集合与常用逻辑用语讲义-2026届高三数学一轮复习

高考一轮复习：集合与常用逻辑用语——（知识点梳理+习题练习) 知识点梳理： 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R [注意]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 符号 语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B (或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A⊂B (或B⊂A) 集合 相等 集合A，B中元素相同 A＝B 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 语言 符号 语言 A∪B＝ {x|x∈A或x ∈B} A∩B＝ {x|x∈A且x∈ B} ∁UA＝ {x|x∈U且 x∉A} 常用结论 1．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. 2．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 3．补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 常见误区 1．忽视集合中元素的互异性致误； 2．集合运算中端点取值把握不准致误； 3．忘记空集的情况致误． 一：基础练： 1.设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　) A．5个　　　　　　　　　 B．4个 C．3个 D．无数个 解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素． 2.若a，b，c，d为集合A中的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　) A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 解析:若x＝2，则x－1＝1＜，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3＜，所以－2∈M.故选A. 3.已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 解析：选A.方法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个． 4.已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{－2，3} B．{－2，2，3} C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3} 解析：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A. 5．设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{－3，3}　　　　　　　　 B．{0，2} C．{－1，1} D．{－3，－2，－1，1，3} 解析：选C.由题知∁UB＝{－2，－1，1}，所以A∩(∁UB)＝{－1，1}，故选C. 6.已知集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有(　　) A．7个 B．8个 C．15个 D．16个 解析：选A.因为集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4<0}＝{x∈N＋|－1<x<4}＝{1，2，3}， 所以集合A中共有3个元素，所以真子集有23－1＝7(个)． 7．已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x－4)(x＋2)≥0}，则∁R(A∪B)＝(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|1≤x≤4} C．{x|－2<x<1} D．{x|x<4} 解析：选C.因为B＝{x|x≤－2或x≥4}，所以A∪B＝{x|x≤－2或x≥1}，故∁R(A∪B)＝{x|－2<x<1}，故选C. 8.设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1 解析：选D.由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示： 易知a>－1. 二：提升练： 9.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．　 解析：因为B⊆A，所以m＝3或m＝.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3. 10.设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B. 11.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．6 解析：选C.由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C. 12.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|a－2<x<a}，若A∩B＝{x|－1<x<0}，则A∪B＝(　　) A．(－1，2) B．(0，2) C．(－2，1) D．(－2，2) 解析：选D.由x2－x－2<0得－1<x<2，即A＝{x|－1<x<2}．因为B＝{x|a－2<x<a}，A∩B＝{x|－1<x<0}，所以a＝0，所以B＝{x|－2<x<0}，所以A∪B＝(－2，2)，故选D. 13.定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　) A．6　　　　　　　　　　　 B．7 C．8 D．9 解析：由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B. 14.设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________． 解析：当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故1<a≤2；当a＝1时，A＝R，B＝{x|x≥0}，A∪B＝R，满足题意；当a<1时，A＝(－∞，a]∪[1，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，又因为a－1<a，所以A∪B＝R，故a<1满足题意，综上知a∈(－∞，2]． 三：创新练： 15.设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________． 解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)． 16.如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________． 解析：由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考一轮复习：集合与常用逻辑用语——（知识点梳理+习题练习) 知识点梳理： 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R [注意]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 符号 语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B (或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A⊂B (或B⊂A) 集合 相等 集合A，B中元素相同 A＝B 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 语言 符号 语言 A∪B＝ {x|x∈A或x ∈B} A∩B＝ {x|x∈A且x∈ B} ∁UA＝ {x|x∈U且 x∉A} 常用结论 1．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. 2．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 3．补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 常见误区 1．忽视集合中元素的互异性致误； 2．集合运算中端点取值把握不准致误； 3．忘记空集的情况致误． 一：基础练： 1.设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　) A．5个　　　　　　　　　 B．4个 C．3个 D．无数个 2.若a，b，c，d为集合A中的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　) A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 3.已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 4.已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{－2，3} B．{－2，2，3} C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3} 5．设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{－3，3}　　　　　　　　 B．{0，2} C．{－1，1} D．{－3，－2，－1，1，3} 6.已知集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有(　　) A．7个 B．8个 C．15个 D．16个 7．已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x－4)(x＋2)≥0}，则∁R(A∪B)＝(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|1≤x≤4} C．{x|－2<x<1} D．{x|x<4} 8.设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1 二：提升练： 9.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．　 10.设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 11.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．6 12.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|a－2<x<a}，若A∩B＝{x|－1<x<0}，则A∪B＝(　　) A．(－1，2) B．(0，2) C．(－2，1) D．(－2，2) 13.定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　) A．6　　　　　　　　　　　 B．7 C．8 D．9 14.设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________． 三：创新练： 15.设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________． 16.如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $$