. 因为，所以，所以，所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，又知外接圆的半径为， 则由正弦定理得. 又由，可得， 根据余弦定理，得，所以，所以， 所以的周长为. 17. 在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 （1）若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； （2）依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】（1） （2）该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，所以卸货最多只能用4小时时间. 【解析】 【分析】（1）画出散点图，根据图象可求出，，，进而可求得； （2）依题意，其中，解不等式即可. 【小问1详解】 根据表中数据可画出如图所示的散点图， 由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； 【小问2详解】 由题意可得，化简得， 所以，解得，， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 18. 设函数，其中，已知，且. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知不等式及函数的最值，可得周期与的关系，从而建立的等量关系求解可得； （2）结合余弦函数图象与性质，由整体角范围求解单调增区间； （3）先由图象平移关系得的解析析，再由不等式有解，可得，求出函数在上的最值即可得解. 【小问1详解】 由知，， 则，又已知， 所以， 故中恰有一个取最大值，而另一个取最小值. 所以有， 则， 故，则. 因为，且，所以，， 则. 【小问2详解】 令， 解得， 故的单调递增区间为. 【小问3详解】 由题意可得. ∵，∴， 此时，， 由题意，要使有解，可得， 即，解得， 故所求的取值范围是. 19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． （1）请用、表示和； （2）设，，求的值； （3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出、关于的表达式； （2）由、、三点共线可设，根据向量线性运算求出、，即可求解； （3）由余弦定理可求出、，计算，利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为是中点，， 因为，则. 【小问2详解】 因为、、三点共线，故存在实数，使得， 即，整理得， 由（1）知， 根据平面向量基本定理，则. 【小问3详解】 因为是边长为的等边三角形，故，， 在中，由余弦定理，， 在中，同法可得， 故， 由（2）知，得， 故， 由基本不等式，，， 当且仅当，即，时，取最小值， 故的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $