专题06～07 四边形、三角形综合-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（内蒙古专用）

专题07 三角形综合 题型概览 题型01全等三角形 题型02相似三角形 题型04三角形与中点 题型04三角形综合 ( 题型01 )相似三角形 1.（2025·内蒙古通辽·二模）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（   ） A． B． C． D．6m 【答案】B 【详解】解：∵OP⊥PC，AB⊥PC， ∴AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴ ∵AB=3，BC=4，BP=5，∴PC=BP+BC=9， ∴ ∴OP= 故答案为： 2.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）（洞孔成像）如图，，物像所在正方体的面与平面垂直，根据图中尺寸，已知物像的长为4，那么物长为 ． 【答案】12 【详解】解：过点O作于点C，延长交于点，如图， ， 依题意得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：12． ( 题型02 )三角形综合 1.（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，的顶点是边长为2的等边△ABC的重心，的两边与△ABC的边交于，，，则与△ABC的边所围成阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】连接OB，OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N， ∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=， ∵点O为△ABC内心， ∴∠OBC=∠OBA=， ∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=， ∴OB=OC，∠BOC=， ∵ON⊥BC，BC=2，∴BN=NC=1，∴ON=tan∠OBC= ∴ ∵∠EOF=∠AOB=，∴∠EOF-∠BOF=∠AOB-∠ABO 在△EOB和△FOC中， ∴△EOB≌△FOC ∴ 2.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为3，宽为1的矩形，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】设AC与y轴交于点D，AB与y轴交于点E，AF⊥y轴，过点E作EG⊥AD，垂足为G，CH⊥EH，BM⊥MH， 根据题意，得FH=1，FM=2， ∵四边形都是相同的矩形， ∴FH=AF=1，∠CHD=∠AFD=90°，∠CDH=∠ADF， ∴△DHC≌△DFA， 同理可证，△AFE≌△BME， ∴DH=DF=，EF=EM=1， ∴AD=，DE=， ∵， ∴EG=， ∴DG==， ∴AG=AD-DG=， ∴tan∠BAC=， 故选C． 3.（2025·内蒙古包头·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接、，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过作于， 由作法得 平分， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 设， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 4.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，在等腰中，，过点C作，连接，交于点，点为中点，连接，，若，则 ． 【答案】5 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，点为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 是等腰直角三角形， ， 是线段的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：5． 5.（2025·内蒙古赤峰·二模）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在△ABC中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ，， ， ； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， ，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角形综合 题型概览 题型01全等三角形 题型02相似三角形 题型04三角形与中点 题型04三角形综合 ( 题型01 )相似三角形 1.（2025·内蒙古通辽·二模）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（   ） A． B． C． D．6m 2.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）（洞孔成像）如图，，物像所在正方体的面与平面垂直，根据图中尺寸，已知物像的长为4，那么物长为 ． ( 题型02 )三角形综合 1.（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，的顶点是边长为2的等边△ABC的重心，的两边与△ABC的边交于，，，则与△ABC的边所围成阴影部分的面积是 ． 2.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为3，宽为1的矩形，则（    ） A．2 B． C．3 D． 3.（2025·内蒙古包头·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接、，若，，则的长为 ． 4.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，在等腰中，，过点C作，连接，交于点，点为中点，连接，，若，则 ． 5.（2025·内蒙古赤峰·二模）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在△ABC中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 四边形综合 题型概览 题型01平行四边形综合 题型02矩形综合 题型03菱形综合 题型04正方形综合 ( 题型01 )平行四边形综合 1.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，在中，是对角线，当△ABC是等边三角形时，为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 3.（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知，、分别平分和交、于点和点，与交于点.连接，在的延长线上取一点，使，与交于点，已知，，则 . 4.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点， (1)根据作法可以判断射线是的角平分线，请你用逻辑推理证明； (2)求线段的长． ( 题型0 2 )矩形综合 1.（2025·内蒙古包头·二模）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则线段的长为 ． 2.（2025·内蒙古通辽·二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，于点，连接交于点，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 3.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）（1）爱探索的小刚同学将长方形纸片沿它的对角线所在直线折叠后，如图1所示，边的对应边与交于点F，连接． 发现一：△BDF是______三角形； 发现二：的位置关系是______； 于是，他提出问题：对于任意平行四边形是否也具有相同的结论呢？ （2）如图（2），将（1）的“长方形纸片”改为“”，其他条件不变，请问（1）中的发现一和发现二是否成立？如果成立，请选择其中一个进行证明，如果不成立，请说明原因； （3）拓展应用：如图（3），已知，点A，B为定点，点C在射线上运动，分别过点A，点C作的平行线，交点为点D，将沿着所在直线折叠，点B的对应点为点E，连接，若，请直接写出当为多少度时，为等腰三角形．    ( 题型0 3 )菱形综合 1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2． (1)过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点M． ①如图①，求证：MD＝MA； ②如图②，过点D作DF⊥BC于点F，交AC于点N，求MN的长； (2) 如图③，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，将∠EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE'、DF'分别与直线AB、BC相交于点G、P．连接GP，当△DGP的面积等于时，求旋转角的大小并指明旋转方向． ( 题型0 4 )正方形综合 1.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）如图是由4个全等的直角三角形拼成的图形，该图形表示勾股定理的一种证明方法，此方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则正方形的边长是（    ） A． B． C．5 D． 2.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）如图，在正方形中，点，分别为，的中点，连接，点是线段上一点，连接，延长交于点，若，，则的长为 ． 3.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 4.（2025·内蒙古包头·二模）如图，点是边长为的正方形纸片的边上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处． (1)把纸片展平，射线交于点，交于点，判断图1中与的数量关系，并说明理由； (2)在（1）条件下，若点是的中点，如图2，延长交于点，求出线段的长度； (3)在（1）条件下，如图3，点是对角线的交点，连接，若，求线段的长． 5.（2025·内蒙古呼和浩特·二模）问题背景 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点（又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形绕点怎样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 类比探究：将正方形沿方向平移. 【实验猜想】 将点平移到的中点时，如图2，于点，于点，请你猜想并直接写出的值. 【拓展运用】 将点平移到线段上的任意点（不与，重合）时，记. （1）如图3，求证：； （2）如图4，点在边上（不与，重合），连接并延长与的延长线交于点，当且时，求的值. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 四边形综合 题型概览 题型01平行四边形综合 题型02矩形综合 题型03菱形综合 题型04正方形综合 ( 题型01 )平行四边形综合 1.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，在中，是对角线，当△ABC是等边三角形时，为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是等边三角形， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ． 故选：D． 2.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ， ∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 3.（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知，、分别平分和交、于点和点，与交于点.连接，在的延长线上取一点，使，与交于点，已知，，则 . 【答案】5:8 【详解】解：过点M作OM∥AE交CD于点M， 由平行线的性质可得：∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠CBD， 由题意可得：∠DAC=∠BAC，∠DBC=∠ABD， ∴∠ACB=∠BAC，∠ADB=∠ABD， ∴AB=BC，AB=AD， ∴BC=AD， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC=， OB=OD=， ∴AD=， ∵∠DGO=， ∴可设∠DGO=x，则∠DCF=4x ∴∠ADB=∠CDB，BC=CD ∴∠DBC=∠ADB=∠CDB， ∵∠DCF=∠DBC+∠CDB， ∴2∠DBC=2∠CDB=4x ∴∠ADB=∠DBC=∠CDB=2x ∵∠ADB=∠DGO+∠DOG， ∴2x=x+∠DOG， ∴∠DOG=x ∴∠DOG=∠DGO=x ∴DO=DG=4， ∵OM∥AE， ∴△COM∽△CDH ∴, ∴OM= ∵OM∥AE， ∴△OMH∽△GDH ∴, 即：OH:HG=5:8 故答案为5:8. 4.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点， (1)根据作法可以判断射线是的角平分线，请你用逻辑推理证明； (2)求线段的长． 【详解】（1）证明：连接， 由作法知：，， 在和中， ， ， 射线是的角平分线； （2）解：由（1）知：， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． ( 题型0 2 )矩形综合 1.（2025·内蒙古包头·二模）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则线段的长为 ． 【答案】B 【详解】解：因为四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=10cm, 由折叠可得：，MN⊥AB，∠DAN=∠， ∴EA=EN 设EA=EN=xcm，则EM=（12-x）cm 在RT△AME中， 即：，解得：，∴EN=cm. 2.（2025·内蒙古通辽·二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，于点，连接交于点，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，延长交于点G，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）（1）爱探索的小刚同学将长方形纸片沿它的对角线所在直线折叠后，如图1所示，边的对应边与交于点F，连接． 发现一：△BDF是______三角形； 发现二：的位置关系是______； 于是，他提出问题：对于任意平行四边形是否也具有相同的结论呢？ （2）如图（2），将（1）的“长方形纸片”改为“”，其他条件不变，请问（1）中的发现一和发现二是否成立？如果成立，请选择其中一个进行证明，如果不成立，请说明原因； （3）拓展应用：如图（3），已知，点A，B为定点，点C在射线上运动，分别过点A，点C作的平行线，交点为点D，将沿着所在直线折叠，点B的对应点为点E，连接，若，请直接写出当为多少度时，为等腰三角形．    【详解】（1）解：∵长方形， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴是等腰三角形， 如图（1），过作交的延长线于，    ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：等腰，； （2）解：（1）中的发现一和发现二成立，证明如下； 证明：∵， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴△BDF是等腰三角形， 如图（2），过作交的延长线于，    ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（1）中的发现一和发现二成立； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，，， 由翻折的性质可知，，，，， 由题意知，当为等腰三角形时，分，两种情况求解； 当时，， ∴，， 设，， ∴，，， 解得，， 如图（3）记交点为，    ∴， ∴，即， ∴； 当时，， 设，则，， ∴， 如图（4）记交点为，          图（4） ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，当为或时，为等腰三角形． ( 题型0 3 )菱形综合 1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2． (1)过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点M． ①如图①，求证：MD＝MA； ②如图②，过点D作DF⊥BC于点F，交AC于点N，求MN的长； (2) 如图③，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，将∠EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE'、DF'分别与直线AB、BC相交于点G、P．连接GP，当△DGP的面积等于时，求旋转角的大小并指明旋转方向． 【详解】（1）①证明：∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°， ∵△ADE中，∠BAD=60°，∴∠ADE=30°， ∵菱形ABCD ∴AB∥DC，AD=CD， ∵∠BAD=60°，∴∠ADC=120°，∴∠DAC=∠ACD=30°， ∴∠DAM=∠ADM，∴MD=MA ②∵DF⊥BC，∴∠DFC=90°， 在菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴∠DCB=∠BAD=60°， ∵△DCF中，∠CDF=30°， ∵∠DCA=30°，∴∠NDC=∠DCN,∴ND=NC. ∵∠ADC=120°，∴∠MDN=60°， 在△ADM和△CDN中， ∴△ADM≌△CDN， ∴DM=DN， ∵∠MDN=60°， ∴△DMN为等边三角形， ∴MN=DM . ∵△ADE中，∠DEA=90°，∠ADE=30°，AD=2， ∴sin∠DAE= ∴AE=AD sin30º =1， ∵∠BAD=60°，∠DAM=30°，∴∠MAE=30°， ∵△MAE中，∠MEA=90°，∠MAE=30°，AE=1, ∴ ∴AM= ∴MN=DM=AM=。 （2）解： ∵AB∥DC，∠BAD=60°， ∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，∴∠EDF=60°， 当∠EDF顺时针旋转时， 由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°， DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°， 在△DEG和△DFP中， ∴△DEG≌△DFP，∴DG=DP, ∴△DGP为等边三角形， ∴△DGP的面积=DG2=，解得，DG=， 则cos∠EDG= ∴∠EDG=60°， ∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于， 同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于， 综上所述，将∠EDF以点D为旋转中心， 顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于. ( 题型0 4 )正方形综合 1.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）如图是由4个全等的直角三角形拼成的图形，该图形表示勾股定理的一种证明方法，此方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则正方形的边长是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c 根据题意得： 解得， ∴或(舍去) 故正方形的边长是 故选：B． 2.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）如图，在正方形中，点，分别为，的中点，连接，点是线段上一点，连接，延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接交于N，过点F作于H，如图， ∵正方形， ∴∠B=，，，， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的周长为：； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4.（2025·内蒙古包头·二模）如图，点是边长为的正方形纸片的边上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处． (1)把纸片展平，射线交于点，交于点，判断图1中与的数量关系，并说明理由； (2)在（1）条件下，若点是的中点，如图2，延长交于点，求出线段的长度； (3)在（1）条件下，如图3，点是对角线的交点，连接，若，求线段的长． 【详解】（1）解：，理由如下： 正方形沿着折叠，点落在点处， 由折叠轴对称性可得：，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ； （2）正方形纸片的边长为， ，，， ， 由折叠轴对称性可得：，，， 又， ， 设， 点是的中点， ， 由（1）得，， ， ， 在中，， ， ， ； （3）， ， 在中，， ， 在中，， 正方形的对角线交于点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 5.（2025·内蒙古呼和浩特·二模）问题背景 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点（又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形绕点怎样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 类比探究：将正方形沿方向平移. 【实验猜想】 将点平移到的中点时，如图2，于点，于点，请你猜想并直接写出的值. 【拓展运用】 将点平移到线段上的任意点（不与，重合）时，记. （1）如图3，求证：； （2）如图4，点在边上（不与，重合），连接并延长与的延长线交于点，当且时，求的值. 【详解】（1）【实验猜想】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=∠BDC=，OB=OD， ∵P为OB中点， ∴OP=BP，∴DP=3BP， ∵PM⊥DC于点M，PN⊥BC于点N， ∴∠PMD=∠PNB=， ∴△PMD∽△PNB， ∴, ∴ 【拓展运用】（1）证明：过点P作PM⊥CD，PN⊥BC，垂足分别为点M和点N。 ∵点P在正方形ABCD的对角线上， ∴△PMD和△BNP是等腰三角形， ∴△PMD∽△PNB ∴ ∵∠BCD=∠PMC=∠PNC=， ∴四边形PMCN是矩形， ∴∠MPN=， ∵四边形是正方形， ∴∠EPF=， ∴∠MPN-∠MPF=∠EPF-∠MPF ∴∠EPM=∠FPN， ∵∠PME=∠PNF=， ∴△PME∽△PNF， ∴。 （2） 解：过点P作PE⊥PF交DC于点E，PM⊥DC于点M，PN⊥BC于点N， ∵∠FPC=∠PBC=，∠PCF=∠BCP， ∴△PCF∽△BCP， ∴，即 同理：△PCE∽△DCP， ∵DC=BC，∴EC=CF ∵PN∥QB， ∴△PNF∽△QBF， ∴ 设NF=a，则PN=BN=MC=4a，设CF=x，则NC=PM=a+x ∵△PNF∽△PME， ∴， 则EM=， ∵EC=CF， ∴ 解得：x=, 则PM=， ∴K=。 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$