福建省三明第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

三明一中2024-2025学年下学期半期考 高一数学试卷 (考试时间：120分钟满分：150分) 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 L若复数：品，则：的虚都为 A.-1 B.1 C.-i D.i 2.下列结论中正确的是 A.正四面体是四棱锥 B.棱台的侧棱长均相等 C.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D.以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫 圆锥 3.在△MBC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,C,已知A=号，b=4,c=3, 则a= A.37 B.6 C.5 D.3 4.在空间中，a,b,c是三条不同的直线，a,阝是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A.若a⊥c,b⊥c,则a∥b B.若aca,bcB,则a,b为异面直线 C.若a∥a,b∥B,a∥B,则a∥b D.若a∥B,aca,则a∥B 5.在△ABC中，点N是BC的中点，点M是AW的中点，设AB=a,AC=b,则MC= c.+ D.-4a-4 6。已知两个单位向量a,5满足(a+26)(位-)=-名，则a在6上的投影向量为 A. B.ji c. D.-26 3 7.在直角三角形ABC中，CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点，且 MN=√，则MC.NC的取值范围为 B.[4,6 c.[24 8.在四棱锥P-ABCD中，DC=3AB,过直线AB的平面将四棱锥截成体积相等的两 个部分，设该平面与棱PC交于点E,则PE 1-2 A. B. √2 c.3 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.关于向量ā，b,c,下列说法正确的是 A.a+s同+l B.若ā=b,则园=同 c.若同>，则a>万 D.若a∥b,b∥c,则a∥c 10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结 论正确的是 A.圆柱的侧面积为4元R B.圆锥的侧面积为√5元R2 C.圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小 11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志而得名，是平面向量中一个非常优美的结 论.它的具体内容是：己知M是△ABC内一点，△BMC,△AMC,△AMB的 面积分别为S4,SB,S,则SMA+S。·MB+Sc·MC=0.以下命题正确的有 S A.若S4:Ss:Sc=1:I:I,则M为△AMC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·MA+AC-MB+AB.MC=0 C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA4:Sa:S=1:5:2 D.若M为△MBC的垂心，2M+3M丽+4MC=0,则cos∠AWB=-万 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.化简OP-OP+P+SP的结果等于 13.在△Bc中，已知A=号sinB-,BC=3,则4C- 14.已知复数2=x+i(x,y∈R),且-2刘=l,则F+7 的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 己知复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点在第四象限，且满足 zz=4. (1)求实数b的值： (2)若m·z2+2z+n=0(m≠0，且m,n∈R),求m+n的值. 16.(15分) 已知向量a=(1,2),b=（3,-2) (求后-： (2)若日=0，且(2a+c1c,求向量ā与向量c的夹角 (3)若=29，且(2a+b),求向量c的坐标. 17.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,且 PA=4,E为侧棱PA的中点， (I)求四棱锥P-ABCD的体积： (2)证明：PC∥平面BDE: (3)证明：BD⊥PC. 18.(17分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2√6， sin2 C-sin2 A-sin2 B=sin A.sin B. (1)求角C的大小： (2)若√③bsin A=asin2B,求△ABC的周长： (3)求AB边上的中线CD长度的最小值. 19.(17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且二-b+c=5sim4 b a (1)求C: (②)若b=1,点M,N是边AB上的两个动点，当∠MCN=时，求△MCN面积 的取值范围： (3)若点M,N是直线AB上的两个动点，记∠MCN=0<0s,∠CN=a, ∠CM=B.若cosB(sin2a+cosa)+sinasin(cosa-l)=sina恒成立，求0的值. 三明一中2024-2025学年下学期半期考 高一数学参考答案 一.选择题： 2 3 4 5 8 9 10 11 A D A AB ABC ABD 二.填空题： 12. 0@ 13. 4.【 三，解答题： 15解：(1)依题点(L,b)在第四象限，则b<0, 1分 由z,z=4,得1+bi01-bi=4, 2分 即b2=3, 4分 所以b=5; 5分 (2)由(1)知，2=l-i,得m1-5列+21-团到+n=0,…6分 整理得(-2m+m+2)-(23m+25)i=0, 8分 [-2m+n+2=0, 而m,n∈R,因此 23m+2W3=0, .10分 m=-1, 解得 n=-4, 12分 所以m+n=-5. .13分 16.解：(1)因为a=(4,2),6=(3,-2）,所以a-b=(-2,4)… …1分 所以6-=-2}+年=25 3分 (2)因为2a+d)1d,所以(2a+c=0.即2ac+d=0 5分 所以26cos(a,+=0.即2x5xi而xcos(a,c)+10=0, 所以o6可-兽 7分 因为ae0利，所以a,司-交 9分 三明一中半期考高一数学答案第1页共4页 (3)因为a=(4,2,i=(3,-2),所以2a+5=(5,2) .10分 因为(2a+b)/e,设c=(2a+b)=(5,2),。 11分 则日=V297元=29， 12分 解得久=士1,4414分 故C=(5,2）或C=(（-5,-2）..15分 17.解：(1)因PA⊥底面ABCD,则PA为四棱锥P-ABCD的高，1分 因PA=4,正方形的边长为2， 则四棱锥P-ABCD的体积为号动四PA=写×2×4- 39 4分 (2)连接AC,且AC∩BD=G,连接EG,5分 因为四边形ABCD为正方形，则G为线段AC的中点，6分 又E为侧棱PA的中点，则EG为△PAC的中位线，则EGIIPC,7分 因PC文平面BDE,EGC平面BDE,则PC∥平面BDE; 9分 (3)因为四边形ABCD为正方形，则BD⊥AC, 10分 又PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,则PA⊥BD, .11分 因PA∩AC=A,PAC平面PAC,ACC平面PAC,则BD⊥平面PAC,14分 又PCC平面PAC,则BD⊥PC… 15分 18.解：(1)因为sin2C-sin2A-sin2B=sin A.sin B, 由正弦定理得c2-a2-b2=ab, 1分 所以cosC= a2+b2-c21 2ab 2 3分 又C∈(0，，所以c=2 3 …4分 (2)因为√3 bsin A=asin2B,由正弦定理得√5 sin BsinA=2 sin Asin Bcos B,5分 因为A,B∈(O,π)，所以sin Asin B≠0， 所以cosB=】 5 得B= 2 6 …6分 于是A=π-B-C= 6 44+44gttt*444454555t58t转4 .7分 三明一中半期考高一数学答案第2页共4页 所以a=b=2。=22' 9分 cos B 故△ABC的周长为4W2+26, 10分 (3)因为c=2√6， 所以由余弦定理得(2√6)2=a2+b2-2abc0sC,即a2+b2=24-ab.…11分 因为a2+b2=24-ab≥2ab,所以ab≤8，当且仅当a=b时等号成立， 12分 又CD=Ci+c®)，… 13分 所以c而'=C+2C.c丽+cm）-62-b+a）=(24-2ab), 15分 所以c而≥4×(24-16)=2，则⊙25， 所以AB边上的中线CD长度的最小值为√互 17分 19.解：(1) 由正弦定理得sinAcosB=√3 sinBsinA. b cosB 因为A≠0，所以aB=5.因为B∈0，，所以B= 6 2分 由号-6+9，可得d=+bc,即+2-b-S+b b a ,所以c+b=2 acosB. 2ac 2a 由正弦定理可得sinC+sinB=2 sinAcosB,则sin(A+B)+sinB=2 sinAcosB, 得sinB=Sin(A-B),则B=A-B或B+A-B=元（舍去），5分 所以A=2B=骨→C=R-A-B=牙 6分 (2)设∠BCN=x,x∈ 0, 6 CN 在△BCN中，由正弦定理得 BC sinB sin∠BWc' 所以CW BCsinB 5 sin/BNC 7分 2sin x+ 6 三明一中半期考高一数学答案第3页共4页 CM AC 在△ACM中，由正弦定理得 inA sin∠AMc' 所以CM=4 CsinA 5 5 sin∠AMC2sin(A+∠ACM) 2sin 2C0S8分 36 △CN的面积S=2 CM-CNsin、/ 5 5 32 2cosx 2sin 2 x+ 6 3W5 35 10分 w引所u2x+[引2x+}[ 35 [535 m2x+8 T48 535 故△MCN面积的取值范围为 48 12分 (3)cosB(sin2a+cosa)+sinasinB(cosa-1)=sina, sin'acosB+cosacos+sinacosasinB-sinasinB=sina, sinasin(a+B)+cos(a+B)=sina, 即sina[sin(a+)-l+cos(a+)=0.… 14分 又a+B=π-日是定值，所以sin(a+),cos(a+B)是定值， 所以 in(a+β)-1=0， .16分 cos(a+)=0, 因为a,B为△MCN的内角， 所以a+B=,0=5。 2 2 π 故0的值为 417分 三明一中半期考高一数学答案第4页共4页