安徽省池州市第三中学2024-2025学年高二下学期2月月考数学试卷

2024-2025学年高二下学期2月月考数学试卷 一、选择题 1．设等差数列的公差是d,为的前n项和,则“”是“”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3．2025蛇年央视春晚中，四川大凉山妞妞合唱团带来节目《玉盘》唱出了对月亮的呼唤，舞台的“月亮”元素惟妙惟肖，若将其中的一个“月亮”元素看作圆C，当动点在圆C上运动时，OP斜率的取值范围，则直线OC的斜率为( ) A. B.-1 C. D. 4．已知，是椭圆C的两个焦点，焦距为6.若P为椭圆C上一点，且的周长为16，则椭圆C的离心率为( ) A. B. C. D. 5．已知直线和圆，则“”是“直线l与圆O相切”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6．在长方体中,,,,则点D到平面的距离为( ) A.1 B.3 C. D. 7．设抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线E相交于A，B两点，，，则( ). A. B.22 C. D.2 8．已知双曲线的实半轴长为,其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3,则双曲线C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．下列有关数列的说法正确的是( ) A.数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列 B.数列的通项公式为,则110是该数列的第10项 C.在数列1,,,2,中,第8个数是 D.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为 10．已知直线，下列结论正确的有( ) A.直线l恒过点 B.当时，直线l的倾斜角为 C.直线l与直线垂直 D.当时，直线l在两坐标轴上的截距相等 11．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为( ) A.直线与所成角的余弦值为 B.平面 C. D.直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题 12．直线l过点，若l的斜率为2，则l在y轴上的截距为__________. 13．已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若A，B分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，P为椭圆上任意一点，且，则的面积为__________. 14．在几何学中，单叶双曲面是双曲线通过绕其虚轴所在直线旋转而产生的曲面.它也可以由一条直线绕另一条直线（这两条直线互为异面直线，且不互相垂直）旋转而成，所以它也是一种双重直纹曲面.单叶双曲面拥有良好的稳定性和漂亮的外观，常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔、电视塔等，若异面直线与m之间的距离为1，且l与m所成的角为，则直线m绕直线l旋转形成的单叶双曲面所对应的双曲线的离心率为________. 四、解答题 15．已知直线与直线相交于点P,则 (1)求过点P且平行于直线的直线 (2)求过点P且垂直于直线的直线 16．已知圆心为C的圆经过点,,且圆心C在直线上. （1）求圆C的方程: （2）已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2,求直线l的方程. 17．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，成等比数列，. (1)求数列的前n项和. (2)若，，求满足条件的n的集合. 18．如图，四棱锥中，平面，，，，，. (1)是否存在实数a，使?若存在，求出a的值，若不存在，说明理由. (2)若，求与平面所成角的正弦值. 19．设,分别是椭圆的左,右焦点. （1）若P是该椭圆在第一象限上的一个动点,若,求点P的坐标; （2）设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围. 参考答案 1．答案：C 解析：若,由,可得; 若,可得,解得, 即“”是“”的充要条件. 故选:C. 2．答案：B 解析：由题意可得，，， ，，，，，，…，按照此规律下去， 可得，，，， 令，解得，. 故选：B. 3．答案：D 解析：如图所示： ， 因为的取值范围， 所以直线的倾斜角的取值范围是， 由题意可知，直线、为圆C的两条切线， 即直线，为圆C的两条切线， 由图可知，直线的斜率为负数， 设圆心，则，， 整理可得， 即， 可得， ，解得， 因此，圆心C一定在直线上， 即直线的斜率为 故选：D 4．答案：C 解析：根据题意，焦距，.根据椭圆定义， 周长为， 解得，. 则离心率为. 故选：C 5．答案：C 解析：由圆，可得圆心，半径， 若直线与圆相切， 则圆心O到直线l的距离，则，解得， 所以“”是“直线l与圆O相切”的充分不必要条件. 故选：C. 6．答案：D 解析：由题意,以D为原点,,,,分别为x,y,z轴所在直线建立如图所示的空间直角坐标系： 因为,,, 所以,,, 则,,, 不妨设平面的法向量为, 所以,不妨令,解得,, 即取平面的法向量为, 所以点D到平面的距离为. 故选：D. 7．答案：D 解析：设抛物线的焦点为F， 过点的直线与抛物线E相交于A，B两点， 易知直线斜率存在，设方程为，，， 联立， 可得， 所以，， 则. 因为，， 所以，， 则， 解得或. 因为,，所以. 故选：D 8．答案：B 解析：设双曲线的上焦点为, 双曲线的渐近线方程为, 由点到直线的距离公式可得, 又双曲线的实半轴长为,所以, 所以双曲线C的渐近线方程为,即. 故选：B. 9．答案：BCD 解析：因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4, 所以两个数列不是同一个,故选项A错误; 当时,解得:或(舍), 即110是该数列的第10项,故选项B正确; 因为数列可写为:, 所以第8个数是,故选项C正确; 因为 所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D正确. 故选：BCD. 10．答案：AC 解析：由， 显然直线恒过定点，A对， 当，则直线的斜率为， 结合倾斜角的范围，易知倾斜角为，B错， 由与， 则，即两直线垂直，C对， 当，则直线可化为， 已知在x，y轴上截距分别为1，-1，D错. 故选：AC 11．答案：BC 解析：A选项，以D为坐标原点，，， 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 故，，， 则， 设直线与所成角为， 故， 直线与所成角的余弦值为，A错误； B选项，E，F分别为棱，的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面，B正确； C选项，，，， 故， 故， 故，C正确； D选项，，，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 其中，设直线与平面所成角的大小为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为，D错误. 故选：BC 12．答案：-3 解析：由题意知：直线l的方程为， 即， 所以l在y轴上的截距为-3. 故答案为：-3. 13．答案： 解析：因为所以，，，所以椭圆方程为，则，，设，所以，，且，所以，所以，故. 14．答案：2 解析：当直线m绕直线l旋转时，形成的单叶双曲面所对应的双曲线中， 实半轴a和虚半轴b可通过几何关系求得：，所以. 所以双曲线的离心率， 故直线m绕直线l旋转形成的单叶双曲面所对应的双曲线的离心率为2. 故答案为：2. 15．答案：(1) (2) 解析：(1)由解得,即, 因为直线的斜率为, 所以过点P且平行于直线的直线的斜率为, 所以直线为：,化简得. (2)因为直线的斜率为, 所以点P且垂直于直线的直线的斜率为 所以直线为：,化简得. 16．答案：（1） （2）或 解析：（1）,的中点为 的垂直平分线方程为,即, 将联立可得,即圆C的圆心坐标为. 圆C的半径为, 所以圆C的标准方程为. （2）设圆心C到直线l的距离为d,由弦长公式得,故. 若直线l的斜率不存在,则,此时圆心到直线l的距离为3,符合题意. 若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为,即, 所以,解得,则直线l的方程为. 故直线l的方程为或. 17．答案：(1); (2) 解析：（1）设等差数列的公差为d， 因为成等比，所以，即得 化简得，又因为，所以. 因为，所以，即得 解得或者 当时，不合题意舍; 当时，，则， （2）因为 当时， 由题得，化简得， 即， 解得，又因为，所以， 所以 18．答案：(1)存在， (2) 解析：(1)过点D作，垂足为E， 则，又因为面， 以D为原点，分别以，，为x，y，z轴 建立空间直角坐标系，如图， 则，，， ， 因为，即， 则，解得， 故存在，使. (2)若， 则，， ， ， 设平面的法向量， 则， 令，则， 所以， 则，， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 19．答案：（1）; （2）. 解析：（1）由题意知,,,, 所以,,设, 则, 又,有,解得, 所以; （2）显然不满足题意,设直线l的方程为,设, , ,解得,① ,, 则, 又为锐角,AOB不共线,则,即,, 所以 , 解得,② 由①②,解得或, 所以实数k的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$