10.1.1平方根（教学课件）数学华东师大版2024八年级上册

10.1.1 平方根 第10章 数的开方 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 理解平方根与算术平方根的概念 能准确区分“平方根”（一个数的两个互为相反数的根）和“算术平方根”（非负的平方根）。 掌握符号表达：如a的平方根为,a的算术平方根为 掌握平方根的符号运算与估算 熟练计算完全平方数 能估算非完全平方数的近似范围 运用计算器解决实际问题 正确操作计算器求平方根 课堂引入 活动名称：寻找“完美搭档”的边长 “同学们，我们都知道正方形的面积等于边长的平方。比如，边长是 3 cm的正方形，面积是多少？。反过来，如果我们知道了一个正方形的面积，能求出它的边长吗？” 活动实践：每位学生准备 4 张裁剪好的小正方形纸片（分别标明：面积 1 cm², 4 cm², 9 cm², 8 cm²）。 “请看第一张纸片，它的面积是 1 cm²，它是一个正方形。谁能用尺子量一量，它的边长是多少厘米？” （答：9cm2，能） （答：1cm） 课堂引入 活动名称：寻找“完美搭档”的边长 “很好！我们发现，面积是 1，边长是 1。那么，有没有哪个数自乘（也就是自己乘以自己） 后等于 1 呢？” 活动实践：每位学生准备 4 张裁剪好的小正方形纸片（分别标明：面积 1 cm², 4 cm², 9 cm², 8 cm²）。 知识回顾：正方形的面积=边长×边长 （答：1×1=1） 新知探究 “现在看第二张纸片，面积是 4 cm²，同样是个正方形。请大家动手测量它的边长，是多少呢？” “嗯，边长是 2 cm。想一想，有没有哪个数自乘后等于 4 呢？” “再来一张，面积是 9 cm²的正方形。测量一下边长？” “边长是 3 cm。哪个数自乘后等于 9 呢？” 活动名称：寻找“完美搭档”的边长 活动内容：探索简单整数平方 （答：2cm） （答：2×2=4） （答：3×3=9） 新知探究 “大家观察这三组关系（1->1, 4->2, 9->3）。我们由正方形的面积，找到了对应的边长。而这个边长恰好满足一个条件：它的平方等于已知的面积。” “现在请看最后一张纸片，面积是 8 cm²，它也是一个正方形。挑战来了！请用尺子测量它的边长，看看是多少厘米？” 活动名称：寻找“完美搭档”的边长 活动内容：引入核心问题与“平方根”概念萌芽 不是整数？具体测量值会在 2.8 cm 左右 新知探究 “量出来的边长大约是2.8 cm，但2.8 × 2.8等于多少？我们用计算器算一下看看。”（2.8 × 2.8 = 7.84 < 8） “2.82 × 2.82呢？”（2.82 × 2.82 = 7.9524 ≈ 7.95 < 8） “2.83 × 2.83呢？”（2.83 × 2.83 = 8.0089 ≈ 8.01 > 8） “精确的边长肯定在 2.8 和 2.9 之间，但用小数来表示好像无穷无尽，也没法精确写完整？” 活动名称：寻找“完美搭档”的边长 活动内容：引入核心问题与“平方根”概念萌芽 “那么，哪个数自乘等于 8 呢？”、“它既不是整数（如2, 3），也不是我们之前学过的一个有限小数。我们怎么精确地表示这个边长呢？这个边长就是这个面积为8的正方形的边长，也就是那个满足‘自乘等于8’的数。” 新知探究 学生思考：①面积为144的正方形边长为多少？②面积为25的正方形边长为多少？ ③面积为的正方形边长为多少？ 答：①144=12×12 单独看144还可以等于（-12）×（-12）也就是说 144=（±12）2 答：②25=5×5 单独看25还可以等于（-5）×（-5）也就是说25=（±5）2 答：③单独看还可以等于（-）×（-）也就是说=（±）24 知识点总结：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 知识概括 教师提问：通过以上的问题，我们知道一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，那么0有没有平方根，是多少呢？负数有没有平方根呢？ 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作“”，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，记作“-”；因此a的平方根记作“”；a称为被开方数，被开方数大于等于0，即a≥0; 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。求一个非负数平方根的运算叫做开平方。 算术平方根具有双重非负性，即a≥0, 注意事项 ①正数有两个平方根它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根； 典例分析 例1 下面各数有平方根吗？如果有，则求出它的平方根；如果没有，则说明理由。 ①49 ② ③0 ④-16 解答：①有，因为72=49，所以，因此49的平方根为 ②有，因为2=，所以，因此49的平方根为 ③有，0的平方根是0； ④没有，负数没有平方根； 注意事项 平方根，又叫二次方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。正数的平方根有2个。 典例分析 例2 下列说法正确的是（ ） A .25的平方根是5 B .（-3）2的平方根是-3 B .0.16的算术平方根是±0.4 D .的算术平方根是 解：A. 25的平方根是±5，故A选项错误； B. （-3）2=9，所以9的平方根是±3，故B选项错误； C .0.16的算术平方根是0.4，故C选项错误； D .的算术平方根是，故D选项正确。 D 注意事项 需要判断此数是否有平方根，如果有平方根，再求出平方根后取正的那个平方根即可 做一做 求下列各数的算术平方根。 ①900 ② ③1 ④14 解答：①因302=900，所以900的算术平方根是30； ②因，所以的算术平方根是； ③因12=1，所以1的算术平方根是1； ④因，所以14的算术平方根是； 注意事项 本题主要考查的是绝对值和算术平方根的非负性，|a|+=0型 做一做 已知与互为相反数 （1）求a、b的值 （2）求5a-4b的平方根 解：（1）∵与互为相反数 ∴+=0 ∵， ∴=0,=0 解得a=4，b=-4 （2）由题（1）知a=4，b=-4 ∴5a-4b=5×4-4×（-4）=36，36的平方根是±6 典例分析 例3 （教材母题）用计算器求下列各数的算术平方根 （1）529 （2）44.81（精确到0.01） 解：（1）本小题的按键顺序是 显示结果为23，所以=23 用计算器求一个正数的算术平方根，只需要直接按书写顺序按键即可。 （2）本小题的按键顺序是 显示结果为6.694027188，要求精确到0.01，所以44.81的算术平方根是 课堂练习 1．下面各数有平方根吗，如果有，请写出它们的平方根，算术平方根；如果没有，则说明理由。 ①6400 ② 0.25 ③ ④7 解：①有，因为802=6400，所以6400的平方根式±80，算术平方根是80； 基础巩固题 ②有，因为0.52=0.25，所以0.25的平方根式±0.5，算术平方根是0.5； ③有，因为=，所以的平方根式±，算术平方根是 ④有，因为=，所以的平方根式±，算术平方根是 正数的平方根有2个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根 课堂练习 2．下列说法正确的是（ ） A .表示25的算术平方根 B .-表示2的算术平方根 C .2的算术平方根记作 D .2是的算术平方根 基础巩固题 解：对于A选项，表示25的算术平方根，所以A选项正确； 对于B选项，表示2的算术平方根，所以B选项错误； 对于C选项，2的算术平方根记作，所以C选项错误； 对于D选项，是2的算术平方根，所以D选项错误。 正数的平方根有2个，正的那个平方根叫做算术平方根 课堂练习 3．若一个正数有两个不同的平方根是5x+12和8-x，则这个正数为 。 基础巩固题 解：根据题意知：5x+12+8-x=0，解得x=-5 ∴故平方根为8-(-5)=13，这个正数为132=169 169 本题的解题关键在于：已知一个正数有2个平方根，它们互为相反数，即a+b=0 课堂练习 4．已知3a+3的平方根为±3，a+2b的算术平方根为4 （1）求a、b的值 （2）求b-3a的平方根 基础巩固题 解：（1）∵3a+3的平方根为±3，∴3a+3=9，∴a=2 ∵a+2b的算术平方根为4，∴a+2b=16，∴b=7 （2）∵a=2，b=7，∴b-3a=7-6=1，∴b-3a的平方根是±1 已知一个数平方根求这个数，直接讲平方根平方即可。需注意一个正数的平方根有2个，不要漏写。 课堂练习 5．解方程 （1）x2-6=0 （2）2(x-3)2=50 基础巩固题 解：（1）∵x2-6=0，∴x2=6，∴ （2）∵2(x-3)2=50，∴(x-3)2=25，∴x-3=±5， 当x-3=5时，x=8，当x-3=-5时，x=-2 步骤：①先化简成标准形式，②两边同时开方得 课堂练习 6．我们都学过下图中王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．若观测点的高度为hkm，则观测者能看到的最远距离（其中R≈6400km）已知小明站在鹳雀楼下，此时h=0.005km，d=d1． 解：能，理由：∵ ∴小明能看到距离鹳雀楼1.2km处的黄河 （1）小明能看到距离鹳雀楼1.2km处的黄河吗？说明理由； 课堂练习 6．我们都学过下图中王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．若观测点的高度为hkm，则观测者能看到的最远距离（其中R≈6400km）已知小明站在鹳雀楼下，此时h=0.005km，d=d1． 解：由题意， ∴d2-d1=16-8=8km 答：d2-d1的长为8km （2）当小明站在鹳雀楼上时，此时h≈0.02km，d=d2 求d2-d1 课堂小结 ①正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作“”，读作“根号a”； ②算术平方根具有双重非负性，即a≥0, 算术平方根的概念及其性质 正确使用计算器求一个非负数的平方根 正确使用计算器 ①定义： 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。 ②表示： 一个非负数的平方根表示为。a为被开放式且a≥0 平方根的基本概念 ①一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根。 平方根的性质 01 02 03 04 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$