圆之弧长和扇形面积高频考点预测练-2025年中考数学三轮复习备考

圆之弧长和扇形面积高频考点预测练- 2025年中考数学三轮复习备考 1．如图，是的直径，是的切线，切点为B，． (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点E，且，，求阴影部分的面积． 2．如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若 ，的半径为，求的长度． 3．如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C 的直线互相垂直，垂足为D，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 4．已知为的直径，与相切于点，弦于点，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分图形的周长． 5．如图，与相切于点，且经过的中点． (1)利用无刻度的直尺和圆规过点作出的另外一条切线，切点为．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的长． 6．如图，在中，，的平分线交于点D，点E是边上一点，以为直径的经过点D，并交边于点F． (1)求证：是的切线； (2)若点F是的中点，的半径为2，求阴影部分的面积． 7．已知：如图，内接于，点为上一点，连接，其中经过圆心的延长线交射线于点，若． (1)求证：是切线； (2)若，求的长． 8．已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 9．如图中，，点在上，以为直径的经过上的点与交于点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分面积． 10．如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，连接，相交于点E，过点A作的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求长． 11．如图，在中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接． (1)从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程． ①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）； (2)在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 12．如图，以的边为直径作交的中点于点，过点的切线交于点，交的延长线于点． (1)写一个与相等的角___________； (2)求证：； (3)若，求阴影部分的面积． 13．如图，为的直径，点C在外，平分，交于点D，交于点E，于点F，． (1)求证：是的切线； (2)若，求弧的长度． 14．如图1，图2，点、、、是半径为5的圆的四等分点，将一个直角三角板的直角顶点与点重合，两直角边分别交于点、点（点在点的左侧），直线交直线于点． (1)①尺规作图：在图1上作出圆的切线（点在点的左侧），切点为（保留作图痕迹，不写作法）； ②在①的条件下，连接，若，求的度数； (2)在图2中，若是的中点，求的长度； (3)连接，若，求的长． 15．如图1，已知的半径为2，是内一点，且，，B是上两点，连接，、形成，随点的移动，点在上随之移动，且始终满足． (1)点与点的最小距离为________； (2)①如图2，当边经过圆心O时，求图中阴影部分的面积； ②当过点的切线与平行，且、两点在直线的两侧时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，也考查了圆周角定理和扇形的面积公式及三角函数的应用．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，根据，得，，进而得，证明，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明； （2）设，求出的长，得出，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为的切线， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：设， 在中解得， ， 在中， ， ， ，， ，均为的切线， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 2．(1)见解析 (2)的长度为 【分析】本题主要考查了切线的证明，求弧长，解题的关键是掌握圆心角定理，切线的判定定理； （1）连接，根据是的直径，得出，易得，结合，推出，则，即可求证是的切线； （2）根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】（1）如图，连接 ∵是的直径，                                  ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即   ∴. ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵， ∴ ∵的半径为， ∴ ∴的长度为 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，由为的直径，得，可推导出，即可证明是的切线； （2）连接，由，，求得，，而，所以，则，即可根据弧长公式求得的长是． 【详解】（1）证明：连接． 是的直径， ．         ， ， ， ， 又， ，即，              为上一点， 是的切线． （2）解：如上图，连接． ， ， ，     ，， ， ， ， ， ， ，         ， 的半径为1，         的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，由切线的性质得，再证明，得到，即可求证； （）由四边形内角和可得，即得，得到，，由垂径定理得，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，，即得，由可得，再利用弧长公式可得，进而根据阴影部分图形的周长即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：由（）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴图中阴影部分图形的周长． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 5．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查过圆外一点作圆的切线，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，三角形全等的判定与性质及弧长公式． （1）根据题意得，以点C为圆心，为半径画圆交于点两点，由与相切于点，则，根据直径所对圆周角为得，即可解答； （2）解直角三角形求出，进而求出，根据切线的性质证明，推出，    求出，再利用弧长公式即可解答． 【详解】（1）解：如图1，直线即为所求作的切线； （2）解：与相切于点， ， 点为的中点， ，     ，    ， ，        与相切于点， ． 在和中，， ， ，     ； ． 6．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，解直角三角形，弧，圆心角和圆心角之间的关系等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和等边对等角可证明，则，进而得到，据此可证明结论； （2）可证明得到，解直角三角形得到，再根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 7．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，根据是的直径，得出，直角三角形两锐角互余得出，根据等边对等角可得出，由等弧所对的圆周角相等得出，等量代换可进一步得出，进一步即可得出答案． （2）求出，证明为等边三边形，得到，根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解： ∵， ∴， ， 为等边三边形，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，弧长公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 8．(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质，推出，求得根据切线性质知道，据此即可证明； （2）设，根据平行线的性质，求得，再根据三角形内角和，推出，根据圆内接四边形的性质，推出，据此列式，求得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的长． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦三者的关系，圆周角的定理及推论，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆的内接四边形的性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据得到，即可得到，进而证明结论即可； （2）设的半径为，在中根据勾股定理求出半径的值，然后根据正切求出，然后根据全等得到，再根据计算解题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在和中， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为， 在中，，，， 解得 ，即， ， ， ， 由（1）知， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及扇形的面积，求出是解题的关键． 10．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质、直径所对的圆周角为以及余角的性质得出，然后根据同弧所对的圆周角相等得出，则，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，最后根据三线合一的性质即可得证； （2）连接，证明，可得出．设，则，解得，（舍），则，，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据勾股定理求出，则可得为等边三角形，得出，根据等边对等角和三角形外角的性质可求出，根据圆周角定理求出，最根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的切线， ． 又∵是的直径， ， ． ∵D为的中点， ， ， ， 又， ， ， 又， ． （2）解：连接， ∵，， ， ， ． 设，则 解得，（舍）， ，， ， 在中，， ， 为等边三角形， ， ， ， 又， ． ， 的长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是综合运用上述知识点． 11．(1)①②，③ (2) 【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接，根据等腰三角形性质可得，根据角平分线性质得，可得，得，即得； （2）先求出，，得，再阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③． 理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 故答案为：①②，③（答案不唯一）； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查构造真命题，角平分线定义，等腰三角形性质，圆切线的判定和性质，扇形的面积，三角形面积，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．(1)或 (2)详见解析 (3) 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，切线的性质，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由等边对等角可得，由三角形中位线定理得到，则，据此可得； （2）根据，即可证明结论； （3）先求出，再证明是等边三角形，得到，由切线的性质得到，解直角三角形得到，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 为的切线 ，即为直角三角形． ∴ ∴． 13．(1)见解析 (2)π 【分析】此题考查了切线判定、全等三角形的判定和性质、弧长公式等知识，熟练掌握切线判定、弧长公式是关键． （1）证明，即可得到，进一步即可得到结论； （2）连结．求出，根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：平分， ． 又，， ． ∵于点F， ． 又∵为的直径， ∴是的切线． （2）如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴弧的长为． 14．(1)①见解析；② (2) (3)或30 【分析】（1）①连接，过点作的垂线即可；②由题意可得是直径，连接，由切线的性质可得，由等边对等角可得，即可得解； （2）连接，由题意可得是直径，连接，由切线的性质可得，证明是等边三角形，求出，再由弧长公式计算即可得解； （3）分两种情况：点在上；当点在上；分别求解即可得解． 【详解】（1）解：①如图，切线即为所作， ；②如图1， 是直径， 连接， 是圆的切线，是切点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接， ， 是直径， 与的交点为， 连接， ， 是的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； （3）解：如图3，点在上， 由（2）得是圆的直径， ， 过点作于点， ， 过点作于点， ， ， 连接， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 如图4，当点在上， 同上可得，， ， ， ， ， 所以的长为或30． 【点睛】本题考查了作垂线，切线的性质，求弧长，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15．(1) (2)①；② 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰直角三角形，切线的性质，相似的性质． （1）点A与点P的最小距离为圆的半径减去的长度，即可解答； （2）①连接， 由为直角三角形，利用勾股定理求得的长度，可得为等腰直角三角形，进而求得的面积，，即可解答； ②过点作于点，连接，过点A的切线与平行，则，可证，则，即可得到，在中，利用勾股定理求得的长度，可得，，；在中，利用勾股定理可得，即可解答． 【详解】（1）如图1，当点P在半径上时，的长度最小， ∴． （2）①连接，当边经过圆心O时， ，，， ， ∴， 为等腰直角三角形 ， ， ②如图：此时，过点作于点，连接，有 ，， ∴，， ∴， ， ， 在中，， ，， ， ，， 在中， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$