精品解析：福建泉州市晋江市季延中学2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试题

晋江市季延中学2026年春高一年期中质量监测数学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（ ） A. B. C. 3 D. 2. 在中，点在边上，.记，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 5. 一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为 A. B. 4 C. D. 6. 若a，b，c是空间三条直线，，a与c相交，则b与c的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 异面或相交 7. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 则下列命题中正确的是（ ） A. 若复数z满足，则 B. 若z为复数，则必成立 C. 若复数，则 D. 若复数，，则 10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. 点，与向量共线的单位向量为 B. 非零向量和满足，则与的夹角为 C. 已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若时，三棱锥的体积为定值 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥外接球体积为 D. 若M为中点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为，，则_____________. 13. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是________． 14. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，复数在复平面内对应的向量为． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16. 如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线． （1）求此圆台的侧面积和体积； （2）把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度． 17. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)． （1）当cos＝时，求小路AC的长度； （2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，且边的中线的长为，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围． 19. 对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角. （1）若非零向量满足，且，求的取值范围； （2）若向量，且，求正数的值； （3）已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角和都是有理数，且，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋江市季延中学2026年春高一年期中质量监测数学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法、共轭复数的概念以及模的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以，. 故选：A. 2. 在中，点在边上，.记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线段关系得到向量的关系，再由向量的线性运算求出结果即可. 【详解】∵，∴ . 故选：C. 3. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则可得相关线段长，将直观图复原为原图形，即可求得答案. 【详解】由题意知，, 如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形， 因为，是的中点，故，且, 故,故， 故选：C 4. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，则，在中，列式运算得解. 【详解】，， ，则， 在中，， ，即. 所以该雕像的高度约为4m. 故选：A. 5. 一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为 A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设圆锥的底面半径为，母线长为，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长． 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为 它的侧面展开图是圆心角为的扇形 又圆锥的表面积为 ，解得： 母线长为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题． 6. 若a，b，c是空间三条直线，，a与c相交，则b与c的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 异面或相交 【答案】D 【解析】 【分析】可举例说明它们的位置关系，以正方体为载体，列举出所在位置关系，能求出结果． 【详解】如图，在正方体中， ，AB与BC相交，与BC是异面直线， ，AB与相交，与是相交直线， ，b，c是空间三条直线，，a与c相交，则b与c的位置关系是异面或相交． 故选：D． 【点睛】本题考查空间中两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是基础题． 7. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角的值，由可得出，结合可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】，由正弦定理可得，可得， 由余弦定理可得：，，所以， 由，有，得， 所以，，，， 由余弦定理可得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 8. 已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分析可知四线性关于直线对称，且，只需考虑点在边上的运动情况即可，然后分类讨论求出的最小值. 【详解】如图所示，因为，且，所以垂直且平分， 则为等腰三角形，又，所以为等边三角形. 则四边形关于直线对称，故点在四边形的四条边上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可， 因为，易知，即，则， ①当点在边上运动时，设， 则， 所以，当时，的最小值为； ②当点在边上运动时，设， 则， 所以，当时，的最小值为； 综上，的最小值为， 故选：C . 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 则下列命题中正确的是（ ） A. 若复数z满足，则 B. 若z为复数，则必成立 C. 若复数，则 D. 若复数，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由复数的运算性质对选项逐一判断 【详解】对于A，若，设，即，则，，故A正确， 对于B，若，则，故B错误， 对于C，若，，，故C正确， 对于D，设，则， 可得，故D正确． 故选：ACD 10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. 点，与向量共线的单位向量为 B. 非零向量和满足，则与的夹角为 C. 已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据共线向量及单位向量的概念运算即得；对于B，利用向量夹角公式结合条件即得；对于C，由题可得即可判断；对于D，根据投影向量的概念结合条件即得. 【详解】对于A，因为，且，所以与向量共线的单位向量为，故错误； 对于B，因为，所以，即，化简得， 所以，即， 又， 所以， 因为，所以，故正确； 对于C，由，，向量与的夹角为锐角，则，所以且，故错误； 对于D，因为，， 所以在上的投影向量的坐标为，故正确. 故选：BD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若时，三棱锥的体积为定值 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥外接球体积为 D. 若M为中点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由在线段上运动，结合正方体的结构特征有平面，应用等体积法及体积公式判断；B由在线段上运动，且，，根据周长最小有最小，求出最小值判断；C由为的中点，进而确定三棱锥外接球的球心在直线上，再求出其半径，即可判断；D由在平面内，若关于平面的对称点为，则即可得. 【详解】A：由，易知在线段上运动，由正方体的结构特征知平面， 所以平面，故到平面的距离为定值， 又，为定值，故三棱锥的体积为定值，对； B：当，则在线段上运动，且，， 由正方体的结构特征知，平面，平面， 平面，平面，则，， 要使的周长最小，即最小，显然， 所以周长的最小值为，错； C：若，则为的中点，即为上底面的中心，若为下底面的中心， 所以平面，且为等腰直角三角形，如下图示， 所以三棱锥外接球的球心在直线上，设其半径为，则， 所以，故外接球体积为，对； D：由题设在平面内，若关于平面的对称点为， 易知为的中点，则，故， 又，则，故的最小值为，对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量模的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，向量的夹角为，，可得， 可得，所以. 故答案为：. 13. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义求解. 【详解】解：因为，且， 表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆上的点， 而表示圆上的点（3，5）的距离， 其最大值为， 故答案为：6 14. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，由正三角形性质求出圆柱底面圆半径，利用锥体体积公式求出圆柱的高，再利用圆柱及外接球的结构特征求出球半径即可. 【详解】由圆的内接正的边长为3，得圆的半径， ，三棱锥的高即圆柱的高， 由，解得，圆柱的两底面圆是其外接球的两个截面小圆， 由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离，则球半径， 所以圆柱的外接球的体积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，复数在复平面内对应的向量为． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用复数的几何意义得，再利用复数的运算，得到，即可求解； （2）利用复数的运算，结合条件有，即可求解. 【小问1详解】 因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得，所以的值为. 【小问2详解】 因为， 由题有，解得，所以的取值范围为. 16. 如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线． （1）求此圆台的侧面积和体积； （2）把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度． 【答案】（1）体积为，侧面积为 （2）21 【解析】 【分析】（1）根据圆台的侧面积公式以及体积公式，可得答案； （2）由题意，作圆台的侧面展开图，利用弧度制的定义，建立方程，解得圆心角以及半径，利用余弦定理可得答案. 【小问1详解】 为圆台的高，如图，在梯形中，作，垂足为， 则，， ， 在中，，， ． ∴圆台的高， 圆台的体积为， 圆台的侧面积为 【小问2详解】 如图，延长圆台的两条母线交于一点，将圆台沿母线侧面展开， 连接，则线段的长度即为这根绳的最短长度， ，，即， 解得，， ∵圆台的下底面周长为， ∴弧的长度为，， 在中，，，， 由余弦定理得：， ， 故这根绳的最短长度为21. 17. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)． （1）当cos＝时，求小路AC的长度； （2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB，进而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值． （2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ时，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ，此时cosφ，sinφ，从而可求BD的值． 【详解】（1）在中，由， 得，又，∴． ∵ ∴ 由得：，解得：， ∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴且 ∴ 在中， ， 解得： （2）由（1）得：， ，此时，，且 当时，四边形的面积最大，即，此时， ∴，即 答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，且边的中线的长为，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解； （2）根据余弦定理可得，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得，再利用面积公式，即可求解； （3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得，再根据角的范围，结合三角函数的性质即可求解． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以， 得到，即， 又，，所以， 又因为，可得. 【小问2详解】 因为，且， 所以由，可得，解得， 由题意， 两边平方，可得， 因为，所以，解得或（舍）， 则的面积为. 【小问3详解】 因为 ， 由题知，，解得， 因为， 所以，可得， 可得， 所以． 19. 对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角. （1）若非零向量满足，且，求的取值范围； （2）若向量，且，求正数的值； （3）已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角和都是有理数，且，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设定义及条件，得到，又，再结合的性质，即可求解； （2）根据条件，利用向量模长及夹角公式，得到，进而得到，再结合题设条件，即可求解； （3）根据题设可得，利用，得，再结合是正整数，对取值讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为且，则， 又，所以，得到， 又，且 所以的取值范围是. 【小问2详解】 因为和，则， 则设向量和的夹角为，则， 所以， 则，整理得到， 所以（舍）或，解得或（舍）， 所以. 【小问3详解】 因为， 则， 又，则， 即， 又，则，又是正整数， 当不合题意， 当，由，得到， 所以，满足题意，故， 当时，，得到，解得， 此时，不是有理数，所以不合题意， 当时，，所以时，不合题意， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $