精品解析：福建省三明第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

三明一中2024-2025学年下学期半期考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得z可得答案. 【详解】由题意得，故则的虚部为-1， 故选：B 2. 下列结论中正确的是（ ） A. 正四面体是四棱锥 B. 棱台侧棱长均相等 C. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D. 以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，正四面体是三棱锥，故A错误； 对于B，棱台的侧棱长不一定都相等，故B错误； 对于C，圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故C正确； 对于D，必须是直角三角形以直角边为旋转轴，旋转形成的几何体是圆锥，故D错误. 故选：C 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. 6 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算即可. 【详解】由余弦定理可得， 所以 故选：D 4. 在空间中，，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则，为异面直线 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，判断各选项正误. 【详解】 如图所示，当相交，直线垂直于相交的平面时，满足，，但是此时不满足，所以A错误. 如图所示，当两个平面平行时，被第三个面所截，得两条交线，此时，，不满足，为异面直线，所以B错误. 如图所示，此时满足，，，但是不满足，所以C错误. 根据面面平行的定义可知，平面没有交点，当时，与平面没有交点，此时，所以D正确. 故选：D. 5. 如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 . 故选：A 6. 已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】由单位向量，满足， 所以，解得， 则在上的投影向量为． 故选：B． 7. 在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令利用向量得线性运算及数量积运算将表示成t的函数，再求函数值域作答. 【详解】如图，在中，，则，， 令，则， 于是得 当时，，当或时，， 所以取值范围为. 故选：B. 8. 在四棱锥中，，过直线平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱交于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设平面与交于，由题设易证，若，则，根据与、与的比例关系，结合，即可求值. 【详解】 设平面与交于，而， ∴， ∵面，面， ∴面，又面，面面， ∴，即， 若，则，设四棱锥的体积为，又， ∴，即，，而，有， 而，有， ∴，解得. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：设平面与交于，由已知向量共线及截面的性质，易证，若，将四棱锥分为三棱锥、，利用体积间的比例关系及求. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 关于向量，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】依据向量加法的三角形法则可判断A，依据向量的概念可判断BC，依据平行向量的概念可判断D. 【详解】，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，A正确； 当时，，B正确； 若和无法比较大小，C错误； 当时，与可能不共线，D错误. 故选：AB. 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式，体积公式逐项计算可得结论. 【详解】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确． 对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为， 球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确． 对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误. 故选：ABC. 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ） A. 若，则为的重心 B. 若为内心，则 C. 若为的外心，则 D. 若为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由给定的条件和定理可以得到，从而得到为的重心；对于B，由给定的条件和定理可以得到；对于C，设的外接圆半径为，则由，即可验证结论；对于D，对比条件和定理，结合严格的论证，即可得到，再计算证明，即可求出，最后求出即可. 【详解】对于A，若，由，知，故为的重心，A正确； 对于B，若为的内心，设的内切圆半径为，由，知，故，B正确； 对于C，若为外心，设的外接圆半径为，则 ，C错误； 对于D，若为的垂心，由， 故， 从而，而和都是正数且相加小于，故在内部，所以是锐角三角形. 由在内部，知， 与刚才同理，可由得到. 由不共线，知是一组基底， 故，，从而. 设到对边的投影分别是，的面积为，且我们约定分别简记为角， 由于，， 故相似于，从而， 故可得到， 从而，同理，. 由于，，， 故， 设，，，其中， 则，解得，故. 而， 故，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不同的情况，计算出不同的，进而由题目中定理得到一系列性质. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简的结果等于_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的加法运算求解. 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为： 13. 在中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】因为，，，由正弦定理可知，，即， 故． 故答案为：. 14. 已知复数，且，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得出，再设，将代入化简得出关于的一元二次方程，利用即可求出. 【详解】由题意得，， 则， 令，若，则，代入中无解，故， 则，得， 代入，得，即， 由于关于的一元二次方程有解，则， 得， 则的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. （1）求实数b的值； （2）若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算求解. （2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即可. 【小问1详解】 依题点 在第四象限，则，由，得，即，所以, 【小问2详解】 由（1）知，，由复数z是关于x的方程的根， 得， 整理得，而， 因此, 解得所以 16. 已知向量，. （1）求； （2）若，且，求向量与向量的夹角； （3）若，且，求向量的坐标. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答. （2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答. （3）运用向量平行的坐标结论计算即可. 【小问1详解】 因为，，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以.即. 所以.即， 所以. 因为，所以. 【小问3详解】 因为，，所以. 因为，设， 则，. 解得， 故或. 17. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）证明：平面； （3）证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用棱锥的体积公式即可； （2）作辅助线，且，得出，再利用线面平行的判定定理即可； （3）先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的定义可得. 【小问1详解】 因底面，则为四棱锥的高， 因，正方形的边长为， 则四棱锥的体积为； 【小问2详解】 连接，且，连接， 因四边形为正方形，则为线段的中点， 又为侧棱的中点，则为的中位线，则， 因平面，平面，则平面； 【小问3详解】 因四边形为正方形，则， 又平面，平面，则， 因，平面，平面，则平面， 又平面，则. 18. 记的内角所对的边分别为，若，且. （1）求角的大小； （2）若，求的周长； （3）求边上的中线长度的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，得到，结合余弦定理，求得，即可求解； （2）根据题意，由正弦定理求得，得到，进而求得的周长； （3）根据题意，由余弦定理和基本不等式，求得，再由，根据向量的数量积的运算律，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得， 又由余弦定理，可得， 因为，所以. 【小问2详解】 解：因为，由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又因为，所以，则， 由，可得，所以， 所以的周长为. 【小问3详解】 解：因为，由余弦定理得，即， 又因为，当且仅当时等号成立，所以，所以， 因为为边上的中线，可得， 所以， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 19. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求. （2）若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围. （3）若点是直线上的两个动点，记.若恒成立，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理与同角的关系求得，利用余弦定理和正弦定理计算即可求解； （2）设，根据正弦定理可得、，进而的面积，结合正弦函数的性质即可求解； （3）利用三角恒等变换化简计算可得，则是定值，即，解之即可. 【小问1详解】 ，由正弦定理得. 因为，所以.因为，所以. 由，可得，即，所以. 由正弦定理可得，则， 得，则或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 设，在中，由正弦定理得， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 的面积 . 因为，所以， 则，故面积的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 所以， 则， 即. 又是定值，所以是定值， 所以，因为为的内角， 所以， 故的值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角恒等变换与解三角形、三角函数的性质的综合问题，结合三角恒等变换化简，正确运算是解决第（2）问的关键；确定是定值即是解决第（3）问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三明一中2024-2025学年下学期半期考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 下列结论中正确的是（ ） A. 正四面体是四棱锥 B. 棱台的侧棱长均相等 C. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D. 以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. 6 C. 5 D. 4. 在空间中，，，是三条不同直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则，为异面直线 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 在四棱锥中，，过直线的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱交于点E，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 关于向量，下列说法正确是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ） A. 若，则为的重心 B. 若为的内心，则 C. 若为的外心，则 D. 若为的垂心，，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简的结果等于_____________. 13. 在中，，，，则________． 14. 已知复数，且，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. （1）求实数b值； （2）若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 16. 已知向量，. （1）求； （2）若，且，求向量与向量的夹角； （3）若，且，求向量的坐标. 17. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）证明：平面； （3）证明：. 18. 记的内角所对的边分别为，若，且. （1）求角的大小； （2）若，求的周长； （3）求边上的中线长度的最小值. 19. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求. （2）若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围. （3）若点是直线上的两个动点，记.若恒成立，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$