专题07 认识三角形期末复习(十二大题型+过关检测)-2024-2025学年七年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版2024）

专题07 认识三角形期末复习（十二大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 三角形的识别与有关概念 2 题型二 三角形的个数问题 3 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 4 题型四 三角形的分类 7 题型五 锐角互余的三角形是直角三角形 8 题型六 构成三角形的条件 9 题型七 确定第三边的取值范围 11 题型八 等腰三角形的定义 12 题型九 画三角形的高 13 题型十 三角形角平分线的定义 15 题型十一 重心的概念 17 题型十二 与三角形的高有关的计算 18 过关检测 20 题型一 三角形的识别与有关概念 例1：下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的定义，熟知各个类型三角形的定义是解题的关键． 根据三角形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．有一个内角是直角的三角形是直角三角形，是定义，故A不符合题意； B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形，是定义，故B不符合题意； C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，是定义，故C不符合题意； D．等边三角形的三条边是相等的，是性质，故D符合题意． 故选：D． 变式训练一 1．下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接得到的封闭图形是三角形解题即可． 【详解】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项， 故选：B． 2．如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案． 【详解】解：在中，的对边是． 故答案为：． 题型二 三角形的个数问题 例2：如图，以点A为顶点的三角形有 个． 【答案】4 【分析】本题考查三角形，解答本题的关键要明确：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，， ∴以点A为顶点的三角形有4个， 故答案为：4． 变式训练二 1．将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形，根据三角形的概念即可求解． 【详解】解：以为边的三角形有， 所以有3个， 故选：C． 2．如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键．根据题意找出三角形的个数，即可求解． 【详解】解：图中有共10个三角形， 故答案为：． 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 例3：如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 变式训练三 1．如图，，，，是上一点．若，，甲、乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙：． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键是利用已知条件求出相关角的度数，并依据角的关系判断直线是否平行． 先根据与的数量关系及度数求出，再由得出判断甲的结论；然后在中用内角和定理求，进而得，通过比较与判断乙的结论． 【详解】∵，， ∴ ． ∵， ∴ ，所以甲的结论正确． 在中，已知，， ∴ ． ， ， ， 所以与不平行，乙的结论错误． 综上，只有甲的正确， 故选：A． 2．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 题型四 三角形的分类 例4：如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形， ∴只有乙说法正确， 故选：B． 变式训练四 1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 2．在中，的补角是，则是 三角形． 【答案】钝角 【分析】本题考查了补角的定义、三角形的分类，熟练掌握补角的定义是解题的关键．根据补角的定义和三角形的分类即可解答． 【详解】解：的补角是， ， ， 是钝角三角形． 故答案为：钝角． 题型五 锐角互余的三角形是直角三角形 例5：在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数． 【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为，   根据直角三角形两锐角之和为，得：   ， 解得：， 所以较小锐角的度数为． 故答案为：． 变式训练五 1．如图，在中，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理计算解答即可． 本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故选：C． 2．在中，，，点是上一个动点，当取最小值时， ． 【答案】 【分析】此题考查了垂线段最短，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据垂线段最短得到当时，取最小值，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】如图所示，    ∵点是上一个动点 ∴当时，取最小值 ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 题型六 构成三角形的条件 例6：下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系， 直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形，故该选项不符合题意； B．∵，∴不能构成三角形，故该选项不符合题意； C．∵，∴能构成三角形，故该选项符合题意； D．∵，∴不能构成三角形．故该选项符合题意； 故选：C． 变式训练六 1．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 2．从长度为3、4、5、6、7的五条线段中任取三条线段能构成三角形的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查列举法求概率、三角形三边关系，解答此类问题的关键是写出所有的可能性．根据题意写出所有的可能性，从而可以求得能组成三角形的概率． 【详解】解：从长度为3、4、5、6、7的五条线段中任取三条线段，有：，，，，，，，，，，共10种情况； 能构成三角形的有，，，，，，，，，共9种情况， 故能构成三角形的概率为． 故答案为：． 题型七 确定第三边的取值范围 例7： 一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 【答案】11或13 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 利用三角形的三边关系列出不等式求解，分情况进行求三角形的周长即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得， 即， ∵边长为偶数， ∴或， ∴当时，三角形的周长为， 当时，三角形的周长为， 故答案为：11或13． 变式训练七 1．已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此求出第三边长的取值范围，即可得到答案． 【详解】∵三角形三边的长度分别为，，， ∴， ∴， ∴第三边长不可能是2． 故选：A． 2．已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 题型八 等腰三角形的定义 例8：等腰三角形一边长是，另一边长是，则它的周长是 ． 【答案】/15厘米 【分析】本题考查了等腰三角形周长．熟练掌握等腰三角形定义，三角形三边关系，三角形周长，分类讨论，是解题的关键． 当等腰三角形的腰为时，根据，得三角形不存在；当等腰三角形的腰为时，根据，得三角形存在，即 得周长． 【详解】解：当等腰三角形的腰为时， 三边为，，， ∵， ∴三角形不存在， 当等腰三角形的腰为时， 三边为，，， ∵， ∴三角形存在， ∴周长为（）． 故答案为：． 变式训练八 1．若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，解题的关键还应验证是否能构成三角形进行解答．等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分情况讨论，假设9作腰长，则三边分别为9，9，4，能构成三角形 周长为：； 假设4作腰长，则三边分别为4，4，9，而，不能构成三角形， 所以此等腰三角形的周长是． 故选：B． 2．已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形三边的关系等知识；由非负数的性质可求得a与b的值，根据等腰三角形的定义结合三角形三边的关系即可求得周长． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； 若三边是11，11，5，则；若三边是11，5，5，则，不能构成三角形，不符合题意； ∴的周长为27； 故答案为：27． 题型九 画三角形的高 例9：如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选：A． 变式训练九 1．如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案． 【详解】解：在中，边上的高是线段， 故选：． 2．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【答案】/ 【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 题型十 三角形角平分线的定义 例10：如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 变式训练十 1．如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义，根据已知可得，即可得出角平分线为，即可求解． 【详解】解：因为 所以，即 所以的一条角平分线为 故选：B． 2．完成下面的证明： 已知：如图， ， 和相交于点， 平分，和相交于点，． 求证：． 证明：（已知）， （______________）， ________（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， ______（________） （等量代换） ． 平分（已知） ， _______（角平分线的定义）． （_________）． 【答案】内错角相等，两直线平行；1；1；两直线平行，同位角相等；2；等量代换． 【分析】由可判定，即得出，再根据得出，等量代换得到，再根据角平分线的定义等量代换即可得解． 【详解】证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）． 平分（已知）， （角平分线的定义）． （等量代换）． 故答案为：内错角相等，两直线平行；1；1；两直线平行，同位角相等；2；等量代换． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟记“内错角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”． 题型十一 重心的概念 例11：如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，据此判断即可，熟记三角形的重心是三角形中线的交点是解题的关键． 【详解】解：由图可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点， ∴点是重心， 故选：． 变式训练十一 1．一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的中线的概念即可解答． 【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部， 故答案为：A． 2．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．无法确定 D．三条中线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点， 故选：D． 题型十二 与三角形的高有关的计算 例12：如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与三角形高的有关计算，根据等面积法可得出，进而可求出． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为： 变式训练十二 1．如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， 故选：A ． 2．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 【答案】28或8 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高在三角形内与三角形外，根据题意求得，则由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当高在三角形内时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当高在三角形外时，如图， 则， ∴； 综上，的面积为28或8． 故答案为：28或8． 一、单选题 1．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形 C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形 【答案】C 【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形． 【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形． 如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形． 如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形． 因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 2．如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 3．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 4．下列长度的线段能组成三角形的是（   ） A．2，4，8 B．5，5，10 C．2，10，13 D．3，6，8 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边是解题的关键； 根据三角形的三边关系逐项判断即可得解. 【详解】解：A、因为，所以长度为2，4，8的三条线段不能组成三角形； B、因为，所以长度为5，5，10的三条线段不能组成三角形； C、因为，所以长度为2，10，13的三条线段不能组成三角形； D、因为，所以长度为3，6，8的三条线段能组成三角形； 故选：D. 5．在中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 本题考查了三角形的高，正确理解定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是符合题意的，A，B，D都不符合题意， 故选C． 6．下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键． 【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 故选：． 7．已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，均在格点上，则点是的（   ） A．三条角平分线交点 B．三条中线交点 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线的交点的概念．根据三角形的中线交点的含义进行判断即可． 【详解】解：如图，点、分别是、的中点， 、是的中线， 点是三条中线的交点． 故选：B． 8．如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：作于点，如图， ，垂足为，，，， ，即， ， 是线段上的任意一点，连接， 当点与点重叠时取得最小值，最小值为12， 的长不可能是11， 故选：A． 9．如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，熟练运用概率公式是解题的关键． 先求出三角形的面积，然后用概率公式计算． 【详解】解：正方形面积， 三角形的面积 ， 则落在内部的概率是． 故选：C． 10．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 11．如图，以为高的三角形有 个． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键．由图可得一共10个三角形，且都以A为顶点，结合以为高即可得出结论． 【详解】解：由图可得，一共有个三角形，且都以A为顶点， 又交于D， 以为高的三角形有10个． 故答案为：10． 12．如图，其中图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度． 【答案】155 【分析】本题主要查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，平行线的性质是解题的关键． 延长交于点N，根据直角三角形两锐角互余可得，从而得到，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解∶如图，延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：155 13．如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 14．如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【答案】 6 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 15．已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出，的值是解题的关键． 先根据非负数的性质求出，的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， 这个等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能组成三角形； 综上所述：这个等腰三角形的周长为； 故答案为：． 三、解答题 16．已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 17．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)； (4)，； 【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 18．已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得解． 【详解】解：、、为等腰三角形的三边长，且周长为，， 分两种情况： 当为腰长时，底边， ， 不能构成三角形，故为腰长舍去； 当为底边时，腰长， 为底边，6为腰长符合三角形的三边关系， ， 综上所述，． 19．如图，在中，，垂足为D，点E在的延长线上，，垂足为F，与相交于点G，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，平行线的判定和性质，由垂直的定义得出，即可得出，由平行线的性质得出， ，再结合已知条件可得出，即可的证. 【详解】证明，（已知）， （垂直定义）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， （等量代换）， 即平分 20．（1）问题背景：已知，点的位置如图所示，连接，，试探究与，之间的数量关系，以下是小明的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空： 解：如图，过点作． （已知）， （__________________）． ，（__________________）． （等式的性质）， 即，，之间的数量关系是______． （2）类比探究：如图，已知，线段与相交于点，点在点的右侧．若，，则的度数为______． （3）拓展延伸：如图，若与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系：____________． 【答案】（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等 ，，，； （2）； （3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是根据图形的性质找角之间的关系． 过点作，根据两直线平行内错角相等，可得：，，因为，所以可得； 根据两直线平行，内错角相等可得：，根据三角形内角和定理可得：，根据邻补角定义可得：，把，代入计算即可； 由可知，根据角平分线的定义可知，由可知，所以可得：． 【详解】解：如图，过点作， （已知）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ，（两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， ，，之间的数量关系是； 故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等 ，，，； 解：， ， 在中，， 又， ， 故答案为：； 由可知， 又、分别是和的平分线， ，， ， 由可知， ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 认识三角形期末复习（十二大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 三角形的识别与有关概念 1 题型二 三角形的个数问题 2 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 3 题型四 三角形的分类 3 题型五 锐角互余的三角形是直角三角形 4 题型六 构成三角形的条件 4 题型七 确定第三边的取值范围 5 题型八 等腰三角形的定义 5 题型九 画三角形的高 5 题型十 三角形角平分线的定义 6 题型十一 重心的概念 7 题型十二 与三角形的高有关的计算 8 过关检测 9 题型一 三角形的识别与有关概念 例1：下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 变式训练一 1．下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    题型二 三角形的个数问题 例2：如图，以点A为顶点的三角形有 个． 变式训练二 1．将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形． 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 例3：如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式训练三 1．如图，，，，是上一点．若，，甲、乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙：． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 2．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 题型四 三角形的分类 例4：如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 变式训练四 1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，的补角是，则是 三角形． 题型五 锐角互余的三角形是直角三角形 例5：在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ．     变式训练五 1．如图，在中，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．在中，，，点是上一个动点，当取最小值时， ． 题型六 构成三角形的条件 例6：下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 变式训练六 1．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 2．从长度为3、4、5、6、7的五条线段中任取三条线段能构成三角形的概率为 ． 题型七 确定第三边的取值范围 例7： 一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 变式训练七 1．已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 2．已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 题型八 等腰三角形的定义 例8：等腰三角形一边长是，另一边长是，则它的周长是 ． 变式训练八 1．若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定 2．已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 题型九 画三角形的高 例9：如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 变式训练九 1．如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 故答案为：． 题型十 三角形角平分线的定义 例10：如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 变式训练十 1．如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 2．完成下面的证明： 已知：如图， ， 和相交于点， 平分，和相交于点，． 求证：． 证明：（已知）， （______________）， ________（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， ______（________） （等量代换） ． 平分（已知） ， _______（角平分线的定义）． （_________）． 题型十一 重心的概念 例11：如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 变式训练十一 1．一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 2．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．无法确定 D．三条中线的交点 题型十二 与三角形的高有关的计算 例12：如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 变式训练十二 1．如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 一、单选题 1．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形 C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形 2．如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 3．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 4．下列长度的线段能组成三角形的是（   ） A．2，4，8 B．5，5，10 C．2，10，13 D．3，6，8 5．在中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 7．已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，均在格点上，则点是的（   ） A．三条角平分线交点 B．三条中线交点 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 8．如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 9．如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（   ） A． B． C． D． 10．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 二、填空题 11．如图，以为高的三角形有 个． 12．如图，其中图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度． 13．如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 14．如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 15．已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是 ． 三、解答题 16．已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 17．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 18．已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求的值． 19．如图，在中，，垂足为D，点E在的延长线上，，垂足为F，与相交于点G，．求证：平分． 20．（1）问题背景：已知，点的位置如图所示，连接，，试探究与，之间的数量关系，以下是小明的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空： 解：如图，过点作． （已知）， （__________________）． ，（__________________）． （等式的性质）， 即，，之间的数量关系是______． （2）类比探究：如图，已知，线段与相交于点，点在点的右侧．若，，则的度数为______． （3）拓展延伸：如图，若与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系：____________． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$